假期作业21 余弦定理-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版 全学年）

三0022.-.. 2.AD[对于A,由正弦定理得sinA:sinB:sinC=a:b: c,所以sinA,sinB,sinC作为三条线段的长一定能构成三 角形，A正确，对于B,由正孩定理得A'B'C 1 是：石2例知a=5,6=12c=18,则日=日日-b 1 ab c c 合<日，故不能构成三角形的三条边长，故B错误， 对于C,由正弦定理得sin2A:sinB:sin2C=a2:b:c2, 例如：a=3、b=4、c=5,则a2=9、b2=16、c2=25, 则a2+b2=25=c2,sinA,sin2B,sin2C作为三条线段的长不 能构成三角形，C不正确； 对于D,由正弦定理可得√sinA:√sinB：sin C=√a: √石：√c,不妨设a<b<c,则a十b>c,故a<√b<c,且(Wa+ √b)2-(W0)2=a十b-c+2√ab>2√ab>0,所以(Wa+Vb) >√c,故D正确.门 假期作业21 思维整合室 1.a2+c2-2accos B a+b-2abcos C 2.tab 2ca a2+b2-c2 2ab 3.直角钝角锐角 技能提升台素养提升 1.B2.D 3.A[如图，由余弦定理可知： Cos C=2-BC+AC-AB 3 2BC·AC =32+42-AB2 2X3×4, 可得AB=3,又由余弦定理可知： cos BCAC-支k-日故选A] 2AB·BC 2×3×3 4.D[依题意，5-3<c<5十3，即2c<8, 由于B为绕角，所以c0sB=Q+C-B<0,d2十2-=9 2ac +c2-25=c2-16<0 解得2<c<4, 所以c的取值范围，也即AB的取值范围是(2,4).] 5.A[由正弦边角关系知：a:b:c=4:5：6,令a=4x,b=5x, C=6,所以osC=d+5_16女2562-日】 2ab 2X4xX5x 6.A[因为Q-(b+c2 =-1,所以a2一(b+c)2=-bc bc 即a2-6-c2-2bc=-bc,所以a2=b+c2+bc,由余弦定理 得A-8+灰-2周为0A<1则所以A= 2bc 120°，故选A.] 7.解析：0sA=+口2-25十36-16-3」 2bc 2×5×6 4 ∴mA=-wA- 答案 8解折：因为c-26,所以snC-2血B-子，所以mB=是因 为c=2b,所以6+c=36=2a,所以a=6 所以cosB=a2+c2-b2b+46-6-36 2ac 2√66 8 答案：号86 8 9 高一数类) 9.D[如号-sB=1-号-1-2 () 号由会孩定理得8=d2十-2 2accos B=6+-2×6×4 ×写-36，解得6=6，故选D.] 10.解析：由已知及余弦定理可得cosA=AB十AC-BC 2AB·AC 2x=号设中线长为，由余张定取得=(S) 92+82-722 十AB-2.49.AB·cosA=+9-2X4X9×号=49， 即x=7.所以AC边上的中线长为7. 答案：7 1.解：1)因为+Cd-2cc0A=27c=2,所以c=1: cos A cos A (2)acos BbcosAsin Acos B-sin Bcos A sin B acos B+bcos A c sin Acos B+sin Bcos A sin C =1, 所以inCA-Bm-sinB-sin(A-B》一sinB-1, sin(A+B)sin C sin C 所以sin(A-B)-sinB=sinC=sin(A+B), 所以sin Acos B-sin Bcos A-sinB =sin Acos B+sin Bcos A, 即c0sA=一，由A为三角形内角得A=2 △ABc面叔S=2xsnA=}×1x9- 24 12.解：方案一：选条件①. 由C-吾和余孩定理得4十5上-吗 2ab 2 由sinA=√3sinB及正弦定理得a=√3b. 、于是36十b—一3，由此可得b一c 由①ac=√3，解得a=√3，b=c=1. 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c=1. 方案二：选条件②. 由C=晋和金孩定理得十心-5 2ab 2 由sinA=√3sinB及正弦定理得a=√3b 于是36+B-c=8 2V36 2 由此可得b=6,B=C=吾A=资 由②csin A=3,解得c=b=2√3，a=6. 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c=2√3. 方案三：选条件③. 由C=吾和余孩定理得口十-5 2ab 2 由sinA=√3sinB及正弦定理得a=√36. 手是沙-受由比可得6=6 2√362 由③c=√3b,与b=c矛盾. 因此，选条件③时问题中的三角形不存在 新题快递 1.D[AB=3,AC=4,BC=5,满足32+4=52，.∠BAC= 90°，故cos∠ABC=3, 5 AD是∠BAC的角华分线8肥-是-BD=号XG 7’ 飞壁快乐假期 在△ABD中，由余弦定理AD=AB十BD一2AB·BD· cos∠ABD, 得A0-9+(停）-2×x9×号器， 解得AD=12,2或者AD=-12,2(舍去.] 7 7 2.解析：由余弦定理可得a2=b十c2-2 bccos A,即64=b+49 -2X6X7×号=8-2b+49, 故b-2b-15=0,解得b=-3(舍)或b=5, 因为0sC-=心+兰，所以msC=645塑9=是，又C 2ab 2X8×5 ∈0，，故C=子 答案5哥 假期作业22 思维整合室 1.解三角形3.(2)分lesin A合csin B 技能提升台素养提升 1.C2.B 3.B[如图所示建立平面直角坐标系，假设|OE=|OG=441, OF⊥EG, 北 人热带风暴中心 东 西0基地 南 由题高号知0r1=竖×58=294g,剥1GF1- √10G-10F=√21609=147， 所以该基地受热带风暴中心影响的时长EG=14?X2 21 21 =14.] 4.解析：在△ABC中，AB=40,AC=20,∠BAC=120°， 由余弦定理得BC=AB2+AC-2AB·AC·cOs120 =2800→BC=20W7. 由正孩定理，得n ACBnC BC n<ACGB-2 iBAC-红 7 由∠BAC-120°，知∠ACB为锐角，则c0s∠ACB=2y7 79 由0=∠ACB+30°，得cos0=cos(∠ACB+30) =cos∠ACBeos30°-sin∠ACBsin30°=Y2L 14 答案：日 5.D[在△ABC中，BC=60X合=30(km),∠ABC=70° 40°=30°，∠ACB=40°+65°=105°，则∠A=180°-(30°+ 105)=45°，由正弦定理，可得AC=15√2(km).故选D.] 6.A[如图所示，易知，在△ABC中， /北 AB=20,∠CAB=30°，∠ACB=45°， 东 45020P 根据正孩定理得S0=品解得BC =10√2（海里）.] c00-= 7.B[连接AC,由题意， ∠ABC=45°，∠ACD=75 -15°=60°，∠BCD=75°+ 45°=120°， ∠ACB=60°，AB=10√3， CD=4√2， AB AC 在△ABC中，由正孩定理得，sin/ACB=sin2ABC,即 103_AC,则AC=102, 2 2 在△ACD中，由余弦定理得，AD2=AC2十CD2-2AC· CDcos.∠ACD=152, 则AD=2√38km.] 8.解析：在Rt△BCP1中，∠BP1C=a,在Rt△P2BC中，∠P2 =.∠BPC=∠PBP+∠P∠PBP,=g, 即△P1BP2为等腰三角形，BP1=P1P2=, .∴.BC=lsin a. 在R△ACR中，部-S。=ameo-o AC-=2,周BA=aC-Bc--na sin a -l(cos'a-sin'a)lcos 2a sin a sin a 答案：lsin a1cos2e sin a 9.B[由三角形的面积公式得+c2=3+26 esinA,即+c2 tan A =3十2 bccos A.由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A=3,所 以a=√3.故选B.] l0.ABC[√3(acos C+ccos A)=2 bsin B,∴.由正弦定理可 3(sin Acos C+sin Ccos A)=2sin2 B,..3sin(A++C)= 2sin2B,3sinB=2sin2B.又sin B≠0，sinB=5. 2· :∠CAB=吾B∈(0，)B=吾∠ACB=x ∠CAB-B=号，因此A,B正确，四边形ABCD面积等于 S度十SaD=9AC+合AD·DC·Sm∠ADC AD2+DC-2AD·DC·eos∠ADC+2AD·DC· sinADC=-9X(9+1-6cos∠ADC)+合×3X1· s血∠ADC-9+3in(∠ADC-晋)9+3，声且仅 当∠ADC-子=至，即∠ADC=吾时，等号成立，因此C 正确，D错误.故选ABC.] I1.解析：sin∠BAC=sin(2+∠BAD）-cos∠BAD, ms∠BAD-2,在△ABD中，由余弦定理得BD AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=(3√2)2+32-2X3√2 X3x2g2=3BD=5. 3 答案：√3 12.解：(1)在△OBC中，BC=4(W3-1),OB=OC=4W2, 所以由余孩定理得cos∠BOC=OB+0C-BC=V区 2OB·OC 21 00三0022 高一致类 假期作业21 余弦定理 千里之行，始于足下。 完成日期： 月 日 《思维整合室 4.在△ABC中，BC=3,AC=5,受<B<,则 1.余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平 边AB的取值范围是 方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积 A.(2,8) B.(1,4) 的两倍，即a2=b2+c2-2 bccos A,b= C.(4,+∞) D.(2,4) ,c2= ◆[考点二]已知三边或三边的关系解三角形 2.余弦定理的推论 从余弦定理，可以得到它的推论 5.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=4:5: cos A=+c'-a -cos B= 6,则cosC= ( 2bc cos C- 8 c 3.余弦定理与勾股定理 从余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一 6.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 个三角形两边的平方和等于第三边的平方， a,b,c.若a2-+c)-1,则A=(） 那么第三边所对的角是 ;如果 bc 小于第三边的平方，那么第三边所对的角是 A.120° B.45°C.60° D.30° ；如果大于第三边的平方，那么 7.(2023·上海卷)△ABC中，角A,B,C所对 第三边所对的角是 从上可知， 的边分别为a=4,b=5,c=6,则sinA 余弦定理可以看作是勾股定理的推广， 《技能提升台 素养提升 8.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是 ◆[考点一]已知两边及一角解三角形 a,6c,已知c-26若sinC-是，则sinB 1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹 角的余弦值是一 ，则三角形的第三边长为 ;若b2十bc=2a2,则cosB= ( ) A.52 B.2√13 C.16 D.4 ◆[考点三]余弦定理的综合应用 2.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那 9.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 么它的顶角的余弦值为 () R是 c号 D a,6e若a=66=4,sm号-号，则6= ( 3.在△ABC中，cosC= 3,AC=4,BC=3,则 A.9 B.36 C.6√2 D.6 cos B= ( 10.在△ABC中，已知BC=7,AC=8,AB= A c n号 9,则AC边上的中线长为 化曼快乐限明 0M-= 11.(2023·全国甲卷（理）)记△ABC的内角 新题快递 A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知8+ca-2 1.三角形内角平分线定理：三角形的内角平分 cos A (1)求bc; 线内分对边，所得的两条线段与这个角的两 (2)若acosB-beos A-b=1,求△ABC 边对应成比例.已知△ABC中，AD为 acos B+bcos A c 面积. ∠BAC的角平分线，与BC交于点D,AB= 3,AC=4,BC=5,则AD= () A.号 D.122 7 7 2.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a, bc.若a=8,c=7,60sA-7,则6= C= 12.在①ac=3,②csin A=3,③c=√3b这三 个条件中任选一个，补充在下面问题中，若 【《益智欢乐谷 问题中的三角形存在，求c的值；若问题中 的三角形不存在，说明理由 一哥们家里着火了 我是 问题：是否存在△ABC,它的内角A,B,C 他报警说：119吗？我家 779 的对边分别为a,b,c,且sinA=√3sinB, C- 发生火灾了… 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个 119问：在哪里？ 解答计分， 他说：在我家 119问：具体点 他说：在我家的厨房里 119问：我说你现在的位置 他说：我趴在桌子底下 119:我们怎样才能到你家？ 他说：你们不是有消防车吗 119说：烧死你个二百五算了… 52