21.5 矩形（题型专练）（基础达标7大题型+能力提升+拓展培优）数学新教材冀教版八年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 21.5矩形（答案版） 夯基础 题型一矩形的性质 1.C 2.B 3.A 题型二矩形的判定 5.C 5.C 6.C 题型三利用矩形的性质和判定求线段 7.A 8.C 9.c 题型四利用矩形的性质和判定求角度 10.C 11.B 12.B 题型五利用矩形的性质和判定求面积 13.B 14.C 15.B 题型六利用矩形的性质和判定证明 (1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ·DC∥AB,DC=AB, CN=AM, DC-CN AB AM D N BM 又：DC∥AB, ·DN∥BM, :四边形DNBM是平行四边形， 又：DM⊥AB, :∠DMB=90°， :四边形DNBM是矩形； (2):∠DAB=60°，AD=6,DM⊥AB, ∠ADM=30°， :AM=3, :AB∥DC, ·∠AND=∠BAN, :AN平分∠DAB, ∠DAN=∠BAN, 1/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·∠AND=∠DAN, :.DA=DN=6, 又：DN=BM=6, ·AB=AM+BM=3+6=9. 17.（1)证明：：四边形ABCD是矩形， AD=BC,LB=∠DAB=90°， .AE=BC, :AE AD, DF⊥AE, ∠AFD=90°， ∠B=∠AFD, :LBAE+LDAF=90°，∠ADF+∠DAF=90°， ∠BAE=∠ADF, 在△ABE和△DFA中， ∠B=∠AFD ∠BAE=∠ADF, AE=AD △ABE≌△DFA(AAS), .BE=AF (2)解：：BE=4,BE=AF, AF=4, EF=1, .AE=AF+EF=4+1=5, 在Rt△ABE中，：G为AE中点， 4-*5=25. ·BG= 18.(1)解：如图所示，矩形EBCF即为所求； (2)证明：如图，过点A作AG⊥EF于点G,设AC,EF交于点H, 2/7 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D H B :四边形EBCF是矩形， LE=∠F=90°，EB=FC :ZAGD ZE ZAGH ZF :D是AB的中点， :AD=DB 又：∠ADG=∠BDE .△ADG≌△BDE(AAS AG EB,S.ADG S.BDE :AG=FC 在△AGH,△CFH中， [∠AGH=∠F ∠AHG=∠CHF AG=CF .△AGH≌CFH(AAS .S.AGH =S.CFH .S。ABc=S矩形EBCF 题型七矩形的折叠和旋转 19.D 20.A 21.A B 提能力 1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.D 7.B 8.D 9.D 10.C 11.∠A=90 12.18 28 14.8 15. 12 13.S1=S, 5 16解：方案一：连接00，如图2 3/7 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B FX 图2 :四边形ABCD是矩形， :AB=CD=3,AD=BC=5, 由作图知B0=0C=BC=2.5, 2 由翻折的不变性，知AP=AB=3,0P=0B=2.5,∠AP0=∠B=90°， .0P=0C=2.5,∠QP0=∠C=90°，又O0=O9, .△QP0≌△QC0(HL), .PO=CO, 设PQ=CQ=x,则AQ=3+x,DQ=3-x, 在Rt△AD0中，AD2+QD2=AQ2,即52+(3-x)2=(3+x)2, 解得r=25 12 线段C2的长为 12 方案二：将aAB0绕点O旋转180°至△RC0处，如图3. D E B----- 咪 图3 R :四边形ABCD是矩形， .AB=CD=3,AD=BC=5, 由作知B0=0C-C=25. 由旋转的不变性，知CR=AB=3,∠BA0=∠R,∠B=∠OCR=90°， 则∠0CR+∠0CD=90°+90°=180°， D、C、R共线， 4/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由翻折的不变性，知∠BAO=∠OAQ, ∠OAQ=∠R, .OA=OR, 设CQ=x,则QA=QR=3+x,DQ=3-x, 在Rt△ADQ中，AD2+QD2=AQ2,即52+(3-x=(3+x)2, 解得x=25 12 :线段CO的长为 21 17.(1)解：如图所示，格点H和△AMN即为所求； F B H 图1 (2)解：如图所示，取格点S、T,连接AS,DT交于点P;取格点L、K,连接LK交格线于J,连接JG交 BC于Q,则P、Q即为所求； 可证明EF∥DT,AS⊥EF,可另外AP中点W,由三角形中位线定理可得EW∥DT,则E、W、F三点共线， 则点P即为所求； 可证明FG=LK,FG∥LK,∠JKF=90°，则四边形JKFG是矩形，即可得到JG⊥EF. G E D 图2 5/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 18.解：小艺的猜想错误，MB段的正确长度为10米，理由如下： 如图所示，延长FC交BM于H,设MB=x米，则BC=(27-x米， :四边形CDEF为矩形， ∴.∠MDC=∠CDE=∠HCD=∠DCF=90°， .MB⊥MD, ∴.四边形CDMH是矩形， .CH=DM=15米，HM=CD=2米，∠BHC=∠CHM=90°， .BH=x-2米， 在Rt△HBC中，由勾股定理得BC2=BH2+CH, .(27-x)2=(x-2+152, 解得x=10, .MB=10米， .小艺的猜想错误，MB段的正确长度为10米. B H M 19.(1):四边形ABCD是矩形， AB=CD,AC=BD,AB∥CD, 又：DE∥CA, ·四边形ACDE是平行四边形， :DE=AC,CD=AE, :DE BD; (2):四边形ABCD是矩形， AC=BD=4,A0=C0,B0=D0, ∴.A0=B0=2, 又：∠A0B=60°， .△ABO是等边三角形， ∴.AB=AO=2=CD=AE, :AD=BD2-AB2=16-4=23, 6/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :四边形BCDE的面积=x2×2√5+2×25=6N5. 20.解：由图可知，AB⊥AE,DE⊥AE,BD⊥EC, ∠BAE=∠AED=LBDE=90°， ·四边形ABDE为矩形， :AB=DE, AB=1.7, .DE=1.7, CE=5.7, CD=CE-DE=5.7-1.7=4(米)， 在R1aBCD中，BC2=BD2+CD2=32+42=25, BC=5(米， “风筝的线往回收1米， .BG=5-1=4(米)， DG=√BG2-BD2=V42-32=√万， √7≈2.65， CG=4-2.65=1.35(米)， ·风筝将沿CD方向下降约1.35米至点G. 1.C 2.D 7/7 21.5 矩形 题型一 矩形的性质 1．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）矩形具有而平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对边相等 2．（2025·河北邯郸·二模）如图，矩形的对角线交于点O，则是的（    ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．中位线 3．（2025·河北邯郸·二模）已知矩形的两条邻边分别为，如果为整数，则关于矩形的面积，下列说法正确的是（    ） A．S可能是24 B．可能是15 C．可能是12 D．可能是6 题型二 矩形的判定 4．（25-26九年级上·河北保定·期末）兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致.这种检查方法用到的数学依据是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．三个角都是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形 6．（24-25九年级上·河北邯郸·月考）某儿童乐园摩天轮的正面示意图如图所示，若每个舱看作一个点，任意选择四个点，则以这四个点为顶点的四边形是矩形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三 利用矩形的性质和判定求线段 7．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图所示，在直角梯形中，，，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，在矩形中，，点P在边上，且，点Q在边上，若为等腰三角形，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，P是矩形的对角线上一点，，于点E，于点F，连接，则的最小值为（         ） A． B．5 C． D．10 题型四 利用矩形的性质和判定求角度 10．两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 11．在中，，，当的面积最大时，下列结论：①；②；③；④，其中①正确，还有______也正确（    ） A．②③ B．②④ C．②③④ D．③④ 12．为了研究特殊四边形，刘老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，刘老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察所得到的四边形，下列结论：①∠BCA＝45°；②AC的长度变小；③AC＝BD；④AC⊥BD．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五 利用矩形的性质和判定求面积 13．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，平行四边形和矩形的位置如图所示，点D在上，则平行四边形和矩形的面积的大小关系是 （   ） A． B． C． D． 14．（22-23八年级下·河北保定·期中）如图，在中，，，连接，相交于点，为的中点，若，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 15．如图，在平行四边形中，，．连接AC，过点B作，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F．若，则四边形ABEC的面积为（    ） A． B． C．6 D． 题型六 利用矩形的性质和判定证明 16．（25-26八年级下·河北雄安·期中）在中，过点作于点，点在边上，且．连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，平分，，求的长． 17．（25-26九年级上·河北保定·月考）如图，在矩形中，点 在边上，，过点作，垂足为，．    (1)如图，求证：． (2)如图，，．若为的中点，求的长． 18．（2025·河北·模拟预测）（平面几何画法）是朱铣和徐刚合编的一本平面几何教材，该书包含了大量的绘图示例和练习．如图-1，该书“例题46”介绍了“画和定三角形等面积的矩形法”． 具体作法为： ①过点和点各作一条垂直于的直线； ②作出的中点，过点作平行于的直线，与①中所得两条垂线交于，两点，四边形即为所求的矩形． (1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图-2中，作出与面积相等的矩形；（保留作图痕迹，不写做法） (2)请你证明（1）中的． 题型七 矩形的折叠和旋转 19．（2026·河北邢台·一模）如图，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为点交于点，已知与的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 20．（2026·河北·模拟预测）如图，将矩形沿折叠，点，分别落在，处，交于点．将沿折叠，点落在矩形内的处，． 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：若平分，则． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 21．（25-26九年级下·河北唐山·月考）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级下·河北承德·期末）如图为小明在家找到的一块木板，他想检验这块木板的表面是不是矩形，但仅有一根足够长的细绳，现提供了如下两种检验方法： 方法一： 第一步：先测量两组对边是否相等； 第二步：再测量对角线是否相等． 方法二：直接测量对角线是否相等． 下列说法正确的是（    ） A．方法一可行，方法二不可行 B．方法一不可行，方法二可行 C．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行 2．（2023·河北沧州·模拟预测）如图为小亮在家找到的一块木板，他想检验这块木板的表面是不是矩形，但仅有一根足够长的细绳，现提供了如下两种检验方法： 下列说法正确的是（    ） A．方法一可行，方法二不可行 B．方法一不可行，方法二可行 C．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行 3．（2023·河北石家庄·二模）如图，在中，对角线交于点分别是与的中点．当四边形是矩形时，与线段相等的其他线段有（    ）      A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 4．如图，如果将一个长方形纸条折成如图的形状，那么与的数量关系是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·河北沧州·二模）如图，直线，线段和矩形在直线a，b之间，点A，E分别在a，b上，点B、C、F在同一直线上．若，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·河北保定·月考）如图，中，，，，是上一动点．过点作于点，于点，连接，则线段的最小值是（    ）    A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，四边形的对角线，交于点，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形为矩形，添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，不一定正确的是（　　）    A． B． C． D． 9．（2024·河北石家庄·二模）在矩形中，，点P是线段上一点，点M、N、E分别是的中点，下列四种情况，哪一种情况不可能使四边形成为矩形（    ） A． B． C． D． 10．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，在矩形中，，，点M，N分别在，边上，且，将，分别沿，折叠，点A的对应点为，点C的对应点为，点A，在的同侧，连接，．甲，乙两人有如下说法： 甲：当时，； 乙：当时，． 则下列正确的是（    ） A．甲错，乙对 B．甲对，乙错 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误 11．（24-25八年级下·河北张家口·期末）添加一个条件：________，使平行四边形成为矩形． 12．（2022·河北衡水·模拟预测）要在广场上布置一个矩形花坛，计划用红花摆成两条对角线．如果一条对角线用了18盆红花，还需要从花房运来______盆红花．如果一条对角线用了29盆红花，还需要从花房运来盆______红花． 13．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点G在矩形的对角线上，且不与A，C重合，过点G分别作边平行线交两组对边于点E，F和点 M，N，则图中阴影部分，面积之间的关系是________． 14．如图，将矩形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线恰好经过点，若，，则等于______． 15．在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_________． 16．【问题背景】 如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：①分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．    【问题提出】 在矩形中，，求线段的长． 【问题解决】 经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下： 方案一：连接，如图2．经过推理、计算可求出线段的长； 方案二：将绕点旋转至处，如图3．经过推理、计算可求出线段的长． 请你任选其中一种方案求线段的长． 17．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点．长方形的顶点和点均是格点，交于点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中先画点，连，使四边形是平行四边形，再画，使（要求点的对应点在直线上）； (2)在图2中，先画点关于直线的对称点，再在上画点，使，垂足为． 18．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图是某集团打造的一款少儿开发智力游戏项目，工作人员告诉小艺，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，，矩形为一木质平台的主视图．小艺经过现场测量得知，米，米，于是小艺大胆猜想段的长为9米，请判断小艺的猜想是否正确．如果正确，请写出理由；如果错误，请求出段的正确长度． 19．如图，在矩形中，对角线，相交于点，交的延长线于点E．    (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 20．（23-24八年级下·河北邢台·月考）汉河冀之光广场是石家庄市民放风筝的场所之一，小明和小华在学习了“勾股定理”之后，进行了一次实践活动，操作如下：如图，测量风筝距地面高度米，水平距离米，小明身高米．若小明将风筝的线往回收1米，则风筝将沿方向下降多少米至点G？注：． 1．（2025·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，是边上的点，将矩形沿所在的直线折叠，得到点的对应点，点的对应点．若点在边的延长线上，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D． 2．（2026·河北保定·二模）如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.5 矩形 题型一 矩形的性质 1．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）矩形具有而平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对边相等 【答案】C 【解析】解：∵平行四边形的性质为：对角相等，对边相等，对角线互相平分，矩形作为特殊的平行四边形，也具有以上三个性质， ∴选项A，B，D都是矩形和平行四边形共有的性质，排除； ∵矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等， ∴对角线相等是矩形具有而平行四边形不具有的性质 2．（2025·河北邯郸·二模）如图，矩形的对角线交于点O，则是的（    ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．中位线 【答案】B 【解析】解：四边形是矩形， 对角线互相平分， 即， 是的中线． 故选：B． 3．（2025·河北邯郸·二模）已知矩形的两条邻边分别为，如果为整数，则关于矩形的面积，下列说法正确的是（    ） A．S可能是24 B．可能是15 C．可能是12 D．可能是6 【答案】A 【解析】解：由题意得， 为整数， 中一定有一个数为偶数， 是8的倍数， 可能是24． 故选：A 题型二 矩形的判定 4．（25-26九年级上·河北保定·期末）兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、图形中无法判断角是直角，不一定是矩形，符合题意； D、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意； 故选：C． 5．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致.这种检查方法用到的数学依据是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．三个角都是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形 【答案】C 【解析】解：∵书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等， ∴书架是平行四边形， ∵书架的对角线相等， ∴书架是矩形， ∴书架是四个角都是直角， 这种检查方法用到的数学依据是：对角线相等的平行四边形是矩形， 故选：C． 6．（24-25九年级上·河北邯郸·月考）某儿童乐园摩天轮的正面示意图如图所示，若每个舱看作一个点，任意选择四个点，则以这四个点为顶点的四边形是矩形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：依题意，矩形有三个， 故选：C． 题型三 利用矩形的性质和判定求线段 7．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图所示，在直角梯形中，，，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，在矩形中，，点P在边上，且，点Q在边上，若为等腰三角形，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】解：如图， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， 过点作于点， ∴四边形为矩形， ∴,， ∴， ∴为等腰三角形，只能是， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，P是矩形的对角线上一点，，于点E，于点F，连接，则的最小值为（         ） A． B．5 C． D．10 【答案】C 【解析】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， 故选：C． 题型四 利用矩形的性质和判定求角度 10．两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 11．（21-22八年级下·河北·期中）在中，，，当的面积最大时，下列结论：①；②；③；④，其中①正确，还有______也正确（    ） A．②③ B．②④ C．②③④ D．③④ 【答案】B 【解析】解：根据题意得：当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=BD， ∴∠BAD+∠BCD=180° ，AC==5， ①正确，②正确，④正确；③不正确； 故选B． 12．为了研究特殊四边形，刘老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，刘老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察所得到的四边形，下列结论：①∠BCA＝45°；②AC的长度变小；③AC＝BD；④AC⊥BD．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB⊥BC， AB与BC不一定相等， ∴∠BCA不一定45°，故①错误； AC的长度变小，故②正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，故③正确； 矩形对角线不垂直，故④错误； 综上，正确的有②③，共2个， 故选：B． 题型五 利用矩形的性质和判定求面积 13．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，平行四边形和矩形的位置如图所示，点D在上，则平行四边形和矩形的面积的大小关系是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，过点 D 作于点G， ∵ 四边形 是矩形， ∴， ． ∴ 四边形是矩形． ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 14．（22-23八年级下·河北保定·期中）如图，在中，，，连接，相交于点，为的中点，若，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是矩形， ∴ ∵为的中点， ∴， ∴， ∴四边形的面积 故选：C． 15．如图，在平行四边形中，，．连接AC，过点B作，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F．若，则四边形ABEC的面积为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=∠ABC， ∵， ∴四边形ABEC为平行四边形， ∵， ∴， ∵∠AFC=∠ABF+∠BAF， ∴∠ABF=∠BAF， ∴AF=BF， ∴2AF=2BF， 即BC=AE， ∴平行四边形ABEC是矩形， ∴∠BAC=90°， ∴, ∴矩形ABEC的面积为． 故选：B 题型六 利用矩形的性质和判定证明 16．（25-26八年级下·河北雄安·期中）在中，过点作于点，点在边上，且．连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 又， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形； （2），，， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 又， ． 17．（25-26九年级上·河北保定·月考）如图，在矩形中，点 在边上，，过点作，垂足为，．    (1)如图，求证：． (2)如图，，．若为的中点，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，, ∴， ∵， ∴， 在中，∵为中点， ∴． 18．（2025·河北·模拟预测）（平面几何画法）是朱铣和徐刚合编的一本平面几何教材，该书包含了大量的绘图示例和练习．如图-1，该书“例题46”介绍了“画和定三角形等面积的矩形法”． 具体作法为： ①过点和点各作一条垂直于的直线； ②作出的中点，过点作平行于的直线，与①中所得两条垂线交于，两点，四边形即为所求的矩形． (1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图-2中，作出与面积相等的矩形；（保留作图痕迹，不写做法） (2)请你证明（1）中的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）解：如图所示，矩形即为所求； （2）证明：如图，过点作于点，设交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ 题型七 矩形的折叠和旋转 19．（2026·河北邢台·一模）如图，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为点交于点，已知与的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由题意，设，， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（2026·河北·模拟预测）如图，将矩形沿折叠，点，分别落在，处，交于点．将沿折叠，点落在矩形内的处，． 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：若平分，则． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 【答案】A 【解析】解：过点作交于点，如图： ∵矩形，， ∴折叠后， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，结论Ⅰ正确； ∵矩形，， ∴折叠后，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，结论Ⅱ正确； 综上，结论Ⅰ和Ⅱ都对． 21．（25-26九年级下·河北唐山·月考）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， 在中，，即，故选项正确， 由折叠的性质可知：， ∴，故选项不一定正确． 1．（22-23八年级下·河北承德·期末）如图为小明在家找到的一块木板，他想检验这块木板的表面是不是矩形，但仅有一根足够长的细绳，现提供了如下两种检验方法： 方法一： 第一步：先测量两组对边是否相等； 第二步：再测量对角线是否相等． 方法二：直接测量对角线是否相等． 下列说法正确的是（    ） A．方法一可行，方法二不可行 B．方法一不可行，方法二可行 C．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行 【答案】A 【】解：方法一： 第一步：先测量两组对边是否相等，可判定是否是平行四边形； 第二步：再测量对角线是否相等，对角线相等的平行四边形是矩形． 方法二：直接测量对角线是否相等，不能确定四边形是否是矩形． 故选：． 2．（2023·河北沧州·模拟预测）如图为小亮在家找到的一块木板，他想检验这块木板的表面是不是矩形，但仅有一根足够长的细绳，现提供了如下两种检验方法： 下列说法正确的是（    ） A．方法一可行，方法二不可行 B．方法一不可行，方法二可行 C．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行 【答案】A 【】解：方法一中：第一步得出四边形为平行四边形， 结合第二步得出：四边形为矩形； 方法二中不能直接得出是矩形，可能是等腰梯形， 故方法一可行，方法二不可行， 故选：A． 3．（2023·河北石家庄·二模）如图，在中，对角线交于点分别是与的中点．当四边形是矩形时，与线段相等的其他线段有（    ）      A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 【答案】B 【】解：在中，， 分别是与的中点， ，， ， 在矩形中，，即， ，即与线段相等的其他线段有5条， 故选：B． 4．如图，如果将一个长方形纸条折成如图的形状，那么与的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，将图按如下命名， 由折叠可得，， ， ， 故选：C． 5．（2024·河北沧州·二模）如图，直线，线段和矩形在直线a，b之间，点A，E分别在a，b上，点B、C、F在同一直线上．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：分别过点B、F作，如图： ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴， 故选：C． 6．（23-24九年级上·河北保定·月考）如图，中，，，，是上一动点．过点作于点，于点，连接，则线段的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图，连接．    ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴. 故选：. 7．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，四边形的对角线，交于点，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形为矩形，添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：根据题意可得， ∴， 添加， 则， 即可得四边形为矩形， 故选：B． 8．如图，在矩形中，点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，不一定正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、由矩形，可得，， ． 又， ，故A正确； B、由，可得， 由矩形，可得， 又， ，故B正确； C、由，可得， 由矩形，可得， ，故C正确； D、不一定等于， 直角三角形中，不一定等于的一半，故D错误； 故选：D． 9．（2024·河北石家庄·二模）在矩形中，，点P是线段上一点，点M、N、E分别是的中点，下列四种情况，哪一种情况不可能使四边形成为矩形（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵点M、N、E分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 10．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，在矩形中，，，点M，N分别在，边上，且，将，分别沿，折叠，点A的对应点为，点C的对应点为，点A，在的同侧，连接，．甲，乙两人有如下说法： 甲：当时，； 乙：当时，． 则下列正确的是（    ） A．甲错，乙对 B．甲对，乙错 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误 【答案】C 【解析】如解图①，当时，延长交于点H，延长交于点K， ， ， ， 由折叠的性质可知，， ，，， ， ． ，， ， ，， ， ， ， ．故甲的说法正确． 如解图②，当于点O时，连接、， 在矩形中，，， ． ， ，，． ． ． 又， 四边形是平行四边形． ，， ．故乙的说法正确． 故选：C． 11．（24-25八年级下·河北张家口·期末）添加一个条件：________，使平行四边形成为矩形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】解：根据矩形的判定，添加的条件可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（2022·河北衡水·模拟预测）要在广场上布置一个矩形花坛，计划用红花摆成两条对角线．如果一条对角线用了18盆红花，还需要从花房运来______盆红花．如果一条对角线用了29盆红花，还需要从花房运来盆______红花． 【答案】 18 28 【解析】解：因为矩形的对角线相等且互相平分，所以当一条对角线有18盆花时，另一条对角线要有相同盆数即18盆； 当一条对角线有29盆花时，因为两对角线的交点处有一盆，所以另一条对角线的盆数要少一盆即28盆． 故答案为：18，28． 13．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点G在矩形的对角线上，且不与A，C重合，过点G分别作边平行线交两组对边于点E，F和点 M，N，则图中阴影部分，面积之间的关系是________． 【答案】 【解析】解：∵四边形为矩形， ∴． 又∵， ∴四边形和四边形都是矩形． ， ，即， 故答案为：． 14．如图，将矩形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线恰好经过点，若，，则等于______． 【答案】 【解析】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴， ∵将矩形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线恰好经过点， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， 在中，， 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 15．在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， 连接，则， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当时，最小， 此时，即：， ∴， ∴的最小值为． 故答案为： 16．【问题背景】 如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：①分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．    【问题提出】 在矩形中，，求线段的长． 【问题解决】 经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下： 方案一：连接，如图2．经过推理、计算可求出线段的长； 方案二：将绕点旋转至处，如图3．经过推理、计算可求出线段的长． 请你任选其中一种方案求线段的长． 【答案】线段的长为． 【解析】解：方案一：连接，如图2．    ∵四边形是矩形， ∴，， 由作图知， 由翻折的不变性，知，，， ∴，，又， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴线段的长为； 方案二：将绕点旋转至处，如图3．    ∵四边形是矩形， ∴，， 由作图知， 由旋转的不变性，知，，， 则， ∴共线， 由翻折的不变性，知， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴线段的长为． 17．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点．长方形的顶点和点均是格点，交于点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中先画点，连，使四边形是平行四边形，再画，使（要求点的对应点在直线上）； (2)在图2中，先画点关于直线的对称点，再在上画点，使，垂足为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）解：如图所示，格点H和即为所求； （2）解：如图所示，取格点S、T，连接交于点P；取格点，连接交格线于J，连接交于Q，则P、Q即为所求； 可证明，可另外中点W，由三角形中位线定理可得，则E、W、F三点共线， 则点P即为所求； 可证明，则四边形是矩形，即可得到． 18．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图是某集团打造的一款少儿开发智力游戏项目，工作人员告诉小艺，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，，矩形为一木质平台的主视图．小艺经过现场测量得知，米，米，于是小艺大胆猜想段的长为9米，请判断小艺的猜想是否正确．如果正确，请写出理由；如果错误，请求出段的正确长度． 【答案】小艺的猜想错误，段的正确长度为10米，理由见解析 【解析】解：小艺的猜想错误，段的正确长度为10米，理由如下： 如图所示，延长交于H，设米，则米， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米，， ∴米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴米， ∴小艺的猜想错误，段的正确长度为10米． 19．如图，在矩形中，对角线，相交于点，交的延长线于点E．    (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）四边形是矩形， ，，， 又∵， 四边形是平行四边形， ，， ； （2）四边形是矩形， ，，， ， 又， ∴是等边三角形， ， ， 四边形的面积． 20．（23-24八年级下·河北邢台·月考）汉河冀之光广场是石家庄市民放风筝的场所之一，小明和小华在学习了“勾股定理”之后，进行了一次实践活动，操作如下：如图，测量风筝距地面高度米，水平距离米，小明身高米．若小明将风筝的线往回收1米，则风筝将沿方向下降多少米至点G？注：． 【答案】风筝将沿方向下降约1.35米至点G 【解析】解：由图可知，， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， (米)， 在中，， （米）， 风筝的线往回收1米， （米）， ， ， （米）， 风筝将沿方向下降约1.35米至点G． 1．（2025·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，是边上的点，将矩形沿所在的直线折叠，得到点的对应点，点的对应点．若点在边的延长线上，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【解析】解：四边形是矩形， ． 设，则． 由折叠的性质，得 ，点在边的延长线上， ． 在中， ， 解得 的长为4． 故选：C． 2．（2026·河北保定·二模）如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图，补全折叠前的矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴，故A选项正确，不符合题意； 过点B作交于点E， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 化简得，故C选项正确，不符合题意； 由于点M，N位置不确定，因此不一定是， ∴不一定是， ∴不一定平行，故D选项错误，符合题意． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $