假期作业25 空间几何体的表面积与体积-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版 全学年）

三0022. 高一教类恐 2.解析：不妨设原棱锥为四棱锥， 在△BE中，因为B驱NN,所以院器 2 设棱台的高为，截得棱台的原 棱锥的高为h1· 1 如图所示，即MN=h,PN=h1 VN-PAM= 3 SAPAM·NN 1 因为四边形ABCD与四边形 VB-PAC 3SaMe·BB EFGH相似， 且上下底面面积分别为4和9， A 吉×（合PACC)·BB 由△PEM∽△PAN, 9.B[在△AOB中，∠AOB=120°，而OA=OB=√3，取AB 微兴-号祭会-1号司 中点C,连接OC,PC,有OC⊥AB,PC⊥AB,如图， 3 3 这个棱台的高和藏得棱台的原棱雏的高的比为3 答案： 假期作业25 思维整合室 1.2xrlπrl元(i1+r2)l 2.Se·h号Sg·h4xR 技能提升台素养提升 1.C2.C ∠AB0=30°，OC= 2,AB=2BC=3,由△PAB的面积为 3.A[依题意，圆柱的母线长1=2πr,故S侧=2πrl=4π2r2 =4x2.] 9y,将×xPC=9 4.B[圆台的上底面圆半径2，下底面圆半径4， 设圆台的母线长为1，扇环所在的小圆的半径为x, 解得PC= 33.于是PO=√PC-OC丽 1 4 ×2π·(l+x)=2πX4 由题意可得： 1 ,解得∫x=8 l=81 --6 X2π·x=2πX2 4 所以圆锥的体积V= 所以圆台的侧面积π×(2十4)×8=48π.] 3rX0AXP0=号πX5)X6= 5.A[由题意知⊙0，的半径r为2，由正弦定理知AB =2r √6π.] sin C 10.解析：由题意易求正四棱锥的高为6，V装台=V大四雄 则OO1=AB=2rsin60°=2√3，所以球O的半径R= √P+OO=4,所以球O的表面积为4πR=64π，故选A.] V,=号×4X4X6-号×2X2X3 6.AC[如图，由∠APB= =28. 120°，AP=2可知，底面 答案：28 11.解：如图，过C作CE垂直于AD,交AD延 直径AB=23,高PO=1, 长线于E,则所求几何体的体积可看成是 故该圆锥的体积为π，故 D 由梯形ABCE绕AE旋转一周所得的圆 A对；该圆锥的侧面积为2 B 台的体积，减去△EDC绕DE旋转一周所 A √3π，故B错：连接CB,取 得的圆锥的体积.所以所求几何体的体积V=V国台一V国维 AC中点为Q,连接QO,PQ.易证二面角P一AC-O的平面 角为∠PQO=45°，所以QO=PO=1,PQ=√2，所以BC=2, 号xX6+5×2+2)X4-号xX2×2=1 3 所以AC=2巨，故C对；SaRc=AC·PQ=2,故D错] 12.解：如图所示，作出轴截面，O是球心，与 边BC,AC相切于点D,E.连接AD,OE 7,B[由题意可知：三棱锥PABC的高为PA=3,所以该四 因为△ABC是正三角形， 面体的体积为号×3×号×2×2=2.] 所以CD-合AC 8.B[如图，分别过M,C作MM ⊥PA,CC'⊥PA,垂足分别为 因为Rt△AOE∽Rt△ACD,所以OE AO M,C.过B作BB'⊥平面PAC, 垂足为B,连接PB',过N作 -肥 NN'⊥PB,垂足为N. 因为CD=1cm,所以AC=2em,AD=√3cm, 因为BB'⊥平面PAC,BBC平 面PBB', 设0E=r,则A0=3-,所以=1 3-2· 所以平面PBB'⊥平面PAC 又因为平面PBB'∩平面PAC=PB',VV'⊥PB',NNC平 所以r= 3 cm, 面PBB',所以NV'⊥平面PAC 且BB'∥NN'. =x() =43 27元(cm),即球的体积等 在△PCC中，因为MM⊥PA,CC⊥PA, 所以nCC,所以ě芒=吉 于 27πcm3. 103 -90M= 新题快递 6.CD[AM与C1C异面，故A错；AM与BN异面，故B错. 1.C[如图将正方体还原可得如下 D C 易知C、D正确.] 图形： M B 7.B[对于A,当P是AC1的中点时，BP与DD是相交直 则V4,=号×号X1X1X2= 1 线；对于B,根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线； 对于C,当点P与C,重合时，BP与AD,是平行直线：对于 1 3 3 ×1×2×2= D,当点P与C1重合时，BP与B1C是相交直线.] 2 8.解析：①中HG∥MN;③中GM∥HN且GM≠HN,所以直 号-V4SA=2=8,所以该几 线HG与MN必相交. 答案：②④ 何体的体软V=8-号-号-=7.] 9.C[取BC的中点为E,连接DE,AE,则DE∥PB, 所以∠ADE为AD与PB所成的角（或其补角）. 2.解析：四面体的体积最大时即 设正四面体的棱长为2a, 面SAB⊥面ABC, 则DE=a,AD=3a,AE=√3a, SA=SB=2,且SA⊥SB,BC= √5，AC=√3，所以∠ACB=90°， 所以在△ADE中，os∠ADE=Sa）十a一3a）=S 2XW3a·a 取AB的中点H,连接 10.A[连接AD1,D1M(图略).AB=C1D1,AB∥C1D1, CH,SH, H B .四边形ABCD,为平行四边形，则AD∥BC1,则 SH⊥AB,平面SAB∩平面 ∠D1AM(或其补角)为异面直线AM与BC1所成的角.设 ABC=AB,SH在平面SAB 正方体的棱长为2，则AD1=2√2，AM=D1M=√5， 内，而SH=E,sA=巨 cos∠D,AM=22十5-5》=四，即异面直 所以SHL手面ABC.所以VC=号XSaC·SH 2×2W2X√5 5 =3×2xw5x5x2= 线AM与BC,所成肩的余弦位是故选A] 6 11.解析：在正方体ABCD D C 则外接球的球心在SH上，设球心为O,连接OC,CH= A1BCD1中，E,F分别 XAB=2×2XSA=E.因为SH=号×2×SA=E. 为CD,AB1的中点， 设正方体ABCD B1 所以O与H重合，所以R=CH=SH=√2， AB,C,D1中棱长为2， 所以四面体的外接球的表面积S=4πR2=8π」 EF中点为O, D 答案：08际 取AB,BB,中点G,M,侧 面BB,C,C的中心为N, E 连接FG,EG,OM,ON, A G 假期作业26 MN,如图， 思维整合室 由题意得O为球心，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，EF= 1.不在一条直线上两点有且只有一条 W/FG2+EG=√4+4=2√2， 3.平行相交任何4.10无数0无数 .R=√2， 技能提升台素养提升 1.D 则球心O到BB1的距离为OM=√ON+MN=√I+I 2.C[在①中，因为P,Q,R三点既在平面ABC上，又在平面 =2, a上，所以这三点必在平面ABC与a的交线上，即P,Q,R 球O与棱BB,相切，球面与棱BB,只有一个交，点， 三点共线，故①正确：在②中，因为a∥b,所以a与b确定一 同理，根据正方体ABCD-A,BC1D1的对称性可知，其余 个平面a,而l上有A,B两点在该平面上，所以lCa,即a,b, 各棱和球面也只有一个交点， L三线共面于a;同理a,c,l三线也共面，不妨设为B,而a,3 ∴，以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12 有两条公共的直线a,I,所以a与3重合，故这些直线共面， 答案：12 故②正确：在③中，不妨设其中四点共面，则它们最多只能确 12.解：(1)6条棱中，PC,AB成异面 定7个平面，故③错.] 直线，PB,AC成异面直线，PA 3.D[对于A、B,一条直线与另两条直线都相交或三条直线 BC成异面直线，共3对. 两两都相交，比如棱柱共点三条棱，这三条直线就不共面，也 (2)如图，取AB的中点Z,连接 不一定能确定一个平面，故A、B错，对于C,若三条直线相 MZ,NZ,因为M是PB中点， 互平行，其中两条可以确定一个平面，另一条可以与已知平 Z是AB中点， 面平行，故C错误，对于D,一条直线与两条平行直线都相 所以MZ/PA.MZ=PA=2. 交，这三条直线能确定一个平面.] 4.解析：当一个点在平面一侧，另三个点在平面另一侧时，这种 同里，N2∥BC.NZ=2BC=3. 平面有4个；当平面两侧各有两个点时，这种平面有3个.故 所以异面直线PA与BC所成角为∠MZN(或其补角)， 共有7个. 答案：7 在△MZN中，由余弦定理可得cos∠MZN=2,t3- 2×2×3 5.C[由于a∥b,a,c 异面，此时，b和c可 =-子，故异面直钱PA与BC所成角的余弦值为 4 能相交，也即共面，如 新题快递 图所示b与c相交；b 1.D[当a∥m,3∥m时，a,B可以相交，故选项A不正确；当 和c也可能异面，如 m∥a,n二a时，m,n可以是异面直线，因此选项B不正确；当 图所示b与c异面.综上所述，b与c不可能是平行直线.] m∥n,n∥a时，存在mCa这一情况，所以选项C不正确；根 据面面平行的性质可知选项D正确.] 104三0022 高一数学的) 照即刻扫码 假期作业25空间几何体的表面积与体积 AI伴学助手 婆率谏香王“ 同步学习微课 新知预习宝典 《思维整合室 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 2已知△ABC是面积为'的等边三角形，且其 顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为 圆柱 圆锥 圆台 16π，则O到平面ABC的距离为 ( ) 面展开 A.3 B C.1 D③ 2 ò.2π. T0 3.若圆柱的底面半径为1，其侧面展开图是一 个正方形，则这个圆柱的侧面积是() 侧面积 A.4π2 B.3π2 C.2π2 D.2 S圆柱侧三 S圆锥侧一 S圆台侧三 4.已知一个圆台的上、下底面半径分别为2， 4,它的侧面展开图扇环的圆心角为90°，则 2.空间几何体的表面积与体积公式 这个圆台的侧面积为 () 名称 A.32π B.48π C.64π D.80元 表面积 体积 几何体 5.已知A,B,C为球O的球面上的三个点， S表面积= ⊙O,为△ABC的外接圆.若⊙O,的面积为 柱体（棱柱和圆柱） V= S侧十2S底 4π，AB=BC=AC=OO,,则球O的表面 积为 S表面积= 锥体（棱锥和圆锥） V= A.64π B.48元C.36π D.32元 S侧十S底 6.(多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)已知圆锥的 V=1 顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径， 3 S表面积= 台体（棱台和圆台） ∠APB=120°，PA=2,点C在底面圆周上， S侧十S上十S下 (S上+S下+ 且二面角P-ACO为45°，则 () S上S下)h A.该圆锥的体积为π 争 S- V-giR B.该圆锥的侧面积为4√3π C.AC=2√2 《《技能提升台 D.△PAC的面积为√3 素养提升 ◆[考点二]空间几何体的体积 ◆[考点一]空间几何体的表面积与侧面积 7.《九章算术》中记载，四个面 1.如图所示，圆锥的底面半径 都为直角三角形的四面体称 之为鳖臑.现有一个“鳖臑”， 为1，高为√5，则该圆锥的表 √3 PA⊥底面ABC,AC⊥BC, 面积为 ( 且PA=3,AC=BC=2,则该四面体的体 A.π B.2π 积为 C.3π D.4π A.1 B.2 C.4 D.8 61 飞曼快乐假期 SE 8.(2023·天津卷)在三棱锥P一ABC中，线 12.轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切 段PC上的点M满足PM=PC,线段PB 球，若圆锥的底面半径为1cm,求球的 体积. 上的点N满足PN=号PB,则三棱锥 P-AMN和三棱锥P一ABC的体积之比为 A司 号 c D.号 9.(2023·全国乙卷（理）)已知圆锥PO的底 面半径为√3，O为底面圆心，PA,PB为圆锥 的母线，∠AOB=120°，若△PAB的面积等 于93，则该圆锥的体积为 4 A.π B.√6π C.3π D.3√6π 10.(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四 棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一 个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得 棱台的体积为 11.如图，在四边形ABCD 新题快递 中，∠DAB=90°，D 1.如图是一个棱长为2的正 ∠ADC=135°，AB=5, 方体被过棱A1B1、A1D1 B CD=2√2，AD=2,求四边形ABCD绕 的中点M、N,顶点A和 AD旋转一周所成几何体的体积. 过点N顶点D、C的两个 截面截去两个角后所得的 几何体，则该几何体的体积为 A.5 B.6C.7 D.8 2.在四面体SABC中，SA=SB=2,且SA1 SB,BC=√5，AC=√3，则该四面体体积的最 大值为 ,该四面体外接球的表面 积为 【《益智欢乐谷 今天做数学题.十个人 排队，甲不能站中间，不能站 两端，还得和乙挨着，还得和 丙隔两个人，还得站丁后面。 经过激烈的讨论，大家一致 认为，让甲滚… 62