8.2 特殊的平行四边形（题型专练，7基础&3提升题型+培优）数学新教材苏科版八年级下册

8.2 特殊的平行四边形 题型一 矩形的性质 1．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC＝OD＝2，即可判定四边形CODE是菱形，则可求得答案． 【解答】解： ∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD， ∴OD＝OCAC＝2， ∴四边形CODE是菱形， ∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×2＝8． 故选：C． 【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键． 2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AB＝6，BC＝10，则AE的长为 　　 ． 【分析】连接CE，由矩形的性质得OA＝OC，CD＝AB＝6，AD＝BC＝10，∠ADC＝90°，因为OE⊥AC交AD于点E，所以OE垂直平分AC，则CE＝AE，由勾股定理得62+（10﹣AE）2＝AE2，求得AE，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接CE， ∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，BC＝10， ∴OA＝OC，CD＝AB＝6，AD＝BC＝10，∠ADC＝90°， ∵OE⊥AC交AD于点E， ∴OE垂直平分AC， ∴CE＝AE， ∵CD2+DE2＝CE2，且DE＝10﹣AE， ∴62+（10﹣AE）2＝AE2， 解得AE， 故答案为：． 【点评】此题重点考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 3．将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是 ． 【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A作AH⊥x轴于点H，过点B作BG⊥AH轴于点G，证明△ABG≌△DCF（AAS），可得AG＝DF，BG＝CF，再根据点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），即为可以解决问题． 【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A作AH⊥x轴于点H，过点B作BG⊥AH轴于点G， 则四边形BEHG是矩形， ∴GH＝BE，∠EBG＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠ABC＝90°， ∴∠ABG＝∠EBC， ∵∠EBC+∠ECB＝∠ECB+∠DCF＝90°， ∴∠EBC＝∠DCF， ∴∠ABG＝∠DCF， 在△ABG和△DCF中， ， ∴△ABG≌△DCF（AAS）， ∴AG＝DF，BG＝CF， ∵点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4）， ∴BE＝6，OC＝2，OF＝10，DF＝4， ∴AG＝DF＝4， ∴AH＝AG+GH＝AG+BE＝4+6＝10， ∴BG＝CF＝OC+OF＝12， ∴OH＝12﹣4＝8， 则点A的坐标是（8，10）． 方法2：C点到D点向右平移12个单位长度，向上平移4个单位长度， ∴B点到A点向右平移12个单位长度，向上平移4个单位长度， ∴A（8，10）； 故答案为：（8，10）． 【点评】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确作出辅助线得到△ABG≌△DCF． 4．如图，矩形ABCD，AB＝4，BC＝2，AC，BD相交于点O，以O为坐标原点，平行于AB的直线为x轴，平行于CD的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，AB，BC分别与x轴、y轴交于点E、F，存在一动点P（﹣2m，m﹣3），则△EFP的面积为　　 ． 【分析】由P（﹣2m，m﹣3），可得点P一定在直线上，由AB＝4，BC＝2，可得E（0，1），F（2，0），则直线EF的解析式为，所以点P所在的直线与直线EF平行，由平行线之间的距离处处相等，可得点P到直线EF的距离为定值，则△EFP的面积也为定值，不妨设点P（0，﹣3），即可求出△EFP的面积． 【解答】解：∵P（﹣2m，m﹣3），﹣2m+2（m﹣3）＝﹣6， ∴点P一定在直线x+2y＝﹣6上， ∴点P一定在直线上． ∵矩形ABCD，AB＝4，BC＝2，AC，BD相交于点O，AB，BC分别与x轴、y轴交于点E、F， ∴点E、点F分别为AB、BC的中点， ∴E（0，1），F（2，0）， 设直角EF的解析式为y＝kx+b，将点E、点F的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线EF的解析式为， ∴点P所在的直线与直线EF平行， ∵平行线之间的距离处处相等， ∴点P到直线EF的距离为定值， ∴△EFP的面积为定值， 设点P（0，﹣3）， ∴． 故答案为：4． 【点评】本题考查矩形的性质，坐标与图形性质，三角形的面积，解题的关键是判断点P一定在直线上． 题型二 矩形的判定与性质 1．如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是CD的中点，连接BE交AC于点F，延长BE至G，使FG＝BF，连接DF，DG，CG． （1）求证：DG∥AC； （2）当AB＝BF时，求证四边形DFCG是矩形． 【分析】（1）先证明OB＝OD，结合FG＝BF，可得OF是△BDG的中位线，可得DG∥AC； （2）先证明∠BAF＝∠BFA，再证明∠EFC＝∠FCE，可得EF＝EC，再证明ED＝EG，DE＝CE，可得EF＝EG＝ED＝EC，可得四边形DFCG是矩形． 【解答】（1）证明：∵矩形ABCD， ∴OB＝OD， 又∵FG＝BF， ∴OF是△BDG的中位线， ∴OF∥DG，即DG∥AC． （2）∵AB＝BF， ∴∠BAF＝∠BFA． ∵矩形ABCD， ∴AB∥CD， ∴∠BAF＝∠FCE． 又∵∠EFC＝∠BFA， ∴∠EFC＝∠FCE， ∴EF＝EC， 由（1）可知DG∥AC， ∴∠EFC＝∠EGD，∠FCE＝∠EDG， ∴∠EGD＝∠EDG， ∴ED＝EG， 又∵点E是CD的中点， ∴DE＝CE， ∴EF＝EG＝ED＝EC， ∴四边形DFCG是矩形． 【点评】本题考查的是矩形的性质与判定，三角形的中位线的性质，等角对等边，熟记矩形的性质与判定是解本题的关键． 2．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BE∥AD，AE⊥AD． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）过点E作EF⊥AB于F，若BC＝6，AD＝4，求EF的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠ADB＝90°，再根据平行线的性质得∠DBE＝90°，然后根据AE⊥AD，可得∠DAE＝90°，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得AB，然后根据矩形的性质得BE＝AD＝4，AE＝BD＝2，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【解答】（1）证明：∵△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，∠ADB＝∠AD＝90°， ∵BE∥AD，AE⊥AD， ∴∠DBE＝∠ADB＝90°，∠DAE＝∠BEA＝90°， 所以四边形ADBE是矩形； （2）解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝6，AD＝4， ∴． 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：． ∵四边形ADBE是矩形， ∴BE＝AD＝4，AE＝BD＝3． ∵， ∴， 所以EF的长为． 【点评】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． 3．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF，AF与DE交于点O． （1）求证：四边形AEFD为矩形； （2）若AB＝3，OE＝2，BF＝5，求AE的长． 【分析】（1）由平行四边形的性质推出AD∥BC，AD＝BC，得到EF＝BC，判定四边形AEFD是平行四边形，而∠AEF＝90°，即可证明四边形AEFD是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定△ABF是直角三角形，由三角形面积公式得到5×AE＝3×4，即可求出AE＝2.4． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵CF＝BE， ∴CF+CE＝BE+CE， ∴EF＝BC， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形． （2）解：由（1）知：四边形AEFD是矩形， ∴AF＝DE＝2OE＝2×2＝4， ∵AB＝3，BF＝5， ∴AB2+AF2＝BF2， ∴△ABF是直角三角形， ∴△ABF的面积BF•AEAB•AF， ∴5×AE＝3×4， ∴AE＝2.4． 【点评】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由平行四边形的性质推出AD＝EF，由勾股定理的逆定理判定ABF是直角三角形， 4．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠AOB：∠ODC＝6：7，求∠ADO的度数． 【分析】（1）证四边形ABCD是平行四边形，再证AC＝BD，即可得出结论； （2）由矩形的性质得到AB∥CD，再由平行线的性质得到∠ABO＝∠CDO，然后由三角形的内角和求出∠ABO＝63°，即可求解． 【解答】（1）证明：∵AO＝OC，BO＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠AOB＝∠DAO+∠ADO＝2∠OAD， ∴∠DAO＝∠ADO， ∴AO＝DO， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠BAD＝90°， ∴∠ABO＝∠CDO， ∵∠AOB：∠ODC＝6：7， ∴∠AOB：∠ABO＝6：7， ∴∠BAO：∠AOB：∠ABO＝7：6：7， ∴∠ABO＝63°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠ADO＝90°﹣63°＝27°． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明AC＝BD是解题的关键． 题型三 平行线之间的距离 1．如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n．则下列说法正确的是（　　） A．AC＝BP B．△ABC的周长等于△BCP的周长 C．△ABC的面积等于△ABP的面积 D．△ABC的面积等于△PBC的面积 【分析】根据平行线之间的距离及三角形的面积即可得出答案． 【解答】解：∵A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n， 根据平行线之间的距离相等可得：△ABC与△PBC是同底等高的三角形， 故△ABC的面积等于△PBC的面积． 故选：D． 【点评】本题考查了平行线之间的距离及三角形的面积，属于基础题，关键是掌握平行线之间的距离相等． 2．如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝4，BD＝8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为 　　 ． 【分析】根据两平行线间的距离相等，可知两个三角形的高相等，所以根据△ABD的面积可求出高，然后求△ACE的面积即可． 【解答】解：在△ABD中，当BD为底时，设高为h， 在△AEC中，当AE为底时，设高为h′， ∵AE∥BD， ∴h＝h′， ∵△ABD的面积为16，BD＝8， ∴h＝4． 则△ACE的面积4×4＝8． 【点评】主要是根据两平行线间的距离相等求出高再求三角形的面积． 3．如图，已知AB∥CD，O为∠A、∠C的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝2.5，则两平行线AB、CD间的距离等于 　　 ． 【分析】通过作垂线，利用角平分线的性质得出OM＝OE＝2.5，同理求出ON＝OE＝2.5，进而得出答案． 【解答】解：过点O作OM⊥AB，延长MO交CD于N， ∵AB∥CD，MN⊥AB， ∴MN⊥CD， 即ON⊥CD， ∵AO平分∠BAC，OE⊥AC，OM⊥AB， ∴OM＝OE＝2.5， 又∵CO平分∠ACD，OE⊥AC，ON⊥CD， ∴ON＝OE＝2.5， ∴MN＝OM+ON＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查平行线之间的距离，以及角平分线的性质，掌握角平分线上的点到这个角两边的距离相等是解决问题的关键． 4．如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C． （1）若∠1＝60°，求∠2的度数； （2）若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直线a与b的距离． 【分析】（1）由直线a∥b，根据平行线的性质得出∠3＝∠1＝60°，再由AC⊥AB，根据垂直的定义即可得到∠2＝90°﹣∠3＝30°； （2）过A作AD⊥BC于D，依据S△ABCAB×ACBC×AD，即可求出AD． 【解答】解：（1）∵直线a∥b， ∴∠3＝∠1＝60°， 又∵AC⊥AB， ∴∠2＝90°﹣∠3＝30°； （2）如图，过A作AD⊥BC于D，则AD的长即为直线a与b的距离． ∵S△ABCAB×ACBC×AD， ∴AD， ∴直线a与b的距离为． 【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 题型四 菱形的性质 1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不一定具有（　　） A．对角线互相平分 B．两组对角相等 C．对角线互相垂直 D．两组对边平行 【分析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断即可． 【解答】解：A、菱形、平行四边形的对角线互相平分，故A选项不符合题意； B、菱形、平行四边形的两组对角分别相等，故B选项不符合题意； C、菱形的对角线互相垂直平分，平行四边形的对角线互相平分，故C选项符合题意； D、菱形、平行四边形的两组对边分别平行，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了平行四边形的性质． 2．如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB＝5．若∠ABC＝60°，则AC的长是（　　） A．5 B．8 C．6 D．5.5 【分析】判断出三角形ABC是等边三角形可得结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝5． 故选：A． 【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是 　　 ． 【分析】由菱形的性质可得AD＝AB，BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD，可求∠ABD＝65°，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB，BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD， ∴∠ABD＝65°， ∵DH⊥AB，BO＝DO， ∴HO＝DO， ∴∠DHO＝∠BDH＝90°﹣∠ABD＝25°， 故答案为25°． 【点评】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 4．如图，直线MN∥PQ，菱形ABCD的两个顶点A，C分别在直线MN，PQ上，若∠ABC＝150°，∠NAD＝130°，则∠DCQ＝　　 ． 【分析】过点D作DE∥PQ，则DE∥PQ∥MN，得∠ADE＝∠NAD＝130°，由菱形的性质可知∠ADC＝∠ABC＝150°，则∠ECD＝∠ADC﹣∠ADE＝20°，进而可知∠DCQ＝∠ECD＝20°． 【解答】解：过点D作DE∥PQ， ∵MN∥PQ， ∴DE∥PQ∥MN， ∴∠ADE＝∠NAD＝130°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ADC＝∠ABC＝150°， ∴∠ECD＝∠ADC﹣∠ADE＝150°﹣130°＝20°， ∵DE∥PQ， ∴∠DCQ＝∠ECD＝20°， 故答案为：20°． 【点评】本题考查平行线的性质，菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出∠ADC＝∠ABC＝150°解答． 题型五 菱形的判定与性质 1．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点D作DP∥AC，过点C作CP∥BD，DP、CP交于点P，连接OP． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC＝12，BD＝16，求OP的长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到OB＝OD，根据角平分线的性质得到AC⊥BD，根据菱形的判定定理得到四边形ABCD是菱形； （2）根据已知条件得到CD＝10，根据菱形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵AC 平分∠BAD， ∴AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16， ∴AC⊥BD，OD8，OCAC＝6， ∴CD10， ∵DP∥AC，CP∥BD， ∴四边形OCPD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形OCPD是矩形， ∴OP＝CD＝10． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． 2．如图，▱ABCD中，DA＝DB，过点C作CE∥BD，与AD的延长线相交于点E． （1）求证：四边形BCED是菱形； （2）连接BE，若∠AEB＝25°，求∠ABD的度数． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，推出四边形BCED是平行四边形，得到BD＝BC，根据菱形的判定定理得到四边形BCED是菱形； （2）根据菱形的性质得到DE＝DB，求得∠DBE＝∠DEB＝25°，根据三角形外角的性质得到∠ADB＝∠DEB+∠DBE＝50°，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠ABD（180°﹣50°）＝65°． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴DE∥BC， ∵CE∥BD， ∴四边形BCED是平行四边形， ∵DA＝DB， ∴BD＝BC， ∴四边形BCED是菱形； （2）解：∵四边形BCED是菱形， ∴DE＝DB， ∴∠DBE＝∠DEB＝25°， ∴∠ADB＝∠DEB+∠DBE＝50°， ∵AD＝BD， ∴∠DAB＝∠ABD（180°﹣50°）＝65°． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． 3．如图在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DB，DB平分∠ABC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）过点D作DC的垂线，分别交AB，AE于点F、G，若AG＝3，AD＝4，求菱形ABCD的面积． 【分析】（1）先证四边形ABCD是平行四边形，∠ABD＝∠CDB，再证∠CDB＝∠CBD，则CD＝CB，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得AB＝AD＝4，AD∥BC，再证∠DAG＝90°，则DG＝5，进而由三角形面积求出AF，然后由勾股定理得DF，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABD＝∠CDB， ∵DB平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴CD＝CB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：由（1）可知，四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝4，AD∥BC， ∵AE⊥BC， ∴AE⊥AD， ∴∠DAG＝90°， ∴DG5， ∵AB∥CD，DG⊥DC， ∴DG⊥AB， ∴S△ADGDG•AFAD•AG， ∴AF， ∴DF， ∴S菱形ABCD＝AB•DF＝4． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 4．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC＝6，BD＝8，过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长． 【分析】（1）证∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，得AB＝BC，AB＝AD，则AD＝BC，再证四边形ABCD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得OA＝OCAC＝3，OB＝ODBD＝4，AC⊥BD，再由勾股定理得BC＝5，然后由菱形的面积即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AE∥BF， ∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA， ∵AC平分∠BAD，BD平分∠ABC， ∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC， ∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝BC，AB＝AD， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：由（1）可知，四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OCAC＝3，OB＝ODBD＝4，AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴BC5， ∵AH⊥BC， ∴S菱形ABCD＝BC•AHAC•BD， 即5AH6×8， 解得：AH， 即AH的长为． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 题型六 正方形的性质 1．如图，点E在正方形ABCD的内部，且△ADE为等边三角形，BD与CF交于点M，则∠DMC为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得AB＝AD＝ED＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∠ADE＝60°，则∠ABD＝∠ADB＝45°，∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°，求得∠DCE＝∠DEC＝75°，所以∠BFC＝∠DCE＝75°，则∠DMC＝∠BMF＝180°﹣∠ABD﹣∠BFC＝60°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵点E在正方形ABCD的内部，且△ADE为等边三角形， ∴AB＝AD＝ED＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∠ADE＝60°， ∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°， ∴∠DCE＝∠DEC（180°﹣∠CDE）＝75°， ∴∠BFC＝∠DCE＝75°， ∴∠DMC＝∠BMF＝180°﹣∠ABD﹣∠BFC＝180°﹣45°﹣75°＝60°， 故选：C． 【点评】此题重点考查正方形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形性质、“等边对等角”、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，推导出∠BFC＝∠DCE＝75°是解题的关键． 2．如图，大正方形面积为40，小正方形的面积为8，则阴影部分的面积是（　　） A．20 B．24 C．32 D．16 【分析】设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则a2＝40，b2＝8，进而得S△ABCa2，S△ABDab，S△ECDb（a+b），然后根据“S阴影＝S△ABC+S△ABD﹣S△ECD”即可得出答案． 【解答】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∴AB＝BC＝a，BD＝BE＝b， ∴CD＝BC+BD＝a+b， ∵大正方形面积为40，小正方形的面积为8， ∴a2＝40，b2＝8， ∴S△ABCAB•BCa2，S△ABDAB•BDab，S△ECDCD•BEb（a+b）， ∴S阴影＝S△ABC+S△ABD﹣S△ECDa2abb（a+b）（a2﹣b2）（40﹣8）＝16． 故选：D． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，准确识图，熟练掌握正方形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 3．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是正方形ABCD的边AD上的一点，点A关于BE的对称点为F，若∠DFC＝90°，则EF的长为（　　） A．1 B． C．1.5 D． 【分析】延长EF交CD于点M，连接BM，设AE＝a，则DE＝3﹣a，EA＝EF＝a，AB＝BF＝3，∠A＝∠BFE＝90°，证明Rt△BFM和Rt△BCM全等得MF＝MC，则∠MFC＝∠MCF，进而得∠MFD＝∠MDF，则MF＝MD＝MC，EM，然后在Rt△DEM中，由勾股定理求出a＝1，继而可得AE的长． 【解答】解：延长EF交CD于点M，连接BM，如图所示： 设AE＝a， ∵四边形ABCD为正方形，且边长为3， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝3，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴DE＝AD﹣AE＝3﹣a， 根据轴对称的性质得：EA＝EF＝a，AB＝BF＝3，∠A＝∠BFE＝90°， ∴∠BFM＝∠BFE＝90°，BF＝BC＝3， 在Rt△BFM和Rt△BCM中， ， ∴Rt△BFM≌Rt△BCM（HL）， ∴MF＝MC， ∴∠MFC＝∠MCF， ∵∠DFC＝90°， ∴∠MFD+∠MFC＝90°，∠MDF+∠MCF＝90°， ∴∠MFD＝∠MDF， ∴MF＝MD， ∴MC＝MF＝MDCD， ∴EM＝EF+MF， 在Rt△DEM中，DE＝3﹣a，EM，MD， 由勾股定理得：EM2＝DE2+MD2， ∴， 解得：a＝1， ∴AE＝1． 故选：A． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 4．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将分成面积相等的两部分，则x的值是　 　 ． 【分析】根据题意列方程，即可得到结论． 【解答】解：如图，构造直角三角形ABC． ∵若直线AB将它分成面积相等的两部分， ∴（6+9+x）×9﹣x•（9﹣x）（6+9+x）×9﹣6×3， 解得x＝3或6， 故答案为：3或6． 【点评】本题考查了正方形的性质，图形的面积的计算，准确识别图形是解题的关键． 题型七 正方形的判定与性质 1．如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若正方形ABCD的面积为32，BF＝1，求点F到线段AE的距离． 【分析】（1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形即可解决问题； （2）由正方形的面积公式求得BO＝DO＝CO＝AO＝4，进而得到OF＝3，由四边形ABCD是菱形得到EF＝4，AC⊥EF，菱形AFCE的面积＝24，由勾股定理求得．AE＝5，根据菱形的面积公式即可求得答案． 【解答】（1）证明：∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O， ∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF， ∵DE＝BF， ∴BO＝DO， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∵∠ADO＝45°， ∴∠DAO＝∠ADO＝45°， ∵AO＝DO， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是正方形． （2）解：∵正方形ABCD的面积为32， ∴， ∴， ∴BO＝DO＝CO＝AO＝4， ∴AC＝2AO＝8， ∵BF＝1， ∴OF＝BO﹣BF＝4﹣1＝3， ∵四边形AFCE是菱形， ∴EF＝2OE＝2OF＝6，AC⊥EF， ∴菱形AFCE的面积， 在Rt△AOE中， ， 设点F到线段AE的距离为h， ∴菱形AFCE的面积＝AE•h＝24， 即5h＝24， ∴， ∴即点F到线段AE的距离为． 【点评】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质定理是解题的关键． 2．如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接AB，△AOB的两条外角平分线BP、AP交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D． （1）∠APB＝ 　 　 °； （2）①求证：四边形OCPD是正方形； ②若OA＝AC＝3，求点B的坐标． 【分析】（1）根据垂直的定义得到∠PDO＝∠PCO＝∠DOC＝90°，求得四边形PDOC是矩形，得到∠DPC＝90°，过P作PE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到PD＝PE，PE＝PC，根据全等三角形的性质得到∠DPB＝∠EPB，同理∠CPA＝∠EPA，于是得到结论； （2）①由（1）知四边形PDOC是矩形，根据角平分线的性质得到PD＝PC，得到四边形OCPD是正方形； ②由（1）知，Rt△PDB≌Rt△PEB，求得BD＝BE，同理AE＝AC＝3，设OB＝x，则BD＝BE＝6﹣x，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）解：∵PD⊥y轴，PC⊥x轴，∠AOB＝90°， ∴∠PDO＝∠PCO＝∠DOC＝90°， ∴四边形PDOC是矩形， ∴∠DPC＝90°， 过P作PE⊥AB于E， ∵△AOB的两条外角平分线BP、AP交于第一象限的点P，PD⊥y轴，PC⊥x轴， ∴PD＝PE，PE＝PC， ∵PB＝PB， ∴Rt△PDB≌Rt△PEB（HL）， ∴∠DPB＝∠EPB， 同理∠CPA＝∠EPA， ∴∠BPA＝∠BPE+∠APE； 故答案为：45； （2）①证明：由（1）知四边形PDOC是矩形， ∵△AOB的两条外角平分线BP、AP交于第一象限的点P，PD⊥y轴，PC⊥x轴， ∴PD＝PE，PE＝PC， ∴PD＝PC， ∴四边形OCPD是正方形； ②∵OA＝AC＝3， ∴OC＝OD＝6， 由（1）知，Rt△PDB≌Rt△PEB， ∴BD＝BE， 同理AE＝AC＝3， 设OB＝x，则BD＝BE＝6﹣x， ∴AB＝3+6﹣x， ∵AB2＝OB2+OA2， ∴（9﹣x）2＝x2+32， ∴x＝4， ∴点B的坐标为（0，4）． 【点评】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线AB，AC为对称轴，画出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC相交于点G． 请按照小明的思路，探究并解答下列问题： （1）求证：四边形AEGF是正方形． （2）若AD＝6，BD＝2，则DC＝　 　 ． 【分析】（1）根据题意得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF得AD＝AE，∠DAB＝∠EAB，AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，根据∠BAC＝45°得∠EAF＝90°，根据AD⊥BC得∠ADB＝∠ADC＝90°，则∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，可得四边形AEGF是矩形，根据AD＝AE，AD＝AF得AE＝AF，即可得； （2）设CD＝x，则BC＝x+2，进而求出BD＝BE＝2，CD＝CF＝x，则BG＝6﹣2＝4，CG＝6﹣x，在Rt△BGC中，根据勾股定理得 （6﹣x）2+42＝（x+2）2，解方程即可得到CD＝3． 【解答】解：（1）根据题意得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF， ∴AD＝AE，∠DAB＝∠EAB，AD＝AF，∠DAC＝∠FAC， ∵∠BAC＝45°， ∴∠EAF＝∠DAB+∠DAC+∠EAB+∠FAC＝∠BAC+∠BAC＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°， ∴四边形AEGF是矩形， ∵AD＝AE，AD＝AF， ∴AE＝AF， ∴矩形AEGF是正方形； （2）设CD＝x，则BC＝x+2 ∵AD＝6，BD＝2，四边形AEGF是正方形， ∴EG＝FG＝AD＝6，∠BGC＝90°， ∵△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF， ∴BD＝BE＝2，CD＝CF＝x， ∴BG＝6﹣2＝4，CG＝6﹣x， 在Rt△BGC中，根据勾股定理得，BG2+CG2＝BC2， ∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2， 解得x＝3， ∴CD＝3， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了正方形的性质与判定，轴对称的性质，勾股定理，正确进行计算是解题关键． 4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，∠D＝45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD＝8． （1）求证：四边形ABCF是正方形； （2）求BG的长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得CF＝CG，∠FED＝90°，则△EFD是等腰直角三角形，进而得∠EFD＝∠D＝45°，再根据AD∥BC，∠A＝90°得∠B＝90°，∠G＝∠EFD＝45°，进而得∠CFG＝∠G＝45°，继而得∠CFD＝90°，由此可得∠A＝∠B＝∠AFC＝90°，则四边形ABCF是矩形，然后根据AB＝BC即可得出结论； （2）证明△CFD是等腰直角三角形得CF＝FD，再根据正方形性质得AF＝CF＝AB＝BC，∠BCF＝90°，则AF＝FD，进而得AD＝2AF＝8，则AF＝4，由此得AF＝CF＝AB＝BC＝4，CF＝CG＝4，据此即可得BG的长． 【解答】（1）证明：连接CF，如图所示： ∵FG是CD的垂直平分线， ∴CF＝CG，∠FED＝90°， ∵∠D＝45°， ∴△EFD是等腰直角三角形， ∴∠EFD＝∠D＝45°， ∵AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠B+∠A＝180°，∠G＝∠EFD＝45°， ∴∠B＝90°， ∵CF＝CG， ∴∠CFG＝∠G＝45°， ∴∠CFD＝∠CFG+∠EFD＝90°， ∴∠A＝∠B＝∠AFC＝90°， ∴四边形ABCF是矩形， 又∵AB＝BC， ∴矩形ABCF是正方形； （2）解：∵∠CFD＝90°，∠D＝45°， ∴△CFD是等腰直角三角形， ∴CF＝FD， ∵四边形ABCF是正方形， ∴AF＝CF＝AB＝BC，∠BCF＝90°， ∴AF＝FD， ∴AD＝AF+FD＝2AF， ∵AD＝8， ∴2AF＝8， ∴AF＝4， ∴AF＝CF＝AB＝BC＝4， ∴CF＝CG＝4， ∴BG＝BC+CG＝8． 【点评】此题主要考查了正方形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握正方形的判定和性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键． 题型一 特殊平行四边形中的折叠问题 1．如图，将矩形沿对角线折叠，点B的对应点为点E，与交于点F，其中，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由矩形和折叠的性质得到，，结合，得到，得到，据此根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 2．如图，长方形中，,,点是射线上一动点（不与重合），将沿着所在的直线折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】1或9 【分析】根据折叠的性质得到对应边和对应角相等，再分情况讨论为直角三角形时的情况，利用勾股定理建立方程求解的长度. 此题主要考查了长方形的性质、折叠的性质、勾股定理等.根据直角三角形的性质分情况讨论求解的长度是解题的关键． 【详解】解：①当点在线段上时， 如图所示：∵，            ∴，，三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴； ②当点在的延长线上时， 如图2所示：∵，，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，的值为1或9. 3．已知：如图，在边长的正方形中，点在边上， ，将沿折叠至，延长交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据正方形的折叠证明，则得到，而折叠得到，再由即可求解； （2）由，可设，则，，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由折叠得,， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴在和中， ， ， ， 又 ， ， ． （2）解：∵， 设， , ， 在中， ， ∴． 4．如图，四边形为正方形，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为点，延长交线段于点，若，求的长． 【答案】2 【分析】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握相关性质是解题的关键． 连接，由正方形的性质得，，由点是的中点，得，由折叠得，，，则，，可证明，则，根据勾股定理列方程得，求得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ，， ∵点是的中点， ， 由折叠得，，， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， ，解得， 的长度为2． 题型二 特殊平行四边形中的最值问题 1．如图，在四边形中，，点在上，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，连接，得到点与点关于对称，过点作，使得，连接交于点，连接，证明四边形是平行四边形，得到则当三点共线，即点与点重合时，取得最小值，即取得最小值，最小值为的长，求出，由勾股定理求出得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， 点与点关于对称， ， 过点作，使得，连接交于点，连接， ， ，四边形是平行四边形， ， 当三点共线，即点与点重合时，取得最小值，即取得最小值，最小值为的长， ，， 是等边三角形， ， 在中， 的最小值为． 故答案为：． 2．如图，在菱形中，，点为对角线上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N．连接，在点P运动过程中，的最小值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 连接，由三角形面积关系求出，得当最短时，有最小值，则当时，最短，即可得出答案． 【详解】解：在菱形中，， ，， ， 如图，连接，如图所示： ， ， 即， ， 当最短时，有最小值， 由垂线段最短可知：当时，最短， 当点与点重合时，有最小值，最小值， 故答案为：． 3．如图，在矩形中，，，为中点，为上动点且，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先利用轴对称的性质说明，，再利用矩形的性质得出，，，从而可得，再利用勾股定理求得，再说明当、、在同一直线上时，有最小值，从而可得的最小值为． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，， 则，， ∵四边形是矩形，， ，，， ，， 在的延长线上， ， ， ，为中点， ， ， 。 当、、在同一直线上时，有最小值，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理，矩形的性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 4．如图所示，在正方形中，为上的一点，，，为上的一点，连接，．求的最小值． 【答案】5 【分析】利用正方形的对称性，将其中一个点关于对角线对称，转化线段长度，再根据“两点之间线段最短”求最小值． 【详解】解：如图，连接交于点，连接交于点，连接． 易知，且， ，则，此时有最小值． ，， ． 由勾股定理，得，即的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的对称性与勾股定理的应用，解题关键是利用对称将折线线段和转化为直线段，结合“两点之间线段最短”求解． 题型三 特殊平行四边形中的动点问题 1．如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 【答案】(1)， (2)a的值为2或 【分析】（1）先根据点P运动的速度与时间，用t表示出，再根据，用t表示出； （2）分、两种情况讨论，分别求出a的值． 【详解】（1）解：点P在线段上以的速度由B点向点C运动，运动的时间为t秒， ， ， ， 故答案为：2t，； （2）当时， 此时，， 则有，， 此时，． 当时， 此时，， 则有，， 此时，． 综上所述，a的值为2或． 【点睛】本题考查了列代数式，全等三角形的性质，根据正方形的性质求线段长，（特殊）平行四边形的动点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 2．如图所示，在四边形中，，，，点从点向点以的速度运动，到点即停止点从点向点以的速度运动，到点即停止直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形，已知，两点同时出发，则几秒后所截得的两个四边形中，有一个为平行四边形 【答案】或 【分析】本题主要考查了与平行四边形有关的动点问题，结合平行四边形的性质准确分析计算是解题的关键． 若四边形是平行四边形，则，进而求出运动的时间 若四边形是平行四边形，则，进而求出运动的时间． 【详解】解：设后，四边形或四边形是平行四边形， 根据题意可得，，，，若四边形是平行四边形，则， ，解得：， 后四边形是平行四边形． 若四边形是平行四边形，则， ，解得：， 后四边形是平行四边形． 综上所述，或后，两个四边形中有一个是平行四边形． 3．如图，在四边形中，，，，，，点P从A点出发，以的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，两点运动多长时间时，？ (2)从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 【答案】(1)从运动开始，两点运动6秒或10秒时， (2)从运动开始，存在某个时间，使得四边形恰好为正方形，运动时间为8秒 【分析】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的性质的应用，综合性较强，难度适中． （1）分两种情况：①，且；②与不平行，但； （2）设运动时间为秒，使得四边形恰好为正方形，则有，据此列出方程． 【详解】（1）解：分两种情况： ①当、运动到，则平行且等于， ∴四边形是平行四边形，此时． 设运动时间为秒，则， ， ， 解得， 即时，； ②当、运动到，时，满足，过，分别作于，于， ∵，， ∴，， ∴，四边形是矩形，即， ∴， 同理可得四边形是矩形， ∴， ， ， 解得． 综上所述，从运动开始，两点运动6秒或10秒时，； （2）解：设运动时间为秒，使得四边形恰好为正方形，如图： ∴， ∴， 所以当时，四边形是正方形． 4．已知如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点E在边OA上，点D在边OC上，且AE＝DE，已知点B(8，6)，点D(0，4)． (1)求点E的坐标； (2)若动点P、Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度向点O运动，点Q以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动．当点P运动到点O停止，Q点也同时停止运动．设PQE的面积为S．点P、Q的运动时间为t，用含t的代数式表示S； (3)在（2）的条件下，点M是射线CB上的一点，点N为平面内一点，当以P、Q、M、N为顶点的四边形是正方形时，请求出此时的t值与对应的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）结合点，点，四边形为矩形，可得，，；设，则，在中，由勾股定理可得，代入求解可知，即可求得点的坐标； （2）分两种情况讨论：当点在点右侧和点在点左侧时，利用三角形面积公式即可获得答案； （3）若四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形，分情况讨论即可获得答案． 【详解】（1）解：∵点，点，四边形为矩形， ∴，，，， 设，则， ∴在中，由勾股定理可得， 即，解得， ∴， ∴点的坐标为； （2）①如下图，当点在点右侧时， 根据题意，， ， ∴， ∴； ②如下图，当点在点左侧时， 根据题意，， ， ∴， ∴． 综上所述，； （3）若四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形， 可分情况讨论： ①如下图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如下图，过点作于点， ∴四边形、均为矩形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， 解得； ③如下图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，若满足四边形是正方形，当时，；当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 1．如图，在正方形ABCD中，以AB为边作等边三角形ABP，连接AC，PD，PC，则下列结论；①∠BCP＝75°；②△ADP≌△BCP；③△ADP和△ABC的面积比为1：2；④．其中结论正确的序号有（　　） A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得AB＝BP＝BC，∠ABC＝90°，∠ABP＝60°，由等腰三角形的性质可得∠BCP＝∠BPC＝75°，故①正确；利用SAS证明△DAP≌△CBP，可判断②，由三角形的面积公式可得S△ABCBC×ABAD×AB，S△ADPAD×PHADABAD×AB，可得△ADP和△ABC的面积比为1：2，故③正确；由直角三角形的性质可得CNPC，可得S△PDCDP×CNPC2，故④正确，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△ABP是等边三角形， ∴AB＝BP＝BC，∠ABC＝90°，∠ABP＝60°， ∴∠DAP＝∠CBP＝30°， ∴∠BCP＝∠BPC＝75°，故①正确； ∵AD＝BC，AP＝BP，∠DAP＝∠CBP＝30°， ∴△DAP≌△CBP（SAS），故②正确； 如图，∵△ABP是等边三角形，过点P作PG⊥AB于点G，PH⊥AD于点H， ∴AG＝GB， ∵∠BAD＝∠AGP＝90°， ∴四边形AGPH是矩形， ∴PH＝AG， ∵S△ABCBC×ABAD×AB，S△ADPAD×PHADABAD×AB， ∴△ADP和△ABC的面积比为1：2，故③正确； ∵∠PCD＝∠BCD﹣∠BCP＝15°，PC＝PD， ∴∠PCD＝∠PDC＝15°， ∴∠CPN＝30°， ∵CN⊥DP， ∴CNPC， ∴S△PDCDP×CNPC2，故④正确， 综上所述：①②③④． 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 2．如图，正方形ABCD的边长为2，P为对角线BD上动点，过P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F；连接EF，则EF的最小值为 　　 ． 【答案】2． 【分析】连接PC，先证四边形PECF是矩形得EF＝PC，据此得要求EF的最小值，只需求出PC的最小值即可，根据“垂线段最短”可知：当PC⊥BD时，PC为最短，然后Rt△PBC中由勾股定理求出PC即可得到EF的最小值． 【解答】解：连接PC，如图所示： ∵四边形ABCD为正方形，且边长为， ∴BC＝2，∠BCD＝∠ABC＝90°，∠BCD＝45°， ∵PE⊥BC，PF⊥CD， ∴四边形PECF是矩形， ∴EF＝PC， 要求EF的最小值，只需求出PC的最小值即可， ∵点P在BD上， 根据“垂线段最短”可知：当PC⊥BD时，PC为最短， 当PC⊥BD时，由于∠BCD＝45°， ∴△PBC为等腰直角三角形，即：PB＝PC， 在Rt△PBC中，PB＝PC，BC＝2， 由勾股定理得：PB2+PC2＝BC2， ∴2PC2＝（2）2， ∴PC＝2（舍去负值）， 即PC的最小值为2， ∴EF的最小值为2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定和性质，垂直线段的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握正方形的性质，矩形的判定和性质，难点是根据“垂线段最短”确定当PC⊥BD时，线段PC为最短． 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AB边上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，连接EF，则线段EF的最小值等于 　　 ． 【答案】4.8． 【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【解答】解：如图，连接CD． ∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB10， ∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°， ∴四边形CFDE是矩形， ∴EF＝CD， 由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小， ∵S△ABCBC•ACAB•CD， ∴8×610×CD， 解得CD＝4.8， ∴EF＝4.8． 故答案为：4.8． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程． 4．如图，点F是矩形ABCD内部一个动点，E为AF上一点且，当AD＝4，AB＝AF＝6时，则BE+CF的最小值为 　　 ． 【答案】4 【分析】在AB上截取AG＝AE，先证△ABE≌△AFG（SAS），得到BE＝GF，从而得出BE+CF＝GF+CF≥CG，当且仅当C、F、G三点共线时取等，再根据题干条件求解即可． 【解答】解：如图，在AB上截取AG＝AE，连接GF，CG， 在△ABE和△AFG中， ， ∴△ABE≌△AFG（SAS）， ∴BE＝GF， ∴BE+CF＝GF+CF≥CG，当且仅当C、F、G三点共线时取等， ∵AB＝AF＝6，且AEAF， ∴AE＝AG＝2， ∴BG＝AB﹣AG＝4， ∵四边形ABCD是矩形，AD＝4， ∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4， 在Rt△BCG中，CGBC＝4， 即BE+CF＝GF+CF≥CG＝4， ∴BE+CF的最小值为4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等内容，构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2 特殊的平行四边形 题型一 矩形的性质 1．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AB＝6，BC＝10，则AE的长为 　　 ． 3．将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是 ． 4．如图，矩形ABCD，AB＝4，BC＝2，AC，BD相交于点O，以O为坐标原点，平行于AB的直线为x轴，平行于CD的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，AB，BC分别与x轴、y轴交于点E、F，存在一动点P（﹣2m，m﹣3），则△EFP的面积为　　 ． 题型二 矩形的判定与性质 1．如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是CD的中点，连接BE交AC于点F，延长BE至G，使FG＝BF，连接DF，DG，CG． （1）求证：DG∥AC； （2）当AB＝BF时，求证四边形DFCG是矩形． 2．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BE∥AD，AE⊥AD． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）过点E作EF⊥AB于F，若BC＝6，AD＝4，求EF的长． 3．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF，AF与DE交于点O． （1）求证：四边形AEFD为矩形； （2）若AB＝3，OE＝2，BF＝5，求AE的长． 4．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠AOB：∠ODC＝6：7，求∠ADO的度数． 题型三 平行线之间的距离 1．如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n．则下列说法正确的是（　　） A．AC＝BP B．△ABC的周长等于△BCP的周长 C．△ABC的面积等于△ABP的面积 D．△ABC的面积等于△PBC的面积 2．如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝4，BD＝8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为 　　 ． 3．如图，已知AB∥CD，O为∠A、∠C的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝2.5，则两平行线AB、CD间的距离等于 　　 ． 4．如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C． （1）若∠1＝60°，求∠2的度数； （2）若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直线a与b的距离． 题型四 菱形的性质 1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不一定具有（　　） A．对角线互相平分 B．两组对角相等 C．对角线互相垂直 D．两组对边平行 2．如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB＝5．若∠ABC＝60°，则AC的长是（　　） A．5 B．8 C．6 D．5.5 3．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是 　　 ． 4．如图，直线MN∥PQ，菱形ABCD的两个顶点A，C分别在直线MN，PQ上，若∠ABC＝150°，∠NAD＝130°，则∠DCQ＝　　 ． 题型五 菱形的判定与性质 1．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点D作DP∥AC，过点C作CP∥BD，DP、CP交于点P，连接OP． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC＝12，BD＝16，求OP的长． 2．如图，▱ABCD中，DA＝DB，过点C作CE∥BD，与AD的延长线相交于点E． （1）求证：四边形BCED是菱形； （2）连接BE，若∠AEB＝25°，求∠ABD的度数． 3．如图在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DB，DB平分∠ABC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）过点D作DC的垂线，分别交AB，AE于点F、G，若AG＝3，AD＝4，求菱形ABCD的面积． 4．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC＝6，BD＝8，过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长． 题型六 正方形的性质 1．如图，点E在正方形ABCD的内部，且△ADE为等边三角形，BD与CF交于点M，则∠DMC为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 2．如图，大正方形面积为40，小正方形的面积为8，则阴影部分的面积是（　　） A．20 B．24 C．32 D．16 3．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是正方形ABCD的边AD上的一点，点A关于BE的对称点为F，若∠DFC＝90°，则EF的长为（　　） A．1 B． C．1.5 D． 4．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将分成面积相等的两部分，则x的值是　 　 ． 题型七 正方形的判定与性质 1．如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若正方形ABCD的面积为32，BF＝1，求点F到线段AE的距离． 2．如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接AB，△AOB的两条外角平分线BP、AP交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D． （1）∠APB＝ 　 　 °； （2）①求证：四边形OCPD是正方形； ②若OA＝AC＝3，求点B的坐标． 3．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线AB，AC为对称轴，画出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC相交于点G． 请按照小明的思路，探究并解答下列问题： （1）求证：四边形AEGF是正方形． （2）若AD＝6，BD＝2，则DC＝　 　 ． 4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，∠D＝45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD＝8． （1）求证：四边形ABCF是正方形； （2）求BG的长． 题型一 特殊平行四边形中的折叠问题 1．如图，将矩形沿对角线折叠，点B的对应点为点E，与交于点F，其中，则的长为 ． 2．如图，长方形中，,,点是射线上一动点（不与重合），将沿着所在的直线折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为 ． 3．已知：如图，在边长的正方形中，点在边上， ，将沿折叠至，延长交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长度． 4．如图，四边形为正方形，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为点，延长交线段于点，若，求的长． 题型二 特殊平行四边形中的最值问题 1．如图，在四边形中，，点在上，且，则的最小值为 ． 2．如图，在菱形中，，点为对角线上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N．连接，在点P运动过程中，的最小值等于 ． 3．如图，在矩形中，，，为中点，为上动点且，连接、，则的最小值为 ． 4．如图所示，在正方形中，为上的一点，，，为上的一点，连接，．求的最小值． 题型三 特殊平行四边形中的动点问题 1．如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 2．如图所示，在四边形中，，，，点从点向点以的速度运动，到点即停止点从点向点以的速度运动，到点即停止直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形，已知，两点同时出发，则几秒后所截得的两个四边形中，有一个为平行四边形 3．如图，在四边形中，，，，，，点P从A点出发，以的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，两点运动多长时间时，？ (2)从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 4．已知如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点E在边OA上，点D在边OC上，且AE＝DE，已知点B(8，6)，点D(0，4)． (1)求点E的坐标； (2)若动点P、Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度向点O运动，点Q以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动．当点P运动到点O停止，Q点也同时停止运动．设PQE的面积为S．点P、Q的运动时间为t，用含t的代数式表示S； (3)在（2）的条件下，点M是射线CB上的一点，点N为平面内一点，当以P、Q、M、N为顶点的四边形是正方形时，请求出此时的t值与对应的点M的坐标． 1．如图，在正方形ABCD中，以AB为边作等边三角形ABP，连接AC，PD，PC，则下列结论；①∠BCP＝75°；②△ADP≌△BCP；③△ADP和△ABC的面积比为1：2；④．其中结论正确的序号有（　　） A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 2．如图，正方形ABCD的边长为2，P为对角线BD上动点，过P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F；连接EF，则EF的最小值为 　　 ． 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AB边上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，连接EF，则线段EF的最小值等于 　　 ． 4．如图，点F是矩形ABCD内部一个动点，E为AF上一点且，当AD＝4，AB＝AF＝6时，则BE+CF的最小值为 　　 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 8.2 特殊的平行四边形 题型一矩形的性质 1.C 2.关 3.(8,10) 4.4 题型二矩形的判定与性质 1.(1)见解析；(2)见解析 2.(1)见解折：(2)号 3.(1)见解析；(2)2.4 4.(1)见解析；(2)27° www.zxxk.com 上好每一堂课 特殊的平行四边形 题型一 矩形的性质 题型二矩形的判定与性质 题型三平行线之间的距离 题型四菱形的性质 基础达标题 题型五菱形的判定与性质 题型六正方形的性质 题型七正方形的判定与性质 题型一特殊平行四边形中的折叠问题 题型二特殊平行四边形中的最值问题 能力提升题 题型三特殊平行四边形中的动点问题 拓展培优题 A 基础达标题 1/3 学科网·上好课 题型三平行线之间的距离 1.D 2.8 3.5 4.(1)30°：(2)8 题型四菱形的性质 1.C 2.A 3.25° 4.20° 题型五菱形的判定与性质 1.(1)见解析；(2)10. 2.(1)见解析；(2)65°. 3.(1)见解析；(2)等 4.(1)见解析：(2)学 题型六正方形的性质 1.C. 2.D. 3.A. 4.3或6. 题型七正方形的判定与性质 1.(1①)见解析：2)2号 2.(1)45:(2)①见解析：②(0,4). 3.(1)见解析；(2)3 4.(1)见解析；(2)8. B 题型一特殊平行四边形中的折叠问题 www zxxk com 上好每一堂课 能力提升题 2/3 可学科网·上好课 www.zxx k co m 1. 2.1或9， 3.(1)45°；(26 4.2 题型二特殊平行四边形中的最值问题 1.5 2.号 3.15 4.5 题型三特殊平行四边形中的动点问题 1.(12t,(10-2t):(2加的值为2或号 2.8s或10s 3.(1)从运动开始，两点运动6秒或10秒时，PQ=CD (2)从运动开始，存在某个时间，使得四边形ABQP恰好为正方形，运 4.(1)3,0 (-t2+5t(0≤t<5) 25= t2-5t5<t≤8) (3)当t=2时，M(4,6;当t=4时，M(2,6);当t=6时，M(20,6 拓展培优题 1.D 2.2. 3.4.8. 4.42 3/3 上好每一堂课 动时间为8秒