精品解析：湖南张家界市桑植县2025-2026学年下学期七年级期中教学质量检测数学试卷

2026年上学期七年级期中教学质量检测数学试卷 注意事项：本试卷共三道大题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列数中，能使不等式成立的x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 求的平方根，用式子来表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 观察图，用等式表示图中图形面积的运算为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 8. 对于不等式组，下列说法正确的是（ ） A. 此不等式组的解集是 B. 此不等式组有4个整数解 C. 此不等式组的正整数解为1，2，3，4 D. 此不等式组无解 9. 若多项式与的乘积中不含的一次项，则的值( ) A. B. 2 C. D. -2 10. 已知实数，满足，．若，则的最大值为（　　） A. 30 B. 32 C. 34 D. 50 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 不等式的解集是 ___________． 12. 的平方根是_______． 13. 若，且n是正整数，则______． 14. 已知不等式组的解集是则的值是 ________________ ． 15. 2002年国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽就是下图，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，可以说是充分肯定了我国数学的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么的值是__________． 16. 如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了4次才停止，则满足x的最小整数为______． 三、计算题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算：． 18. 化简： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 21. 解不等式（组） （1）； （2），并写出它的非负整数解． 22. 倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司购买A型号和B型号垃圾分拣机器人共60台，其中B型号机器人不少于A型号机器人的1.4倍． （1）该垃圾处理厂最多购买几台A型号机器人？ （2）机器人公司报价A型号机器人6万元/台，B型号机器人10万元/台，要使总费用不超过510万元，则共有几种购买方案？ 23. 如图1，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． （1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_____； （2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为_____； （3）比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式_____； 【问题解决】 （4）利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为_____； ②计算：． 24. 几何图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决几何图形问题． （1）【观察】图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出，，之间的等量关系：______． （2）【应用】若，，求的值． （3）【拓展】如图3，四边形、四边形和四边形都是正方形，四边形和四边形都是长方形，若，，长方形的面积是150，设，． ①填空：______，______； ②求图3中阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期七年级期中教学质量检测数学试卷 注意事项：本试卷共三道大题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的常见形式“①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有的数，③形如（每两个增加一个）．”是解题的关键． 根据无理数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、是无理数，故符合题意； B、是有理数，故不符合题意； C、是有理数，故不符合题意； D、是有理数，故不符合题意； 故选：A． 2. 下列数中，能使不等式成立的x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解不等式，不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键．解不等式，得到，以此判断即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴符合题意的是A 故选A． 3. 求的平方根，用式子来表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；熟练掌握平方根定义是解题关键．根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：根据平方根的定义可知， 的平方根为． 故选：C． 4. 已知，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方运算法则的逆运算，解答本题的关键是根据幂的乘方运算逆运算进行变式．根据幂的乘方运算即可解答本题． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 5. 观察图，用等式表示图中图形面积的运算为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式的几何运用．运用长方形的面积及正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得： 第一个图的面积为：， 第二个图的面积为：， ， 故选：B． 6. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断即可． 【详解】解：， A、，原不等式成立，符合题意，选项正确； B、，原不等式不成立，不符合题意，选项错误； C、，原不等式不成立，不符合题意，选项错误； D、，原不等式不成立，不符合题意，选项错误； 故选：A． 7. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出每一个不等式的解集，然后再找出公共部分，确定不等式组的解集，最后在数轴上表示作比较． 【详解】解：解不等式，得． 原不等式组的解集为． 在数轴上表示为 8. 对于不等式组，下列说法正确的是（ ） A. 此不等式组的解集是 B. 此不等式组有4个整数解 C. 此不等式组的正整数解为1，2，3，4 D. 此不等式组无解 【答案】B 【解析】 【分析】分别解两个不等式得到x≥0和x＜4，利用“大小小大取中间”可确定不等式组的解集，再写出不等式组的整数解，然后对各选项进行判断． 【详解】解：， 解①得x≥0， 解②得x＜4， 所以不等式组的解集为0≤x＜4， 所以不等式组的正整数解为0，1，2，3． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解：解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． 9. 若多项式与的乘积中不含的一次项，则的值( ) A. B. 2 C. D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据多项式乘多项式法则求出乘积，再根据“乘积中不含的一次项”可得的一次项的系数等于0，由此即可得． 【详解】解： ， 多项式与的乘积中不含的一次项， ， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 10. 已知实数，满足，．若，则的最大值为（　　） A. 30 B. 32 C. 34 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得，，根据，得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵，． ∴， 又∵， ∴ 解得： ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了代数式求值，解不等式，得出是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 不等式的解集是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，题目简单，关键是掌握不等式的性质． 12. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 13. 若，且n是正整数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．估算出的范围，即可得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：3． 14. 已知不等式组的解集是则的值是 ________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再由不等式组的解集为2＜x＜3得出a、b的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：， 由①得，x＜2a－1， 由②得，x＞1＋b， ∴1＋b＜x＜2a－1， ∵不等式组的解集为2＜x＜3， ∴1＋b＝2，2a－1＝3， 解得a＝2，b＝1， ∴ab＝2×1＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 15. 2002年国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽就是下图，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，可以说是充分肯定了我国数学的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么的值是__________． 【答案】25 【解析】 【分析】根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据即可求解． 【详解】解：根据勾股定理可得， 四个直角三角形的面积是：ab×4=13-1=12，即2ab=12， 则． 故答案为：25． 【点睛】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得和ab的值是关键． 16. 如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了4次才停止，则满足x的最小整数为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，第一次，，此时不满足，不能输出，作为新值重新输入计算， 当输入时，第二次，此时，此时不满足，不能输出，作为新值重新输入计算， 当输入时，第三次，此时，此时不满足，不能输出，作为新值重新输入计算， 当输入时，第四次，此时，此时满足， 解得， 故满足x的最小整数为2． 三、计算题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据计算即可； 【详解】解：原式． 18. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先运用整式的运算法则化简，然后代入求值即可； 【详解】解： ， 因为， 所以，， 解得，， 所以原式． 20. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）分别根据立方根，算术平方根的意义，无理数的估算等知识进行计算即可求解； （2）把a，b，c的值代入求值，再根据平方根的意义即可求解． 【小问1详解】 解：∵的立方根是3， ∴，解得， ∵的算术平方根是4， ∴， 又∵， ∴， ∵c是的整数部分，， ∴， ∴，，； 【小问2详解】 解：把，，代入得 ， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了立方根，算术平方根的意义，无理数的估算，平方根的意义等知识，熟知相关知识并能正确进行计算是解题关键． 21. 解不等式（组） （1）； （2），并写出它的非负整数解． 【答案】（1） （2），非负整数解有0，1，2，3 【解析】 【分析】（1）根据解不等式的基本步骤求解即可； （2）根据解不等式组的基本步骤求解即可； 【小问1详解】 解：解不等式：； 解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得 合并同类项，得． 两边都除以，得． 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为， ∴该不等式组的非负整数解有0，1，2，3． 22. 倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司购买A型号和B型号垃圾分拣机器人共60台，其中B型号机器人不少于A型号机器人的1.4倍． （1）该垃圾处理厂最多购买几台A型号机器人？ （2）机器人公司报价A型号机器人6万元/台，B型号机器人10万元/台，要使总费用不超过510万元，则共有几种购买方案？ 【答案】（1）25台；（2）3种 【解析】 【分析】（1）设该垃圾处理厂购买x台A型号机器人，根据“B型号机器人不少于A型号机器人的1.4倍”列出不等式求解即可； （2）根据“总费用不超过510万元”列出不等式，结合（1）中不等式的解和x为整数，即可得出共有3种方案． 【详解】解：（1）设该垃圾处理厂购买x台A型号机器人． 由题意得， 解得， ∴该垃圾处理厂最多购买25台A型号机器人； （2）， 解得， ，且x为整数， 或24或25， 答：共有3种购买方案． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用．能根据题中不等关系列出不等式是解题关键． 23. 如图1，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． （1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_____； （2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为_____； （3）比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式_____； 【问题解决】 （4）利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为_____； ②计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）①；② 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． （1）根据图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差即可得解； （2）由拼图可得，图2是长为，宽为的长方形，表示出面积即可； （3）由（1）（2）即可得解； （4）①根据（3）中的公式计算即可得解；②根据（3）中的公式计算即可得解． 【详解】解：（1）图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即； （2）由拼图可得，图2是长为，宽为的长方形，因此面积为； （3）由（1）（2）可得：； （4）①∵， ∴， ∵， ∴； ② ． 24. 几何图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决几何图形问题． （1）【观察】图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出，，之间的等量关系：______． （2）【应用】若，，求的值． （3）【拓展】如图3，四边形、四边形和四边形都是正方形，四边形和四边形都是长方形，若，，长方形的面积是150，设，． ①填空：______，______； ②求图3中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） （3）①150；5；②625 【解析】 【分析】（1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积恰好是长方形的面积求解即可； （2）直接应用公式，求解即可；若，，求的值． （3）①根据面积计算即可； ②根据公式变形求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①∵长方形的面积是150，，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，即， ∴． 故答案为150；5． ②∵四边形与四边形都是正方形， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴图3中阴影部分的面积为625． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $