新知预览4 直线方程的一般式与直线方程的点法式-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版 全学年）

快乐期 0M-= --e-------e 新知预览4直线方程的一般式与直线方程 行成于思，而毁于随。 的点法式 完成日期： 月 日 ★[学习目标]1.了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程 的关系，能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化，能运用直线的一般式方程解 决有关问题，2.了解直线方程的点法式方程，会利用它求直线的方程. 知识梳理—自学教材，素养奠基 1.直线的一般式方程 2.直线方程的点法式 (1)定义：关于x,y的二元一次方程 (1)直线的法向量：与直线的方向向量垂直的 (其中A,B不全为0)，表示的是 向量称为直线的法向量. 一条直线，称它为直线方程的一般式， (2)定义：已知直线1经过点P(xo,y),且它 的一个法向量为n=(A,B): (2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直 直线l的方程为A(x-xo)+B(y-y)= 线都可用一般式表示. 0,称这个方程为直线方程的点法式 典例探究——探究学习，素养形成 ◆[题型一]直线的一般式方程 (1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时，选 例1 根据下列条件分别写出直线方程，并化 用点斜式； 成一般式： (2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时，选 1)斜率是，经过点A8,-2, 用斜截式： (3)已知直线上两点坐标时，选用两点式； (2)经过点B(一2,0)，且与x轴垂直； (4)已知直线在x轴，y轴上的截距时，选用 (3)斜率为一4，在y轴上的截距为7； 截距式。 (4)经过点A(-1,8),B(4,-2). [变式训练] [解](1)由点斜式，得y十2=5(-8， 1.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为 3 一般式方程。 化成一般式，得3x-3y-83-6=0. (1)斜率是√3，且经过点A(5,3); (2)直线方程为x=一2，即x十2=0. (2)斜率为4，在y轴上的截距为一2； (3)由斜截式，得y=一4x十7， (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点； 化成一般式为4x十y-7=0. (4)在x轴，y轴上的截距分别为一3，一1. （白两点式，得2。-二 化成一般式为2x+y一6=0. 规律方法根据已知条件求直线方程的解 题策略 在求直线方程时，设一般式方程并不简 单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊 形式之一求方程再化为一般式方程，一般选 用规律为： 80 三022 高一教类恐) ◆[题型二] 与含参数的一般式方程有关的 (2)若1在两坐标轴上的截距相等，求1的 问题 方程； 例2 设直线l的方程为(m2一2m-3)x (3)若l不经过第三象限，求实数a的取值 (2m2+m-1)y+6-2m=0. 范围. (1)已知直线l在x轴上的截距为一3，求m 的值； (2)已知直线1的斜率为1，求m的值， [解](1)令y=0,则x= 2m-6 m2-2m-3 所以 2m-6 三3，解得m=二名或m m2-2m-3 =3(舍去). 所以m=- 31 (2)由直线1化为斜截式方程得 7m2-2m-3 x十 6-2m 2m2+m-1 2m2+m-1 ◆[题型三]直线的点法式方程 则02-2m-3-1,解得m=一2或m=-1 例3写出下列直线经过的一个点和直线的 2m2+m-1 一个法向量及方向向量： (舍去). (1)(x+1)-2(y-4)=0; 所以m=-2. (2)-(x-3)+4(y+2)=0. 规律方法 已知含参的直线的一般式方程 [解](1)直线(x+1)-2(y-4)=0经过 求参数的值或取值范围的步骤 点（一1,4)，一个法向量是(1，一2)，一个方 向向量是(-2，-1). 审 明条件 明确参数个数，x项、y项的系数及常数项 (2)直线-(x-3)+4(y+2)=0经过点(3， 一2)，一个法向量是（一1,4），一个方向向量 (1)A,B不同时为0 依 是(4,1). 、列式子 (2)斜率-合(B≠0) 据 (3)在：销上的裁距-号 规律方法利用直线的点法式方程 (4)在)轴上的截距-号 求直线的方程关键的问题是通过垂直关系求 求值 结解方程或不等式求值，检验是否符合题意， 解直线的法向量，再有直线上的一个点即可 验验 论得出参数的值（范围） 代入方程求解。 [变式训练] [变式训练] 2.设直线l的方程为(a+3)x+y+3-a=0(a 3.求过点P(-3,1)且与向量n=(-1,3)垂 ∈R) 直的直线方程. (1)若1在两坐标轴上的截距均为0，求1的 方程； 81 曼快乐假期 S0M-= 检测评价—诊断落实，素养达标 一、选择题 10.若方程(2m+m-3)x+（m2-m)y一4m 1.在直角坐标系中，直线x+√3y一3=0的倾 +1=0表示一条直线，则实数m满足 斜角是 A.30° B.60° C.150° D.120 三、解答题 2.若直线x+ay一1=0的倾斜角为45°，则 11.求下列直线的方程，并把它化为一般式. a= ( (1)过点A(-2,3),斜率为-号： A.-√2B.2 C.-1 D.1 (2)在x轴、y轴上的截距分别为一3和4. 3.直线3x-2y=4的截距式方程是( B.子-义=4 11 32 c-2 3 4.经过点P(1,2),且一个法向量为n=(6,8) 的直线方程为 () A.3x-4y-11=0B.3x+4y-11=0 C.4x+3y-11=0D.4x-3y+11=0 5.斜率为一3，在x轴上截距为2的直线的一 般式方程是 ( A.3x+y+6=0 B.3x-y+2=0 C.3x+y-6=0 D.3x-y-2=0 12.已知直线l:5ax-5y-a十3=0. 6.（多选)直线l1:a.x-y十b=0与直线l2:bx (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第 十y-a=0(ab≠0)的图象可能是() 一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a的取值 范围. 7.(多选)垂直于直线3x一4y一7=0，且与两 坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在 x轴上的截距是 ( A.4 B.-4 C.3 D.-3 二、填空题 8.若直线(2a2-4a)x+(a2-4)y+5a2=0的 倾斜角是不，则实数a是 9.已知直线1过点P(3,1),且与两点P,（一1， 0),P2(3,2)的连线垂直，则直线1的方程为 82飞曼铁乐限积 0M-= 11.解：如图，由截距式，得AB边所在直线方程 3.D[将3z-2y=4化为是+2=1即得.] 为马十片2-1，即2x十y+2=0,BC边所 在直线方程为号十2=1，即1-y-2 4.B[由点法式方程得6(x-1)+8(y-2)=0,即3x+4y一 11=0.] 0,由两点式，得CD边所在直线方程为 B 5.C[由题意得，此直线斜率为一3，过点(2,0)，点斜式方程 名8-号即2红十y-4=0,AD边所在 为y-0=一3(x-2),即3.x十y-6=0.] 6.BC[l1:y=a.x+b,l2:y=-bx十a,在A中，由l1知a>0,b 直线方教为骨-即一y中1=心 <0,则一b>0,与l,的图象不符：在B中，由l1知a>0,b> 12.解：(1)，直线1过点P(4,1),Q(一1,6)， 0,则一b<0,与l的图象相符；在C中，由l知a<0,b>0, 所以直线1的方程为义二}=工-4」 则一b<0,与l2的图象相符：在D中，由l1知a>0,b>0,则 6-1--1-41 一b0,与1，的图象不符.故选BC.] 即x+y-5=0. 7.CD[设直线方程是4x十3y十d=0,分别令x=0和y=0, (2)由题意知，直线l的斜率存在且不为0， 所以设直线1的斜率为長， 得直线在两坐标轴上的藏距分别是一号、一早所以6= 则其方程为y一1=k(x一4). 令x=0得y=1-4:令y=0,得x=4-是 ×引×引- 所以d=士12.则直线在x轴上的截距为3或一3.] 1-4锁=2（任-日）解得=子或=-2 8.解析：因为直线(2a2-4a)x十(a2-4)y+5a=0的倾斜角 六直线1的方程为y一1=宁红-0或一1=-2红-4)， 是平，所以直线(2a-4a)x+a-4)y十5a=0的斜率为 an至-1，因北。2-4≠0，y=22a 5a2 即y=x或2x+y-9=0. (a-0r+-a-0 新知预览4 2a-4a=1 (a2-4) 知识梳理—自学教材，素养奠基 1.Ax+By+C=0 3a2-4a-4=0,∴a=- 或a=2(含). 3 典例探究一探究学习，素养形成 变式训练 答案：一号 1.解：(1)由直线方程的点斜式得y一3=3(x一5)， 9.解析：PPL1, 即√3x-y-5√3+3=0. ∴.PP=(3+1,2-0)=(4,2)为所求直线1的一个法向量， (2)由斜截式得直线方程为y=4x一2， 即n=(4,2), 即4x-y-2=0. 又：直线1过点(3,1)，代入直线的点法式方程得4(x一3) 由两点我得高-（二分， +2(y-1)=0. 即2x+y-3=0. 故所求方程为2x十y一7=0. 答案：2x+y-7=0 (4)由藏距式得直线方程为3十片=1， 即x+3y+3=0. 10,解析：当2m+m-3=0时，m=1或m=一多：当m2-m 2.解：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为 =0时，m=0或m=1.要使方程(2m+m一3)x十(m 零，所以3一a=0,所以a=3,方程为6x十y=0. m)y-4m+1=0表示一条直线，则2m+m-3,m2-m不 (2)当直线过原点时， 能同时为0，所以m≠1， 该直线在x轴和y轴上的截距为零， 答案：m≠1 所以3一a=0,所以a=3, 11.解：()由点斛式可得直线方程为y一3=-三（红+2. 方程为6.x十y=0: 5 当直线不过原点时，a≠3， 化为一般式为3x+5y-9=0. 尚8--a-3,得a=-2, (2)由藏距式可得直线方程为气十子-1. 方程为x十y+5=0, 化为一般式为4x一3y十12=0. 故所求的方程为6.x十y=0或x+y十5=0. 12.解：(1)证明：将直线l的方程整理为 (3)将l的方程化为y=一(a+3)x十a一3， 要使1不经过第三象限， y-是=a(-吉)所以1的斜率 当且仅当一(a十3)≤0且a一3≥0， 为a, 解得a≥3，故所求a的取值范围为a≥3. 3.解：由直线方程的点法式， 且过定点A(信号) 得-(x+3)+3(y-1)=0. 故所求直线方程为x一3y十6=0. 而点A(行，号)在第一象限，故1必过 检测评价—诊断落实，素养达标 第一象限. 1.C[直线斜率k=-,所以倾斜角为150.] 3一0 3 (2)直线OA的斜率为k= 5 =3. 2.C[直线x十ay-1=0化为斜裁式可得y=- x+,由 1 -0 5 题意可得-上=am45°=1，所以a=-1.] 因为l不经过第二象限，所以a≥3. a 故a的取值范围是[3，十c∞). 110