假期作业25 简单几何体的表面积与体积-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版 全学年）

快乐假期 900-= 霞即刻扫码 假期作业25简单几何体的表面积与体积 A1伴学助手 网答家速查手册 可同步学习微课 新知预习宝典 思维整合室 3.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积 边长为a时，该三棱锥的表面积是() 公式 A3牛 B子0 圆柱 圆锥 圆台 c.3+5 D.6+3a 2 4 面 2πn 4.（多选)(2023·新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶 开 0 .2Tr.月 点为P,底面圆心为O,AB为底面直径， 侧 ∠APB=120°，PA=2,点C在底面圆周上， 5圆台侧= 且二面角PACO为45°，则 S圆柱侧= S圆维侧三 式 A.该圆锥的体积为π 2.空间几何体的表面积与体积公式 B.该圆锥的侧面积为4√3π 名称 C.AC=2/2 表面积 体积 几何体 D.△PAC的面积为3 S表面积三 ◆[考点二] 空间几何体的体积 柱体（棱柱和圆柱） V= S侧十2S底 5.《九章算术》中记载，四个面都 S表面积= 为直角三角形的四面体称之为 锥体（棱锥和圆锥） V- S侧十S底 鳖臑.现有一个“鳖臑”，PA⊥底 面ABC,AC⊥BC,且PA=3, S表面积二 v= AC=BC=2,则该四面体的体积为 台体（棱台和圆台） S侧+S上+S下 (S上+S下+ A.1 B.2 C.4 D.8 √SES下)h 6.(2021·北京卷，8)定义：24小时内降水在 球 S V=4 平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度，其 《《技能提升台 中小雨(<10mm),中雨(10mm-25mm), 大雨(25mm-50mm),暴雨(50mm 素养提升 100mm),小明用一个圆锥形容器接了24 ◆[考点一] 空间几何体的表面积与侧面积 小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个 1.如图所示，圆锥的底面半径为 等级 1,高为3，则该圆锥的表面 200mm 积为 ( A.πB.2πC.3πD.4π 300mn 2.若圆柱的底面半径为1，其侧面展开图是一 个正方形，则这个圆柱的侧面积是() A.4π2 B.3π2 C.2π2 D.π A.小雨B.中雨 C.大雨 D.暴雨 60 三0022 高一教半型 7.(2023·天津卷)在三棱锥P一ABC中，线 12.轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切 段PC上的点M满足PM=3PC,线段PB 球，若圆锥的底面半径为1cm,求球的 体积. 上的点V满足PV= PB,则三校锥P AMN和三棱锥P一ABC的体积之比为 ( 1 A.9 c D 8.(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四 棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个 底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱 台的体积为 ◆[考点三]切与接问题 9.已知A,B,C为球O的球面上的三个点， ⊙O,为△ABC的外接圆.若⊙O,的面积为 4π，AB=BC=AC=OO,则球O的表面 积为 () A.64πB.48πC.36π D.32π 10.已知A,B,C是半径为1的球O的球面上 新题快递 的三个点，且AC⊥BC,AC=BC=1,则三 1.(2023·全国乙卷（理）)已知圆锥PO的底 棱锥O一ABC的体积为 面半径为3，O为底面圆心，PA,PB为圆锥 A设 浮 c 的母线，∠AOB=120°，若△PAB的面积等 4 11.如图，在四边形ABCD 于￥.则该闲锥的体积为 () 中，∠DAB=90°，D A. B.√6πC.3π D.3√6π ∠ADC=135°，AB=5, 4 2.在四面体SABC中，SA=SB=2,且SA⊥ CD=22,AD=2,求四边形ABCD绕 SB,BC=√5，AC=√3，则该四面体体积的最 AD旋转一周所成几何体的体积， 大值为 ,该四面体外接球的表面 积为 《益智欢乐爸 今天做数学题.十个人 排队，甲不能站中间，不能站 两端，还得和乙挨着，还得和 丙隔两个人，还得站丁后面， 经过激烈的讨论，大家一致 认为，让甲滚… 61三0022. 10.C[如图，设正四棱锥的高为h,底面边 长为a,侧面三角形底边上的高为h',则依 [=2a 题意有： 2,因此有 2=- ( (侣)）=a,化筒得4（台）-2（）-1=0，解得 =5十1（负根已舍去）.] a 4 11.解：圆台的轴截面题图所示，设圆台上、下底面半径分别为 xcm,3xcm,延长AA1交OO的延长线于S,在Rt△SOA 中，∠AS0=45°，则∠SA0=45°， 所以S0=A0=3x,S01=A1O=x,所以O01=2x 又S=合(6x+2)…2z=392,所以x=7. 所以圆台的高O0=14(cm),母线长l1=√2OO=14√2(cm), 两底面半径分别为7cm,21cm. 12.解：把长方体的部分面展开，如图所示 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为 √90、√74、√80，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可以先 在长方形ABBA1内由A到E,再在长方形BCCB,内由E 到C,也可以先在长方形AA,D1D内由A到F,再在长方形 DCCD内由F到C1,其最短路程为√74. 43B4C A 3B 43 新题快递 1.B[沿侧棱BB,将正三棱柱的侧面 C B' 展开，得到一个矩形BB1B′B (如图). 由侧面展开图可知，当B,M,C1三，点B A 共线时，从，点B经过M到达C,的路线最短. 所以最短路线长为BC1=√4+2=2√5.] 2.解析：不妨设原棱锥为四棱锥， 设棱台的高为h,截得棱台的原 棱锥的高为h1, 如图所示，即MN=h,PN=h1 因为四边形ABCD与四边形 EA EFGH相似， 且上下底面面积分别为4和9， D 故EM2 N AN=3' A 由△PEM∽△PAN, 故N-N-名，M=上=1- 21 PNAN3'PN 3=3 这个棱台的高和裁得棱台的原棱锥的高的比为 3 1 答案：3 假期作业25 思维整合室 1.2 arl xrl x(r1十r2)l2.S底·h 子S·hR 技能提升台素养提升 1.C 2.A[依题意，圆柱的母线长1=2xr,故S剑=2πrl=4πr2 =4x.] 3.A[设正三棱锥的侧棱长为b,由条件知2b=a2,所以三棱 维的表西长为0+3x号×日×。=3。.】 4 高一数学蜀) 4.AC[如图，由∠APB= 120°，AP=2可知，底面 直径AB=2V3,高PO=1, 故该圆锥的体积为π，故 A对；该圆锥的侧面积为A 0 2√3π，故B错；连接CB 取AC中点为Q,连接QO,PQ,易证二面角P一AC一O的平 面角为∠PQO=45°，所以QO=PO=1,PQ=√2，所以BC= 2,所以AC=2反，故C对：Sae=号AC:PQ=2,故D错.] 5.B[由题意可知：三棱锥PABC的高为PA=3,所以该四 面体的体积为号×3×号×2X2=2.] 200 2 6.B[按相似，小圆维的底面半径r=之mm=50mm,故 V=子×xX50X150mm=502·xmm, 积水厚度h= =V小处=50·元 S大属x·100 mm=12.5mm,属于中雨， 选B.] 7.B[如图，分别过M,C作MM' ⊥PA,CC'⊥PA,垂足分别为 M,C'.过B作BB'⊥平面PAC, 垂足为B,连接PB,过N作 NN'⊥PB,垂足为N'. 因为BB'⊥平面PAC,BBC平 A 面PBB', 所以平面PBB'⊥平面PAC. 又因为平面PBB'∩平面PAC=PB,NN⊥PB,NN'C平 面PBB',所以NN⊥平面PAC 且BB∥NN'. 在△PCC中，因为MM⊥PA,CC'⊥PA, 所以MM∥CC',所以PM=MM=⊥ PC CC' 3 在△PBB'中，因为BB'∥NN,所以P=NY=2 PB=BB=3· 所以YTy=3saaw·NN VP-ABC VB-PAC 3S△PAC·BB 1 合×（合PA·M:N 合×（合PA·cC）:BB =] 8.解析：由题意易求正四棱锥的高为6，V装台=V大四一V小四 =3×4X4X6-3×2X2X3 =28. 答案：28 QA[由题意知⊙0的半径r为2，由正孩定理知光二2，则 OO=AB=2rsin60°=2√3，所以球O的半径R=√？+OO=4, 所以球O的表面积为4πR=64π，故选A] 10.A[记△ABC的外接圆圆心为O1,由AC⊥BC,AC=BC =1,知0为AB的中点，且AB=厄，0，C=号，又球的半 径为1，所以OA=OB=OC=1,所以OA+OB=AB, 00-号，于是00+0，C-0C,所以有0,10，C.00 ⊥AB,进而OO⊥平面ABC,所以V。-A= sw00=号·11…号-接A] 1 03 壁快乐假期 11.解：如图，过C作CE垂直于AD,交AD延 长线于E,则所求几何体的体积可看成是 由梯形ABCE绕AE旋转一 周所得的圆台的体积，减去△EDC绕DE 旋转一周所得的圆锥的体积. 所以所求几何体的体积V=V台一V=3xX(5+5X2 +2)X4-子xx2×2=1 3. 12.解：如图所示，作出轴截面，O是球心，与 边BC,AC相切于点D,E.连接AD,OE, 因为△ABC是正三角形，所以CD= 号AC 因为Rt△AOE∽R1△ACD,所以OE AO =CD AC. 因为CD=1cm,所以AC=2cm,AD=√3cm, 设0E-,周A0=5-n所以后，合 所以r= 3 cm, V=3π3) 4 =43 27 x(cm),即球的体积等 9om 新题快递 1.B[在△AOB中，∠AOB=120°，而OA=OB=√5，取AB 中点C,连接OC,PC,有OC⊥AB,PC⊥AB,如图， 0以 5)A B ∠AB0=30°，OC三9，AB=2BC=3,由△PAB的面积为 9,得号×3×pC=9后 4 解得PC= 3y5.于是P0=√PC-0C 2 --6 所以国维的体积V=3x×0AXP0=3x×(W5)'XV6- √6元.] 2.解析：四面体的体积最大时即 面SAB⊥面ABC, SA=SB=2,且SA⊥SB,BC= W5,AC=3,所以∠ACB=90°， 取AB的中点H,连接 CH,SH, A B SH⊥AB,平面SAB∩平面 ABC=AB,SH在平面SAB 1 内，而SH=2E·SA=2 所以SHL平面ABC,所以VAe=3·S△c·SH=3 10 0M-= z·53=30 1 6 则外接球的球心在SH上，设球心为O,连接OC,CH= ·AB=子E,SA=E,因为sH=号E.SA=E 1 所以O与H重合，所以R=CH=SH=√2， 所以四面体的外接球的表面积S=4πR=8元 答案@ 8x 假期作业26 思维整合室 1.两点不在一条直线上有且只有一条 2.平行相交任何3.10无数0无数 4.(1)锐角（或直角） 技能提升台素养提升 1.ABD[选项C中，a与B有公共点A,则它们有过点A的一 条交线，故C错.门 2.D 3.C[在①中，因为P,Q,R三点既在平面ABC上，又在平面 a上，所以这三点必在平面ABC与a的交线上，即P,Q,R 三，点共线，故①正确；在②中，因为a∥b,所以a与b确定一 个平面a,而l上有A,B两点在该平面上，所以l二a,即a,b, l三线共面于a;同理a,c,l三线也共面，不妨设为B,而a,B 有两条公共的直线a,l,所以a与B重合，故这些直线共面， 故②正确：在③中，不妨设其中四，点共面，则它们最多只能确 定7个平面，故③错.] 4.解析：，AC∥BD, .AC与BD确定一个平面，记作平面B,则a∩B=CD ,l∩a=O,.O∈a. 又O∈ABCB,O∈直线CD,.O,C,D三点共线. 答案：共线 5.C 6.C[由于a∥b,a,c 异面，此时，b和c可 能相交，也即共面，如 图所示b与c相交；b a 和c也可能异面，如 图所示b与c异面.综上所述，b与c不可能是平行直线.] 7.B[对于A,当P是A,C,的中点时，BP与DD,是相交直 线；对于B,根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线； 对于C,当点P与C,重合时，BP与AD,是平行直线；对于 D,当点P与C1重合时，BP与B,C是相交直线.] 8.解析：①中HG∥MN;③中GM∥HN且GM≠HN,所以直 线HG与MN必相交. 答案：②④ 9.D[由题意可知，连接BP,BC1,PC1(图略)，则BP,BC所 成角即为所求角0，设AB=2,则BP=√6，BC,=2√2，PC BP*+BC-C P2 =√2，由余弦定理可知c0s日= 2BP·BC =6+8二2-所以夫角为名] 2√6·2√22 10.解析：在正方体ABCD D C A1BCD1中，E,F分别 为CD,AB1的中点， 设正方体ABCD A1BC1D,中棱长为2， 0下 EF中点为O, 取AB,BB1中，点G,M,侧 面BB,C,C的中心为N, 连接FG,EG,OM,ON, A MN,如图，