假期作业23 复数-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版 全学年）

三022 高一数类 4.解析：0<a<π， 即kx一 ≤x≤6x十匹，k∈乙时，函数f)为增函数. ∴.tan a 1-cos a_ sin a 8 √1+cosa 1+cos a' “f)的单涧递增区间为[x-音kx+]∈刀。 ∴.(1+cosa)tan a=sin a. 2 又cos(竖-）=-sim,且1-cosa=2in 12解由角的终边过点P(号，号) 得sina=一 4 .原式=sina-sina -2sin a ,所以sin(a十x)=一sina=5 2sim号 sin号 ②)由角a的终边连点P(号，一号）得ma= 2n号cos受 由sma+m=音得oa+0=士是 5 sm号 由B-(a十B-a,得cosB=cos(a十B)cosa十sin(a+B)sina, 16 00<号<受im号>0 所以c一第我s广 新题快递 原式=-2厄cas号 A[f)=号m(+）+m(+晋）=号 答案：-2Ec0s号 5.B (+）+号+m+门-号(+答)中 6.B[因为na-》=sinc-月i=子， ms(+晋)+是=m(2++)+专 1 cos asin sin acos B= m(2x+号+若）十号=ms2z+ 故sina十m=叶=号+日- 2 1 所以g)=co2(x-p）+2=cos(2-29）+2 即os2a+2p)=1-2sima+m=1-2x(号）=g] 因为函教g(x)的图象关于x=吾对称，所以2X否-29=kx(h 7.D[由半角公式可知sm号=1C,解得m号 ∈Z), 所以9= 吾-经k∈D,因为p>0所以k=0时，g=吾最小.] 62 &.解析：tana=tan[(e-子)十】 2牌折2+）-号c石十s 22sin acos a+cos a-sin a 2 sin a+cos a 1=5· 4 1-a(e-）小iam受1- 22tan a+1-tan'a 3 9 2 tan'a+1 2 答案：号 +打 9.B[由题意知f(x)三号sinx+4×2三之sinx+ =_72 2 2 26 2c0s2+2=号sin(c+p+2(快中amg=专)又因为x长 答案：碧 R,所以)的装大维为号] 假期作业23 思维整合室 10.解析：周为f)=反n音os受-巨sm号-号(snx 1.(1)ab(2)=≠=≠(3)a=c且b=d(4)a=c且b =-d (5)la+bil 十0心一1》=血(+登）要，所以高数x)的最小正 3.(1)①(a+c)+(b+d)i②(a-c)+(b-d)i③(ac-bd)+(ad 周常为2x:因为x∈[一，0]，所以x+∈【一要，] +bc)i @提+学e+名两++) 当x叶子=一即=时，画教/)在区间[-，0】 技能提升台素养提升 4 B[由题意=1-到=1-=一-1计- 上取最小维-1一当 =二-i,是统虚数；=，i(g+)=i1-计i)=i,是统虚 答案：2x-1- 2 数，故选B.] 2(1+i) 11.解：(1)，f(x)=OA·OB=sinx十sin xcos z十sin°x-simx 2.m=子a1+ 至=2x+受∈》， =√2，=2i,之的共軛复数为1一i,之的虚部为1.故A,C 错，B,D正确 即=红十警(2时)取得最大值，f)的藏 3.B[由a十3i=(b十i)i,得a十3i=i-1,复数相等定义，知a= 小正周期为π. 一1，b=3,故选B.] 4.D[≈在复平面对应的，点是（一1，√3），根据复数的几何意义，之 (2):f(x)= =-1十Vi,由共轭复数的定义可知，之=-1一√3i] 5.A[由题知(1+3i)(3-i)=3-i+9i-3=6+8i,所以该复数 在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限.] 101 k受快乐联明 s00-= 6.B[根据复数加、减法的几何意义及十，= 技能提升台素养提升 |≈1一之2，知以OA,OB为邻边所作的平行四边形的对角线相 1.B2.C 等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形.] 3.BCD[当任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故A 7.BC[由x(4+3i)=2-i,可得之= 2-1=(2-i0(4-3i) 错；B正确；C正确：根据球的半径的定义可知D正确.] 4+3i(4+3i)(4-3i) 4.解析：①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一 晋日号对子A的金部为号成A继装时千 周可得到圆台：②它们的底面为圆面：③④⑤正确 答案：③④⑤ :在复平面内对应的点（信一号）位于第四象限，故B正确： 5.D[如图所示为原图形和其直观图， 对于C, y =号计日+号-号C正确对于D.l C 号+(-2可-5长D错误.（选C] AOB元 A'ODB 区解析：尚超套计仁 =0化简得，之·2i十(1十i)=0,= 由因可知AB'=AB=a,0C'=20C-。 , 在图中作C'D'LA'B'于点D', 1-_-道计1 21-2--21 2 则cD'=oc=5 2 8a. 之在复平面内对应的点在第二象限 答案：二 see=4Ccn=×eX9。=得，凌n] 9.A[因为=2+2-合i,所以=2，所以x-=-1] 1-i 6,C[解法一：依题意可知∠BAD=45°，则原平面图形为直 10解折：由是意可得+侣号-2=4+ 角梯形，上下底面的长与BC,AD相等，高为梯形ABCD的 (2+3i)(2-3i) 13 高的2√2倍，所以原平面图形的面积为8cm2,故选C 答案：4十i 解法二：依题意可知，S见国=2√2cm, 11.解：设≈=a十bi(a,b∈R),由x=1+3i一， 故S原得形=2√2S度观周=8cm.故选C.] 得√a+6-1-3i+a+bi=0, 7.解析：在直观图中，四边形为OA'B'C'菱形且边长为2cm, 则{√匠十衣+a-1=0:所以824“所以=-4+3 ∴.由斜二测法的规则得：在xOy坐标系中，四边形ABCO是 b-3=0, 1b=3, 矩形， 则0+)(3+4)2=2i(3+4 其中OA=2cm,OC=4cm, 2(-4+3i) .四边形ABCO的周长为：2×(2十4)=12(cm), 2(-4+3i0(3+4位=3+41 面积为S=2×4=8(cm2). 2(-4+3i) 12.解：(1)设g=a+bi(a,b∈R), 由已知条件得：a2+b=2,之=a-b+2abi,所以2ab=2. 所以a=b=1或a=b=一1，即之=1十i或x=一1一i. (2)当x=1十i时，x2=(1+i)2=2i,之-2=1-i, 所以点A(1,1),B(0,2),C(1,一1)， 所以Sam=21ACX1=号×2X1=1: 当之=-1-i时，之2=(-1-i)2=2i,之-=-1-3i所以 点A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3), 答案：128 所以Sm=号ACX1=号×2X1=1.中△AC的面 8.解析：作CD,BELOA于点D,E, y 积为1. 新题快递 C B 1B[由复套可得中 2+i=i(2+D=2i-1 2 -1 1-2i,则=1+2i.] ODEA 2.AD[对于A,若十=0，则名=一名，所以|名=|一2= 则OD=EA=OA,BC=2. 2 总，所以A正确；对于B,设1=2十4i,=4,则|之1十1|= ∴.CD=OD=2, 13+4i=5=+1=l51,而x=√2+4=25≠|21= 4,所以B错误；对于C,设1=x十yi(x,y∈R),则=(x十 在直见强中锈形的高为宁×2×号-号 yi)2=x2-y2+2xyi,x1=√2+y,所以|名11=x2+y2 所以≠|名2，所以C错误；对于D,设1=x十yi(x,y∈ 答案：号 R),2=a-bi(a,b∈R),则12=(x十yi)(a-bi)=(a.x+ 9.A[依题意可得圆柱的底面半径r=1,高h by)(ay-bx)i, =4 所以|x1|=√(a.x+by)+(ay-bx) 将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形ABCD, 其中AB=π，AD=4, Q =√(x+y)(a+b),l名11l21 =√(x2+y)(a十b),所以当=名1时， 问题转化为在CD上找一，点Q,使AQ十PQ |=|之11|≈「，所以D正确.故选AD.门 最短， 假期作业24 作P关于CD的对称点E,连接AE,令AE 与CD交于，点Q, 思维整合室 1.互相平行公共顶点平行于 则得AQ十PQ的最小值就是为AE=√元+(4+2) 2.(2)①45°（或135°）②变为原来的一半 =√元+36.] 102三0022 高一数类) 程即刻扫码 假期作业23复数 A1伴学助手 网答家速查手册 可同步学习微课 新知预习宝典 思维整合室 ③乘法：之1·之2=(a+bi)·(c十di) 1.复数的有关概念 (1)复数的定义 @除法：=a+bi-（a十bi)(c一c专 c+di (c+di)(c-di) 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中实部 (c+di≠0). 是 ,虚部是 (2)复数加法的运算律 (2)复数的分类 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 复数x=a十bi(a,b∈R) 之1，之2，之3∈C,有之1十之2= ,(1十2) 实数(b0), 十x3= 纯虚数(a 0,b 0), 《《技能提升台 虚数(b 0) 非纯虚数(a≠0，b≠0). 素养提升 (3)复数相等 ◆[考点一]复数的有关概念 a+bi=c+di台 (a,b,c,d∈R). 1.已知复数之在复平面上对应的点为(1， -1),则 ( ) (4)共轭复数 a+bi与c+di共轭台 (a,b,c,d A.z2=21 B牛是纯虚数 ∈R). C.|x=2 D.i(x+i)是实数 (5)复数的模 向量OZ的模叫做复数≈=a十bi的模，记作 2.(多选)下面是关于复数=吕的四个命 题，其中真命题为 或 ,即|x=|a+i A.z|=2 B.&2-2i =r=√a2+b(r≥0，a、b∈R). C.之的共轭复数为一1+iD.之的虚部为1 2.复数的几何意义 3.(2022·浙江卷)已知a,b∈R,a+3i=(b+ (1)复数之=a十bi 一一对应，复平面内的点 i)i(i为虚数单位)，则 A.a=1,b=-3 B.a=-1,b=3 Z(a,b)(a,b∈R). C.a=-1,b=-3 D.a=1,b=3 (2)复数x=a+bi(a,b∈R) 一一对应，平面向 4.(2023·北京卷)在复平面内，复数之对应的 量Oz. 点的坐标是（一1，√3）.则之的共轭复数z= ( 3.复数的运算 A.1+3i B.1-3i (1)复数的加、减、乘、除运算法则 C.-1+3i D.-1-√3i 设名=a十bi,x2=c十di(a,b,c,d∈R),则 ◆[考点二]复数的几何意义 ①加法：x1十之2=(a+bi)+(c十di)= 5.(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1+3) (3一i)对应的点位于 ②减法：刘1-x2=(a+bi)-(c十di)= A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 55 飞婴味乐跃翻 000= 6.A,B分别是复数之1，之2在复平面内对应的 12.已知复数之满足|x=√2，之2的虚部为2. 点，0是坐标原点.若之1十2=之一2， (1)求复数； 则△AOB一定为 ( (2)设，之，之一之2在复平面内对应的点分 A.等腰三角形 B.直角三角形 别为A,B,C,求△ABC的面积. C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 7.（多选)设复数之满足之(4十3i)=2一i(其中i 是虚数单位)，则下列说法正确的是() A:的虚部为一 B.之在复平面内对应的点位于第四象限 C+-号 u=日 b 8.定义运算 ad一bc,则符合条件 1+i =0的复数之在复平面内对应的 -i 2i 点在第 象限. ◆[考点三]复数的代数运算 9.(2023·新课标I卷)已知之= 2+27,则 1-i 义= () 新题快递 A.-i B.i C.0 D.1 1.(2023·全国乙卷（理）)设之= 2+i 10.(2023·天津卷)已知i是虚数单位，化简 +奶 ( 票的结果为 A.1-2i B.1+2i 11.已知复数满足|之|=1十3i一之，求 C.2-i D.2+i 1+D2(3+4)的值. 2.(多选)已知复数之1，之2，之，则下列结论正确 23 的是 ( A.若之1十之2=0，则x1|=|之2 B.若|之1+1=之2十1，则|11=2 C.号=x12 D.若=之12，则x3=之1之2 【《益智欢乐谷 世上没有坐享其成的好事，要幸福就要 奋斗！ 幸福是奋斗出来的，不是等出来的！向着 目标，我们一起努力吧！ 56