假期作业21 余弦定理、正弦定理的应用-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版 全学年）

三022 ×2Xb×sim60°= 1 1 -×2×AD×sin30°+ 3 2 若x>2,且sinC<1,即0z<1, 号×ADXb×sin30°， 即2<x<0,光时C有两解满足条件，此时命题力是假 解得：AD=6=25+=2. 命题： + 3+√3 当x=号时，此时有snC-1,C=号有唯一解，满足： 答案：2 11.解：(1)因为A+B=3C,所以A+B=3(x-A一B),所以A 当>号时，此时有sinC心1，里然C无解，不满足. 十B=华，所以C=干， 综上所迷，当0<<2或-吕时，命题p是真命题] 另外，由题意得：2sin(A一C)=sin(A+C), 2.AD[对于A,由正弦定理得sinA:sinB:sinC=a:b: p2sin Acos C-2cos Asin C c,所以sinA,sinB,sinC作为三条线段的长一定能构成三 =sin Acos C+cos Asin C. 所以sinA=3cosA,变形得sinA=9(1-sinA).故sinA 角彩A正殊，时于B,尚正资充理得：司B'C =30 1::,例知a=56=12c=13,则1=1,= c a5'b12' 101 言由子日日器+方=立+品篇+ 11 (2)由sinA=3cosA, 得cosA=号inA=, 10 合<日故不能构成三角形的三条边长，故B错误， 所以inB=sin(A+C)=3y@x+①x巨_2E 对于C,由正弦定理得sinA:sinB:sinC=a2:b:c2, 10 2 10 2 5 例如：a=3、b=4、c=5,则a°=9、b=16、c2=25, 尚二总解释AC-2而 则a+b=25=c2,sinA,sinB,sinC作为三条线段的长不 能构成三角形，C不正确； 所以5腰=2×5X2V而x3=15. 对于D,由正弦定理可得√sinA:√simB:√sinC=√a: 10 √b:,不妨设a<b<c,则a十b>c,故√a<√b<,且(Va+ 设AB边上的高为，别2AB·h=15,解得M=6.故AB b)-()=a+b-c+2√ab>2√ab>0,所以(a+b) 边上的高为6， >,故D正确.] 假期作业21 12.解：D因为Sa概=25aw=2X号×号×1Xsin60- 思维整合室 。=月，解得a=4, 1.解三角形3.(2)之-besin A 2 casin B 技能提升台素养提升 在△ADC中由余弦定理得6=1+2-2X1X2Xc0s3 1.C2.B =3, 3.B[如图所示建立平面直角坐标系，假设|OE=|OG引= 441,OF⊥EG, 在△ABD中，c2=1+22-2X1X2Xcos 3 y北 在△ABC中，cosB=+。-b=7+16-3-5 sin B 热带风暴中心 2ca 2√7×42√7 2V疗因此anB=sinB F =V-cosB= cos B 5 东 (2)在△ABC中，由中线长公式可得(2AD)十BC2= 西 2(AB2十AC),即2+a=2(b十c2)=16,所以a2=12,又 0基地 SAc=号bcsin A=原，因而besin A=2原，又由余孩定理 南 得a2=b+c2-2 bccos A,即12=8-2 bccos A,所以bccos A= 由题意易知1OF1=巨×588=2942，则1GF1 2 1 -2,故tanA=-3cosA=-2,所以6c=4,又b+ √OG-10F下=√21609=147， c2+2bc=8+8=16=(b+c)2,b+c2-2bc=8-8=0= (b-c),故可得b=c=2. 所以该基地受热带风暴中心影响的时长EG=147×2 21 21 新题快递 =14.] 1.D[在△ABC中，由已知可得，sinA= 4.解析：在△ABC中，AB=40,AC=20,∠BAC=120°， 由余弦定理得BC2=AB+AC2一2AB·AC·cos120° √1-cos'A=3 A =2800→BC=20√7. 又0sA=吉>0所以A为能角， 由正接定理，泽n之CnC BC 由正孩定理可得，snA一snC →n∠ACR=2 ·sin∠BAC=V2I 7 3 所以，sinC=ABsin A_523 由∠BAC-120°，知∠ACB为锐角，则c0s∠ACB=2 7 BC 2=10. 由9=∠ACB+30°，得cos0=cos(∠ACB+30) 要使命题力是真命题，则C有唯一满足条件的解. 若0<<2，期sinC<号，显然C有唯一满足条件的解： =cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=y2I 14 若x=2,则C=A,满足； 管案阳 99 化曼快乐假期 0M-= 1 5.D[在△ABC中，BC=60× =30(km),∠ABC=70° (2)设∠A0c=.e(,)别∠B0c--0， 40°=30°，∠ACB=40°+65°=105°，则∠A=180°-(30°+ 105)=45°，由正弦定理，可得AC=15√2(km).故选D.] S连0AB=S△A十S△0= ×4巨×42sim0+2× 2 6.A[如图所示，易知，在△ABC中，AB=1北 20,∠CAB=30°，∠ACB=45°， 东 42X4vE:sim(停-）=24sn0+85c0s0 BC 根据正弦定理得sn30 sim行，解得BC AB 5°c不 =16in(+音）由于e（0.) =10√2（海里）.] 7.B[连接AC,由题意， 所以0+音∈（后晋）所以16sin(+吾)∈ ∠ABC=45°，∠ACD=75° (8√5,16√3]，所以四边形OACB面积的最大值为16V5. -15°=60°，∠BCD=75°+ 新题快递 45°=120°， 1.ABC[由正弦定理可得a:b:c=2:3:7.设a=2m,b= ∠ACB=60°，AB=10√3， 3m,c=√7m(m>0), CD=4√2， 7m+4m2-9m AB Ac 在△ABC中，由正弦定理得，sn2ACB=sinZABC,即 s√m4m 103_AC,则AC=10, m=63,解得m=2, ∴.△ABC的周长为a十b+c=4+6+2√7=10+2√7，故A 2 2 在△ACD中，由余弦定理得，AD=AC+CD一2AC· 正确：由余孩定理得c0sC=。+5-C=16十36-28-1 2ab 2×4×6 2 CDcos∠ACD=152, 则AD=2√38km.] :C∈0，C=吾：A+B+C=x∴A+B=要2C 8.解析：在Rt△BCP,中，∠BP,C=a,在Rt△P,BC中， =A十B,故B正确；由正弦定理知，△ABC外接圆的直径 ∠P=受 2R= sin C =2万=4y四，故C正确：由中线定理得a十 “∠BPC=∠PBP:+∠P∴∠PBP:= sn 3 即△PBP,为等腰三角形，BP,=P,P,=l,.BC=lsin a. 6=c+20D,即CD=2×(6+36-×28）=19. 在OCACP,中，S=7S。iano0-e ∴.CD=√I9,故D错误.故选ABC.门 2.解析：设四门通天铜雕PQ的高度hm, .AC=lcos,BA=AC-BC=lcos a-Isin a sin a sin a 由∠PAQ-音，∠PQ=÷,∠PCQ= l(cos a-sin'a)lcos 2a sin a sin a 得AQ=,BQ=h,CQ- 3h, 答案：lsin&cos2e 在△ABC中，因为∠ABQ十∠QBC=π， sin a 所以cos∠ABQ=-cos∠QBC, 9.C[由余弦定理可得(2V3)=AB+4-2X4·AB·cos60°， BC+BQ-CQ 整理得AB-4AB十4=0，解得AB=2,∴.△ABC的面积S= 可得AB+BQ-AQ 2AB·BQ 2BC·BQ AC·AB·sinA=名X4X2x9-=2.&选C.] 2 即400+2-(W3) 400+R2- 10.C[由余弦定理可得a2=b十c2-2 bccos A,而三角形面 2×20×h 2×20×h ,解得h=10√6， 积为2 besin A, 所以四门通天铜雕的高度为10√6m. 装6+父-2A-方-》名nA 答案：10√6m 4 假期作业22 签理得到tanA=-3,又A∈(0，x),故A=2红.故选C.] 思维整合室 3 l.sin acoscos asin9 cos acosB士sin asin干tan atan月 tana士tanB 11.解：(1)2sinC=3sinA,∴.2c=3a,又，c=a+2, .a=4,b=5,c=6. 2.2sin acos a cos'a-sin'a 2cos'a-1 1-2sin'a C0sA=十c一a=,在△ABC中得smA=√7 技能提升台素养提升 2bc 4 1.A Saw=子esinA=15 2.ABC[对于A,tan25°+tan35°+√3tan25°tan35°= 4 tan(25°+35°)(1-tan25°tan35°)+√3tan25°tan35°=√3 (2)由△ABC为钝角三角形，b=a十1，c=a十2，得c边最 √3tan25°tan35°+√3tan25°tan35°=√3； 大，所以C角最大 osC-Q+s2-+a+1=a+2y<0. 对于B,2(sin35cos25°+cos35cos65)=2(sim35cos25°+ 2ab 2a(a+1) cos35°sin25)=2sin60°=V3; 得a2-2a-3<0, 对子ca =an45°十tam15 1-tan45°tan15 s=tan60°=√3； 所以-1<a<3,因为a为正整数，所以a=1或a=2, 当a=1时，b=2,c=3,此时a十b=c,与题不符 对于D, tan 6 1 2tan .存在正整数a=2,使得△ABC为钝角三角形， 2 12.解：(1)在△OBC中，BC=4(3-1),OB=OC=4V2,所以 1-am君 1-tan 由奈茶充理浮s∠0C-OBC-号所以 综上，式子的运算结果为√3的选项为ABC.故选ABC.] 2OB·OC 1 3.A[原式= ∠B0C-吾，于是C的长为音·4万=2 2tan15° tan30-V3.] 3元 1-tan'15 100火终快乐暖明 假期作业21余弦定理、正弦 《思维整合室 1.解三角形应用题的基本思想 解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实 际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过 解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是 将实际问题转化为 问题， 2.运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基 本步骤 (1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示 意图（一个或几个三角形）； (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量 与待求量尽可能地集中在有关三角形中， 建立一个解三角形的数学模型； (3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形， 求得数学模型的解； (4)检验：检验所求的解是否符合实际问题，从 而得出实际问题的解 3.三角形面积公式 (1)三角形的高的公式：hA=bsin C=csin B, hp=csin A-asin C,hc-asin B-bsin A. (2)三角形的面积公式：S= 2absin C,S= ,S= 【《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]测量角度问题 1.若水平面上点B在点A南偏东30°方向上， 则在点A处测得点B的方位角是() A.60° B.120° C.150 D.210° 2.如图，两座相距60m的建C 筑物AB,CD的高度分别 为20m,50m,BD为水平 面，则从建筑物AB的顶端 D A看建筑物CD的张角∠CAD= A.30° B.45° C.60 D.75° 50 S0M-= 定理的应用 青，取之于蓝而青于蓝 完成日期： 月 3.根据气象部门提醒，在距 北 入热带风暴中心 离某基地正北方向588km 45 处的热带风暴中心正以 西 基地 21km/h的速度沿南偏 ↓南 东45°方向移动，距离风暴中心441km以内 的地区都将受到影响，则该基地受热带风暴 中心影响的时长为 A.7 h B.14h C.(14√2-7)h D.(14√2+7)h 4.如图所示，位于A处的 北 十东 信息中心获悉：在其正 A 40 东方向相距40海里的 20③ B处有一艘渔船遇险， 在原地等待营救，信息中心立即把消息告知 在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船， 现乙船朝北偏东O的方向沿直线CB前往B 处救援，则cos0的值为 ◆[考点二]测度距离和高度问题 5.如图，巡航艇在海上 ↑北 以60km/h的速度 B 20丽 沿南偏东40°的方向 北 65 航行.为了确定巡航 艇的位置，巡航艇在B处观测灯塔A,其方 向是南偏东70°，航行)h到达C处，观测灯 塔A的方向是北偏东65°，则巡航艇到达C 处时，与灯塔A的距离是 A.10 km B.10√2km C.15 km D.15√/2km 三-0022 6.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的 速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟 后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处 观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B,C 两点间的距离是 ( A.10√2海里 B.10√3海里 C.20√3海里 D.20√2海里 7.为运输方便，某工程 B 队将从A到D修建 一条湖底隧道，如 图，工程队从A出发向正东行10√3km到 达B,然后从B向南偏西45°方向行了一段 距离到达C,再从C向北偏西75°方向行了 4√2km到达D,已知C在A南偏东15°方 向上，则A到D的距离为 ( A.15√6km B.2√38km C.10√2km D.15√3km 8.如图，一位同学从P处观 测塔顶B及旗杆顶A,得 仰角分别为a和90°-a. 后退lm至点P2处再观 P 测塔顶B,仰角变为原来 的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地 面，且C,P,P2三点在同一条水平线上，则 塔BC的高为 m;旗杆BA的高为 m.(用含有l和a的式子表示) ◆[考点三]三角形的面积问题 9.在△ABC中，A=60°，AC=4,BC=2√3，则 △ABC的面积为 () A.4√3B.4 C.23 D.2√2 10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,.若 △ABC的面积为 5(a2--c),则角A= 4 A.否 D.5 51 高一数柴 1.在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别 为a,b,c,b=a+1,c=a+2. (1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面积； (2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角 三角形？若存在，求出a的值；若不存在， 说明理由. 火密快乐喉期 12.如图，已知扇形的圆心角 ∠AOB= 行半径为4瓦， 若点C是AB上的一动点 (不与点A,B重合). (1)若弦BC=4(√3-1)，求BC的长； (2)求四边形OACB面积的最大值， S0M-= 新题快递 1.(多选)《数书九章》是南宋时期著名的数学 家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个 问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》 中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在 某一卷中提出了“三斜求积”，其求法是“以小 斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以 小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从 隅，开平方得积.”即已知三角形三边a,b,c,求 面积的公式.若把以上这段文字写成公式，即 s-e- 现有△ABC 满足sinA:sinB:sinC=2:3:√7，且 △ABC的面积S=6√3，请运用上述公式判 断下列结论正确的是 ) A.△ABC的周长为10+27 B.△ABC三个内角A,B,C满足2C=A+B C△ABC外接圈的直径为园 D.△ABC的中线CD的长为3√2 2.某中学研究性学习小组为测量四门通天铜 雕高度，在和它底部位于同一水平高度的共 线三点A,B,C处测得铜雕顶端P处仰角 分别为若，子，5，且AB=BC=20m,则四 门通天铜雕的高度为 m. 【《益智欢乐谷 中国女排打了8场，赢了5 了一起 场，输了3场，冠军！ 了一 塞尔维亚打了8场，赢了6 场，输了2场，亚军！ 美国女排打了8场，赢了7 场，输了1场，季军！ [总结]人生呀，关键不在于你赢过多少 次，而在于你在什么时候，什么场次赢了什么 对手！ 52