假期作业2 常用逻辑用语-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版 全学年）

三0022 假期作业2常用遇 《思维整合室 1.充分条件与必要条件 “若，则g”是 命题真假 “若p,则q”是真 命题 假命题 推出关系 ǒ p是g的 p不是q的 条件 条件 条件关系 q是p的 q不是力 的 条件 条件 2.充要条件 一般地，如果既有 ,又有 就记作 此时，我们说p是q的充 分必要条件，简称充要条件.显然，如果卫是 q的充要条件，那么q也是p的充要条件， 即如果 ,那么力与q互为充要 条件 概括地说， (1)如果 ,那么力与g互为充要条件. (2)若 ,但 ,则称p是q的充 分不必要条件. (3)若 ,但 ,则称卫是q的必 要不充分条件. (4)若 ,且 ,则称p是q的既 不充分也不必要条件. 3.全称量词与全称量词命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫 做全称量词，并用符号“”表示 (2)在给定集合中，断言所有元素都具有同一 种性质的命题，叫做全称量词命题， (3)全称量词命题的表述形式：对M中任意 个x,有p(x)成立，可简记为： 读作“对任意x属于M,有p(x)成立”. 4.存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通 常叫做存在量词，并用符号“了”表示 (2)在给定集合中，断言某些元素具有一种性 质的命题，叫做存在量词命题. 高一教学 学然后知不足，教然后知困。 辑用语 完成日期： 月 日 (3)存在量词命题的表述形式：存在M中的一 个xo,使p(x)成立，可简记为： ,读 作“存在M中的元素x,使(x)成立”. 5.全称量词命题与存在量词命题区别 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 Hx∈M,p(x) ]x∈M,p(x) 否定 全称量词命题的 存在量词命题 结论 否定是存在量词 的否定是全称 命题 量词命题 技能提升台 素养提升 ◆[考点一]必要条件与充分条件 1.(2023·天津)“a2=b2”是“a2+b2=2ab'”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2023·北京卷)若xy≠0，则“x+y=0”是 “y十工=一2”的 x y A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(多选)有以下四种说法，其中正确说法为 A.“m是实数”是“m是有理数”的必要不充 分条件 B.“a>b>0”是“a2>b2”的充要条件 C.“x=3”是“x2一2x一3=0”的充分不必要 条件 D.“A∩B=B”是“A=⑦”的必要不充分 条件 4.设集合A={xx≤1}，B={xx≥a},则“A UB=R”是“a=1”的 条件，a =2是“A∩B=必”的 条件（从 如下四个中选一个正确的填写：充要条件、充 分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也 不必要条件) 3 火蜜快慨期 ◆[考点二]全称量词与存在量词 5.下列全称量词命题中真命题的个数是() ①末位是0或5的整数，可以被5整除； ②钝角都相等；③三棱锥的底面是三角形. A.0 B.1 C.2D.3 6.命题“所有实数的平方都是正数”的否定是 () A.所有实数的平方都不是正数 B.有的实数的平方是正数 C.至少有一个实数的平方是正数 D.至少有一个实数的平方不是正数 7.(多选题)命题p:3x∈R,x2十bx十1≤0是假 命题，则实数b的值可能是 () A- 4 C.2 8.已知命题p:任意x∈R,函数y=x2十a.x十a2> 0.若命题p是假命题，则实数a的取值集合是 ◆[考点三]常用逻辑的综合应用 9.(2021·北京卷，3)已知f(x)是定义在[0,1]上 的函数，那么“函数f(x)在[0,1]上单调递增” 是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 10.已知p是r的充分不必要条件，5是r的必要 条件，q是s的充要条件，那么p是q的 条件. 11.已知命题p:3x∈R,a.x2+2x-1=0为假 命题 (1)求实数a的取值集合A; (2)设非空集合B={x6m-4<2x-4<2m}, 若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实 数m的取值集合， --00MA= 12.已知集合M={x|x<-3,或x>5},P={x (x-a)·(x-8)≤0}. (1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P= {x|5<x≤8}的充要条件； (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P={x 5<x≤8}的一个充分不必要条件； (3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P= {x5<x≤8}的一个必要不充分条件. 新题快递 1.(多选)下列结论正确的是 ( A.“x>1”是“|x>1”的充分不必要条件 B.“a∈P∩Q”是“a∈P”的必要不充分条件 C.“Hx∈R,有x2+x+1≥0”的否定是“3x∈ R,使x2+x+1<0” D.“x=1是方程a.x2+bx十c=0的实数根”的 充要条件是“a十b十c=0” 2.已知命题“对于任意x∈R,函数y=x2十ax+1 ≥0”是假命题，则实数a的取值范围为 .若命题是真命题，则实数a的取值 范围为 《益智欢乐谷 不爱回信的怀特海德 有一次罗素写了两次信向怀特海德请教一 个数学问题，他都没有回信.于是他又打了一封 付好回资的电报给他，仍然没有回音.最后只好 亲自向他当面请教.假如有人收到了怀特海德的 信，大家便会一起祝贺他，有人问怀特海德为什 么不回信，他说：“假如我经常要给人写回信，那 我就没有时间从事独创性的工作了.”三022 高一数学恐 参芳答案 [第一部分]假期作业1 2.解析：由“孤立元素”的定义知，对任意x∈A,要成为A的孤 思维整合室 立元素，必须是集合A中既没有x一1，也没有x十1.因此只 1.(1)确定性互异性(2)∈￠(3)描述法Venm图 需逐一排查A中的元素即可.0有1“相伴”，1,2则是前后的 2.A二BA手B都相同A=B3.CA{x|x∈A,或x 元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”，从而集合A= ∈B} {0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为{5}. 技能提升台素养提升 答案：{5} 1.B[}是实数，①正确：5是无理数，②错误：-3是整数， 假期作业2 思维整合室 ③错误；一√3是无理数，④正确，故选B.] 1,→书充分必要充分必要 2.A[.A={xx(x-1)=0}={0,1}, 2.p→gq→pp9gp=g(1)p=g(2)p→g .0∈A,1∈A,故选A.] qPp(3)q→pp护9(4)pq qp 3.解析：x∈A,.当x=一1时，y=x|=1; 3.(3)Hx∈M,p(x) 当x=0时，y=|x=0;当x=1时，y=|x|=1. 4.(3)3x。∈M,p(x) .B={0,1}. 5.3x,∈M,x不具有性质(x)Hx∈M,x不具有性质p(x) 答案：{0,1} 技能提升台素养提升 4.B[若a-2=0,则a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不 1.B[由a2=b,则a=士b,当a=-b≠0时，a2十b=2ab不 满足题意：若2a一2=0，则a=1,此时A={0,-1},B=(1,一1， 成立，充分性不成立； 0},满足题意.门 由a2+6=2ab,则(a-b)2=0,即a=b,显然a2=b2成立， 5.ABD 必要性成立： 6.解析：因为B=A且B≠g,所以4二1≥2·咸a二1>2，即 所以“a2=b2”是“a2十=2ab”的必要不充分条件.] 1a4 1a≤4， a的取值范围是{a3a4}. 2.C[因为xy≠0，且x+义=-2， 答案：{a3a4} 所以x2十y2=-2xy,即x2十y十2xy=0,即(x十y)2=0, 7.A[由题意可得MUN={xx<2},则Co(MUN)={xx 所以x十y=0, ≥2}，选项A正确； CuM={.xx≥1}，则NUCM={xl.x>-1},选项B错 所以“x十y=0”是“工十义=一2”的充分必要条件.] 误；M∩N={x|-1<x<1}, 3.AC 则Cv(M∩N)={x.x-1或x≥1}，选项C错误； 4.解析：集合A={xx≤1}，B={xx≥a}, CuN={xx≤-1或x≥2}，则MU CN= 当AUB=R时，a≤1，：a≤1不一定得到a=1,当a=1时 {xx<1或x≥2}，选项D错误.] 一定可以得到a1, 8.A[由题意，M={x|x+2≥0}={xx≥-2}，N={xx-1 :“A∩B=R”是“a=1”的必要不充分条件， <0}={xx<1}, 当A∩B=必时，a>1,.a=2是“A∩B=心”的充分不必要 根据交集的运算可知，M∩N={x-2≤x<1片.] 条件 9.A[因为整数集U={xx=3k,k∈Z}U{xx=3k十1，k∈ 答案：必要不充分充分不必要 Z}U{xx=3k+2,k∈Z,所以C,(MUN)={xx=3k,k 5.C ∈Z}.] 6.D[因为“全称量词命题”的否定一定是“存在量词命题”，所以 10.D[由W<4,得0≤x<16,即集合M={x0≤x<16},集 命题“所有实数的平方都是正数”的否定是“至少有一个实数的 合N={≥}，所以MnN={号≤<16}，故 平方不是正数”.] 7.AB[因为命题p:了x∈R,x十bx十1≤0是假命题， 选D.] 所以命题：Hx∈R,x+bx+1>0是真命题，也即对Hx∈ 1.解：B=23,C-{2,2} R,x2十bx十1>0恒成立， 则有△=b一4<0，解得：一2<b<2,根据选项的值，可判断 因为A∩B=AUB,所以A=B, 选项AB符合.] 所以4二8（2+3解得a=3. 8.解析：若命题p为真命题， 1a+3=2×3, 则△=a2-4a2<0, (2)因为A∩B=A∩C≠必，所以A∩B=A∩C={2},所以 .a≠0，所以当力为假命题时， 2∈A,所以22+2(4-a2)+a+3=0,即2a2一a-15=0,解 实数a的取值集合为{0》. 得a=3或a=-多 答案：{0} 当a=3时，A={2,3},此时A∩B≠A∩C舍去； 9.A[若函数f(x)在[0,1]上单调递增，则f(x)在[0,1]上的 最大值为f(1),充分性成立，反之，则f(x)在[0,1]上的最 当a=-号时A-{}此时消足题意 大值为f1),但f(x)在[0,1]上不一定是增函数，如函数 综上可知，0=一 5 fx)=(（-)厂在[0,1]上的最大值为f,它在红01]上 12.解：(1)AUB={x2≤x≤8}U{x1<x<6}={x|1< 不单调，故必要性不成立.门 x≤8}.CA={xx<2或x>8}, 10.解析：由已知得p→r,r→x,s台q,p→r→s曰q.但由于r ∴.(CuA)∩B={x1<x<2}. 推不出p,所以q推不出卫，故p是q的充分不必要条件. (2)A∩C≠☑，作图易知，只要a在 答案：充分不必要 8的左边即可， Rc 11.解：(1)命题p:3x∈R,ax2+2x-1=0为假命题，则命题 .a<8. 7p:Hx∈R,ax2+2x-1≠0为真命题， 新题快递 1 1.AB[由A={0,1,2},B={1,m,B二A,得B={1,0}或B 显然a≠0，否则方程有实根x=2,因此△=4十4a<0,解 ={1,2}.所以实数m的取值可以是0,2，故选AB.] 得a<-1,A={aa<-1}, 实数a的取值集合A={aa<一1}. 83 飞壁快乐假期 00M= (2)由非空集合B={x6m-4<2x-4<2n}知，6m-4< 2m,解得n<1,B={x3m<x<m十2}， 当且红当-是且名6中a=6-时学号成主： 因“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B丢A,因此3m <m十2≤-1，解得m≤-3， 所以是+是+6的装小值为2亿 所以实数的取值集合是{mm≤一3}： 答案：2√2 12.解：(1)由M∩P={x5<x8}知，a8. ∴M∩P={x5<x≤8}的充要条件是 -3 8解折：正实数ab满是a十0=1.到b=}Xa·h<}× -3a5. (2)M∩P={x|5<x≤8}的充分不必要条件，显然，a在 ()-高当具收当a=安 6=日时等号成立。 一3,5]中任取一个值都可以. (3)若a=-5,显然M∩P=[-5,-3)U(5,8]是M∩P= 答案：6 {x5<x8}的必要不充分条件 9.B[由x2-2x-3<0,得-1<x<3,∴.集合M={0,1,2}, 故Q<一3时为必要不充分条件 新题快递 其真子集的个数为23一1=7，故选B.] 1.ACD[对于A,因为x>1,所以x>1或x<-1,所以“当 -2+1 b 4 x>1”时，“|x>1”成立，反之不成立， 10.C[由已知得 解得a二 故“x>1”是“x>1”的充分不必要条件，正确： -2x= 2 1b=7, 对于B,“a∈P∩Q”一定有“a∈P”成立，反之不成立， .ab=28.] 故“a∈P∩Q”是“a∈P”的充分不必要条件，错误； 对于C,命题“Hx∈R,有x2十x+1≥0”是全称量词命题， 11.解析：因为关于x的不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有 其否定是存在量词命题，即“了x∈R,使x2+x十1<0”， 解，y=-x2十4x=一(x一2)2+4的最大值为4，所以a2一 正确； 3a4,解得一1a4. 对于D,当a十b十c=0时，1为方程ax2十bx十c=0的一个 答案：{a-1≤a≤4} 根，故充分性成立； 12.解：设y=(m+1)x2+2(2m十1)x+1-3m,显然m十1≠0. 当方程ax十bx十c=0有一个根为1时，代入得a十b十c= ①当m十1>0时，二次函数图象的简图如图①. 0,故必要性成立，正确.门] 则当x=1时，y<0;x=3时，y>0. 2.解析：因为全称量词命题“对于任意x∈R,函数y=x2十a.x十1 「m>-1, m+1>0, ≥0”的否定形式为“存在x∈R,函数y=x2十a.x十1<0”， 所以 2m+4<0,即m<-2, 不等式组无解。 8 由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形 18m+16>0,m>-9· 式的命题是真命题 ②当m十1<0时，二次函数图象的简图如图②. 由于函数y=x2十ax十1是开口向上的抛物线，借助二次函 则当x=1时，y>0;当x=3时，y<0, 数图象（图略）易知△=a2一4>0， m+1<0, m<-1. 解得a<-2或a>2. 所以实数a的取值范围是a<一2或a>2. 即2m十4>0，即 m>-2,得-2<m<-1. m<- 8 其命题是真命题，知△≤0， 18m+16<0, 9 知a2一4≤0，得-2≤a≤2. 综上可知，实数m的取值范围是{m一2<m<-1}. 答案：{aa<-2或a>2}{a-2≤a≤2} yA y 假期作业3 思维整合室 1.(1)b<a(2)a>c(5)a+c>b+d(6)ac>bd 2.(1)≥(2)①a,b均为正实数②a=b 3.(1)√ab(2)大于或等于 图① 图② 4.{xx<x1或x>x2}{xx≠}{x<x<〉0 新题快递 技能提升台素养提升 1.C[a⊙b=a2b+ma2-9a-9b+1(m∈R),设4⊙(5⊙(… 1.D2.A3.B (2022⊙2023)…))=x, 4.解析：对于①，根据不等式的基本性质得，如果a>b,且c> 则3⊙x=9x+9m-27-9x+1=9m-26, d,那么a十c>b十d,命题①正确；对于②，如果a≠b,且c≠ 2⊙(9m-26)=4(9m-26)十4m-18-9(9m-26)+1=113 d,那么ac≠bd错误，如a=2b=2,c=-2,d=- 时ac -41m 1⊙(113-41m)=(113-41m)+m-9-9(113-41m)+1= 「=bd=-1,命题②错误；对于③，如果a≥b>0,那么6>0， 329m-9121, 所以方>。>0，即0<日<行命题@正确：对于①，如果 解释m≤器] (a-b)2+(b-c)2≤0，那么a-b=b-c=0,所以a=b=c, 2.B[观察图形知，A1,A,A,A,A,A,A,七个公司要到 中转站，先都必须沿小公路走到小公路与大公路的连接点， 命题④正确.所以真命题的序号是①③④. 令A1到B、A2到C、A到D、A4到D、A到E、A6到E、A, 答案：①③④ 到F的小公路距离总和为d, 5.ABD BC=d,CD=d:DE=d3,EF=d, 6.C[因为0<x<2,所以1-4r>0,所以x1-4r= 路口C为中转站时，距离总和Se=d+d1十d2十d2+(d+ 号×2：V-4<号×+栏-，当凰仅当2x d2)+(d3+d2)+(d:+d3+d2)=d+d1+5d2+3d+d4, 路口D为中转站时，距离总和Sp=d十(d1十d2)十d2十d 2 +d+(d,+d3)=d+d1+2d2+3dg+d, 小一4，即=时等号成立，故连C] 路口E为中转站时，距离总和SE=d+(d1十d2十d)十(d2 +d2)+d3+d3+d,=d+d1+2d2+4d3+d,, 7.解析：a>0,b>0, 路口F为中转站时，距离总和Sr=d十(d1十d2十d+d,)+ /2 (d+d+d,)+2(d+d)+2d,=d+d1+2d2+4d+ 5d1,显然Se>SD,Sr>SE>SD,所以这个中转站最好设在 =22, 路口D.] 84