假期作业19 余弦定理-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版 全学年）

k壑快乐假 0M-= 假期作业19余弦定理 绳锯木断，水滴石穿。 完成日期： 夕 日 〈《思维整合室 3.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a, 1.余弦定理 bc若a=2.c=2月，c0sA=因，且6<c 三角形任何一边的平方等于其他两边的 则b= 平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 A.5 B.2 的积的两倍，即a2=b2+c2-2 bccos A,b2 C.2√2 D.3 ,c2 2.余弦定理的推论 4.在△ABC中，BC-3,AC=5,受<B<x,则 从余弦定理，可以得到它的推论 边AB的取值范围是 ( cos A= 62+c2-a2 A.(2,8) B.(1,4) 2bc C.(4,+∞) D.(2,4) cos B= ◆[考点二] 已知三边或三边的关系解三 cos C= 角形 3.余弦定理与勾股定理 5.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那 从余弦定理和余弦函数的性质可知，如 么它的顶角的余弦值为 果一个三角形两边的平方和等于第三边 的平方，那么第三边所对的角是 清 ;如果小于第三边的平方，那么第 三边所对的角是 ；如果大于 c n 第三边的平方，那么第三边所对的角是 6.若△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5, 从上可知，余弦定理可以 CA=6,则AB·BC的值为 ( 看作是勾股定理的推广， A.19 B.14 〈《技能提升台 C.-18 D.-19 7.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角 素养提升 的和是 ( ◆[考点一]已知两边及一角解三角形 A.75° B.90° 1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹 C.1359 D.120 ，则三角形的第三边长为 8.(2023·上海卷)△ABC中，角A,B,C所对 角的余弦值是一 的边分别为a=4,b=5,c=6,则sinA ( ) A.52 B.2√/13 ◆[考点三]余弦定理的综合应用 C.16 D.4 9.△ABC的三边上的高分别为h1,h2,h3.若 2,在△ABC中c0sC=号，AC=4,BC=3,则 k::,-吉：号：日则最大角的余弦 cos B= ( ) 值为 A. A 1 B. c 2 D. C.g D.9 46 三-022 高一数半 10.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 12.(2022·新高考I卷)记△ABC的内角A, 是a,bc,已知c=2h.若sinC=子，则sinB B,C的对边分别为a,b,c,已知、A ;若b2+bc=2a2,则cosB= sin 2B 1+cos 2B 11.（2023·全国甲卷（理）)记△ABC的内角 2元，求B: (1)若C=3, A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知公+ca=2. (2)求Q+b c2儿的最小值. cos A (1)求bc; (2)若acosB-c0sA-b=1,求△ABC acos B+bcos A c 面积 新题快递 1.三角形内角平分线定理：三角形的内角平分 线内分对边，所得的两条线段与这个角的两 边对应成比例.已知△ABC中，AD为 ∠BAC的角平分线，与BC交于点D,AB= 3,AC=4,BC=5,则AD= () A号B9 c52 n.122 2.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a, b,c.若a=8,c=7,0sA-7,则b- C= 【《益智欢乐谷 一哥们家里着火了 我是 他报警说：119吗？我家 发生火灾了… 119问：在哪里？ 他说：在我家 119问：具体点 他说：在我家的厨房里 119问：我说你现在的位置 他说：我趴在桌子底下 119:我们怎样才能到你家？ 他说：你们不是有消防车吗 119说：烧死你个二百五算了…… 47三0022------ 5.ABC[|a+b=|a-b台|a+b|2=|a-b|2台a2+2a·b +b=a2-2a·b+b台a·b=0,a2+b=(a-b)2台→a2+b =a-2a·b+b台a·b=0.] 6.B[向量a,b满足a+b=(2,3), a-b=(一2,1)， 所以|a2-|b|2=(a+b)·(a一b)=2×(-2)+3×1= -1.] 7.D[(a+b)·(a+b)=a+(+z)(a·b)+λb =2(1+)=0,所以=-1.] 8.解析：c=a+b=(3,1)+k(1,0)=(k+3,1),由a⊥c得a· c=0,所以3k+3)+1=0,解得k=-9. 3 答案：-号 9.D[由a十b+c=0得a十b=-c,所以(a十b)2=(一c)2, 即a2+2a·b+b2=c2,又|al=b1=1,c=√2， 所以a·b=0,所以a⊥b. 如图所示：a一c=CA,b一c=CB,由 余弦定理得|CA|=|CB|=√5，所以 cOs∠ACB=5+5-2=4 25×55 a 即cosa-c6c0=吾] 10.解析：由向量a,b的夹角为子，且(a-b)Lb, 得(a-b)·b=a…b-B=之1ab1-b1=0, 所以a=26,合=2. 因为a+b1=√(a+b)F=√a+2a·b+b =√4b+2bP+b下=√71b1, |a-b=√(a-b)=√a-2a·b+b =√4b-2b+b平=31b1, 所以日名- 答案：22虹 3 11.解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF 是AM的中垂线，设AM与EF交于点 D N,则N是AM的中点，又正方形边长为 8,所以M(8,4),V(4,2). 设点E(e,0),则AM=(8,4).A=(4,0B 2),AE=(e,0),EN=(4-e,2), 由AMLEN,得AM·EN=0,即(8,4)·(4-e,2)=0,解 得e=5,即AE=5. 所以S6am=子AB=2×5X4=10, 12.解：(1)：AB·AC=0,.ABLAC. 又1AB=12,|BC1=15,.|AC1=9. 由已知可得AD=号(A店+AC.C=A店-AC, A市.=i+心访-A心 =合A店-Ac产)=314-81)-9 (2)A正.CB的值为一个常数. 理由：：l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D,E 为1上异于D的任意一点，DE·CB=0. 故AE.CB=(AD+DE)·CB=AD.CB+DE.CB= 市.C店=2（常数） 91 高一数类 新题快递 1.解析：由a十b=|2a-b1,得a2=2a·b: 由a-b=√3，得a-2a·b+b=3,即b=3, 1b=√3. 答案：W3 2.A[设正方形的边长为2，如图 建立平面直角坐标系. 则A(一1,0)，B(1,0),C(1,2), D(-1,2),P(cos0,sin)(其中0 <0<x), PA+PB+P元+PD=(-1 cos 0,-sin 0)++(1-cos 0,-sin +(1-cos6,2-sin6)+(-1 cos0,2-sin0)=(-4cos0,4- 4sin 0) 所以1PA+PB+PC+PD1=√-4cos)+(4-4sin)2 =√/32-32sin0, 因为∈(0，π)，所以sin9∈(0,1]，所以1PA+PB+PC+ PD1∈[0,4√2)， 故PA+PB+PC+PD1有最小值为0，无最大值.] 假期作业19 思维整合室 1.a+-2accos B a+b-2abcos C 2.a 2ca a2+6-c2 3.直角钝角锐角 2ab 技能提升台素养提升 1.B 2.A[如图，由余弦定理可知： cosC=号=BC+AC-AB 3 2BC·AC =3+4-AB 2×3X4 可得AB=3,又由余弦定理可知： c0sAB2十BC2—AC兰3十34=.故选A.☐ 2AB·BC 2×3×3 3.B 4.D[依题意，5-3<c<5十3，即2<c<8, 由于B为纯角，所以c0sB=。+c-6<0,d十c2-6=9 2ac +c2-25=c2-16<0 解得2<c<4, 所以c的取值范围，也即AB的取值范围是(2,4).] 5.D 6.D[设三角形的三边分别为a,b,c,依题意，得a=5,b=6, c=7. .AB.BC-|ABl·IBCl·cos(x-B)=-ac·cosB. 由余弦定理得b=a十2-2ac·cosB, -ac·osB=26-d2-)=26-s-7)=-19, AB·BC=-19.] 7.D[边长为7的边所对的角。满足c0sa=5+8-? 2×5×8 合：0<a<18056=60,边长为57,8的三角形的最 大角与最小角的和是180°一60°=120°.故选D.] 8.解析：cosA=6+c-a2=25十36-16_3 2bc 2×5×6 4 smA=-eoA-只 答案9 k经快乐假期 SE g.C[△ABC的三边上的高满足A,:A:A,=日：片： 在△ABD中，由余弦定理AD=AB+BD-2AB·BD· cos∠ABD, 故可得对应的边长之比为6：5：4，可设△ABC的三边分别 为6m,5m,4m(m>0),则6m所对的角最大，故由余弦定理 得AD=3+ 49 可得最大角的余弦值为25m十16m-36m= 2×5m×4m 故选C] 1 解得AD= 2E或者AD= 7 122(舍去).] 7 10.解析：因为c=2b,所以sinC=2sinB三.所以sinB 2.解析：由余弦定理可得a=6+c2-2 bccos A,即64=b+49 是周为c=26,所以6+c=36=2a,所以a-0. -2X6×7×号=6-26+49， 故62-2b-15=0,解得b=-3(舍)或b=5, 所以c0sB=Q+c2-62 多6+46-6 3W6 因为cosC=。+b-c,所以cosC=6425-49= 2ac 2√6b 8 2ab 2×8×5 2,又 答案： 3V6 Ce0),故C-吾 1.解：1)因为+ca=26 c cos A-26c=2,所以6c=1, 答案5子 cos A cos A (2)acos Bbcos Absin Acos B-sin Bcos A sin B 假期作业20 acos B+bcos A c sin Acos B+sin Bcos A sin C 思维整合室 =1, b 1.sin A-sin B-sin C 2.元素解三角形 所以inA-B-sinB=inA-B)sinB=l, sin(A+B)sin C sin C 技能提升台。素养提升 所以sin(A-B)-sinB=sinC=sin(A+B), 1.C 所以sin Acos B-sin Bcos A-sinB 2.B[由正弦定理可得 =sin Acos B+sin Bcos A, 即0A=一分，由A为三角形内角得A=2红 2× 31 b=asin B sin A =√2 △ABC面积S=einA=子XIX9- 4 设△ABC外接圆的半径为R, 12.解：(1)由已知条件得：sin2B+sin Asin2B a cos A+cos Acos 2B, 则2R= 所以sin2B=cosA+cos Acos2B-sin Asin2B sinA =22,所以R=瓦，故选B.] ② =cos A+cos(A+2B) =cos[x-(B+C)]+cos[x-(B+C)+2B] 3.B[因为B=受C一吾，所以A=吾则B对的边最大，由 6 =-cos(B+C)+cosL+(B-C)] =-2cos Bcos C, 所以2 sin Bcos B=-2 cos Bcos C, sin A sin B,可得b=asin B b 2 即(sinB+cosC)cosB=0, sin A 1 2 由已知条件得1十c0s2B≠0，则B≠受，可得c0sB≠0， =5√3，故选B.] 所以sinB=-0sC-7,又0<B<子，所以B=吾 4解析：因为c0sA=2 3 ,0<A<π，所以sinA=√1-cosA (2)由)知snB=-osC>0,则受<C<,0<B<受， ,所以由正弦定理得a=sinA=5V厄 1 sin B 31 sinB=sin(c-）=-cosC, 答案：5 sin A=sin(B+c)=sin(2c-) =-c0s2C, 5.D 6.B 7.C 由正弦定理Q+b-sinA+sin'B b sin'C &解折：由品B得sn月=女nA=, 7 =cos'2C+cos'C 又a2=b2+c2-2 bccos A,c2-2c-3=0,解得c=3. sin'C =(1-2sin'C)+(1-sin'C) 答案3 sin'C 9.BD[将a=2 Rsin A,b=2 Rsin B(R为△ABC外接圆的半 =2+4sin'C-5sin'C 2 sin'C sin C+4sin'C-5 径)代入已知条件，得sin'Atan B-=sin'Btan A,则sin'Asin B cos B 2 ≥2√mc·4simC-5=42-5, =sin Asin'B cos A 当且仅当snC-号时，等号成立 因为sin Asin B≠0，所以sinA=sinB cos B cos A' 所以+6的最小值为4V2-5. 所以sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=π-2B, 新题快递 所以A=B或A十B=受，故△ABC为等腰三角形或直角三 1.D[AB=3,AC=4,BC=5,满足3+42=5，∴.∠BAC 角形.] =90°，故cos∠ABC=3 10.解析：如图所示：记AB=c,AC=b, 5 BC=a, :AD是∠BAC的角年分线，小B肥-船=子BD=号 22+b-2X2XbXc0s60°=6， 7 因为b>0,解得：b=1+√3， ×5=15 由S△Ax=S△ABD十S△：n可得， 98