新知预览2 直线方程的点斜式-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版）

快乐假期 新知预览2直线方程的点斜式 非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 完成日期： 月 ★[学习目标]1.掌握直线的点斜式方程，并会用它求直线方程.2.掌握直线的斜截式方 程，并会用它求直线方程，了解直线的斜截式方程与一次函数的关系. 知识梳理一自学教材，素养奠基 1.直线1的方程的概念 续表 一般地，如果一条直线1上的 的坐标都是一个方程的解，并且以这个 方程 方程的解为坐标的点都在直线1上，那么 这个方程称为直线1的方程， 2.直线的点斜式和斜截式方程 适用 范围 斜率存在 名称 点斜式 斜截式 已知 点P(xo,y)和 斜率k和直线在 注意：1.当直线1的斜率为0，即k=0时，直 条件 y轴上的截距b 线L与x轴平行（或重合），直线方程为 斜率k y=yo. 2.若直线l经过点P(xo,yo)且与x轴垂 P(xo>Yo) 图示 直，则直线1的斜率k不存在，此时直线 0 上任意一点的横坐标都是x。,所以直线1 0 的方程为x=x0· 典例探究—探究学习，素养形成 ◆[题型一]直线的点斜式方程 [变式训练] 例1根据条件写出下列直线的点斜式 1.(1)直线1经过点P(2,-3),且倾斜角 方程： α=45°，则直线的点斜式方程是() (1)经过点A(一1,4)，倾斜角为45°； A.y+3=x-2 B.y-3=x+2 (2)经过原点，倾斜角为60°； C.y+2=x-3 D.y-2=x+3 (3)经过点D(一1,1)，倾斜角为0° (2)已知直线的方程是y十2=一x-1,则 [解](1)直线斜率为tan45°=1， () .直线的点斜式方程为y-4=x十1. A.直线经过点（一1,2），斜率为一1 (2)直线斜率为tan60°=√3， B.直线经过点(2，-1)，斜率为-1 .所求直线的点斜式方程为 C.直线经过点(-1，-2)，斜率为一1 y-0=√3(x-0). D.直线经过点（一2，一1），斜率为1 (3)直线斜率为0，∴.直线的，点斜式方程 ◆[题型二]直线的斜截式方程 为y-1=0×(x+1). 例2根据条件写出下列直线的斜截式 规律方法利用点斜式求直线方程的 方程： 方法 (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (1)用点斜式求直线的方程，首先要确定直线 (2)倾斜角为150°，在y轴上的截 的斜率和其上一个点的坐标.注意在斜率 距是一2； 存在的条件下，才能用点斜式表示直线的 (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标 方程 原点的距离为3. (2)已知两点坐标求直线的方程，可以先求 [解](1)由直线方程的斜截式可知，所 斜率，再用点斜式求直线的方程 求直线方程为y=2x十5. 42 三022 (2)由于倾斜角a=150°，所以斜率k= [解]当直线1的斜率不存在时，1的方 tan150°= 号，由针越式可得方程为 程为x=2,经检验符合题目的要求 当直线1的斜率存在时，设直线1的方程 y=- 3x-2. 为y-2=k(x-2),即y=kx-2k+2. 令y=0,得x= 2k-2 (3)由于直线的倾斜角为60°，所以斜率 k=tan60°=3.由于直线与y轴的交点 由三角形的西积为2，得号× 2k-2 ×2 k 到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴 上的截距b=3或b=一3，故所求直线方 =2解得=号 程为y=√3x十3或y=√3x-3. 可得直线1的方程为y一2= 2(x-2), 规律方法 综上可知，直线1的方程为x=2或y一2 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率 =x-2. 存在.当k=b时，y=x表示过原点的 直线；当k=0时，y=b表示与x轴平 规律方法已知一点的坐标，求过该点的 行（或重合）的直线. 直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件 (2)截距不同于日常生活中的距离，截距是 确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式， 一个点的横（纵）坐标，是一个实数，可 再由其他条件确定该直线在y轴上的截 以是正数，也可以是负数或零，而距离 距，无论采用哪种方式，在求解过程中待定 是一个非负数 系数法是求解该类问题的常用方法。 [变式训练] [变式训练] 3.已知直线1经过点P(一2,3)，且在两坐 2.(1)已知直线的倾斜角为60°，在y轴上 标轴上的截距相等，求直线1的方程. 的截距为一2，则此直线的方程为( A.y=√3x+2 B.y=-√3x+2 C.y=-3x-2 D.y=√3x-2 (2)直线y=3x一2的斜率为 在y轴上的截距为 ◆[题型三]点斜式、斜截式方程的应用 例3直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y =x围成的三角形的面积为2，求直线1 的方程. 检测评价——诊断落实，素养达标 一、选择题 2.倾斜角为120°且在y轴上的截距为2的 1.方程y-y=k(x-x0) ( 直线方程为 A.可以表示任何直线 A.y=-√3x+2 B.不能表示过原点的直线 B.y=-√3x-2 C.不能表示与y轴垂直的直线 C.y=√3x+2 D.不能表示与x轴垂直的直线 D.y=√3x-2 43 火壁快乐假职 0M-= 3.直线y=kx一3k+2(k∈R)必过定点 三、解答题 11.若直线1过点(2,1)，分别求1满足下列 A.(3,2) B.(-3,2) 条件时的直线方程： C.(-3,-2) D.(3,-2) (1)倾斜角为150°； 4.直线y一b=2(x一a)在y轴上的截距为 (2)平行于x轴； ( (3)平行于y轴； A.a+b B.2a-b (4)过原点. C.b-2a D.2a-b 5.直线l:y=ax十b与直线l2:y=bx十a (ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内 的图象只可能是 ) 6.(多选)关于直线l:√3x-y一1=0，下列 说法正确的有 A.过点(3，一2) B.斜率为√3 C.倾斜角为60 D.在y轴上的截距为1 7.（多选)下列四个结论，其中正确的为 ( A.方程k=y二2与方程y-2=k(x十1) x+1 12.已知直线1经过点P(一2,3)，且与两坐 可表示同一条直线 标轴围成的三角形的面积为4，求直线1 的方程 B直线1过点P(xy),倾斜角为，则 其方程为x=x C.直线1过点P(x1y1),斜率为0，则其 方程为y=y1 D.所有直线都有点斜式和斜截式方程 二、填空题 8.斜率为4，且经过点(2，一3)的直线方程 是 9.直线y一一4在y轴上的截距是 10.直线y=k(x一2)十3必过定点，该定点 为 44快乐假期 [第二部分]新知预览1 知识梳理一自学教材，素养奠基 2.(1)一个点方向(2)①x轴（正方向）逆时针 ②[0，π) 典例探究—探究学习，素养形成 变式训练 1.A[结合直线1的倾斜角的定义可知A可以.] 2.解析：设此直线的倾斜角为a,则1anQ=k=5一尽 2-(-1) √3.因为0°≤a<180°，所以a=60° 答案：√360° 3解：如国所示，周为k如21 3-0=一5， k即=0-1 所以k∈（一∞，一√3]U[1,十o), 0 所以45°a120°. 检测评价—诊断落实，素养达标 1.C[根据题意，作出图象，可知C选 项正确.门 x=1 2.C[an45=e=浩即浩多-1，所以y=-1.] 3.C[直线倾斜角的取值范围是0°a<180°，又直线l经 过第二、四象限，所以直线1的倾斜角的范围是90°<a 180°.1 4.A[因为直线的斜率k和倾斜角a的关系是 k=tana(a≠90)，所以当倾斜角为60°时， 对应的斜率k=tan60°=√3.] 因为直线I过点P(1,1)与线段AB有公共点，则直线l 的斛率的取值范国是k≤或>2.故选C] 6.CD[根据题意，依次分析选项：对于A,直线的倾斜角 为a,当a=90°时，斜率不存在，A错误；对于B,直线的倾 斜角的范围为[0，π)，B错误；对于C,直线的倾斜角a的 范围为[0，π)，则有sina≥0，C正确：对于D,任意直线都 有倾斜角a,且a≠90°时，斜率为tana,D正确，门 7.ABC[(1)当a=0时，l,的倾斜角为90°，（如图1） (2)当0°<a<90°时，l,的倾斜角为90°十a.(如图2) (3)当a=90°时，l2的倾斜角为0°.（如图3） (4)当90°<a<180°时，l2的倾斜角为a-90°.（如图4） 2 y L 0 0 图1 图2 图3 图4 8.解析：因为A(2,0),B(0,一1)， 所以AB=(-2,-1D,所以k三号号 .1 答案： 9.解析：因为A,B,C三，点在同一条直线上， 所以e=a所以后二动-品 所以m=2. 答案：2 68 10.解析：如图，设直线AB与x轴 的交点为C, 则∠AC0=180°一∠A一 ∠A0C=180°-45°-105C --B 15° =30° 所以ks=1an30°= 3 答案写 2-5 1.解：1)h=0-3)=-1<0,倾斜角为钝角. (2)k不存在，倾斜角为直角· 8)=33m-（25m+B=Bm=5=V3>0,倾斜 (2m-1)-m m-1 角为锐角。 12.解：由题意可知直线AC的斜率存在，即m≠一1. 所以e=+2P m+1 所以-m+3）-4=3.gm-1）=4 m+1 2-(-1) 整理得-m-1=(m-5)(m+1),即(m+1)(m-4)= 0,所以m=4或m=一1（舍去），所以m=4. 新知预览2 知识梳理一自学教材，素养奠基 1.每一点2.y-y。=k(x-xo)y=kx十b 典例探究—一探究学习，素养形成 变式训练 1.(1)A[直线1的斜率k=tan45°=1， ∴.直线1的方程为y十3=x-2.] (2)C[直线方程y十2=一x一1可化为y一（一2） =-[x-(-1)],故直线经过点(-1，一2)，斜率为-1.] 2.(1)D[直线的倾斜角为60°，则其斜率为√3，利用斜截 式得y=√3x-2.] (2)解析：直线y=3x一2的斜率为3，在y轴上的截距 为一2. 答案：3一2 3.解：依题意直线的斜率存在，设为k, 直线方程为y一3=k(x十2)， 令x=0得纵截距为y=2k十3. 令y=0得楼藏距为2=一是-2。 你题意得，26十3=一是-2 解得=一号或及=-1， 所以直线方程为y=-子：或y=一x十1。 检测评价——诊断落实，素养达标 1.D[因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直 线，所以y一y。=(x一x。)不能表示与x轴垂直的直线， 故选D.门 2.A[直线的斜率为k=tan120°=-√3. ∴直线的斜截式方程为y=一√5x十2.] 3.A[已知直线的点斜式方程为y一2=(x一3)，所以直 线过定点(3,2). 4.C[由y-b=2(x-a),得y=2x一2a十b,故在y轴上 的截距为b一2a.] 5.D[对于A,由1得a>0,b<0,而由l2得a>0,b>0, 矛盾；对于B,由l1得a<0,b>0,而由l2得a>0,b>0, 矛盾；对于C,由11得a>0,b<0,而由l2得a<0,b>0, 矛盾；对于D,由l1得a>0,b>0,而由l2得a>0,b>0. 故选D.] 6.BC[对于A,将(W3,-2)代入1：W3x-y-1=0,可知不 满足方程，故A不正确；对于B,由√3x一y一1=0，可得y =√3x一1，所以k=3,故B正确；对于C,由k=√3，即 三0022 tana=√3，可得直线倾斜角为60°，故C正确：对于D,由 √3x一y-1=0,可得y=√5x-1,直线在y轴上的截距 为一1，故D不正确.故选BC.] 乙BC[对于A,方程k三是，表示不过（一1,2）的直线， 故与方程y一2=k(x十1)表示不同直线，错误；对于B, 直线1过点P(红)，倾斜角为受，则其斜率不存在，直 线垂直于x轴，正确；对于C,因为斜率为0，故方程为y= y1,显然正确；对于D,所有直线都有点斜式和斜截式方程， 是不对的，比如斜率不存在的直线就没有点斜式方程，故D 不正确.故选BC.门 8.解析：由直线的点斜式方程可得y十3=4(x一2)， 即y=4x一11. 答案：y=4x一11 .4 9.解析：由y=3x一4，令x=0,得y=一4 答案：一4 10.解析：将直线方程化为点斜式得y一3=k(x一2)， .过定点(2,3) 答案：(2,3) 11,解：1)直线的斜率为k=tan150°=- 31 所以由点斜式方程得y一1=号(x一2) 即所求直线方程为y-1=-5(z一2》. 3 (2)平行于x轴的直线的斜率k=0,故所求的直线方程 为y=1. (3)过点(2,1)且平行于y轴的直线方程为x=2. (4)过点(21》与点(00》的直线的率k=子，故所求 的直线方程为y=司 12.解：显然，直线1与两坐标轴不垂直，否则不构成三角 形，设其斜率为k(k≠0)，则直线1的方程为y一3=(x 十2)，令x=0,得y=2k十3， 3 令y=0,得x=-冬-2， 于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 号2+(-是-2=4 1 即(2+3)(2+2）=士8. 若(2+3)（是+2）=8， 则整理得4k十4k十9=0，无解. 若(2k+3)(层+2）=-8， 则整理得4k+20k十9=0， 解之得=一子或=一号 2 所以直线1的方程为y一3=一 2(x+2) 或y-3=-号（工+2小 即y=-+2或y=-号x-6 1 新知预览3 典例探究—一探究学习，素养形成 变式训练 1,A[由方程的两点式可得直线方程为y一？ 4-2 即] 2 2.ABC[当直线经过原点时，横、纵截距都为O,符合 题意 6 高一数学) 当直线不经过原点时，设直线方程为二十名=1 lal=61, b=5. 综上可知选项A、B,C符合题意.] 3.解：由已知得直线BC的斜率存在且不为0. 设直线BC在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b. 则直线BC的藏距式方程为工+义=1， 5 由题意得a十b=9. ① 又点D3,是)在直线BC上，所以是+品=1， 26 所以6b+3a=2ab, ① 由①②联立得2a-21a十54=0，即(2a-9)(a-6)=0, a= 或a=6,所以 解得a=之 或a=6, 2 9 b=2' 1b=3. 故直线BC的方程为号+号=1或后+学=1， 即2x+2y-9=0或x+2y-6=0. 检测评价一诊断落实，素养达标 1.B「若一条直线不与坐标轴平行或重合，则直线必存在 斜率且不为0，所以可以写成两点式或斜截式或点斜式； 但是此直线有可能过原点，此时不可以写成截距式.门 2.C[因为由点坐标知直线在x轴，y轴上的裁距分别为 4,一3，所以直线方程为音十兰=1.门 3.D[因为k,b≠0，由四个选项中的l1可知k>0,可排除A, C;当b<0时，可排除B;当b>0时，选项D符合题意.] 4.C[直线名十芳=1在x轴上的藏距为a,在y轴上的 a 藏距为b,若此直线过一、二、三象限，则一>0，b>0, 所以a<0,b>0.] 5A[由两点式方程。-二昌知直线1过点 〔50.3,3.所以1的鲜奉为号-景] 6.CD[若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为y= kx(k≠0)，文直线过，点P(一2,3)，所以3=一2k,即k 3 3 ,所以直线方程为y=-2x,即3z+2y=0: 若直线在坐标轴上的截距不为0，设直线方程为工十 a 六。=1(a0),又直线过点P(-2.3),所以君+马。 a 1,解得a=-5,所以直线方程为号十甘=1， 即x-y十5=0. 综上可知，所求直线方程为3x十2y=0或x一y+5=0.] 7.AC[由题意设直线方程为二+义=1或工+义=1， a a -a 北成(2,10代入直线方程得总+日=1或吕+。=1， a 解得a=3或a=1,心所求直线的方程为营十音=1或 兰+片=1，即x+y-3=0或x-y-1=0.] 8解析：号-子=1可化为音十兰=1，所以此直线在y 轴上的截距为一3. 答案：一3 9解析：代入直线的两点式方程得二号二 整理得y=x十1. 答案：y=x十1 9