假期作业22 三角恒等变换-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版 全学年）

堡快系慨明 5.D[在△ABC中，BC=60×分=30(km),∠ABC=70 40°=30°，∠ACB=40°+65°=105°，则∠A=180°-(30°+ 105)=45°，由正弦定理，可得AC=15√2(km).故选D.] 6.A[如图所示，易知，在△ABC中，AB=t北 20,∠CAB=30°，∠ACB=45°， M20 银据正孩定理得0好程C =10√2（海里）.1 7.B[连接AC,由题意， A ∠ABC=45°，∠ACD=75 -15°=60°，∠BCD=75°+ 45°=120°， ∠ACB=60°，AB=10W3, CD=4√2， AB AC 在△ABC中，由正弦定理得，sin ACB=sin乙ABC,即 103_AC,则AC=102, 3√2 2 2 在△ACD中，由余弦定理得，AD=AC2十CD一2AC· CDcos,∠ACD=152, 则AD=2√38km.] 8.解析：在Rt△BCP,中，∠BP,C=a,在Rt△P,BC中， ∠P,= :∠BP,C=∠P,BP:+∠P∠PBP,=号 即△P,BP。为等腰三角形，BP=PP2=l,∴.BC=lsin a. 在R△ACP,中，S-S。an9D-o, .AC-lcos,BA=AC-BC=lcos'a-Isin a sin a sin a -l(cos'a-sin'a)lcos 2a sin a sin a 答案：lsin a lcos2a sin a 9.C[由余弦定理可得(2√3)2=AB十4一2×4·AB·cos60°， 整理得AB-4AB十4=0，解得AB=2,∴△ABC的面积S= 名AC·AB:simA=合×4X2x写=2原.故接C.] 10.C[由余弦定理可得a2=b+c2-2 bccos A,而三角形面 积为2 -besin A, 故58+-2asA-公-d=女mA 4 整里得到amA=-原，又A∈(0，，故A-至故选C] 11.解：(1)2sinC=3sinA,.2c=3a,又c=a+2, .a=4,b=5,c=6. sA公十d=是在△ABC中得nA=号 2bc 4 Souebesin A-13 4 (2)由△ABC为钝角三角形，b=a十1，c=a十2，得c边最 大，所以C角最大 cos C=a+6:-c2 =2+(a+1)2-(a+2)<0. 2ab 2a(a+1) 得a2-2a-3<0, 所以一1<a<3,因为a为正整数，所以a=1或a=2, 当a=1时，b=2,c=3,此时a十b=c,与题不符 ,∴.存在正整数a=2,使得△ABC为钝角三角形， 12.解：(1)在△OBC中，BC=4(3-1),OB=OC=4√2，所以 由余弦定理得cOs∠BOC二OB9CBC=3,所以 2OB·OC ∠B0C后，于是C的长为答4E-2g2 3π 0 00M= (2)设∠A0C=0.0e(0,）则∠B0c--9, Sg边形aACB=S△A0十S△B= ×42×4巨sin0+2× 2 42x42·sim(g-0）=24sin0+8v5cos0 =165sm(0+若）由于0c(o,) 所以9+吾∈(·）所以163sin(0+晋) (83,16√3]，所以四边形OACB面积的最大值为163. 新题快递 1.ABC[由正弦定理可得a:b:c=2:3:√7.设a=2m,b= 3m,c=√7m(m>0), [7m2·4m :.S4 7m2+4m2-9m 2 33m2=63,解得m=2, .△ABC的周长为a+b+c=4+6+2√7=10+27，故A 正确：曲余孩定理得c0sC=。+。二-16表08-士 2ab 2×4×6 :C∈(0，mC=吾：A+B+C=xA+B=经∴2C =A十B,故B正确；由正弦定理知，△ABC外接圆的直径 2RnC27-421,故C正确：由中线定理得。 sin 3 3 6=2c+2CD,即CD=号×(16+36-号×28）=10. .CD=√I9,故D错误.故选ABC.] 2.解析：设四门通天铜雕PQ的高度hm, 由∠PAQ=否，∠PBQ=T,∠PCQ= 3 得AQ-h,B0-A.CQ: 在△ABC中，因为∠ABQ十∠QBC=π， 所以cos∠ABQ=-cos∠QBC, 可得AB+BQ-AQ-BC+BQ-CQ 2AB·BQ 2BC·BQ 即400+2-(W3h)2 400+2- 2×20×h 2×20×h ,解得h=10√6， 所以四门通天铜雕的高度为10√6m. 答案：10√6m 假期作业22 思维整合室 1.sin acos cos asin cos acos sin asin tan atan tana士tanβ 2.2sin acos a cos'a-sin a 2cos a-1 1-2sin a 技能提升台素养提升 1.A 2.ABC[对于A,tan25°+tan35°+√3tan25°tan35°= tan(25°+35)(1-tan25°tan35)+3tan25°tan35°=√3 √3tan25°tan35°+√3tan25°tan35°=√3； 对于B,2(sin35cos25°+cos35cos65)=2(sin35cos25°+ cos35sin25)=2sin60°=√3； 对于c甚m5-"有 s=tan60°=√5； am否 对于D, 1 2an 烟会2X面行-受 综上，式子的运算结果为√3的选项为ABC.故选ABC.] 3.A[原式=2aml5tan30=5.] 1-tan215 三0002 富一数学) 4.解析：，0<a<元， 即k一 及≤≤kx十，kEZ时，函数f()为增函数。 ∴.tan /1-cos a sin a 2√1+cos& 1+cos a f)的单调递增区间为[k一吾，kx+]∈2 ∴.(1+cosa)tan2 =sin a. 又co(-）-sin,且1-osa=2sin2号， 12解，①由角a的终边过点P(一号一号) 4 4 得sina= 原式= -sin a-sin a -2sin a 5 ,所以sin(a十x)=一sina=5 2sin号 厄sin号 ②由有a的终边进àP(号，一音）得。= 3 2Esin号os号 由ma》-高释oset-士号 由B=(a十B)-a,得cosB=cos(a+3)cosa+sin(a+B)sina, 0a<0号<sin>0， 所以s一需或s广号 新题快递 原式=-2厄c0s受 1A[f)-号血(2+)十m(+若）-号 答案：-22cos号 5.B (+)+[+(2+)门9m(+） 6.B[因为sn(a-=sin acos-月osin=分 号ms(2+晋)+是=m(2++)+= cos asin月=名，则sinos=月号 1 m(2+号+）十=os2+ sin(a+)=sin acos 8+cos asin63 1+1=2 1 所以gr)=co2(x-9）+2=cos(2x-2p)+2' 即cos(2a+29》=1-2sin(a+D=1-2x(号)）=号] 因为函数g)的图象关于=否对称，所以2X百-29=kxk .D[由半角公式可知im号=0，解得sin号 ∈Z), -5 百-经k∈，因为g>0,所以k=0时，9=晋最小.] 所以9一6一2 &.解析：tana=an[(e-是)十] 2解析：m(2a+)号 (sin2a十cos2a） 22sin acos a+cos'a-sin'a 2 sin'a+cos'a 1-tan(e-）am至1- 5 4 22tana+1-tana_√2、3T9 2 答案：号 tana+1 2 +1 .B[由题意知f)=号snr十4X1十9=号nx十 = 72 2 26· 2osx+2=号in(x中g+2(关中amg专)又因为x长 答案号 R,所以)的最大值为号】 假期作业23 思维整合室 10,解折：调为f)=m吉cas音-Em专一号(smr 1.(1)ab(2)=≠=≠(3)a=c且b=d(4)a=c且b 十一》=(+）号，所以品我的最小正 =-d(5)1a+bi 3.(1)①(a+c)+(b+d)i②(a-c)+(b-d)i③(ac-bd)+(ad 周期为2：因为x∈【一0]，所以x+牙∈[一，]： +bc)i 0提+学2+两+s+) 技能提升台素养提升 1.B[由题意e=1-i,则=(1-i)=一2i,+i1-i计i-1 1 上取小准-1号 = -i,是纯虚数；：=2；i(计i)=i1-i计i)=i,是纯虚 -i 省案2x-1号 数.故选B.] 2 2(1+i) 11.解：(1)，f(x)=OA·OB=simx+sin xcos x+sinx-sinx 2BD[=1白ad+D1+i, -号m(一）十当2-至-2+号 z=2,22=2i,z的共轭复数为1-i,之的虚部为1.故A,C 错，B,D正确. 即=kx+受（∈刀时x)取得最大值2x)的装 3.B[由a十3i=(b十i)i,得u十3i=bi一1，复数相等定义，知a= 小正周期为元. 一1，b=3,故选B.] 4.D[之在复平面对应的点是（一1，W3),根据复数的几何意义，2 =一1十√3i,由共轭复数的定义可知，=一1一3i.] 当2张x-受≤2x-年≤26x+受k∈Z 5.A[由题知(1+3i)(3-i)=3-i十9i-3=6+8i,所以该复数 在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限.] 101三0022 假期作业22三角恒等变换 修身、齐家、治国、平天下 完成日期： 夕 日 思维整合室 3. 1-tan215° 2tan15° ( 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(a士β)= A.3 C.1 D.-1 3 cos(a千3)= tan(a士B)= 3 tan号1+cosa) 4.化简： (0<a a士a,3均不为灰x+受k∈Z √/1-cosa 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 <π)= sin 2a= ◆[考点二] 给值求值 cos 2a= 5.已知a∈ 0,2 ,2sin2a=cos2a+1,则 tan 2a- 21an&a,2a均不为kx+受k∈Z 1-tan'a sin a= 3.三角函数公式的变形 1 (l)tana士tanB=tan(a士β)(l千tan atan g); A. B 5 C 3 D.25 5 (2)cos1cos 2a,sin'a=1-cos 2 2 2 6.(2023·新课标1卷)已知in(a-)=号 (3)1+sin 2a=(sin a++cos a)2,1-sin 2a=(sin a -cosa,sine士eos&=Eine士f cos asin B=- ,则cos(2a+2B)=（ 《技能提升台 A号 c- D- 素养提升 7.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cosx= ◆[考点一] 给角求值 1.5sn-cocs受的值是 1+5,则sin号= 4 A.√2 R号 A36 B.-1+5 8 8 C.-2 D.sm径 C.3-5 4 D.-1+5 4 2.(多选)下列式子的运算结果为3的是() A.tan25°+tan35°+√3tan25°tan35 8.若an--，则tana B.2(sin35°c0s25°+c0s35°cos65°) ◆[考点三]三角变换的简单应用 C.m 9.函数fx)=3sim受cos受+4cos(x∈R) x tan 的最大值等于 6 D. 1-tan2 6 A.5 c. D.2 53 飞曼快乐假期 0M-= 10.若函数fu)=厄Zsin克-2sim受，则函 12.已知角a的顶点与原点O重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 数f(x)的最小正周期为 ;函数f(x) 在区间[一π，0]上的最小值是 P-- (l)求sin(a+元)的值； 11.已知OA=(1,sinx-1),OB=(sinx+ sin xcos x,sinx),f(x)=OA·OB(x∈ (2)若角B满足sin(a+8》=高：求cosB R).求： 的值. (1)函数f(x)的最大值和最小正周期； (2)函数f(x)的单调递增区间. 新题快递 1.将函数f(x)= 2 sin π】 2x+3}+ cos(+晋的图象向右平移e(p>o)个单 位长度，得到函数g(x)的图象关于x= 对称，则9的最小值为 A晋 B. C. D. 2.若tana=- 则m2a+} 《益智欢乐谷 前进步伐，永不停歇 六点起床很困难，背单词很困难，静下心 很困难…但是总有一些人，五点可以起床， 一天背六课单词，耐心读完一本书.谁也没有 超能力，但是自己可以决定一天去做什么事 情.你以为没有路，事实上路可能就在前方一 点点.那些比自己强大的人都在拼命，我们还 有什么理由停下脚步. 54