假期作业9 余弦定理、正弦定理的应用-【快乐假期】2025年高一数学暑假大作业（北师大版）

即 ２sin π３＝sinB＋sin π ３＋B( ) ,整理得sin B＋ π ６( ) ＝ ２２． ∵B∈ ０,２π３( ) ,∴B＋ π ６∈ π ６ ,５π ６( ) , ∴B＋π６＝ π ４ 或３π ４ ,解得B＝π１２ 或７π １２． 选择条件②,∵A＋B＋C＝π, ∴B＋C２ ＝ π ２－ A ２． 由bsinB＋C２ ＝asinB 得, bcosA２＝asinB , 由正弦定理知,sinBcosA２＝sinAsinB ＝２sinA２cos A ２sinB , 又sinB＞０,cosA２＞０ ,可得sinA２＝ １ ２． 又∵A∈(０,π),∴A２＝ π ６ ,故A＝π３． 下同选择条件①． 选择条 件③,由asinB＝bcos A－π６( ) 及 正 弦 定 理 得 sinAsinB＝sinBcos A－π６( ) , ∵sinB＞０,∴sinA＝cos A－π６( )＝ ３ ２cosA＋ １ ２sinA , 解得tanA＝ ３． ∵A∈(０,π),∴A＝π３． 下同选择条件①． 假期作业９ 思维整合室 １．解三角形　３．(２)１２bcsinA　 １ ２casinB 技能提升台　素养提升 １．C　２．B　 ３．B　[如图所示建立平面直角坐标系,假设|OE|＝|OG| ＝４４１,OF⊥EG, 由题意 易 知|OF|＝ ２２ ×５８８＝２９４ ２ ,则|GF|＝ |OG|２－|OF|２＝ ２１６０９＝１４７, 所以该基地受热带风暴中心影响的时长|EG| ２１ ＝ １４７×２ ２１ ＝１４．] ４．解析:在△ABC中,AB＝４０,AC＝２０,∠BAC＝１２０°, 由余弦定理得BC２＝AB２＋AC２－２AB􀅰AC􀅰cos１２０° ＝２８００⇒BC＝２０ ７． 由正弦定理,得 AB sin∠ACB＝ BC sin∠BAC ⇒sin∠ACB＝ABBC 􀅰sin∠BAC＝ ２１７ ． 由∠BAC＝１２０°,知∠ACB为锐角,则cos∠ACB＝２ ７７ ． 由θ＝∠ACB＋３０°,得cosθ＝cos(∠ACB＋３０°) ＝cos∠ACBcos３０°－sin∠ACBsin３０°＝ ２１１４ ． 答案: ２１ １４ ５．D　[在△ABC中,BC＝６０× １２＝３０ (km),∠ABC＝７０° －４０°＝３０°,∠ACB＝４０°＋６５°＝１０５°,则 ∠A＝１８０°－ (３０°＋１０５°)＝４５°,由正弦定理,可得 AC＝１５ ２(km)． 故选 D．] ６．A　[如图所示,易知,在△ABC 中,AB ＝２０,∠CAB＝３０°,∠ACB＝４５°, 根据正弦定理得 BC sin３０°＝ AB sin４５° ,解得 BC＝１０ ２(海里)．] ７．B　 [连 接 AC,由 题 意, ∠ABC＝４５°,∠ACD＝ ７５°－１５°＝６０°,∠BCD＝ ７５°＋４５°＝１２０°, ∠ACB＝６０°,AB ＝１０ ３,CD＝４ ２, 在△ABC中,由正弦定理得, ABsin∠ACB＝ AC sin∠ABC ,即 １０ ３ ３ ２ ＝AC ２ ２ ,则AC＝１０ ２, 在△ACD 中,由余弦定理得,AD２＝AC２＋CD２－２AC􀅰 CDcos∠ACD＝１５２, 则AD＝２ ３８km．] ８．解析:在 Rt△BCP１ 中,∠BP１C＝α,在 Rt△P２BC中, ∠P２＝ α ２． ∵∠BP１C＝∠P１BP２＋∠P２,∴∠P１BP２＝ α ２ , 即△P１BP２ 为等腰三角形,BP１＝P１P２＝l,∴BC＝lsinα． 在 Rt△ACP１ 中, AC CP１ ＝ AClcosα＝tan (９０°－α), ∴AC＝lcos ２α sinα ,则BA＝AC－BC＝lcos ２α sinα－lsinα ＝l (cos２α－sin２α) sinα ＝ lcos２α sinα ． 答案:lsinα　lcos２αsinα ９．C　[由余弦定理可得(２ ３)２＝AB２＋４２－２×４􀅰AB􀅰 cos６０°,整理得AB２－４AB＋４＝０,解得AB＝２, ∴△ABC的面积S＝１２AC 􀅰AB􀅰sinA＝１２×４×２× ３ ２ ＝２ ３．故选 C．] １０．C　[由余弦定理可得a２＝b２＋c２－２bccosA,而三角形 面积为１ ２bcsinA , 故 ３(b ２＋c２－２bccosA－b２－c２) ４ ＝ １ ２bcsinA , 整理得到tanA＝－ ３,又 A∈(０,π),故 A＝２π３． 故 选 C．] １１．解:(１)２sinC＝３sinA,∴２c＝３a,又∵c＝a＋２, ∴a＝４,b＝５,c＝６． cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝ ３ ４ ,在△ABC中得sinA＝ ７４ , S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ １５ ７ ４ ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９５ (２)由△ABC为钝角三角形,b＝a＋１,c＝a＋２,得c边 最大,所以C角最大 cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ＝ a２＋(a＋１)２－(a＋２)２ ２a(a＋１) ＜０ , 得a２－２a－３＜０, 所以－１＜a＜３,因为a为正整数,所以a＝１或a＝２, 当a＝１时,b＝２,c＝３,此时a＋b＝c,与题不符 ∴存在正整数a＝２,使得△ABC为钝角三角形． １２．解:(１)在△OBC 中,BC＝４(３－１),OB＝OC＝４ ２, 所以由余弦定理得cos∠BOC＝OB ２＋OC２－BC２ ２OB􀅰OC ＝ ３２ ,所以∠BOC＝π６ ,于是BC︵ 的长为 π６􀅰４ ２ ＝２ ２３ π． (２)设∠AOC＝θ,θ∈ ０,２π３( ) ,则∠BOC＝ ２π ３－θ , S四边形OACB＝S△AOC＋S△BOC ＝ １ ２×４ ２×４ ２sinθ＋ １ ２ ×４ ２×４ ２􀅰sin ２π３－θ( )＝２４sinθ＋８ ３cosθ ＝１６ ３sinθ＋π６( ) ,由于θ∈ ０, ２π ３( ) , 所以θ＋π６∈ π ６ ,５π ６( )．所以１６ ３sinθ＋ π ６( ) ∈ (８ ３,１６ ３],所以四边形OACB面积的最大值为１６ ３． 新题快递 １．ABC　[由正弦定理可得a∶b∶c＝２∶３∶ ７．设a＝ ２m,b＝３m,c＝ ７m(m＞０), ∴S＝ １４ ７m ２􀅰４m２－ ７m ２＋４m２－９m２ ２( ) ２ [ ] ＝３ ３２ m ２＝６ ３,解得m＝２, ∴△ABC的周长为a＋b＋c＝４＋６＋２ ７＝１０＋２ ７,故 A正确;由余弦定理得cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ＝ １６＋３６－２８ ２×４×６ ＝１２ ,∵C∈(０,π),∴C＝ π３ ,∵A＋B＋C＝π,∴A＋B ＝２π３ ,∴２C＝A＋B,故 B 正 确;由 正 弦 定 理 知,△ABC 外接圆的直径２R＝ csinC＝ ２ ７ sin π３ ＝４ ２１３ ,故 C正确; 由中线定 理 得a２ ＋b２ ＝ １２c ２ ＋２CD２,即 CD２ ＝ １２ × １６＋３６－１２×２８( )＝１９,∴CD＝ １９,故 D错误． 故选 ABC．] ２．解析:设四门通天铜雕PQ 的高度h m, 由∠PAQ＝π６ ,∠PBQ＝ π４ ,可得AQ＝ ３ h,BQ＝h,CQ＝ ３３h , 在△ABC中,因为∠ABQ＋∠QBC＝π, 所以cos∠ABQ＝－cos∠QBC, 可得AB ２＋BQ２－AQ２ ２AB􀅰BQ ＝－ BC２＋BQ２－CQ２ ２BC􀅰BQ , 即４００＋h ２－(３h)２ ２×２０×h ＝ － ４００＋h２－ ３ ３h æ è ç ö ø ÷ ２ ２×２０×h ,解 得 h＝ １０ ６, 所以四门通天铜雕的高度为１０ ６m． 答案:１０ ６m 假期作业１０ 思维整合室 １．sinαcosβ±cosαsinβ　cosαcosβ±sinαsinβ　 tanα±tanβ １∓tanαtanβ 　２．２sinαcosα　cos２α－sin２α　２cos２α－１　 １－２sin２α 技能提升台　素养提升 １．A　 ２．ABC　[对于 A,tan２５°＋tan３５°＋ ３tan２５°tan３５° ＝tan(２５°＋３５°)(１－tan２５°tan３５°)＋ ３tan２５°tan３５° ＝ ３－ ３tan２５°tan３５°＋ ３tan２５°tan３５°＝ ３; 对于B,２(sin３５°cos２５°＋cos３５°cos６５°)＝２(sin３５°cos２５°＋ cos３５°sin２５°)＝２sin６０°＝ ３; 对于 C,１＋tan１５°１－tan１５°＝ tan４５°＋tan１５° １－tan４５°tan１５°＝tan６０°＝ ３ ; 对于D, tanπ６ １－tan２ π６ ＝１２× ２tanπ６ １－tan２ π６ ＝１２×tan π ３＝ ３ ２． 综上,式子的运算结果为 ３的选项为 ABC．故选 ABC．] ３．A　[原式＝ １２tan１５° １－tan２１５° ＝ １tan３０°＝ ３． ] ４．解析:∵０＜α＜π, ∴tanα２＝ １－cosα １＋cosα＝ sinα １＋cosα , ∴(１＋cosα)tanα２＝sinα． 又∵cos ３π２－α( )＝－sinα,且１－cosα＝２sin ２α ２ , ∴原式＝－sinα－sinα ２sin２α２ ＝ －２sinα ２ sinα２ ＝－ ２ ２sinα２ cos α ２ sinα２ ∵０＜α＜π,∴０＜α２＜ π ２ ,∴sinα２ ＞０． ∴原式＝－２ ２cosα２． 答案:－２ ２cosα２ ５．B　 ６．B　[因为sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝ １ ３ , cosαsinβ＝ １ ６ ,则sinαcosβ＝ １ ２． 故sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝ １ ２＋ １ ６＝ ２ ３． 即cos(２α＋２β)＝１－２sin ２(α＋β)＝１－２× ２ ３( ) ２ ＝１９． ] ７．D　[由 半 角 公 式 可 知 sin２ α２ ＝ １－cosα ２ ,解 得 sinα２ ＝ ５－１４ ． ] ８．解析:tanα＝tan α－π４( )＋ π ４[ ] ＝ tanα－π４( )＋tan π ４ １－tanα－π４( ) 􀅰tan π ４ ＝ １ ６＋１ １－１６ ＝７５． 答案:７ ５ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０６ 　　　　　假期作业９　余弦定理、正弦定理的应用　　　　　 １．解三角形应用题的基本思想 解三角形应用题时,通常都要根据题意,从 实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后 通过解三角形,得到实际问题的解,求解的 关键是将实际问题转化为　　　　 　 问题． ２．运用正弦定理、余弦定理解决实际问题 的基本步骤 (１)分析:理解题意,弄清已知与未知,画出 示意图(一个或几个三角形); (２)建模:根据已知条件与求解目标,把已 知量与待求量尽可能地集中在有关三 角 形 中,建 立 一 个 解 三 角 形 的 数 学 模型; (３)求解:利用正弦定理、余弦定理解三角 形,求得数学模型的解; (４)检验:检验所求的解是否符合实际问 题,从而得出实际问题的解． ３．三角形面积公式 (１)三角形的高的公式:hA＝bsinC ＝csinB,hB＝csinA＝asinC,hC ＝asinB＝bsinA． (２)三角形的面积公式:S＝１２absinC , S＝　　　　,S＝　　　　． ◆[考点一]　测量角度问题 １．若水平面上点B 在点A 南偏东３０°方向 上,则在点A 处测得点B 的方位角是 (　　) A．６０° B．１２０° C．１５０° D．２１０° ２．如 图,两 座 相 距 ６０ m 的 建 筑 物 AB,CD 的 高 度 分 别 为 ２０ m, ５０m,BD 为 水 平 面, 则从建 筑 物 AB 的 顶 端 A 看 建 筑 物 CD 的张角∠CAD＝ (　　) A．３０° B．４５° C．６０° D．７５° ３．根据气象部门提醒,在 距离某基地正北方向 ５８８km处的热带风暴 中心正以２１km/h的 速度沿南偏东 ４５°方 向移动,距离风暴中心４４１km 以内的地 区都将受到影响,则该基地受热带风暴 中心影响的时长为 (　　) A．７h B．１４h C．(１４ ２－７)h D．(１４ ２＋７)h ４．如 图 所 示,位 于 A 处的信息中心获悉: 在其正东方向相距 ４０海里的B处有一 艘渔船遇险,在原地 等待营救,信息中心立即把消息告知在其 南偏西３０°、相距２０海里的C处的乙船, 现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往 B处救援,则cosθ的值为　　　　． ◆[考点二]　测度距离和高度问题 ５．如图,巡航艇在海 上以６０km/h的 速 度 沿 南 偏 东 ４０°的 方 向 航 行． 为了确定巡航艇 的位置,巡航艇在 B 处观测灯塔A,其方向是南偏东７０°,航 行１ ２h 到达C 处,观测灯塔A 的方向是 北偏东６５°,则巡航艇到达C 处时,与灯 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８１ 塔A 的距离是 (　　) A．１０km　　　　　　B．１０ ２km C．１５km D．１５ ２km ６．一艘海轮从A 处出发,以每小时４０海里 的速度沿南偏东４０°的方向直线航行,３０ 分钟后到达B 处,在C处有一座灯塔,海 轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 ７０°,在B 处观察灯塔,其方向是北偏东 ６５°,那么B,C两点间的距离是 (　　) A．１０ ２海里 B．１０ ３海里 C．２０ ３海里 D．２０ ２海里 ７．为运输方便,某工 程队将从A 到D 修建一条湖底隧 道,如图,工程队从 A 出发向正东行１０ ３km到达B,然后从B 向南偏西４５°方 向行了一段距离到达C,再从C向北偏西 ７５°方向行了４ ２km 到达D,已知C 在 A 南偏东１５°方向上,则A 到D 的距离为 (　　) A．１５ ６km B．２ ３８km C．１０ ２km D．１５ ３km ８．如图,一位同学从 P１ 处观测塔顶B 及旗杆 顶A,得仰角分别为α 和９０°－α．后退lm 至 点 P２ 处 再 观 测 塔 顶 B,仰角变为原来的一半,设塔CB 和旗 杆BA 都垂直于地面,且C,P１,P２ 三点 在 同 一 条 水 平 线 上,则 塔 BC 的 高 为　　　　m;旗杆BA的高为　　　　m． (用含有l和α的式子表示) ◆[考点三]　三角形的面积问题 ９．在△ABC中,A＝６０°,AC＝４,BC＝２ ３, 则△ABC的面积为 (　　) A．４ ３　　B．４　　C．２ ３　　D．２ ２ １０．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别 为 a,b,c．若 △ABC 的 面 积 为 ３(a２－b２－c２) ４ ,则角A＝ (　　) A．π６ B． π ３ C． ２π ３ D． ５π ６ １１．在△ABC 中,角A,B,C 所对的边长分 别为a,b,c,b＝a＋１,c＝a＋２． (１)若 ２sinC＝３sinA,求 △ABC 的 面积; (２)是否存在正整数a,使得△ABC 为 钝角三角形? 若存在,求出a 的值;若 不存在,说明理由． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９１ １２．如图,已知扇形的圆心 角∠AOB＝２π３ ,半径为 ４ ２,若点C 是AB ︵ 上的 一动点(不与点A,B 重合)． (１)若弦BC＝４(３－１),求BC ︵ 的长; (２)求四边形OACB 面积的最大值． １．(多选)«数书九章»是南宋时期著名的数 学家秦九韶的著作,全书十八卷,共八十 一个问题,分为九类,每类九个问题,«数 书九章»中记录了秦九韶的许多创造性 成就,其中在某一卷中提出了“三斜求积”, 其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余 半之,自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上,余 四约之,为实．一为从隅,开平方得积．”即已 知三角形三边a,b,c,求面积的公式．若把以 上 这 段 文 字 写 成 公 式,即 S ＝ １ ４c ２a２－c ２＋a２－b２ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ é ë êê ù û úú．现有△ABC 满 足sinA∶sinB∶sinC＝２∶３∶ ７,且 △ABC的面积S＝６ ３,请运用上述公式 判断下列结论正确的是 (　　) A．△ABC的周长为１０＋２ ７ B．△ABC三个内角A,B,C满足２C＝A＋B C．△ABC外接圆的直径为４ ２１３ D．△ABC的中线CD 的长为３ ２ ２．某中学研究性学习小组为测量四门通天 铜雕高度,在和它底部位于同一水平高 度的共线三点A,B,C处测得铜雕顶端P 处仰角分别为π ６ ,π ４ ,π ３ ,且AB＝BC＝２０ m,则四门通天铜雕的高度为　　　m． 中国女排打了８场,赢 了５场,输了３场,冠军! 塞尔维亚打了８场,赢 了６场,输了２场,亚军! 美国女排打了８场,赢 了７场,输了１场,季军! [总结]　人生呀,关键不在于你赢过 多少次,而在于你在什么时候,什么场次赢 了什么对手! 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０２