假期作业16 空间直线、平面的垂直-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版）

人壁快乐假期 11.证明：(1)因为M,N分别是CD,CB 的中点， 所以MN∥BD.又因为BB,LDD1, 所以四边形BB,DD是平行四边形， 所以BD∥B1D, 从而MN∥BD1. (2)连接A,C1,交B1D于点O,连接OE. 因为四边形A1B,C1D1为平行四边形，则O点是A!C 的中，点，因为E是AA1的中，点，所以EO是△AAC的 中位线，所以EO∥AC1· 又AC车平面EB1D,EO平面EBD, 所以AC1∥平面EB,D. (3)连接GH,因为EALB1H,则四边形EAHB,是平 行四边形，所以EB,∥AH.因为AD HG,则四边形 ADGH是平行四边形，所以DG∥AH,所以EB,∥DG. 又因为BBDD1,所以四边形BB,D1D是平行四边形， 所以BD∥BD. 因为BD∩DG=D, 所以平面EB,D,∥平面BDG 12.证明：(1)连接AE,则AE必过DF与 GN的交点O,连接MO,则MO为 △ABE的中位线，所以BE∥MO. 又BE寸平面DMF,MOC平 面DMF, 所以BE∥平面DMF (2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF 的中点，所以DE∥GN, 又DE中平面MNG,GNC平面MNG, 所以DE∥平面MNG.又M为AB的中，点， 所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN, 又MVC平面MNG,BD庄平面MNG, 所以BD∥平面MNG, 又DE,BDC平面BDE,DE∩BD=D, 所以平面BDE∥平面MNG. 新题快递 1.D[A中，a∩B=a,bCa,a,b可能平行也可能相交：B 中，a∩B=a,a∥b,则可能b∥a,b∥B,也可能b在平面a 或B内；C中，a∥B,b∥B,aCa,b二a,根据平面平行的判 定定理，若加上条件a∩b=A,则a∥B.故选D.] 2.D[如图所示，A',B分别是 A,B两点在a,B上运动后的 A a 两点，此时AB中点C变成 A'B'中点C'.连接A'B,取 A'B的中点E,连接CE, C'E',CC,AA',BB'.则CE ∥AA',又AA'Ca,CEta, B B B ∴.CE∥a,同理CE∥B. 又a∥B,∴.CE∥a. ,CE∩CE=E,.平面CCE∥平面a.∴.CC∥a.故不 论A,B如何移动，所有的动点C都在过点C且与Q,B平 行的平面上.] 假期作业16 思维整合室 1.两条相交直线平行2.垂线 交线3.(1)锐角 ∠PAO 技能提升台素养提升 1.D 2.A[过，点A作AH⊥BD于点H(图略)，由平面ABDL 平面BCD,得AH⊥平面BCD,则AH⊥BC.又DA⊥平 面ABC,所以BC⊥AD,所以BC⊥平面ABD,所以BC ⊥AB,即△ABC为直角三角形.故选A.] 6 00= 3.C[连接AC,因为ABCD是菱 形，所以AC⊥BD, 又MC⊥菱形ABCD所在的平 面，BDG平面ABCD,所以MC ⊥BD, 又MC∩AC=C,MC,ACC平面 MAC,所以BD⊥平面MAC,MAC平面MAC, 所以MA⊥BD.] 4.解析：连接AC1,则∠AC1A1为AC 与平面AB,C,D所成的角. 因为AB=BC=2,所以AC1=AC 2√2，又AA1=1,所以AC=3, 所以∠ACA-治-子 1 答案：3 5.D 6.BCD[A中当m⊥n,m⊥a,n∥B时，两个平面的位置关 系不确定，A不正确.B中，过直线n作平面Y与B交于 c,则n∥c. 由m⊥a,所以m⊥c,所以m⊥n,B正确.C中由面面平行 的性质，易得m∥3，C正确.D中，由线面角的定义与等 角定理可知D正确.] 7.A[对于A选项，在正方体 D ABCD-AB,C,D1中，因为 E,F分别为AB,BC的中点， A 易知EF⊥BD,EF⊥DD1,又 BD∩DD,=D,从而EF⊥平 面B1BDD1,又因为EFC平 面B,EF,所以平面B,EF⊥ 平面BDD,所以A选项正 确；对于B选项，因为平面 E B A,BD∩平面BDD,=BD,由上述过程易知平面B,EF ⊥平面A1BD不成立；对于C选项，由题意知直线AA 与直线B,E必相交，故平面B,EF与平面A,AC有公共 点，从而C选项错误；对于D选项，连接AC,AB,B,C, 易知平面AB,C∥平面A,C,D,又因为平面AB,C与平 面B1EF有公共点B1,故平面AB,C与平面B,EF不平 行，所以D选项错误.] 8.解析：如图，取AB的中点E,连接 DE,CE, 因为△ADB是等边三角形， 所以DE⊥AB. E 当平面ADB⊥平面ABC时， 因为平面ADB∩平面ABC=AB,B DEC平面ABD, 所以DEL平面ABC.又CEC平面ABC, 可知DELCE,由已知可得DE=√5，C=1, 在Rt△DEC中，CD=√DE+CE=2. 答案：2 9.C[如图，过E做EO⊥平面ABCD,垂足为O,过E分 别做EG⊥BC,EM⊥AB,垂足分别为G,M,连接 OG,OM, 由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底 面夹角分别为∠EMO和∠EGO, 所以tan∠EMO=tan∠EGO= 5 6 三0022 因为EO⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以EO ⊥BC, 因为EG⊥BC,EO,EGC平面EOG,EO∩EG=E, 所以BC⊥平面EOG,因为OGC平面EOG,所以BC ⊥OG. 同理：OML BM,又BMLBG,故四边形OMBG是矩形， 所以由BC=10得OM=5,所以EO=√I4,所以OG =5, 所以在直角三角形EOG中，EG=√EO+十OG= √（√14）+5=√39， 在直角三角形EBG中，BG=OM=5,EB=√EG+BG =√（√39）2+5=8， 又因为EF=AB-5-5=25-5-5=15, 所有棱长之和为2×25+2×10十15+4×8=117m.] 10.解析：当mLa,mLn时，有n∥a或n二a,∴.当nLB时，a⊥ B,即①③④→②.或当a⊥B,m⊥a时，有m∥B或mC3, .当n⊥3时m⊥n,即②③④→①. 答案：①③④→②（或②③④→①） 11.解：(1)因为AB=BC=2,所以BE⊥AC,又因为是直三 棱柱ABC-A,B,C1,不妨设AC=2a, 因为BF⊥AB1, 所以BF⊥AB,连接AF, E,F分别为AC和CC1的中点，则 AF2=BF2+AB2, →4a2+1=5+4→a2=2→a=√2， 所以BE=√BC-EC=√2， 所以V:m=合Sam·rC=××EXEX1 (2)连接AE,取BC中点为 D H,连接EH,B1H, 因为E,H分别为AC,BC的 G 中点，所以EH∥AB, 又因为AB,∥AB,所以AB, ∥EH,所以AEHB1共面， 易知DEC平面AEHB:, 易知△FCB≌△HBB,,所以 BF⊥HB,, 又因为BF⊥AB1,且AB∩HB1=B1, 所以BF⊥平面A1EHB,所以BF⊥DE 12.解：(1)证明由已知可得，∠BAC=90°， 即BA⊥AC.又BA⊥AD,AD∩AC=A,AD, ACC平面ACD, 所以AB⊥平面ACD. 又ABC平面ABC,所以平面ACDL平面ABC (2)由已知可得，DC= D CM=AB=3, DA=3√2. 又BP=DQ=号DA, 、P 所以BP=2√2 B 如图，过点Q作QE⊥AC,垂足为E,则QE∥DC且QE c. 由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC, 所以QE⊥平面ABC,QE=1. 因为，三棱锥Q一ABP的体积为 6 高一数半 V。-em=子×5 rXQE =子×合×8×2am45X1=1 新题快递 1.C[取AB的中点E,连接 DA CE,DE,因为△ABC是等腰 直角三角形，且AB为斜边， 则有CE⊥AB, 又△ABD是等边三角形，则 DE⊥AB,从而∠CED为二 B 面角C一AB一D的平面角， 即∠CED=150°， 显然CE∩DE=E,CE,DEG 平面CDE,于是AB⊥平面CDE,又ABC平面ABC, 因此平面CDE⊥平面ABC,显然平面CDE∩平面ABC =CE, 直线CD二平面CDE,则直线CD在平面ABC内的射影 为直线CE, 从而∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令AB= 2,则CE=1,DE=√5，在△CDE中，由余弦定理得： CD=√JCE+DE-2CE·DEcos.∠CED 1+3-21×3×=7, DE 由正弦定理 CD sin∠DCE sin∠CEDi 得sin∠DCE=Bsin150°_」 原 7 27 显然∠DCE是锐角，cos∠DCE=√I-sin'∠DCE= h 5 27 2 所以直线CD与平西ABC所成的角的正切为] 2.解析：因为PA⊥平面ABC,PAC平面PAC,所以平面 PAC⊥平面ABC. 过，点B作BD⊥AC于点D,过，点D作DE⊥PC于点E, 连接BE, 因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC= AC,BDC平面ABC, 所以BD⊥平面PAC.因为PC二平面PAC,所以BD ⊥PC. 因为DE⊥PC,BD∩DE=D,BD,DEC平面BDE,所以 PC⊥平面BDE.因为BEC平面BDE,所以PC⊥BE, 所以二面角A一PC一B的平面角为∠BED 因为AB⊥BC,且PA=AB=1, BC=√2，PA⊥平面ABC,所以 PB=√2，AC=√3，PC=2,PBL BC.又因为BE⊥PC,所以E为 PC的中点，所以BE=1. 由等面积法得BD= Γ3 固为BDL手西PAC,所以m∠BED-器- 所以二面角A-PC-B的正弦值为5 3 答案9三0022 假期作业16 空间直线 《思维整合室 1.直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 条直线与 a,bCa 个平面内的 判 a∩b=0 都垂 ab →l⊥a 理 直，则该直线与 L⊥b 此平面垂直 垂直于同一个 a 定 平面的两条直 →a∥b b⊥a 线 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 一个平面过另 一个平面的 判 ,则这 理 两个平面互相 垂直 两个平面互相 垂直，则一个平 面内垂直于 定 /a →l⊥a 的直线 a∩3=a a 垂直于另一个 l⊥a 平面 高一数类恐) 积土而为山，积水而为海。 平面的垂直 完成日期： 月 日 3.直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和 它在平面上的射影所成 的 ,叫做这条直 线和这个平面所成的角，如图， 就是斜线AP与平面α所成的角， (2)线面角0的范用：0e0,受 《技能提升台 素养提升 ◆[考点一] 直线与平面垂直的判定与 性质 1.直线n⊥平面a,n∥l,直线mCa,则l、m 的位置关系是 A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直 2.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平 面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 3.如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平 面，那么MA与BD的位置关系是 A.平行 B.不垂直 C.垂直 D.相交 4.如图，在长方体ABCD一AB,C1D1中， AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面 A1B,CD1所成角的正弦值为 D D 35 飞燮快乐假期 ◆[考点二]平面与平面垂直的判定与性质 5.若平面a⊥平面B,平面3⊥平面Y,则 A.a∥Y B.a⊥Y C.a与y相交但不垂直 D.以上都有可能 6.（多选)a,3是两个平面，m,n是两条直 线，有下列四个命题，其中正确的命题是 A.如果m⊥n,m⊥a&,n∥B,那么&⊥3 B.如果m⊥a,n∥a,那么m⊥n C.如果a∥B,mCa,那么m∥B D.如果m∥n,a∥B,那么m与a所成的 角和n与B所成的角相等 7.(2022·全国乙卷)在正方体ABCD一 AB1CD1中，E,F分别为AB,BC的中 点，则 A.平面B,EF⊥平面BDD, B.平面BEF⊥平面A1BD C.平面B1EF∥平面A,AC D.平面B,EF∥平面A1C1D 8.如图，A,B,C,D为空间四点，在△ABC 中，AB=2,AC=BC=√2，等边三角形 ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平 面ABC时，则CD= 3 ◆[考点三]垂直的综合应用 9.（2023·北京卷)坡 屋顶是我国传统建 筑造型之一，蕴含 着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒 出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡 屋顶可视为一个五面体，其中两个面是 全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰 三角形.若AB=25m,BC=AD=10m, 且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所 在的平面与平面ABCD的夹角的正切值 均为，则该五面体的所有棱长之和为 A.102m B.112m C.117m D.125m 10.已知a,B是两个不同的平面，m,n是平 面α及3之外的两条不同直线，给出四 个论断： ①m⊥n;②a⊥3；③n⊥3；④m⊥a、 以其中三个论断作为条件，余下一个论 断作为结论，写出你认为正确的一个命 题 .(用序号表示) 11.（2021·全国甲卷 A 0 (文)，19)已知直三 C 棱柱ABC-A,B,C1 中，侧面AA1B1B为 正方形，AB=BC= 2,E,F分别为AC 和CC1的中点，BF⊥A1B. (1)求三棱锥F一EBC的体积； 三-0022 (2)已知D为棱A,B,上的点，证明： BF⊥DE. 12.如图，在平行四 边形ABCM中， AB=AC=3,M.C. -.P ∠ACM=90°.以 AC为折痕将△ACM折起，使点M到达 点D的位置，且AB⊥DA: (1)证明：平面ACD⊥平面ABC; 37 富一数学 (2)Q为线段AD上一点，P为线段BC 上一点，且BP=DQ=号DA,求三棱锥 Q一ABP的体积. 新题快递 1.(2023·全国乙卷（理）)已知△ABC为等 腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等 边三角形，若二面角C一AB一D为150°， 则直线CD与平面ABC所成角的正切 值为 ( A. B号 c D. 2.《九章算术》是我国古 代数学名著，书中将四 个面均为直角三角形 的棱锥称为“鳖臑”.如 图，四面体P一ABC为鳖臑，PA⊥平面 ABC,AB⊥BC,且PA=AB=1,BC= √2，则二面角A一PC一B的正弦值为 《益智欢乐谷 青春里，我们都 在摸索着成长，会被 无科，着 绊倒，会流泪，会茫 然，会想要放弃，但 是我们都能坚持到最后.尽管我们一路走 来跌跌撞撞，但是我们写下了属于我们的 青春励志文章，鼓励着正在走向未来的自 己，也鼓励那些在黑暗中挣扎的青少年不 要轻言放弃，辜负青春。