新知预览3 直线方程的两点式-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版 全学年）

三022 4 9,解析：由)=3x-4,令x=0,得)=一4 又点D(3,2)在直线BC上，所以吕+品=1， 答案：一4 所以6b+3a=2ab, ② 10.解析：将直线方程化为点斜式得y一3=k(x一2)， 由①②联立得2a2-21a+54=0,即(2a-9)(a-6)=0, .过定点(2,3) 解得a=号或u=6. 答案：(2,3) 2 9 11.解：(1)直线的斜率为k=1an150°=- 3 所以 a=2 或a=6, 9 b=3. 所以由点斜式方程得y一1=一5（红一2. b2 3 即所求直线方程为y-1=-(x-2. 故直战BC的方程为号+号-1或后+音=1 3 即2x+2y-9=0或x+2y-6=0. (2)平行于x轴的直线的斜率k=0,故所求的直线方程 检测评价——诊断落实，素养达标 为y=1. 1.B[若一条直线不与坐标轴平行或重合，则直线必存在斜 (3)过点(2,1)且平行于y轴的直线方程为x=2. 率且不为0，所以可以写成两，点式或斜截式或点斜式；但是 （④)过点2,1）与成(0,0)的直线的斜率质=子故所求的直 此直线有可能过原点，此时不可以写成截距式.] 2.C[因为由点坐标知直线在x轴，y轴上的裁距分别为4， 1 线方程为y=2工. -3,所以直线方程为子+片31.门 12.解：显然，直线1与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设 3.D[因为k,b≠0，由四个选项中的1可知>0，可排除A, 其斜率为k(k≠0)，则直线1的方程为y一3=k(x十2)，令x C:当b<0时，可排除B;当b>0时，选项D符合题意.] =0,得y=2k十3， 令y=0得x=-冬-2 .C[直线二+亡=1在x轴上的我距为a,在y轴上的藏距 于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 为b,若此直线过一、二、三象限，则->0，b>0,所以a< 号k2+3(-2=4 0,b>0.] 即(2+3（是+2）=士8 5A[由两点式方权。=专（知直线1过点（一5 若(2+3)（是+2）=8 0,8,一3所以1的车为-景] 6.CDL若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为y=x 则整理得4k2十4k十9=0，无解。 若(2+3（是+2）=-8 （≠0，又直线过点P(-2,3),所以3=-2，即=-是 3 则整理得4k2+20k十9=0， 所以直线方程为)=-2x,即3x+2)=0: 解之得=一 若直线在坐标轴上的截距不为0，设直线方程为工+义=1 -a 所以直线1的方程为y-3=-号x+2) (a≠0)，又直线过点p(-2,3》,所以二2+3=1，解得a a -a 或y-3= 号+2 -5,所以直线方程为兰5+号=1，即x-y十5=0. 即)=-x+2或y=一号 综上可知，所求直线方程为3x十2y=0或x-y十5=0.] x6. 新知预览3 7.AC[由题意设直线方程为后十立=1或后+片。=1，把 aa a 典例探究—探究学习，素养形成 点(2,1)代入直线方程得2+上=1或2+L=1,解得a -a 变式训练 1A[由方教的两点式可得宝线方程为号（即 =3或a=1,所求直线的方程为号+子-1或千+片 1,即x+y-3=0或x-y-1=0.] 2 8解析：号-吝=1可化为号十兰3=1，所以此直线在y轴上 2.ABC[当直线经过原点时，横、纵截距都为O,符合题意， 的截距为一3. 当直线不经过原点时，设直线方程为臣十方-1 答案：一3 1 4 由题意得a+方=1解得a一3·或{a=5, 解折：代入直线的两点式方粒得号-号坐理得y=十1 1b=3, 1b=5. 答案：y=x十1 (|a=|bl, 综上可知选项A、B、C符合题意.] 10.解析：设直线方程为二+岩=1， a 3.解：由已知得直线BC的斜率存在且不为0. 则=3，.解得a=2,b=3, 设直线BC在x轴上的截距为a,在y轴上的裁距为b. 1a+b=5, 则直线BC的藏距式方程为名+=1. 则直线方程为号+音=1，即3x+2y-6=0. 由题意得a十b=9. ① 答案：3.x+2y-6=0 109 飞曼铁乐限积 0M-= 11.解：如图，由截距式，得AB边所在直线方程 3.D[将3z-2y=4化为是+2=1即得.] 为马十片2-1，即2x十y+2=0,BC边所 在直线方程为号十2=1，即1-y-2 4.B[由点法式方程得6(x-1)+8(y-2)=0,即3x+4y一 11=0.] 0,由两点式，得CD边所在直线方程为 B 5.C[由题意得，此直线斜率为一3，过点(2,0)，点斜式方程 名8-号即2红十y-4=0,AD边所在 为y-0=一3(x-2),即3.x十y-6=0.] 6.BC[l1:y=a.x+b,l2:y=-bx十a,在A中，由l1知a>0,b 直线方教为骨-即一y中1=心 <0,则一b>0,与l,的图象不符：在B中，由l1知a>0,b> 12.解：(1)，直线1过点P(4,1),Q(一1,6)， 0,则一b<0,与l的图象相符；在C中，由l知a<0,b>0, 所以直线1的方程为义二}=工-4」 则一b<0,与l2的图象相符：在D中，由l1知a>0,b>0,则 6-1--1-41 一b0,与1，的图象不符.故选BC.] 即x+y-5=0. 7.CD[设直线方程是4x十3y十d=0,分别令x=0和y=0, (2)由题意知，直线l的斜率存在且不为0， 所以设直线1的斜率为長， 得直线在两坐标轴上的藏距分别是一号、一早所以6= 则其方程为y一1=k(x一4). 令x=0得y=1-4:令y=0,得x=4-是 ×引×引- 所以d=士12.则直线在x轴上的截距为3或一3.] 1-4锁=2（任-日）解得=子或=-2 8.解析：因为直线(2a2-4a)x十(a2-4)y+5a=0的倾斜角 六直线1的方程为y一1=宁红-0或一1=-2红-4)， 是平，所以直线(2a-4a)x+a-4)y十5a=0的斜率为 an至-1，因北。2-4≠0，y=22a 5a2 即y=x或2x+y-9=0. (a-0r+-a-0 新知预览4 2a-4a=1 (a2-4) 知识梳理—自学教材，素养奠基 1.Ax+By+C=0 3a2-4a-4=0,∴a=- 或a=2(含). 3 典例探究一探究学习，素养形成 变式训练 答案：一号 1.解：(1)由直线方程的点斜式得y一3=3(x一5)， 9.解析：PPL1, 即√3x-y-5√3+3=0. ∴.PP=(3+1,2-0)=(4,2)为所求直线1的一个法向量， (2)由斜截式得直线方程为y=4x一2， 即n=(4,2), 即4x-y-2=0. 又：直线1过点(3,1)，代入直线的点法式方程得4(x一3) 由两点我得高-（二分， +2(y-1)=0. 即2x+y-3=0. 故所求方程为2x十y一7=0. 答案：2x+y-7=0 (4)由藏距式得直线方程为3十片=1， 即x+3y+3=0. 10,解析：当2m+m-3=0时，m=1或m=一多：当m2-m 2.解：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为 =0时，m=0或m=1.要使方程(2m+m一3)x十(m 零，所以3一a=0,所以a=3,方程为6x十y=0. m)y-4m+1=0表示一条直线，则2m+m-3,m2-m不 (2)当直线过原点时， 能同时为0，所以m≠1， 该直线在x轴和y轴上的截距为零， 答案：m≠1 所以3一a=0,所以a=3, 11.解：()由点斛式可得直线方程为y一3=-三（红+2. 方程为6.x十y=0: 5 当直线不过原点时，a≠3， 化为一般式为3x+5y-9=0. 尚8--a-3,得a=-2, (2)由藏距式可得直线方程为气十子-1. 方程为x十y+5=0, 化为一般式为4x一3y十12=0. 故所求的方程为6.x十y=0或x+y十5=0. 12.解：(1)证明：将直线l的方程整理为 (3)将l的方程化为y=一(a+3)x十a一3， 要使1不经过第三象限， y-是=a(-吉)所以1的斜率 当且仅当一(a十3)≤0且a一3≥0， 为a, 解得a≥3，故所求a的取值范围为a≥3. 3.解：由直线方程的点法式， 且过定点A(信号) 得-(x+3)+3(y-1)=0. 故所求直线方程为x一3y十6=0. 而点A(行，号)在第一象限，故1必过 检测评价—诊断落实，素养达标 第一象限. 1.C[直线斜率k=-,所以倾斜角为150.] 3一0 3 (2)直线OA的斜率为k= 5 =3. 2.C[直线x十ay-1=0化为斜裁式可得y=- x+,由 1 -0 5 题意可得-上=am45°=1，所以a=-1.] 因为l不经过第二象限，所以a≥3. a 故a的取值范围是[3，十c∞). 110k壑快乐假期 0M-= --ec-----e-- 新知预览3直线方程的两点式 博观而约取，厚积而薄发。 完成日期： 夕 日 ★[学习目标]1.掌握直线方程的两点式的形式，了解其适用范围.2.了解直线方程截距式的形 式，特征及其适用范围。 知识梳理一自学教材，素养奠基 1.直线方程的两点式 2.直线方程的截距式 (1)已知条件：A(x1y1),B(x2y2),其中x1≠ (1)已知条件 x2y1≠y2 在x,y轴上的截距分别为a,b且ab≠0. (2)示意图 (2)示意图 (3)方程 (3)方程 工+义=1 a y一y1=工二L(其中x,≠x2y≠y2） (4)适用范围 y2-y1x2-x1 不与坐标轴平行或重合且不过原点的 (4)适用范围 直线 不与坐标轴平行或重合的直线， 典例探究—探究学习，素养形成 ◆[题型一]直线的两点式方程 所以由两点式得y一2 x-(-3) 3一2 例1在△ABC中，已知A(一3,2)，B(5, -(-3 2 -4),C(0,-2). 即10x+11y+8=0. (1)求BC边所在直线的方程； 故BC边上的中线所在直线的方程为10x+ (2)求BC边上的中线所在直线的方程. 11y+8=0. [解](1)因为BC边过两点B(5,-4), 规律方法求直线的两点式方程的策略以 C(0,-2), 及注意点 所以由两成式得气升一看 (1)适用条件：两点的连线不平行于坐标轴， 即2x+5y+10=0. 若满足，则考虑用两点式求方程. 故BC边所在直线的方程为2x+5y十10 (2)差的顺序性：一般用两点式求直线方程时 =0. 常会将字母或数字的顺序错位而导致错 (2)设BC的中点为D(xo,yo), 误，在记忆和使用两点式方程时，必须注 则= 一3 意坐标的对应关系. 2 [提醒]已知两点坐标，求过这两点的直线方 所以D号-3： 程也可以先求斜率，再代入，点斜式得到直线的 又BC边上的中线经过点A(一3,2) 方程. 76 三022 高一数类恐) [变式训练] ◆[题型三] 直线的截距式方程的应用 1.经过点A(-3,2),B(4,4)的直线的两点式 例3 直线过点P信2且与x轴轴的正 方程为 A.y2-=x十3 半轴分别交于A,B两点，O为坐标原点，是 2 号- 7 否存在这样的直线分别满足下列条件： C.y+2=x-3 (1)△AOB的周长为12； 2 D.y-2=2 7 x十3=7 (2)△AOB的面积为6. ◆[题型二]直线的截距式方程 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明 例2 求过点A(5,2),且在x轴上的截距 理由。 是y轴上截距的2倍的直线方程。 [解](1)当直线1在两坐标轴上的截距为0 [解](1)存在.设直线方程为若+岩-1a 时，方程为y—号，即2x一5y=0,适合题意。 >0,b>0), 由题意可知，a十b+√a+b=12. ① (2)当直线L在两坐标轴上的截距均不为0 时，可设方程为后十这=1，又1过点(5,2， 又网为定线这点P信 "a 所以4十 2 所以+吕-1，解释a=景所以1的方教 3a 一1， ② 由①②可得5a2-32a+48=0, 为x+2y-9=0. 12 a= 综上所述，直线l的方程是2x一5y=0或x 5 解得 或 +2y-9=0. b=3 9 b一2 规律方法利用截距式求直线方程的策略 及注意点 所以所求直线的方程为票十号-1或登十 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可 2y=1, 考虑选用截距式求直线方程，用待定系数 法确定其系数即可. 即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0. (2)选用截距式求直线方程时，必须首先考虑 (2)存在.设直线方程为若+若=1(a>0,b a 直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂 >0), 直.如果题中出现直线在两坐标轴上的 [ab=12, “截距相等”“截距互为相反数”等条件时， 由题意可知 采用截距式求直线方程，要注意考虑“零 +=1 截距”的情况， 1a=2, 解得 4, 或 [变式训练] b=3, b=6. 2.（多选)过点P(1,4)且在x轴，y轴上的截 所以所求直线的方程为十兰=1或 4 距的绝对值相等的直线方程为 ( ) A.y=4x B.y=x+3 +=1 C.y=-x+5 D.y=-x-4 即3x+4y-12=0或3x+y-6=0. 77 化是快乐暇期 0M-= 规律方法直线方程与三角形的面积、周长 [变式训练] 之间的关系 3.已知线段BC的中点为D3,》若线段 解决直线与坐标轴围成的三角形面积或 BC所在直线在两坐标轴上的截距之和是 9,求BC所在直线的方程. 周长问题时，一般选择直线方程的截距式，若 设直线在x轴，y轴上的截距分别为a,b,则 直线与坐标轴所围成的三角形面积为S= 是a1,周长=1a+o+a+. 检测评价——诊断落实，素养达标 一 、选择题 5.已知直线1的两点式方程为y。二0 -3-0 1.一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的 3--引，则1的斜率为 x-(-5) 方程 ( A.可以写成两点式或截距式 A.一8 B.可以写成两点式或斜截式或点斜式 C.可以写成点斜式或截距式 c-号 D.2 D.可以写成两点式或截距式或斜截式或点 6.（多选)过点P(一2,3)，并且在两坐标轴上 的截距互为相反数的直线方程是() 斜式 A.x-y+1=0 2.经过P(4,0),Q(0,一3)两点的直线方程是 B.x+y+1=0 ) C.x-y+5=0 A+-1 B+￥=1 D.3x+2y=0 7.(多选)经过点(2,1)，且与两坐标轴围成等 D.若-￥=l 腰直角三角形的直线方程可以是( A.x+y-3=0 3.直线4：y=x十，直线：爱+若-1(，6 B.x+y+3=0 C.x-y-1=0 ≠0)在同一坐标系中的图象可能是( D.x-y+1=0 头兴米 二、填空题 8.直线号一岩-1在y轴上的截距为 4.直线工+义=1过一、二、三象限，则( 9.过坐标平面内两点(1,2)和(3,4)的直线的 a b 方程为 A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 10.过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 5的直线方程是 78 三022 一效学都 三、解答题 12.已知直线1过点P(4,1). 11.四边形ABCD的顶点A(一1,0)，B(0, (1)若直线1过点Q(一1,6)，求直线1 一2)，C(2,0),D(1,2),求这个四边形四条 的方程： 边所在的直线方程， (2)若直线L在y轴上的截距是在x轴上 的截距的2倍，求直线1的方程. 79