假期作业17 平面向量的基本定理及坐标表示-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版 全学年）

壑快乐假期 S0M-= 假期作业17平面向量的基本定理及坐标表示 恢弘志士之气，不宜妄自菲薄。 完成日期： 月 日 思维整合室 技能提升台 1.平面向量基本定理 素养提升 如果e1,e2是同一平面内的两个 向 ◆[考点一]平面向量基本定理的应用 量，那么对于这一平面内的任意向量a,有 1.设e1,e2是平面内所有向量的一组基，则下 且只有一对实数入1，入2，使a= 不 列四组向量中，不能作为基的是() 共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有 A.e1十e2和e1一e2 向量的一组 B.3e1-4e2和6e1-8e2 C.e1+2e2和2e1+e2 2.两向量的夹角与垂直 D.e1和e1十e2 已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB 2.(多选)已知D,E,F分别为△ABC的边 b,则∠AOB=0叫做向量a与b的夹角（如 BC,CA,AB的中点，且BC=a,CA=b,则下 图所示). 列命题正确的是 A.AD-a- 0 B B.成-a+b (1)范围：向量a与b的夹角的范围是 C.CF--ja- (2)当0=0时，a与b ;当0= D.AD+BE+CF=0 时，a与b反向. 3.(2022·新高考I卷，3)在△ABC中，点D (3)垂直：如果a与b的夹角是 ,则称 在边AB上，BD=2DA,记CA=m,CD=n, a与b垂直，记作 则CB= ( 3.平面向量的坐标运算 A.3m-2n B.-2m+3n (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a十b= C.3m+2n D.2m++3n ( 4.向量a在基底{e1,e2}下可以表示为a=2e, (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b 十3e2,若a在基底{e1+e2,e1一e2}下可以表 示为a=入(e1十e2)十4(e1-e2),则入= ( ,4= (3)若a=(x,y),A∈R,则a=（ ◆[考点二] 平面向量的坐标运算 4.共线向量的坐标表示 5.如图所示，若向量e1,e2是互 (1)设a=(x1y),b=(x2y2),其中b≠0，a、 相垂直的单位向量，则向量 b共线，当且仅当存在实数入，使 2a+b在平面直角坐标系中 (2)如果用坐标表示可写为(x1,y1)=入(x2, 的坐标为 ( ) y2),当且仅当 时，向量 A.(3,4) B.（2,4) a、b(b≠0)共线. C.(3,4)或(4,3) D.（4,2)或(2,4) 42 三0022 高一教类为) 6.已知向量a 3 22 ,2a+3b=(5,-3), 12.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(一1， 2),c=(4,1). 则b= (1)求满足a=mb+nc的实数m,n; A.(-3,2) B.(3,-2) (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k. C.(3,0) D.(9,6) 7.已知点A(2,3),B(4,5),C(7,10),若AP- AB十λAC(A∈R),且点P在直线x-2y=0 上，则入的值为 () A号 B.一3 c. D-是 8.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三 点，点C在直线AB上，且AC-BC,莲接 DC并延长至点E,使CE=}ED1,则点 E的坐标为 ◆[考点三]平面向量共线的坐标表示 9.已知向量a=(-3,1),b=(1,3),c=2a十 kb.若a∥c,则k= 新题快递 A.-1 B.0 C.1 D.2 1.(多选)以A(0,1),B(1,0),C(3,2)三个点 10.已知向量a=(3,2),b=(2,-1),若非零 为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的 向量ma+b与a+2b共线，其中m,n∈ 坐标是 () R,则的值为 A.(2,3) B.(2,-1) C.(4,1) D.（-2,-1) 11.已知A(3,2),B(-1,2),C(4,1),判断A, 2.在矩形ABCD中，AB=6,AD=4,E为CD B,C三点能否共线. 的中点，若EF=3FB,AF=入AB+uAD, 则入十= 《益智欢乐谷 大妈早上去广场散步，看到有个老头拿着 海绵笔在地上写大字，忍不住凑上去看 老头看了大妈一眼，提笔写了个“滚”字. 大妈心想：看一下至于吗？…老头又看大妈 一眼，又写个“滚”大妈再也忍不住了，上去一 脚将老头踢倒在地… 警察来了问咋回事，老头委屈地说：“我就 想写句‘滚滚长江东逝水’，刚写头两个字，就 被这个神经病瑞倒了”. 43三0022 当x=时f(）=-m=1y=×8经-号 3π一4∠1： 8 当x=7时f(）=-sin经=1y=×-合 7x。4>1: 8 所以由图可知，f)与y=号x一号的交点个数为3.] 1 假期作业16 思维整合室 1.(1)方向模(2)0(3)1个单位长度(4)相反 (5)方向(6)方向 技能提升台素养提升 1.C 2.ABC[由于AB=DC,因此与AB相等的向量只有DC,而与 AB的模相等的向量有DA,DC,AC,CB,AD,CD,CA,BC, BA.因此选项A,B正确；而Rt△AOD中，∠ADO=30°， Dò-号DA,故D店-5Di.周北选项C正确； 由于CB=DA,因此CB与DA是共线的，故选项D错误.] 3.解析：易知AC⊥BD,且∠ABD=30°，设AC与BD交于点 0,则A0=2AB=1.在R△AB0中易得B0=B, .1BD1=21B01=2W3. 答案：23 4.解析：(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD和ABDE 都是平行四边形，可知与向量ED相等的向量有AB,DC. (2)因为AB1=3,|EC=2|AB1,所以|EC1=6. 答案：(1)AB,DC(2)6 5.D 6.AB[A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确；C中， 若m=0,则不能推出a=b,错误；D中，若a=0,则m,n没有 关系，错误.门 7.ABC[对于A,(AB-DC)-CB=AB+CD+BC=AB+ BD=AD:对于B,AD-(CD+DC)=AD-0 =AD:对于C,-(CD+MC)-(DA+DM)=-MD-DA DM=DM+AD-DM=AD;对于D,-BM-DA+MB= MB+AD+MB-AD+2 MB. 8.解析：在△ABC中，∠A=60°，|BC|=1,点D为AB的中 点点E为CD的中点，A店=a:AC=6:则A花=(i+ 4 答案：}a+之b 9.D[由c∥d,得c=d,∴ka+b=(a-b) 守2六食中c=-4+b且c=a] 10解：i=-店=武-+a衣. Bi-号AC-mA, 1 .m=一5 11.解：(1)因为2AC+CB=0,所以2(O元-OA)+(OB-O元) =0,20C-20A+OB-OC=0, 所以OC=2OA-OB. (2)证明：如图，Di=Dò+0i=-号0成+0耐 =2(20i-0i. 富一数学) 由(I)知Di=2OC.即DA∥0C,且DA≠0C,故四边形 OCAD为梯形. 12.解：(1)OG=OP+PG=OP+aPQ=Op+a00-Op) =(1-)OP+0Q. (2)由(1)及OP=xOA,OQ=yOB,得0G=(1-A)OP+ AOQ=(1-A)xOA+AyOB.① G是△OAB的重心， ∴0-号o成=号×0+0成=o+0成② 由①②得[(1-).x- ]oi=(号-)成. 而OA,OB不共线， 1一入)x=3解得 1=3-3入 1 λy=3 1=3 +=3即+是定位 y 新题快递 1.BC[对于A、D:不妨取a,b分别为x、y轴上的单位向量， 满足“a=|b”,满足“a与b都是单位向量”，但是a∥b不 成立.故A、D错误；对于B:由零向量与任何向量平行，可知 a=0或b=0时，a∥b.故B正确；对于C:因为a=一2b, 所以a∥b.故C正确.] 2.解：设AF=mAD,BF=nBE, 根据向量共线定理，得：AF=mAD, AF=nAE+(1-)AB,3 AE=AC 所以A=号A+1-nA店， 又因为A心=号店+A0. 所以？AC+1-)AB=(AB+AC), 3 -受 1 解得： ,即 m2 1-= 3 n4 代入萨=症=n范-A)=是（号花-A)=Ad 解得：入= 1 4=4 a+A=-,(25号 AD=2· 假期作业17 思维整合室 1.不共线入1e1十入2e2基2.(1)0°≤≤180° (2)同向180°(3)90°a⊥b3.(1)1+x2y1十y2 (2)x-x2y-y2(3)入x,y4.(1)a=b (2)x1y2-x2y1=0 技能提升台素养提升 1.B 2.BCD[BC=a,CA=b,AD=2Ci+AC=-号a-b,故A 错：B眩-BC+}C=Q+:故B正确：C市=名(C+ C=合（一a+b)=-a+号b,故C正确：所以A心+酝 +C京=-b-a+a+26+2b2a=0.故D正确.] 3.B[如图，因为CB=CA+AB,BD= A 2DA,所以AD=AC+CD=n-m, AB=3 AD,CB=CA+3 AD=m+ 3(n-m)=3n-2m,故选B.] 快乐假期 5 4.解析：由条件可知十=？，解得 {A-u=31 5 答案：2 5.A[建立平面直角坐标系. 用三角形法则画出向量2a十b, 如图，由图可知2a十b在平面直 角坐标系中的坐标为(3,4).故 e 选A.」 6.B[由题意可知b=[(2a十 22a 0 3b)-2a]=3[5,-3)-(-4 3)]=(3,-2).故选B.] 7.B[设P(x,y),则由AP-AB+AAC, 得(x-2,y-3)=(2,2)+(5,7)=(2+5λ，2+7λ). 所以x=5λ十4，y=7λ+5. 又点P在直线x-2y=0上， 故5+4-2(7+5)=0：解得X=-号.】 8.解析：设O为坐标原点， =合成0元-di=20-0i. .OC=2OA-OB=(3,-6). .点C的坐标为(3，一6)， 又：C正-子ED,且E在DC的延长线上， “c=-成 方法一：向量相等法。 设B0.则-3y叶6）=-4-，-3-， -3=-4- 8 解得=3 y+6=- -3-0 y=-7, 点E的坐标为（停一7） 方法二：定比分点公式法 设E(x,y), :C2=-1ED,C(3,-6),D4.-3), 4 则x=3-18 13y= -6+是- 1一4 “点E的坐标为（尽，一7小 答案：(3-) 9.B[因为向量a=(-3,1),b=(1,3),所以c=2a (-6+k,2+3k) 因为a∥c,所以一6十k=(2十3k)×(一3)，解得k 选B.」 10.解析：由a=(3,2),b=(2,一1)，得ma十b=(3m十 一n),a十2b=(7,0).因为ma十nb与a十2b共线，所 7m=0,解得公=合 答案：司 11.解：AB=(-4,0),AC=(1,-1), :-4×(-1)-0×1≠0， ∴.AB,AC不共线. A,B,C三点不共线 00M= 12.解：(1)由题意得(3,2)=m(-1,2)十n(4,1), m= 5 所以。m十n3得 9· 12m+n=2, 8 n=9 (2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 由题意得2×(3+4k)-(-5)×(2十k)=0. .k=- 16 13 新题快递 1.ACD[设D(x,y),若AB=CD,则(1，-1)=(x-3,y-2), 宁仁1.好好：即DD若店-花1 (y=1, -1D=(3-,2-,即二3,1·解得=即D(2. 1y-2=1, 1y=3, 3);若AD=CB,则(x,y-1)=(-2,-2),即 122.每得仁子：中D-2,1.法AD y=-1, 2.解析：建立如下图的平面直角坐 y 标系， D 由已知得B(6,0),D(0,4),E(3, 4),EB=(3,-4), 由示=3庙得亦=是成 04) =(是-3 设F.则z-3y-0=(-3） 9 21 可3=，解得=，所以F(件A (y-4=-3 (y=1 -( 又因为AF=AAB+uAD=1(6,0)十a(0,4)=(6x,4), 4= 所以 、2 21,解得入=8=4 06λ ,则入十μ=8 9 答案：8 假期作业18 思维整合室 1.(1)a b cos002.(1)b·a(3)a·b+a·c 3.a.ay lallblcos0 yy Ta bl a·b xix2+yy2 x1x2十y1y2=0 √x+y好·W√+ 技能提升台素养提升 1.C[由题设可知，a一2b=3,两边平方得a2一4a·b十 4b2=9,代入a=1,b=√3，有1-4a·b+12=9,故4a ·b=4,解得a·b=1.故选C.] kb= 2.B[以{AB,AD}为基底向量，可知AB=|AD1=2,AB· AD=0 0.故 则EC-EB+BC=号AB+AD,ED=EA+AD=-号AB 2n,2m +AD. 以14m 所以E心.E市=(2店+AD)·（-号AB+AD)=- AB+AD=-1+4=3.] 4解析：周为osab=子，a=1.b=3,所以a·b=ab c0s(a,b)=1X3×号=1，所以(2a+b)·b=2a·b+6=2 3 ×1+32=11. 答案：11 96