新知预览1 一次函数的图象与直线的方程及直线的倾斜角、斜率及其关系-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版 全学年）

三0022 在直角三角形EBG中，BG=OM=5,EB=√EG+BG= √（√39）2+5=8， 又因为EF=AB-5-5=25-5-5=15, 所有棱长之和为2×25+2×10+15+4×8=117m.] 10.解析：当m⊥a,m⊥n时，有n∥a或nCa,∴.当n⊥3时，a⊥3，即 ①③④→②.或当aLB,mLa时，有m∥B或mCB,.当n⊥B 时m⊥n,即②③④→①. 答案：①③④→②（或②③④→①） 11.解：(1)因为AB=BC=2,所以BE⊥AC,又因为是直三棱 柱ABC-AB1C1,不妨设AC=2a, 因为BF⊥A1B,, 所以BF⊥AB,连接AF, E,F分别为AC和CC,的中点，则 AF=BE+AB2. →4a2+1=5+4→a2=2→a=V2, 所以BE=√BC-EC=√2， 所以Vm=Saa·C=子× 】×2×2×1= (2)连接AE,取BC中点为H,A D 连接EH,BH, 因为E,H分别为AC,BC的中 点，所以EH∥AB, 又因为A1B:∥AB,所以AB:∥ EH,所以AEHB1共面， 易知DEC平面A1EHB, 易知△FCB≌△HBB,,所以BF ⊥HB1, 又因为BF⊥AB,且AB,∩HB,=B, 所以BF⊥平面A,EHB,,所以BF⊥DE 12.(1)解：证明由已知可得，∠BAC=90°， 即BA⊥AC.又BA⊥AD,AD∩AC=A,AD, ACC平面ACD, 所以AB⊥平面ACD. 又ABC平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC (2)由已知可得，DC= D CM=AB=3, DA=3√2. 又BP=DQ=号DA, p 所以BP=2√2. 如图，过点Q作QE⊥ AC,垂足为E,则QE∥DC且QE=子DC 由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC, 所以QEL平面ABC,QE=1. 因为，三棱锥Q一ABP的体积为 V,Am=子xSo4rXQE =×号×8x2sm46×1=1. 新题快递 1.C[取AB的中点E,连接CE, DA DE,因为△ABC是等腰直角三 角形，且AB为斜边，则有CE ⊥AB, 又△ABD是等边三角形，则DE ⊥AB,从而∠CED为二面角C A 一AB一D的平面角，即∠CED =150°， 显然CE∩DE=E,CE,DEC平 10 高一数学) 面CDE,于是AB⊥平面CDE,又ABC平面ABC, 因此平面CDE⊥平面ABC,显然平面CDE∩平面ABC =CE, 直线CDC平面CDE,则直线CD在平面ABC内的射影为 直线CE, 从而∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令AB=2, 则CE=1,DE=√3，在△CDE中，由余弦定理得： CD=√CE+DE-2CE·DEcos.∠CED /1+3-2×1××-}=. -2 DE CD 由正孩定理sn∠DCE-sin/CED' 得sin∠DCE=5sin150°=5 分 27 显然∠DCE是锐角，cos∠DCE=√1-sin∠DCE= 、5 (272√7 所以直线CD与平西ABC所成的角的正切为怎] 2.解析：因为PA⊥平面ABC,PAC平面PAC,所以平面PAC ⊥平面ABC. 过，点B作BD⊥AC于点D,过点D作DE⊥PC于点E,连 接BE. 因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC BDC平面ABC, 所以BD⊥平面PAC.因为PCC平面PAC,所以BD⊥PC. 因为DE⊥PC,BD∩DE=D,BD,DEC平面BDE,所以PC ⊥平面BDE.因为BEC平面BDE,所以PC⊥BE, 所以二面角A一PC一B的平面角为∠BED 因为AB⊥BC,且PA=AB=1,BCP =√2，PA⊥平面ABC,所以PB= √2，AC=V3,PC=2,PB⊥BC.又因 为BE⊥PC,所以E为PC的中点， 所以BE=1. 由等面积法得BD=E, 3 因为BDL手面PAC片以s∠BED器=9 所以二面角A-PC-B的正孩值为 3 答案9 [第二部分]新知预览1 知识梳理一自学教材，素养奠基 2.(1)一个点方向(2)①x轴（正方向）逆时针②[0，π) 典例探究—探究学习，素养形成 变式训练 1.A[结合直线1的倾斜角的定义可知A可以.] 2解析：说免直线的候外扇力e,期me==二-反 因为0°≤a<180°，所以a=60°. 答案：W360 1-0=1, 3.解：如图所示.因为k加=21 所以k∈（一o,一3]U[1,+o), 所以45°≤a120° 飞壁快乐假期 检测评价一诊断落实，素养达标 1.C[根据题意，作出图象，可知C选项正确.] y 0 x=1 2.C[an45=e=法中各=1，所以y=-1.] 3.C[直线倾斜角的取值范围是0°≤a<180°，又直线l经过 第二、四象限，所以直线1的倾斜角的范围是90°<a <180°.7 4.A[因为直线的斜率k和倾斜角a的关系是=tana(a≠ 90°)，所以当倾斜角为60°时，对应的斜率k=tan60°=√3.] ck-226m=名 因为直线1过点P(1,1)与线段AB有公共点，则直线1的斜 率的取值范国是≤号或>2.故选C] 6.CD[根据题意，依次分析选项：对于A,直线的倾斜角为Q, 当a=90°时，斜率不存在，A错误；对于B,直线的倾斜角的 范围为[0，π)，B错误；对于C,直线的倾斜角a的范围为 [0,π)，则有sina≥0，C正确；对于D,任意直线都有倾斜角 a,且a≠90°时，斜率为tana,D正确.] 7.ABC[(1)当a=0°时，l2的倾斜角为90°，（如图1） (2)当0°<a<90°时，l2的倾斜角为90°十a.(如图2) (3)当α=90°时，l,的倾斜角为0°.（如图3） (4)当90°<a<180°时，l2的倾斜角为a一90°.（如图4） y12 Ay L -1 0 0 0 0 图1 图2 图3 图4 8.解析：因为A(2,0),B(0,一1)， 所以店=(-2-1，所以质=号合 1 答案：之 9.解析：因为A,B,C三点在同一条直线上， 所以是一：所以号二昌 所以m=2. 答案：2 10.解析：如图，设直线AB与x轴的交 点为C, 则∠AC0=180°-∠A-∠AOC= 5 180°-45°-105°=30°， C 所以a=an0=g 答 2-5 1.解：1)k=0-（3=-1<0,倾斜角为纯角； (2)k不存在，倾斜角为直角； （3)=35m(25m+B=5m-5=5>0,领斜角 (2m-1)-m m-1 为锐角。 12.解：由题意可知直线AC的斜率存在，即m≠一1. 所以6x=二》6x=g号 m+1 --c-00A= 所以-m+3）-4=3.m-1)=4 m+1 2-(-1)1 整理得一m一1=(m一5)(m十1)，即(m十1)(m一4)=0，所 以m=4或m=一1（舍去），所以m=4. 新知预览2 知识梳理—一自学教材，素养奠基 1,每一点2.y-y=k(x-x0)y=kx十b 典例探究—探究学习，素养形成 变式训练 1.(1)A[:直线1的斜率k=tan45°=1， .直线1的方程为y十3=x-2.] (2)C[直线方程y十2=-x-1可化为y-(-2)=-[x一 (一1)]，故直线经过点（一1，一2），斜率为一1.] 2.(1)D[直线的倾斜角为60°，则其斜率为√3，利用斜截式得 y=3x-2.] (2)解析：直线y=3x一2的斜率为3，在y轴上的截距为一2. 答案：3一2 3.解：依题意直线的斜率存在，设为， 直线方程为y-3=k(x十2)， 令x=0得纵截距为y=2k十3. 令y=0得横浅矩为=一冬-2 依题意得2+3=-是-2， 解得6=一号或6=一1， 所以直线方程为y=-是x或y=-x十1 检测评价一诊断落实，素养达标 1.D[因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线， 所以y一y。=k(x一x。)不能表示与x轴垂直的直线，故 选D.] 2.A[直线的斜率为k=tan120°=-√3. 直线的斜藏式方程为y=一√3.x十2.] 3.A[已知直线的点斜式方程为y一2=k(x一3)，所以直线 过定点(3,2).] 4.C[由y-b=2(x-a),得y=2x-2a十b,故在y轴上的裁 距为b-2a.] 5.D[对于A,由l1得a>0,b<0,而由l,得a>0,b>0,矛 盾；对于B,由l1得a<0,b>0,而由l,得a>0,b>0,矛盾： 对于C,由l1得a>0,b<0,而由l2得a<0,b>0,矛盾；对于 D,由l1得a>0,b>0,而由l2得a>0,b>0.故选D.] 6.BC[对于A,将(3，-2)代入1：W3x一y一1=0，可知不满 足方程，故A不正确：对于B,由5x一y一1=0，可得y=√3x 一1，所以k=√3，故B正确；对于C,由k=√3，即tana=√3， 可得直线倾斜角为60°，故C正确：对于D,由√3x一y一1= 0,可得y=√3x一1，直线在y轴上的截距为一1，故D不正 确.故选BC. 乙BC[对于A,方程气，表示不过(-1,2)的直线，故与 方程y一2=k(x十1)表示不同直线，错误；对于B,直线（过 点P(工以)，倾斜角为，则其斜率不存在，直线垂直于工 轴，正确：对于C,因为斜率为0，故方程为y=y1,显然正确；对 于D,所有直线都有点斜式和斜截式方程，是不对的，比如斜率 不存在的直线就没有点斜式方程，故D不正确.故选BC.] 8.解析：由直线的点斜式方程可得y十3=4(x一2)， 即y=4x11. 答案：y=4.x-11 8三0022 高一数) 第二部分 青春须早为一新知预览 新知预览1一次函数的图象与直线的方程及 学不可以已。 直线的倾斜角、斜率及其关系 完成日期： 月 日 ★[学习目标]1.理解一次函数的图象与直线方程的关系.2.在平面直角坐标系中，结合具体图 形，探索确定直线位置的几何要素.3.理解直线的倾斜角和斜率的概念，理解直线的方向向量与 直线的倾斜角、斜率的关系，掌握过两，点的直线斜率的计算公式. 知识梳理—自学教材，素养奠基 1.一次函数的图象与直线的方程 的直线1的斜率.常用斜率来表示直线的倾 一般地，一次函数y=x+b(k≠0)的图象 斜程度 是一条直线，它是以满足y=kx十b的每一 4.直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 对x,y的值为坐标的点构成的.同时函数解 (1)倾斜角不是罗的直线，它的斜率及和它 析式y=kx十b可以看作二元一次方程 2.直线的确定及直线的倾斜角 的倾斜角a清足为=1ana其中a≠引： (1)直线的确定：在平面直角坐标系中，确定 (2)在直线1上任取两个不同的点P,（x1, 直线位置的几何条件是：已知直线上的 和这条直线的 y1),P,(x2y2),则有关系=一 x2-x1 (2)直线的倾斜角： tana(其中x1≠x2); ①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 (3)若是直线1的斜率，则v=(1,)是它 x轴相交的直线1，把 按 的一个方向向量；若直线1的一个方向向量 方向绕着交点旋转到和直线1 的坐标为(x,y),其中x≠0，则它的斜 首次重合时所成的角，称为直线1的倾斜 率k=义 x 角，通常倾斜角用α表示.当直线1与x轴 5.斜率与倾斜角的对应关系 平行或重合时，规定它的倾斜角为0. ②范围： y 图示 3.直线的斜率 在直线1上任取两个不同的点P,（x1,y1), 倾斜角 P2(x2y2)记△x=x2-x1(△x≠0)，△y=y2 &=0 (范围) 0Ka< 2 一，则k=A义的大小与两点P1,P,在直 斜率 △ k=0 k>0 不存在 k<0 (范围) 线上的位置无关，称=2二出（其中x,≠ k的增 k随a的增 k随&的增 x2-x1 减情况 大而增大 大而增大 x2)为经过不同两点P1（x1,y1),P2（x2,y2) 69 快乐假期 典例探究—探究学习，素养形成 ◆[题型一]直线的倾斜角 ◆[题型二]直线斜率的计算 例1设直线1过坐标原点，它的倾斜角为α， 例2 经过下列两点的直线的斜率是否存在？ 如果将1绕坐标原点按逆时针方向旋转 如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜 45°，得到直线1，那么乙的倾斜角为() 角a. A.a+45° (1)A(2,3),B(4,5); B.a-135° (2)C(-2,3),D(2,-1) C.135°-a (3)P(-3,1),Q(-3,10). D.当0°≤a<135°时，倾斜角为a+45°；当 135°≤α<180时，倾斜角为a-135 [解（1)存在，直线AB的斜率8= [解析]D[根据题意，画出图形，如图 =1, 所示： 即tana=1,又0°≤a<180°，所以倾斜角a =45°. (2)存在.直线CD的斜率km=2-（-2 -1-3 =-1, 因为0°≤α<180°，显然A,B,C未分类讨 即tana=-1,又0°≤a<180°， 论，均不全面，不合题意，通过画图可知： 所以倾斜角α=135°. 当0°≤a<135°时，l1的倾斜角为a+45°； (3)不存在.因为xp=xQ=一3， 当135°≤a<180°时，l1的倾斜角为45°+a 所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α -180°=a-135°.故选D.] =90°. 规律方法求直线的倾斜角的关注点 规律方法应用斜率公式求斜率应注意的 (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关 键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有 问题 时要根据情况分类讨论. (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”,即直线 (2)结合图形求角时，应注意平面几何知识的 不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直 应用，如三角形内角和定理及其有关 时，斜率是不存在的. 推论 (2)斜率公式与两点P1,P2的先后顺序无关， [变式训练] 也就是说公式中的x1与x2,y1与y2可 1.图中α能表示直线1的倾斜角的是( 以同时交换位置 [变式训练] 2.经过两点A(一1，√3)，B(2,4√3)的直线的 斜率为 ,倾斜角为 70 三0022 高一数学， ◆[题型三]直线的倾斜角及斜率的应用 [变式训练] 例3若经过两点A(2,1),B(1,m)的直线1的 3.直线1过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0, 倾斜角为锐角，则m的取值范围是 ( √3)为端点的线段有公共点，求直线1的斜 A.(-∞，1)B.(-1,+∞) 率的范围和倾斜角的范围 C.(-1,1)D.(-o∞，-1)U(1,+∞) [解析]C[因为直线1的倾斜角为锐角， 所以斜率2>0，所以-1<m<1.门 规律方法解与斜率、倾斜角有关的参数问 题时应牢记斜率公式 检测评价——诊断落实，素养达标 一、选择题 6.（多选)下列说法中，正确的是 1.直线x=1的倾斜角和斜率分别是( A.直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为 A.45°，1 B.135°，-1 tan a C.90°，不存在 D.180°，不存在 B.一条直线的倾斜角为一30 2.过两点A(4,y),B(2,一3)的直线的倾斜角 C.若直线的倾斜角为a,则sina≥0 为45°，则y= ( ) D.任意直线都有倾斜角a,且α≠90°时，斜 率为tana C.-1 D.1 7.(多选)直线11的倾斜角为a,l1⊥l2,则直线 3.直线1经过第二、四象限，则直线1的倾斜角 12的倾斜角可能为 () 的范围是 ) A.90°-a B.90°+a A.0°≤a<90 B.90°≤a<180° C.90°<a<180° D.0°<a<180° C.190°-al D.180°-a 4.若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为 二、填空题 ( 8.经过A(2,0),B(0,一1)两点的直线的方向 A.5 B.-3 c D.- 向量为(1，k).则k= 9.已知三点A(-3,-1),B(0,2),C(m,4)在 5.已知A(2,3),B(-3,-2),若直线1过点 P(1,1)与线段AB有公共点，则直线1的斜 同一条直线上，则实数m的值为 率的取值范围是 ( 10.已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形 A≥ B.2 OAB的直角顶点，点A在第一象限， ∠AOy=15°，则斜边AB的斜率为 C.k<子或≥2 D.k≤2 化坐快乐暖期 ..-S0MA□ 三、解答题 12.已知A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4), 11.求经过下列两点的直线的斜率，并判断其 直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍， 倾斜角是锐角、直角还是钝角. 求m的值. (1)(-3,5),(0,2); (2)(4,4),(4,5); (3)(m,2√3m+√3)，(2m-1,3√3m)(m≠1). 72