3.5一次函数与二元一次方程的关系 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

第3章 一次函数 3.5一次函数与二元一次方程的关系 初中数学 湘教版2024·八年级下册 目录 CATALOG 01 教学目标 02 新课导入 03 新知探究 04 课堂练习 行业PPT模板http:///hangye/ 05 课堂小结 模板来自于： 第一PPT https:/// 教学目标 PART-01 教学目标 1.理解一次函数y=kx+b(k≠0)表达式与二元一次方程kx-y+b=0的关系；（重点) 2.理解一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上的点的坐标与二元一次方程kx-y+b=0的解的关系；（重点） 3.理解一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点的横坐标，与一元一次方程kx+b=0的解的关系.（重点） 新课导入 PART-02 新课导入 今天数学王国举行了家庭聚会，各个成员按照自己所在的家庭就坐，这时来了“x + y = 5”. 二元一次方程 一次函数 x + y = 5 到我这里来 到我这里来 这是怎么回事？ x + y = 5应该坐在哪里呢？ 新知探究 PART-03 新知探究 议一议： （1）（4，1）与（1，7）是二元一次方程2x+y－9=0的解吗？方程还有其他解吗？如有，再说出几个. （4，1）与（1，7）都是二元一次方程2x+y－9=0的解，并且这个方程有无数个解，如（-1，11），（0，9），等等. 新知探究 议一议： （2）给定一个二元一次方程2x+y－9=0，若把方程中的未知数y用含未知数x的代数式表示，可以将其看作一次函数的表达式吗？ 对于二元一次方程2x+y－9=0，整理可得y=-2x+9.若把x看作自变量，y看作因变量，则得到一次函数y=-2x+9.反过来，一次函数y=-2x+9也可以写成二元一次方程2x+y－9=0的形式. 新知探究 思考： （1）一次函数y=-2x+9的图象上任一点的坐标都是二元一次方程2x+y－9=0的解吗？ 如图，一次函数y=-2x+9的图象上任一点的坐标可以表示为（c，-2c+9），其中c为任意实数. 由于其都能使方程左右两边相等，因而都是二元一次方程2x+y－9=0的解. 新知探究 思考： （2）以二元一次方程2x+y－9=0的解为坐标的点组成的图形是一次函数y=-2x+9的图象吗？ 二元一次方程2x+y－9=0的所有解都可以表示为（c，-2c+9），其中c为任意实数. 而任意点（c，-2c+9）都在一次函数y=-2x+9的图象（一条直线）上，如图所示. 于是以二元一次方程2x+y－9=0的解为坐标的点组成的图形是一条直线，它是一次函数y=-2x+9的图象. 新知探究 一般地，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，且这条直线上所有点的坐标满足二元一次方程kx－y+b=0；反过来，以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点，都在一次函数y=kx+b的图象上，所有点构成一条直线. 新知探究 对于关于x，y的二元一次方程ax+by+c=0（a≠0，b≠0），其任意一个解都满足一次函数y= -x- 因而，在平面直角坐标系中，以二元一次方程ax+by+c=0的任意一个解为坐标的点都在一次函数y= -x- 的图象上. 反之，一次函数y= -x- 的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程ax+by+c=0的一个解. 新知探究 在平面直角坐标系中，关于 x，y 的二元一次方程 ax＋by＋c＝0 (a≠0，b≠0)表示一条直线，这条直线是一次函数 图象. 二元一次方程与一次函数的关系 二元一次方程的解 一次函数图象上点的坐标 一一对应 新知探究 例1 在平面直角坐标系中，画出二元一次方程-2x+3y-6=0表示的直线. 解：由-2x+3y-6=0可得一次函数y=x+2， 从而当x=0时，y=2，当x=3时，y=4. 在平面直角坐标系中，描出A(0，2)，B(3，4)两点，过这两点作直线，如图所示，则这条直线是一次函数y=x+2的图象，从而它是二元一次方程-2x+3y-6=0表示的直线. x y O 1 1 2 2 3 4 -1 -3 -2 3 A(0,2) B(3,4) 新知探究 给了一条与坐标轴不平行且不重合的直线，我们可以任选直线上的两点，用待定系数法求出一次函数y=kx+b的表达式，这个一次函数的图象就是这条直线.由于一次函数y=kx+b的图象就是二元一次方程kx-y+b=0表示的直线，因此，所给的直线就是二元一次方程kx-y+b=0表示的直线. 新知探究 例2 如图，在平面直角坐标系中，已知一条直线经过P(0，-2)，Q(-4，5)两点，哪个二元一次方程表示这条直线？ 解：设直线PQ是一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象. 因为点P(0，-2)和点Q(-4，5)都在该函数的图象上，所以解得 因此，直线PQ是一次函数y=−x-2的图象，从而它是二元一次方程−x+y+2=0表示的直线. x y O 1 1 2 2 3 4 -1 -3 -2 3 P(0,-2) Q(-4,5) 4 -4 5 -1 -2 新知探究 议一议： 关于x，y的二元一次方程kx－y+b=0（k≠0）所表示的直线与x轴的交点坐标是什么？你的结果与其他同学相同吗？ 一次函数y=kx+b的图象上任一点的坐标是（c，kx+b）.由于函数的图象与x轴的交点的纵坐标为0，因此交点的横坐标c满足kc+b=0，于是c=﹣，从而一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标是（﹣，0）. 因此，关于x，y的二元一次方程kx－y+b=0（k≠0）所表示的直线与x轴的交点坐标为（﹣，0 ）. 新知探究 直线与 x 轴的交点的横坐标即是二元一次方程中当 y＝0 时的 x 值；直线与 y 轴的交点的纵坐标即是二元一次方程中当 x＝0 时 y 的值，注意数形结合． 新知探究 关于x，y的二元一次方程kx-y+b=0(k≠0)所表示的直线与x轴的交点坐标为(-，0). 求一元一次方程 kx + b = 0 的解 从“函数值”看 一次函数 y = kx+b 中 y = 0 时的 x 值 从“函数图象”看 直线 y = kx + b与 x 轴交点的横坐标 课堂练习 PART-04 课堂练习 1. 直线y＝－2x＋6与x轴的交点坐标是（　C　） A. （0，－3） B. （0，3） C. （3，0） D. C 2. 下列直线上每个点的坐标都是二元一次方程x＋y＝1的解的是 （　B　） A B C D B 课堂练习 3. 已知二元一次方程组 的解为 则在平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋3与y＝x＋1的图象的交点坐标为（　B　） A. （－1，－2） B. （1，2） C. （2，1） D. （－2，－1） B 4. 直线y＝2x＋b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程2x＋ b＝0的解是x＝ ⁠. 2　 课堂练习 5. 在平面直角坐标系中，已知一条直线经过A（1，4），B（2，7） 两点，求表示这条直线的二元一次方程. 解：设直线AB是一次函数y＝kx＋b的图象.因为直线经过 A（1，4），B（2，7）两点，所以 解得 所以直线AB是一次函数y＝3x＋1的图象.所以表示这条直线的二元一次方程为3x－y＋1＝0 课堂小结 PART-05 课堂小结 1.一般地，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，且这条直线上所有点的坐标满足二元一次方程kx－y+b=0；反过来，以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点，都在一次函数y=kx+b的图象上，所有点构成一条直线. 2.一般地，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴的交点的横坐标是一元一次方程kx+b=0的解.任何一个一元一次方程kx+b=0的解，就是一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标. 3.从“数”与“形”的角度出发来解决问题. 步履不停 未来可期 $