新知预览2 空间向量的数量积运算-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版 全学年）

曼快乐假期 0M-= 新知预览2空间向量的数量积运算 非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 完成日期： 月 日 ★[学习目标]1.掌握空间向量的数量积.2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题 知识梳理—自学教材，素养奠基 1.空间向量的夹角 3.投影向量 已知两个非零向量a,b,在空间任取 (1)向量a在向量b上的投影先将向量a与向 定义 点O,作OA=a,OB=b,则∠AOB叫 量b平移到同一平面α内，如图①，向量c 做向量a,b的夹角 记法 称为向量a在向量b上的投影向量. (a,b) 通常规定：0≤(a,b〉≤π，当(a,b〉= 范围 时，a⊥b 图① 2.空间向量的数量积 (2)向量a在直线l上的投影如图②，向量c称 (1)定义：已知两个非零向量a,b,则|a|blcos(a,b〉 叫做a,b的数量积，记作 .即 为向量a在直线l上的投影向量. a·b= a, (2)运算律 ①结合律：(a)·b= 图② ②交换律：a·b= ③分配律：a·(b+c)= (3)向量a在平面B上的投影如图③，分别由 (3)性质 向量a的起点A和终点B作平面B的垂 若a,b是非零向量，则a⊥b 垂直 线，垂足分别为A',B,得到向量AB,则 台→ 量 向量A'B(a)称为向量a在平面B上的投 同向：a·b=|a·b 共线 反向：a·b=-la·b 影向量. 的 a·a= =lal; a 质 模 la=Ja·a; -a 1a·bl≤a·lb a'B 图③ 夹 a·b 0为a,b的夹角，则cos0= lalb 76 三-0022 高一数半恐 典例探究—搽究学习，素养形成 ◆[题型一]空间向量的数量积运算 ◆[题型二]利用数量积证明垂直问题 例1如图所示，已知空间四 例2如图所示，在四棱锥 边形ABCD的每条边和对 P一ABCD中，底面ABCD 角线长都等于1，点E,F分 为平行四边形，∠DAB= 别是AB,AD的中点， 60°，AB=2AD,PD⊥底面ABCD.求证： 计算： PA⊥BD. (1)EF.BA:(2)EF.BD; (3)EF.DC;(4)BF.CE. 规律方法利用空间向量解决垂直问题 的方法 规律方法空间向量运算的两种方法 (1)证明线线垂直的关键是确定直线的方 (1)利用定义：利用a·b=|al|b cos(a,b》 向向量，看方向向量的数量积是否为 0来判断两直线是否垂直， 并结合运算律进行计算。 (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可 (2)证明与空间向量a,b,c有关的向量 m,n垂直应先用向量a,b,c表示向量 先将各向量移到同一顶点，利用图形 寻找夹角，再代入数量积公式进行 m,n,再求解向量m,n的数量积并判 运算. 断是否为0 [变式训练] [变式训练] 2.如图所示，在正方体AB 1.已知长方体ABCD一A1B1C1D1中，AB= A AA1=2,AD=4,E为侧面AA1B1B的中 CD-A1B1CD1中，O为 心，F为AD1的中点.求下列向量的数 AC与BD的交点，G为 量积. CC1的中点，求证：AO D (1)BC.ED,(2)BF.AB,. 平面GBD. 77 飞曼快乐假期 0M-= ◆[题型三]利用数量积解决空间角问题 规律方法求解距离问题时，先选择以 例3如图，在正方体ABCD D 两点为端点的向量，将此向量表示为几个 -AB,CD1中，求BC1与 向量和的形式，求出这几个已知向量的两 AC夹角的大小 两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a 二√a·a求解即可. [变式训练] 4.如图，已知一个60°的 二面角的棱上有两点 A,B,AC,BD分别是 在这两个面内且垂直于 B AB的线段.又知AB=4,AC=6,BD=8,求 CD的长. 规律方法利用数量积求异面直线所成 角的方法步骤：①根据题设条件在两异面 直线上取两个向量；②将求异面直线所成 角转化为求向量的夹角问题；③利用数量 积求角的大小. [变式训练] 3.已知空间四边形OABC中，OB=OC, ∠A0B=∠A0C=3,则cos〈OA,BC)的 值为 () A.2 B号 c- D.0 ◆[题型四]利用数量积求线段长度 例4如图，正三棱柱（底面是正 三角形的直三棱柱)ABC A1BC1的各棱长都为2，E,F 分别是AB,AC1的中点，求 EF的长. 78 三022 高一数半) 检测评价—诊断落实，素养达标 一、选择题 10.如图所示，在棱长为2 D 1.下列各命题中，假命题的个数为 的正方体ABCD一A ①a·a=al; A1B1C1D1中，O为AC ②m(a)·b=(mλ)a·b(m,λ∈R); 与BD的交点，G为 D ③a·(b+c)=(b+c)·a; CC1的中点，则AO在 ④a2b=ba(a,b不共线). AC上的投影向量的模为 ;DG在平 A.1 B.2 C.3 D.4 面ABCD内的投影向量的模为 2.已知a=3p-2q,b=p十q,p和q是相互垂 三、解答题 直的单位向量，则a·b= 11.如图，在空间四边形O一 A.1 B.2 C.3 D.4 ABC中，OB=OC,AB= 3.在正方体ABCD-A'B'C'D'中，〈AB, AC,求证：OA⊥BC. B'D)= ) A.30°B.60° C.90° D.120° 4.已知空间向量a,b,c两两夹角均为60°，其 模均为1，则|a一b十2c等于 A.5 B.6 C.5 D.6 5.已知a,b是异面直线，且a⊥b,e1,e2分别为 取自直线a,b上的单位向量，且m=2e1十 3e2,n=e1一4e2,m⊥n,则实数k的值为 () A.-6B.6 C.3 D.-3 6.(多选)已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平 12.如图，在直三棱柱ABC一A 面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下 B'C中，AC=BC=AA', 列各组向量中，数量积为零的是() ∠ACB=90°，D,E分别为 AB,BB'的中点. A.PC与BD B.DA与PB (1)求证：CE⊥A'D; C.PD与AB D.PA与CD (2)求异面直线CE与AC'所成角的余 7.(多选)在正方体ABCD一A1B1C1D1中，下 弦值. 列结论正确的是 () A.四边形ABC,D1的面积为AB|BC B.AD,与A1B的夹角为60° C.(AA+A D:+A,B)2=3 A B2 D.A1C·(A1B1-AD1)=0 二、填空题 8.已知a=1,且a-b与a垂直，a与b的夹 角为45°，则1b= 9.已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量，则 a=e1十e2与b=e1-2e2的夹角是 79三022 新知预览2 知识梳理 1.22.(1)a·blallblcos(a,b〉(2)aa…b)b:a a·b+a·c(3)a·b=0|allalcos(a,a) 典例探究 [例1][解](1)E成.BA=之BD·BA=之B·BA ·c0s(BD,Bi》=名×1X1·cos60=, 所以E家.Bi=子 (2)E求.BD=号BD·BD=号|Bd·|Bò1·os(Bd, BD=号×1X1·c0s0=7, 所以E求，B成= (3)E求.DC=2BD.DC=?1BD·|DC·cos(Bò， Dd=2×1X1…os120=-, 所以或.D心=-子 (4B萨.C=2(BD+BA)·(C+CA -[BD.(-BC)+BA.(-BC)+BD.CA+BA.CA] --BD.BC-BA.BC+(CD-CB)CA+AB.AC] =×(-+-+)-日 变式训练 1.解：如图所示，设AB=a,AD=b, AA=c, 则|a=|cl=2,|b1=4, a·b=b·c=c·a=0. 1)B元.ED=B元.(EA+AD) -b:[2c-a)+6]-P=4=16. (2)BF.AB,(BA:+AF).(AB+AA) =（e-a+2b）·(a+e =cl2-la2=22-22=0. [例2][证明]由底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°， AB=2AD,知DA⊥BD,则BD·DA=0, 由PD⊥底面ABCD,知PD⊥BD, 则BD·PD=0. 又PA=PD+DA, 所以PA.BD=(P市+DA)·BD=PD.BD+DA.BD =0, 即PA⊥BD. 变式训练 2.证明：设A1B1=a,A1D,=b,A1A=c 则a·b=0,b·c=0,a·c=0,a=|b=|cl. 10 高一教类的) AO-A,A+A0-AA+(AB+AD) =c+a+b, BD=AD-AB=b-a, 心-0+花-28++号cd-a+2bc, :A0.D=(+2a+2(6-@)=c…6-ca+ 2a·b-1g 1 -a+28-ba=合-d)=(-laP) =0. 于是A1OLBD,即AO⊥BD. 同理可证A10LOG,即A,010G. 又，OG∩BD=O,OGC平面GBD,BDC平面GBD, ∴.AOL平面GBD. [例3][解]不妨设正方体的棱长为1，则BC·AC=(BC +CC)·(AB+BC)=(AD+AA)·(AB+AD)=AD· AB+AD+AA·AB+AA,·AD=0+AD+0+0=AD =1, 又：IBC1=√2，|AC=√2， os(BG,AC=BC·Ad 1 BCI1AC2X2-交 (BC,AC∈[0，]， ∴(BC,A0=号 即BC与A花夹角的大小为号 变式训练 3.D [OA.BC-OA.(OC-OB)=OA.OC-OA.OB -1oi1Ocos∠A0C-1Oi1oo∠A0B=合1aA· |O-号1OA1O=0,所以OA⊥BC.所以cos(OA,BC) =0.] [例4][解]设AB=a,AC=b,AA1=c. 由题意，知a=|b=|c=2, 且(a,b)=60°，(a,c)=(b,c〉=90°. 因为EF=EA+AA,+A,F =-3A店+Ad+2AC =-3a+c, 1 所以E2=E =}×2+7×2+2+2×(-号）×2X2c0s60 =1+1+4-1=5, 所以EF=√5，即EF=√5. 变式训练 4.解：CA⊥AB,BD⊥AB, .(CA,BD)=120°. :CD=CA+AB+BD,且CA·AB=0,BD·AB=0, 飞是快乐假期 ..CDI*=CD.CD=(CA+AB+BD).(CA+AB+BD) =ICA+B+BD+2CA.BD+2 CA.AB+ 2AB.BD=ICA+AB*+BD+2 CAIBD c0sCA,ò)=6+4+8+2X6×8x(-号）=68， .|CD1=2√17，故CD的长为2√17. 检测评价 l.A[因为a·a=|a2,所以√a·a=a,故①正确；m(a) ·b=(ma)·b=ma·b=(m)a·b,故②正确；a·(b+c) =a·b十a·c=b·a十c·a=(b十c)·a,故③正确；a2b= |a2b,ba=|b2a,故④不一定正确.] 2.A[p⊥q且p|=|q=1,.a·b=(3p-2q)·(p+q) =3p2+p·q-2g2=3+0-2=1.故选A.] 3.D[如图，设正方体的棱长为1， A 则A'B=√2，BD'=√2， D' A'B'.B'D B =(AA+AB)·(B'C+CD) =(A'A+AB)·(AD-AB)=-1, D ·cos(A店，B'D)=AB.B'D B A'B1·IBD 1 -1 √2·√2 =-2a,BD）=1202.] 4.C[由题意，得ab=b:c=a·c=名a2=8=6=1, 所以|a-b+2c=√(a-b+2c) =√/a2+b+4c2-2a·b+4a·c-4b·c 气1+1+4-2x合+4×合-4x2=6.] 5.B[由mLn,得m·n=0,所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0. 所以2k-12=0.所以k=6.] 6.BCD[因为PA⊥平面ABCD,且CDC 平面ABCD,所以PA⊥CD.故PA·CD =0.因为AD⊥AB,PA⊥AD,且PA∩ D AB=A,所以AD⊥平面PAB.因为PB C平面PAB,所以AD⊥PB.故DA·B PB=0.同理，PD·AB=0.因为PA⊥平面ABCD,BDC平 面ABCD,所以PA⊥BD.所以PC·BD=(PA+AC)·BD =PA.BD+AC·BD=AC.BD.因为四边形ABCD为矩 形，所以BD不一定与AC垂直，所以PC与BD的数量积不一 定为0.故选BCD,排除A.] 7.ACD[由AB⊥平面BBCC,得AB⊥BC,∴.四边形 ABC,D,的面积为AB1·|BC1,故A正确；：△ACD1是 等边三角形，∠ADC=60°， 又：AB∥D1C,.异面直线AD1与AB所成的角为60°， 但是向量AD1与A1B的夹角为120°，故B错误；由向量加法 的运算法则可以得到AA1十AD,十A1B1=AC1,:AC= 3A1B,(AA1+A1D,+A1B)2=3A1B,故C正确；易 .-S0M-□ 得A1B,-A1D,=DB1,:在正方体ABCD-A1B1CD1 中，D,B1⊥平面AA1CC,D,B1⊥A1C,AC.DB1=0, 故D正确.故选ACD.] 8.解析：，(a一b)⊥a, .(a-b)·a=a|2-a·b=0, a·b=1. a·bW2 则cos(a,b>=1a·1b=2 1=2 即1·b=2 .|bl=2 答案√2 9.解析：a·b=(e1十e2)·(e1-2e2)=e-e1·e2-2e2 =1-1×1×号-2=-号. lal=√a=√(e,+e2)=√e+2e1·e2+e =√1+1+1=√3， |b=√=√J(e-2e2)=√e-4e,·e2+4e =√1-2+4=√3. 3 cosa,》=8治=号 2 = 2 .a,b〉=120°. 答案：120° 10.解析：易知A1O在AC上的投影向量为A0,其模为√2.易知 DG在平面ABCD内的投影向量为DC,其模为2. 答案√22 11.证明：因为OB=OC,AB=AC,OA=OA,所以△OAC≌ △OAB,所以∠AOC=∠AOB. 又OA.BC-OA.(0元-O)=0A.0元-OA.OB 1OAI·IOC1cos∠AOC-|OA1·IOB1cos∠AOB=0, 所以OA⊥BC,即OA⊥BC 12.解：(1)证明：设CA=a,CB=b,CC=c, 根据题意得a=|b=|cl,且a·b=b·c=c·a=0. :Ci=叶cA防=-c+0a c,防-(b+2(-c+b2) =-3c+28=0, CE⊥AD,即CE⊥A'D. (2)AC=-a十c, IA-lal,ICEal, ac.c成=(-a+0·(b+2c)=2c=号la, ∴.cos(AC,CE)= 合a 10 5lal 101 ·异面直线CE与AC'所成角的余弦值为0 10 0