新知预览1 一次函数的图象与直线的方程及直线的倾斜角、斜率及其关系-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版）

第二部分 青春须早为一 新知预览 新知预览1一次函数的图象与直线的方程及 学不可以已。 直线的倾斜角、斜率及其关系 完成日期： 夕 日 ★[学习目标]1.理解一次函数的图象与直线方程的关系.2.在平面直角坐标系中，结合 具体图形，探索确定直线位置的几何要素.3.理解直线的倾斜角和斜率的概念，理解直线的 方向向量与直线的倾斜角、斜率的关系，掌握过两点的直线斜率的计算公式， 知识梳理—一自学教材，素养奠基 1.一次函数的图象与直线的方程 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线1的斜率. 一般地，一次函数y=x十b(k≠0)的图 常用斜率来表示直线的倾斜程度 象是一条直线，它是以满足y=kx十b的 4.直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 每一对x,y的值为坐标的点构成的.同 (1)倾斜角不是的直线，它的斜率飞和它 时函数解析式y=k.x十b可以看作二元 一次方程. 的颜斜角a满足友=ana个其中a≠引： 2.直线的确定及直线的倾斜角 (2)在直线1上任取两个不同的点P(x1,y), (1)直线的确定：在平面直角坐标系中，确 定直线位置的几何条件是：已知直线上 P,(2,2),则有关系k=二y=tanQ x2-x1 的 和这条直线的 (其中x1≠x2); (2)直线的倾斜角： (3)若是直线1的斜率，则v=(1,k)是它 ①定义：在平面直角坐标系中，对于一 的一个方向向量；若直线1的一个方向 条与x轴相交的直线l,把 向量的坐标为(x,y),其中x≠0，则它的 按 方向绕着交点旋 斜率k=义 转到和直线1首次重合时所成的角，称 5.斜率与倾斜角的对应关系 为直线l的倾斜角，通常倾斜角用α表 示.当直线1与x轴平行或重合时，规定 它的倾斜角为0. 图示 0 ②范围： 3.直线的斜率 倾斜角 在直线1上任取两个不同的点P,(x1, a=0 (范围) 0<a<受 a-2 y1),P2(x2y2)记△x=x2-x1(△x≠0)， 斜率 △y=一，则=A义的大小与两点 k=0 k>0 不存在 k<0 (范围) P,,P2在直线上的位置无关，称k k的增 k随a的增 k随a的增 2一y1(其中x,≠x2)为经过不同两点 减情况 大而增大 大而增大 x2一x1 38 -0022 盒一数学) 典例探究—一探究学习，素养形成 ◆[题型一]直线的倾斜角 ◆[题型二]直线斜率的计算 例1 设直线1过坐标原点，它的倾斜角为 例2 经过下列两点的直线的斜率是否存 α，如果将1绕坐标原点按逆时针方向旋 在？如果存在，求其斜率，并确定直线的 转45°，得到直线11，那么11的倾斜角为 倾斜角α. (1)A(2,3),B(4,5); A.a+45 B.a-135° (2)C(-2,3),D(2,-1); C.135°-a (3)P(-3,1),Q(-3,10) D.当0°≤a<135°时，倾斜角为α+45°； [解](1)存在，直线AB的斜率kB= 当135°≤a<180°时，倾斜角为α-135° [解析]D[根据题意，画出图形，如图 含1 所示： 即tana=1,又0°≤a<180°， 所以倾斜角α=45° 159 (2)存在.直线CD的斜率kD -1-3 因为0°≤a<180°，显然A,B,C未分类讨 =2-(-2) 论，均不全面，不合题意，通过画图可知： =-1, 当0°≤a<135°时，l1的倾斜角为α+45°； 即tana=-1,又0°≤a<180°， 当135°≤a<180°时，l1的倾斜角为45°+ 所以倾斜角a=135°. a-180°=a-135°.故选D.] (3)不存在.因为xp=xQ=一3， 规律方法求直线的倾斜角的关注点 所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其 =90°. 关键是根据题意画出图形，找准倾斜 角，有时要根据情况分类讨论. 规律方法应用斜率公式求斜率应注意 (2)结合图形求角时，应注意平面几何知识 的问题 的应用，如三角形内角和定理及其有关 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”,即直 推论 线不与x轴垂直，因为当直线与x轴 [变式训练] 垂直时，斜率是不存在的. 1.图中α能表示直线l的倾斜角的是( (2)斜率公式与两点P1,P2的先后顺序无 关，也就是说公式中的x1与x2,y1与 y2可以同时交换位置. 39 火曼快乐假期 0M-= [变式训练] [变式训练] 2.经过两点A(一1，√5)，B(2,4√3)的直线 3.直线1过点P(1,0),且与以A(2,1), 的斜率为 ,倾斜角为 B(0,√3)为端点的线段有公共点，求直线 ◆[题型三]直线的倾斜角及斜率的应用 1的斜率的范围和倾斜角的范围. 例3若经过两点A(2,1),B(1,m)的直线l的 倾斜角为锐角，则的取值范围是（) A.(-∞，1)B.（-1,+∞) C.(-1,1) D.(-∞，-1)U(1,+∞) [解析]C[因为直线1的倾斜角为锐 角，所以斜率=m二)>0，所以一1<m 1-2 <1.] 规律方法解与斜率、倾斜角有关的参数 问题时应牢记斜率公式。 检测评价 一诊断落实，素养达标 一、选择题 4.若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为 1.直线x=1的倾斜角和斜率分别是 ( A.3 B.-√5 D.-③ A.45°，1 B.135°，-1 5.已知A(2,3),B(-3,-2),若直线1过点 C.90°，不存在 D.180°，不存在 P(1,1)与线段AB有公共点，则直线1的 2.过两点A(4,y),B(2,一3)的直线的倾斜 斜率的取值范围是 ( 角为45°，则y= A.3 A.≥3 B.3≤k≤2 4 4 2 C.-1 D.1 C≤或k≥2 D.k≤2 3.直线1经过第二、四象限，则直线1的倾 6.（多选)下列说法中，正确的是 斜角的范围是 ( A.直线的倾斜角为α，则此直线的斜率 A.0°≤a<90 B.90°≤a<180° 为tana C.90°<a<180 D.0°<a<180° B.一条直线的倾斜角为一30 40 三022 富一数学) C.若直线的倾斜角为a,则sina≥0 (2)(4,4),(4,5); D.任意直线都有倾斜角a,且a≠90°时， 斜率为tana 7.(多选)直线11的倾斜角为α，l⊥l2,则直 线2的倾斜角可能为 () A.90°-a B.90°+a C.|90°-al D.180°-a 二、填空题 8.经过A(2,0),B(0,一1)两点的直线的方 (3)(m,23m+3),(2m-1,3√3m)(m 向向量为(1，k).则k= ≠1). 9.已知三点A(-3,-1),B(0,2),C(m,4) 在同一条直线上，则实数的值为 10.已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角 形OAB的直角顶点，点A在第一象限， ∠AOy=15°，则斜边AB的斜率为 三、解答题 11.求经过下列两点的直线的斜率，并判断 12.已知A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4), 其倾斜角是锐角、直角还是钝角」 直线AC的斜率等于直线BC的斜率的 (1)(-3,5),(0,2); 3倍，求m的值. 41快乐假期 [第二部分]新知预览1 知识梳理一自学教材，素养奠基 2.(1)一个点方向(2)①x轴（正方向）逆时针 ②[0，π) 典例探究—探究学习，素养形成 变式训练 1.A[结合直线1的倾斜角的定义可知A可以.] 2.解析：设此直线的倾斜角为a,则1anQ=k=5一尽 2-(-1) √3.因为0°≤a<180°，所以a=60° 答案：√360° 3解：如国所示，周为k如21 3-0=一5， k即=0-1 所以k∈（一∞，一√3]U[1,十o), 0 所以45°a120°. 检测评价—诊断落实，素养达标 1.C[根据题意，作出图象，可知C选 项正确.门 x=1 2.C[an45=e=浩即浩多-1，所以y=-1.] 3.C[直线倾斜角的取值范围是0°a<180°，又直线l经 过第二、四象限，所以直线1的倾斜角的范围是90°<a 180°.1 4.A[因为直线的斜率k和倾斜角a的关系是 k=tana(a≠90)，所以当倾斜角为60°时， 对应的斜率k=tan60°=√3.] 因为直线I过点P(1,1)与线段AB有公共点，则直线l 的斛率的取值范国是k≤或>2.故选C] 6.CD[根据题意，依次分析选项：对于A,直线的倾斜角 为a,当a=90°时，斜率不存在，A错误；对于B,直线的倾 斜角的范围为[0，π)，B错误；对于C,直线的倾斜角a的 范围为[0，π)，则有sina≥0，C正确：对于D,任意直线都 有倾斜角a,且a≠90°时，斜率为tana,D正确，门 7.ABC[(1)当a=0时，l,的倾斜角为90°，（如图1） (2)当0°<a<90°时，l,的倾斜角为90°十a.(如图2) (3)当a=90°时，l2的倾斜角为0°.（如图3） (4)当90°<a<180°时，l2的倾斜角为a-90°.（如图4） 2 y L 0 0 图1 图2 图3 图4 8.解析：因为A(2,0),B(0,一1)， 所以AB=(-2,-1D,所以k三号号 .1 答案： 9.解析：因为A,B,C三，点在同一条直线上， 所以e=a所以后二动-品 所以m=2. 答案：2 68 10.解析：如图，设直线AB与x轴 的交点为C, 则∠AC0=180°一∠A一 ∠A0C=180°-45°-105C --B 15° =30° 所以ks=1an30°= 3 答案写 2-5 1.解：1)h=0-3)=-1<0,倾斜角为钝角. (2)k不存在，倾斜角为直角· 8)=33m-（25m+B=Bm=5=V3>0,倾斜 (2m-1)-m m-1 角为锐角。 12.解：由题意可知直线AC的斜率存在，即m≠一1. 所以e=+2P m+1 所以-m+3）-4=3.gm-1）=4 m+1 2-(-1) 整理得-m-1=(m-5)(m+1),即(m+1)(m-4)= 0,所以m=4或m=一1（舍去），所以m=4. 新知预览2 知识梳理一自学教材，素养奠基 1.每一点2.y-y。=k(x-xo)y=kx十b 典例探究—一探究学习，素养形成 变式训练 1.(1)A[直线1的斜率k=tan45°=1， ∴.直线1的方程为y十3=x-2.] (2)C[直线方程y十2=一x一1可化为y一（一2） =-[x-(-1)],故直线经过点(-1，一2)，斜率为-1.] 2.(1)D[直线的倾斜角为60°，则其斜率为√3，利用斜截 式得y=√3x-2.] (2)解析：直线y=3x一2的斜率为3，在y轴上的截距 为一2. 答案：3一2 3.解：依题意直线的斜率存在，设为k, 直线方程为y一3=k(x十2)， 令x=0得纵截距为y=2k十3. 令y=0得楼藏距为2=一是-2。 你题意得，26十3=一是-2 解得=一号或及=-1， 所以直线方程为y=-子：或y=一x十1。 检测评价——诊断落实，素养达标 1.D[因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直 线，所以y一y。=(x一x。)不能表示与x轴垂直的直线， 故选D.门 2.A[直线的斜率为k=tan120°=-√3. ∴直线的斜截式方程为y=一√5x十2.] 3.A[已知直线的点斜式方程为y一2=(x一3)，所以直 线过定点(3,2). 4.C[由y-b=2(x-a),得y=2x一2a十b,故在y轴上 的截距为b一2a.] 5.D[对于A,由1得a>0,b<0,而由l2得a>0,b>0, 矛盾；对于B,由l1得a<0,b>0,而由l2得a>0,b>0, 矛盾；对于C,由11得a>0,b<0,而由l2得a<0,b>0, 矛盾；对于D,由l1得a>0,b>0,而由l2得a>0,b>0. 故选D.] 6.BC[对于A,将(W3,-2)代入1：W3x-y-1=0,可知不 满足方程，故A不正确；对于B,由√3x一y一1=0，可得y =√3x一1，所以k=3,故B正确；对于C,由k=√3，即