新知预览3 直线方程的两点式-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版）

三-0022 高一教学， 新知预览3直线方程的两点式 博观而约取，厚积而薄发。 完成日期： 月 日 ★[学习目标]1.掌握直线方程的两，点式的形式，了解其适用范围.2.了解直线方程截距 式的形式，特征及其适用范围 知识梳理—— 自学教材，素养奠基 1.直线方程的两点式 2.直线方程的截距式 (1)已知条件：A(x1,y1),B(x2,y2),其中 (1)已知条件： x1≠x2,y1≠y2 在x,y轴上的截距分别为a,b且ab (2)示意图 ≠0. (2)示意图 (3)方程 (3)方程 y一y1=x一1（其中x1≠x2y1≠y2） +岩=1 a y2-y1x2-x1 (4)适用范围 (4)适用范围 不与坐标轴平行或重合且不过原点的 不与坐标轴平行或重合的直线 直线。 典例探究一探究学习，素养形成 ◆「题型一]直线的两点式方程 规律方法求直线的两点式方程的策略 例1 在△ABC中，已知A(一3,2)，B(5, 以及注意点 -4),C(0,-2). (1)适用条件：两点的连线不平行于坐标 (1)求BC边所在直线的方程； 轴，若满足，则考虑用两点式求方程. (2)求BC边上的中线所在直线的方程 (2)差的顺序性：一般用两点式求直线方程 [解](1)因为BC边过两点B(5,-4), 时常会将字母或数字的顺序错位而导 C(0,-2), 致错误，在记忆和使用两点式方程时， 所以向两点式好》 必须注意坐标的对应关系. [提醒]已知两点坐标，求过这两点的直 即2x+5y+10=0. 线方程也可以先求斜率，再代入点斜式得 故BC边所在直线的方程为 到直线的方程. 2x+5y+10=0. [变式训练] (2)设BC的中点为D(x,yo), 1.经过点A(一3,2)，B(4,4)的直线的两点 式方程为 ( 一3. A B.y-2=x-3 一2 7 所以n(3-3 C.y+2-x-3 7 D.y-2=2 2 x+3 7 又BC边上的中线经过点A(一3,2). ◆[题型二]直线的截距式方程 所以由两点式得32二5一” 例2 求过点A(5,2),且在x轴上的截 距是y轴上截距的2倍的直线方程， [解](1)当直线1在两坐标轴上的截距 即10x+11y+8=0. 2 故BC边上的中线所在直线的方程为 为0时，方程为y=5x,即2x-5y=0, 10x+11y+8=0. 适合题意 45 火曼快乐假期 S00= (2)当直线1在两坐标轴上的截距均不为 所以所求直线的方程为工十义=1或 0时，可设方程为品十=1，又1过点 43 a 5x+2y=1, G,2,所以品+吕-1，房得a-景所以 12+9 即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0. l的方程为x十2y一9=0. 综上所述，直线1的方程是2x一5y=0或 （2)存在.设直线方程为正+若-1a>0, x+2y-9=0. b>0), 规律方法利用截距式求直线方程的策 [ab=12, 略及注意点 由题意可知 4+2=1, (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则 可考虑选用截距式求直线方程，用待定 系数法确定其系数即可. 解母8名 (2)选用截距式求直线方程时，必须首先考 所以所求直线的方程为工+义=1或 43 虑直线能否过原点以及能否与两坐标 轴垂直.如果题中出现直线在两坐标轴 +-1 上的“截距相等”“截距互为相反数”等 即3.x+4y-12=0或3x+y-6=0. 条件时，采用截距式求直线方程，要注 意考虑“零截距”的情况. 规律方法直线方程与三角形的面积、周 长之间的关系 [变式训练] 解决直线与坐标轴围成的三角形面积 2.(多选)过点P(1,4)且在x轴，y轴上的 或周长问题时，一般选择直线方程的截距 截距的绝对值相等的直线方程为( 式，若设直线在x轴，y轴上的截距分别为a, A.y=4x B.y=x+3 b,则直线与坐标轴所围成的三角形面积为S C.y=-x+5 D.y=-x-4 ◆[题型三]直线的截距式方程的应用 号lI,周长c=1al+16+后+. 例3 直线过点P信2？且与x结、y轴的 [变式训练 正半轴分别交于A,B两点，O为坐标原 3.已知线段BC的中点为D3,2》若线段 点，是否存在这样的直线分别满足下列 BC所在直线在两坐标轴上的截距之和 条件： 是9，求BC所在直线的方程. (1)△AOB的周长为12； (2)△AOB的面积为6. 若存在，求出直线的方程；若不存在，请 说明理由， [解】(1)存在.设直线方程为后+名=1 (a>0,b>0), 由题意可知，a十b+√a2+b=12. ① 义图为直线过点P信2以 所以+号 2 =1, ② 由①②可得5a2-32a+48=0, 2 年得 a= 5 9 b 46 三-0022 富一数学) 检测评价——诊断落实，素养达标 一、选择题 二、填空题 1.一条直线不与坐标轴平行或重合，则它 的方程 8直线号-岩=1在y轴上的截距为 ( A.可以写成两点式或截距式 B.可以写成两点式或斜截式或点斜式 9.过坐标平面内两点(1,2)和(3,4)的直线 C.可以写成点斜式或截距式 的方程为 D.可以写成两点式或截距式或斜截式或 10.过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于 点斜式 5的直线方程是 三、解答题 2.经过P(4,0),Q(0,一3)两点的直线方 ( 11.四边形ABCD的顶点A(-1,0),B(0, 程是 ) 一2)，C(2,0),D(1,2),求这个四边形四 A首+号= B青+-1 4 条边所在的直线方程 c.-音-1 D号￥=1 3.直线1：y=x+b,直线1：若+芳=1(， b≠0)在同一坐标系中的图象可能是 来兴 4.直线后+芳=1过一、二、三象限，则 a 12.已知直线1过点P(4,1). ( (1)若直线1过点Q(-1,6),求直线1 A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 的方程； C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 (2)若直线1在y轴上的截距是在x轴 5.已知直线1的两点式方程为y。一0 上的截距的2倍，求直线1的方程. -3-0 音二则1的斜率为 A- c-是 6.（多选)过点P(一2,3)，并且在两坐标轴上 的截距互为相反数的直线方程是（) A.x-y+1=0 B.x+y+1=0 C.x-y+5=0 D.3x+2y=0 7.(多选)经过点(2,1)，且与两坐标轴围成等 腰直角三角形的直线方程可以是 () A.x+y-3=0 B.x+y+3=0 C.x-y-1=0 D.x-y+1=0 47三0022 tana=√3，可得直线倾斜角为60°，故C正确：对于D,由 √3x一y-1=0,可得y=√5x-1,直线在y轴上的截距 为一1，故D不正确.故选BC.] 乙BC[对于A,方程k三是，表示不过（一1,2）的直线， 故与方程y一2=k(x十1)表示不同直线，错误；对于B, 直线1过点P(红)，倾斜角为受，则其斜率不存在，直 线垂直于x轴，正确；对于C,因为斜率为0，故方程为y= y1,显然正确；对于D,所有直线都有点斜式和斜截式方程， 是不对的，比如斜率不存在的直线就没有点斜式方程，故D 不正确.故选BC.门 8.解析：由直线的点斜式方程可得y十3=4(x一2)， 即y=4x一11. 答案：y=4x一11 .4 9.解析：由y=3x一4，令x=0,得y=一4 答案：一4 10.解析：将直线方程化为点斜式得y一3=k(x一2)， .过定点(2,3) 答案：(2,3) 11,解：1)直线的斜率为k=tan150°=- 31 所以由点斜式方程得y一1=号(x一2) 即所求直线方程为y-1=-5(z一2》. 3 (2)平行于x轴的直线的斜率k=0,故所求的直线方程 为y=1. (3)过点(2,1)且平行于y轴的直线方程为x=2. (4)过点(21》与点(00》的直线的率k=子，故所求 的直线方程为y=司 12.解：显然，直线1与两坐标轴不垂直，否则不构成三角 形，设其斜率为k(k≠0)，则直线1的方程为y一3=(x 十2)，令x=0,得y=2k十3， 3 令y=0,得x=-冬-2， 于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 号2+(-是-2=4 1 即(2+3)(2+2）=士8. 若(2+3)（是+2）=8， 则整理得4k十4k十9=0，无解. 若(2k+3)(层+2）=-8， 则整理得4k+20k十9=0， 解之得=一子或=一号 2 所以直线1的方程为y一3=一 2(x+2) 或y-3=-号（工+2小 即y=-+2或y=-号x-6 1 新知预览3 典例探究—一探究学习，素养形成 变式训练 1,A[由方程的两点式可得直线方程为y一？ 4-2 即] 2 2.ABC[当直线经过原点时，横、纵截距都为O,符合 题意 6 高一数学) 当直线不经过原点时，设直线方程为二十名=1 lal=61, b=5. 综上可知选项A、B,C符合题意.] 3.解：由已知得直线BC的斜率存在且不为0. 设直线BC在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b. 则直线BC的藏距式方程为工+义=1， 5 由题意得a十b=9. ① 又点D3,是)在直线BC上，所以是+品=1， 26 所以6b+3a=2ab, ① 由①②联立得2a-21a十54=0，即(2a-9)(a-6)=0, a= 或a=6,所以 解得a=之 或a=6, 2 9 b=2' 1b=3. 故直线BC的方程为号+号=1或后+学=1， 即2x+2y-9=0或x+2y-6=0. 检测评价一诊断落实，素养达标 1.B「若一条直线不与坐标轴平行或重合，则直线必存在 斜率且不为0，所以可以写成两点式或斜截式或点斜式； 但是此直线有可能过原点，此时不可以写成截距式.门 2.C[因为由点坐标知直线在x轴，y轴上的裁距分别为 4,一3，所以直线方程为音十兰=1.门 3.D[因为k,b≠0，由四个选项中的l1可知k>0,可排除A, C;当b<0时，可排除B;当b>0时，选项D符合题意.] 4.C[直线名十芳=1在x轴上的藏距为a,在y轴上的 a 藏距为b,若此直线过一、二、三象限，则一>0，b>0, 所以a<0,b>0.] 5A[由两点式方程。-二昌知直线1过点 〔50.3,3.所以1的鲜奉为号-景] 6.CD[若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为y= kx(k≠0)，文直线过，点P(一2,3)，所以3=一2k,即k 3 3 ,所以直线方程为y=-2x,即3z+2y=0: 若直线在坐标轴上的截距不为0，设直线方程为工十 a 六。=1(a0),又直线过点P(-2.3),所以君+马。 a 1,解得a=-5,所以直线方程为号十甘=1， 即x-y十5=0. 综上可知，所求直线方程为3x十2y=0或x一y+5=0.] 7.AC[由题意设直线方程为二+义=1或工+义=1， a a -a 北成(2,10代入直线方程得总+日=1或吕+。=1， a 解得a=3或a=1,心所求直线的方程为营十音=1或 兰+片=1，即x+y-3=0或x-y-1=0.] 8解析：号-子=1可化为音十兰=1，所以此直线在y 轴上的截距为一3. 答案：一3 9解析：代入直线的两点式方程得二号二 整理得y=x十1. 答案：y=x十1 9 快乐 10.解析：设直线方程为是十岩=1， a 则了b=3, 1a+b=5, 解得a=2,b=3, 则直线方程为号十音=1，即3x+2y-6=0, 答案：3x+2y一6=0 11.解：如图，由裁距式，得AB边所在直线 y 方程为马十片2=1，即2x十y叶2=0 BC边所在直线方程为号十点2=1，即 x一y一2=0，由两点式，得CD边所在 YB 直线方程为日号即2x十y4 =0,AD边所在直线方程为8-即x 0. 12.解：(1)直线1过点P(4,1),Q(一1,6)， 所以直线1的方程为号 x-4 即x+y一5=0. (2)由题意知，直线1的斜率存在且不为0， 所以设直线！的斜率为k, 则其方程为y一1=k(x一4) 令x=0,得y=1-4:令y=0,得x=4- 1 1-4=2-右）解得=子或质=-2 :直线1的方程为y-1=(x-0或y-1=-24 即y=子x或2x+y-9=0, 新知预览4 知识梳理—一自学教材，素养奠基 1.Ax+By+C=0 典例探究 一探究学习，素养形成 变式训练 1.解：(1)由直线方程的点斜式得y一3=√3(x一5)， 即√3x-y-5√3+3=0. (2)由斜截式得直线方程为y=4x一2， 即4x-y-2=0. (3)由两点式得已二二： 即2x+y-3=0. (4)由藏距式得直线方程为品3十片=1， 即x+3y+3=0. 2.解：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的 为零，所以3一a=0,所以a=3,方程为6x十y=0. (2)当直线过原，点时， 该直线在x轴和y轴上的截距为零， 所以3一a=0,所以a=3, 方程为6x十y=0; 当直线不过原，点时，a≠3， 由4-3=a-3,得a=-2, a十3 方程为x十y十5=0， 故所求的方程为6x十y=0或x十y+5=0. (3)将l的方程化为y=-(a十3)x十a-3, 要使1不经过第三象限， 当且仅当-(a十3)0且a-3≥0， 解得a≥3，故所求a的取值范围为a≥3. 3.解：由直线方程的点法式， 得一(x+3)十3(y一1)=0. 故所求直线方程为x一3y十6=0. 检测评价一诊断落实，素养达标 1.C「直线斛率k=3,所以倾斜角为150°.] 90M- 2.C[直线x十ay-1=0化为斜截式可得y=一 1 x十 ，由题意可得-=1am45°=1，所以a=-1.] a a 3.D[将3x-2y=4化为千+2=1即得.] 4 3 D 4.B[由点法式方程得6(x一1)+8(y一2)=0，即3x+4y -11=0. 5,C[由题意得，此直线斜率为一3，过点(2,0)，点斜式方 程为y-0=一3(x-2),即3x+y-6=0.] 6.BC[l1:y=ax+b,l2:y=-b.x十a,在A中，由l1知a >0,b<0,则一b>0,与l2的图象不符；在B中，由l1知 a>0,b>0,则一b<0,与1g的图象相符：在C中，由11知 a<0,b>0,则一b<0,与12的图象相符；在D中，由11知 y+1 a>0,b>0,则-b<0,与1，的图象不符.故选BC.] 7.CD[设直线方程是4x十3y十d=0,分别令x=0和y =0,得直线在两垒标轴上的藏距分别是一号，一兰，所 以6=×号×引= 所以d=士12.则直线在x轴上的截距为3或一3.] 8.解析：因为直线(2a-4a)x十(a-4)y十5a2=0的倾斜 角是元，所以直线(2a2-4a)x+(a2-4)y十5a=0的斜 率为an至=1，因此a-4≠0，y=2公红x十 -(a2-4) 5a2 -4), 一(2，、，..2a—4a一=1， -(a2-4) 3d-a-4=05a=-号或a=2会) 答案：昌 9.解析：P1P⊥1， ∴.PP=(3+1,2-0)=(4,2)为所求直线1的一个法 向量，即n=(4,2), 又·直线1过，点(3,1)， 代入直线的点法式方程得4(x一3)十2(y一1)=0. 故所求方程为2x十y-7=0. 答案：2x十y一7=0 0.解析：当2m十m-3=0时m=1或m=-号；当m m=0时，m=0或m=1.要使方程(2m°十m-3)x十 (m一m)y一4m十1=0表示一条直线，则2m十m一3， m一m不能同时为0，所以m≠1. 答案：m≠1 戳距 山.解：1)由点斜式可得直线方程为)-3=-号（十2）. 化为一般式为3x+5y一9=0. (②)由截距式可得直线方程为3十Y=1. 化为一般式为4x一3y+12=0. 12.解：(1)证明：将直线1的方程整理 ag,3) 所以1的斜率为a, 卫造充点A(付号) 0 而点A(付昌)在第一象限，故1 必过第一象限. 3 -0 5 (2)直线OA的斜率为k= -=3. 1 一0 5 因为1不经过第二象限，所以a≥3. 故a的取值范围是[3，十o). 70