新知预览4 直线方程的一般式与直线方程的点法式-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版）

快乐假期 新知预览4直线方程的一般式与直线 行成于思，而毁于随。 方程的点法式 完成日期： 月」 日 ★[学习目标]1.了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次 方程的关系，能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化，能运用直线的一 般式方程解决有关问题，2.了解直线方程的点法式方程，会利用它求直线的方程. 知识梳理一自学教材，素养奠基 1.直线的一般式方程 2.直线方程的点法式 (1)定义：关于x,y的二元一次方程 (1)直线的法向量：与直线的方向向量垂直 (其中A,B不全为0)，表示 的向量称为直线的法向量。 的是一条直线，称它为直线方程的一 (2)定义：已知直线1经过点P(xo,yo),且 般式. 它的一个法向量为n=(A,B). (2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一 直线1的方程为A(x一x。)十B(y一y) 条直线都可用一般式表示 =0,称这个方程为直线方程的点法式. 典例探究—探究学习，素养形成 ◆[题型一] 直线的一般式方程 (1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时， 例1 根据下列条件分别写出直线方程，并 选用点斜式； 化成一般式： (2)已知直线的斜率和在y轴上的截距 时，选用斜截式； 1)斜率是经过点A8,-2》: (3)已知直线上两点坐标时，选用两点式； (2)经过点B(一2,0)，且与x轴垂直； (4)已知直线在x轴，y轴上的截距时，选 用载距式。 (3)斜率为一4，在y轴上的截距为7； [变式训练] (4)经过点A(一1,8)，B(4,一2). 1.根据下列条件分别写出直线的方程，并 [解]1)由点斜式，符y十2=5(-8》， 化为一般式方程， 3 (1)斜率是√3，且经过点A(5,3); 化成一般式，得√3x-3y一8√3一6=0. (2)斜率为4，在y轴上的截距为一2； (2)直线方程为x=一2，即x十2=0. (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点； (3)由斜截式，得y=一4x十7， (4)在x轴，y轴上的截距分别为一3，一1. 化成一般式为4x十y-7=0. 0向两这式得。-二》 化成一般式为2x+y-6=0. 规律方法根据已知条件求直线方程的 解题策略 在求直线方程时，设一般式方程并不 简单，常用的还是根据给定条件选用四种 特殊形式之一求方程再化为一般式方程， 一般选用规律为： 48 三-0022 高一数学 ◆[题型二] 与含参数的一般式方程有关 (2)若1在两坐标轴上的截距相等，求1 的问题 的方程； 例2 设直线1的方程为(m2一2m-3)x (2m2+m-1)y+6-2m=0. (1)已知直线1在x轴上的截距为一3，求 m的值； (2)已知直线1的斜率为1，求m的值. [解](1)令y=0,则x= 2m-6 (3)若l不经过第三象限，求实数a的取 m2-2m-3 值范围. 所以 2m-6 m2-2m-3 =一3，解得m=一 m=3(舍去). 所以m=一 3 (2)由直线1化为斜截式方程得 J= m2-2m-3 6-2m 2m2+m-i+ m2+m-1’ 则m2m-3-1,解得m=一2或m ◆[题型三]直线的点法式方程 2m2+m-1 -1(舍去). 例3写出下列直线经过的一个点和直线 所以m=一2， 的一个法向量及方向向量： (1)(x+1)-2(y-4)=0; 规律方法 已知含参的直线的一般式 (2)-(x-3)+4(y+2)=0. 方程 [解](1)直线(x+1)-2(y-4)=0经 求参数的值或取值范围的步骤 过点(-1,4)，一个法向量是（1，-2)，一 审 个方向向量是（一2，一1）. 明条件 明确参数个数，x项、y项的系数及常数项 (2)直线-(x一3)+4(y+2)=0经过点 (1)A,B不同时为0 (3,一2)，一个法向量是（-1,4)，一个方 〈列式子 依 (2)斜率-合(B≠0) 向向量是(4,1) 据 (3)在x轴上的截距- A （4)在y轴上的截距 规律方法利用直线的点法式方程 求直线的方程关键的问题是通过垂直关系 求值 结解方程或不等式求值，检验是否符合题意， 求解直线的法向量，再有直线上的一个点 检验 论得出参数的值（范围） 即可代入方程求解， [变式训练] [变式训练] 2.设直线l的方程为(a十3)x+y+3一a= 3.求过点P(-3,1)且与向量n=(-1,3) 0(a∈R). 垂直的直线方程. (1)若1在两坐标轴上的截距均为0，求1 的方程； 49 快乐假期 900= 检测评价——诊断落实，素养达标 一 、选择题 10.若方程(2m2十m-3)x+(m2-m)y 1.在直角坐标系中，直线x+√3y一3=0的 4m+1=0表示一条直线，则实数m满 倾斜角是 ( ) 足 A.30° B.60° C.150° D.120° 三、解答题 2.若直线x+ay-1=0的倾斜角为45°，则 11.求下列直线的方程，并把它化为一 a= ( ) 般式 A.-√2 B.√2 C.-1 D.1 1)过点A(-2,30,斜率为-号： 3.直线3x一2y=4的截距式方程是( (2)在x轴、y轴上的截距分别为一3 A.3-=1 B芹--4 和4. 32 D.+2-1 3 4.经过点P(1,2),且一个法向量为n= (6,8)的直线方程为 () A.3x-4y-11=0B.3x+4y-11=0 C.4x+3y-11=0D.4x-3y+11=0 5.斜率为一3，在x轴上截距为2的直线的 一般式方程是 ( ) A.3x+y+6=0 B.3x-y+2=0 C.3x+y-6=0 D.3x-y-2=0 6.(多选)直线l1:ax-y十b=0与直线l2: 12.已知直线l:5a.x-5y-a十3=0. bx十y-a=0(ab≠0)的图象可能是 (1)求证：不论a为何值，直线l总经过 第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a的 取值范围 7.(多选)垂直于直线3x一4y一7=0，且与 两坐标轴围成的三角形的面积为6的直 线在x轴上的截距是 () A.4 B.-4C.3 D.-3 二、填空题 8.若直线(2a2-4a)x+(a2-4)y+5a2=0 的倾斜角是无，则实数a是 9.已知直线1过点P(3,1),且与两点 P(一1,0)，P(3,2)的连线垂直，则直线 1的方程为 50快乐 10.解析：设直线方程为是十岩=1， a 则了b=3, 1a+b=5, 解得a=2,b=3, 则直线方程为号十音=1，即3x+2y-6=0, 答案：3x+2y一6=0 11.解：如图，由裁距式，得AB边所在直线 y 方程为马十片2=1，即2x十y叶2=0 BC边所在直线方程为号十点2=1，即 x一y一2=0，由两点式，得CD边所在 YB 直线方程为日号即2x十y4 =0,AD边所在直线方程为8-即x 0. 12.解：(1)直线1过点P(4,1),Q(一1,6)， 所以直线1的方程为号 x-4 即x+y一5=0. (2)由题意知，直线1的斜率存在且不为0， 所以设直线！的斜率为k, 则其方程为y一1=k(x一4) 令x=0,得y=1-4:令y=0,得x=4- 1 1-4=2-右）解得=子或质=-2 :直线1的方程为y-1=(x-0或y-1=-24 即y=子x或2x+y-9=0, 新知预览4 知识梳理—一自学教材，素养奠基 1.Ax+By+C=0 典例探究 一探究学习，素养形成 变式训练 1.解：(1)由直线方程的点斜式得y一3=√3(x一5)， 即√3x-y-5√3+3=0. (2)由斜截式得直线方程为y=4x一2， 即4x-y-2=0. (3)由两点式得已二二： 即2x+y-3=0. (4)由藏距式得直线方程为品3十片=1， 即x+3y+3=0. 2.解：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的 为零，所以3一a=0,所以a=3,方程为6x十y=0. (2)当直线过原，点时， 该直线在x轴和y轴上的截距为零， 所以3一a=0,所以a=3, 方程为6x十y=0; 当直线不过原，点时，a≠3， 由4-3=a-3,得a=-2, a十3 方程为x十y十5=0， 故所求的方程为6x十y=0或x十y+5=0. (3)将l的方程化为y=-(a十3)x十a-3, 要使1不经过第三象限， 当且仅当-(a十3)0且a-3≥0， 解得a≥3，故所求a的取值范围为a≥3. 3.解：由直线方程的点法式， 得一(x+3)十3(y一1)=0. 故所求直线方程为x一3y十6=0. 检测评价一诊断落实，素养达标 1.C「直线斛率k=3,所以倾斜角为150°.] 90M- 2.C[直线x十ay-1=0化为斜截式可得y=一 1 x十 ，由题意可得-=1am45°=1，所以a=-1.] a a 3.D[将3x-2y=4化为千+2=1即得.] 4 3 D 4.B[由点法式方程得6(x一1)+8(y一2)=0，即3x+4y -11=0. 5,C[由题意得，此直线斜率为一3，过点(2,0)，点斜式方 程为y-0=一3(x-2),即3x+y-6=0.] 6.BC[l1:y=ax+b,l2:y=-b.x十a,在A中，由l1知a >0,b<0,则一b>0,与l2的图象不符；在B中，由l1知 a>0,b>0,则一b<0,与1g的图象相符：在C中，由11知 a<0,b>0,则一b<0,与12的图象相符；在D中，由11知 y+1 a>0,b>0,则-b<0,与1，的图象不符.故选BC.] 7.CD[设直线方程是4x十3y十d=0,分别令x=0和y =0,得直线在两垒标轴上的藏距分别是一号，一兰，所 以6=×号×引= 所以d=士12.则直线在x轴上的截距为3或一3.] 8.解析：因为直线(2a-4a)x十(a-4)y十5a2=0的倾斜 角是元，所以直线(2a2-4a)x+(a2-4)y十5a=0的斜 率为an至=1，因此a-4≠0，y=2公红x十 -(a2-4) 5a2 -4), 一(2，、，..2a—4a一=1， -(a2-4) 3d-a-4=05a=-号或a=2会) 答案：昌 9.解析：P1P⊥1， ∴.PP=(3+1,2-0)=(4,2)为所求直线1的一个法 向量，即n=(4,2), 又·直线1过，点(3,1)， 代入直线的点法式方程得4(x一3)十2(y一1)=0. 故所求方程为2x十y-7=0. 答案：2x十y一7=0 0.解析：当2m十m-3=0时m=1或m=-号；当m m=0时，m=0或m=1.要使方程(2m°十m-3)x十 (m一m)y一4m十1=0表示一条直线，则2m十m一3， m一m不能同时为0，所以m≠1. 答案：m≠1 戳距 山.解：1)由点斜式可得直线方程为)-3=-号（十2）. 化为一般式为3x+5y一9=0. (②)由截距式可得直线方程为3十Y=1. 化为一般式为4x一3y+12=0. 12.解：(1)证明：将直线1的方程整理 ag,3) 所以1的斜率为a, 卫造充点A(付号) 0 而点A(付昌)在第一象限，故1 必过第一象限. 3 -0 5 (2)直线OA的斜率为k= -=3. 1 一0 5 因为1不经过第二象限，所以a≥3. 故a的取值范围是[3，十o). 70