假期作业8 余弦定理-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版）

三-0022 富一数学 千里之行，始于足下。 假期作业8余弦定理 完成日期： 月 日 《思维整合室 3.在△ABC中，cosC= AC=4,BC=3, 2 1.余弦定理 则cosB= 三角形任何一边的平方等于其他两边的 平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 A司 B c n号 的积的两倍，即a2=b2+c2一2 bccos A,b2 4,在△ABC中，BC=3,AC=5,5<B<, ,c2= ( 2.余弦定理的推论 则边AB的取值范围是 A.(2,8) B.(1,4) 从余弦定理，可以得到它的推论 cos A= b+2-a C.(4,+o∞) D.(2,4) 2bc -cos B= ◆[考点二]已知三边或三边的关系解三 cos C= 角形 3.余弦定理与勾股定理 5.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=4:5 从余弦定理和余弦函数的性质可知，如 :6,则cosC= () 果一个三角形两边的平方和等于第三边 A日 B.-1 8 c品 n- 的平方，那么第三边所对的角是 6.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 ;如果小于第三边的平方，那么第三 边所对的角是 ；如果大于第 为a,b.若a2-(b+c)2 =一1，则A= bc 三边的平方，那么第三边所对的角是 ( 从上可知，余弦定理可以看 A.120° B.45°C.60° D.30 作是勾股定理的推广 7.(2023·上海卷)△ABC中，角A,B,C所 〈《技能提升台 对的边分别为a=4,b=5,c=6,则sinA 素养提升 8.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 ◆[考点一]已知两边及一角解三角形 1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们 是，b,c,已知c=2弘.若sinC=,则 夹角的余弦值是一 则三角形的第三边 sin B= ;若b2+bc=2a2, 则cosB= 长为 ◆[考点三]余弦定理的综合应用 A.52 B.2√13 C.16 D.4 9.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 2.如果等腰三角形的周长是底边长的5 a,b,c.若a=6,c=4,sin B_ 3,则6 倍，那么它的顶角的余弦值为 A是 B c. D A.9 B.36 C.6√2 D.6 飞堡快乐限翻 900= 10.在△ABC中，已知BC=7,AC=8,AB 新题快递 =9,则AC边上的中线长为 11.(2023·全国甲卷（理）)记△ABC的内 1.三角形内角平分线定理：三角形的内角 角A,B,C的对边分别为a,b,c, 平分线内分对边，所得的两条线段与这 已知+c2-a-2 cos A 个角的两边对应成比例.已知△ABC中， (1)求bc; (2)若ac0sBbc0sA-白=1，求 AD为∠BAC的角平分线，与BC交于点 acos B+bcos A c D,AB=3,AC=4,BC=5,AD= △ABC面积. ( 、 A.号 9c152D.22 7 7 2.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为 a,b.若a=8,c=7,cmsA=7,则6= ,C= 12.在①ac=3,②csin A=3,③c=√3b这 三个条件中任选一个，补充在下面问题 【《益智欢乐谷 中，若问题中的三角形存在，求c的值； 一哥们家里着火了 若问题中的三角形不存在，说明理由. 我是 问题：是否存在△ABC,它的内角A,B,C 他报警说：119吗？我 的对边分别为a,b,c,且sinA=√3sinB, 家发生火灾了… C=6 ? 119问：在哪里？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第 一个解答计分. 他说：在我家 119问：具体，点 他说：在我家的厨房里 119问：我说你现在的位置 他说：我趴在桌子底下 119:我们怎样才能到你家？ 他说：你们不是有消防车吗 119说：烧死你个二百五算了…… 18三0022 9.D[在△ABC中，由正孩定理得入sRBC b 3 sin 60 =2, .a 一b 一c =2, sin A -sin B -sin C a-b-c 六sin A sin B-sin C=2.故选D.] 10.BD[因为A十B=r一C,所以sinC=sin(x一C) =sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B. sin C+sin(A-B)=3sin 2B, 所以2 sin Acos B=6 sin Bcos B, 即2cosB(sinA-3sinB)=0,解得cosB=0或 sin A=3sin B. 当c0sB=0时，因为B∈(0，x),所以B=乏又C 苔，所以A=吾，对snA=合sinB=1,所以由正孩定 理得 合一疆合子当mA=3mB时，由E發充理得公 =3b, 所以号=3.综上所迷，号=3减子故选BD,] 11.解：(1)因为A+B=3C,所以A十B=3(π一A一B),所 以A+B=平，所以C= 4, 另外，由题意得：2sin(A一C)=sin(A十C), p2sin Acos C-2cos Asin C =sin Acos C++cos Asin C, 所以sinA=3cosA,变形得sinA=9(1-sinA). 故sinA=-3V0 10 (2)由sinA=3cosA, 得cosA= 3 sin A=10 10 所以血B=(A+0=3严×号+晋×号 10 2 由nB simC,解得AC=2, 25,由AC=AB 5 所以5w=合X5X2V而x3①=15. 10 设AB边上的高为M,则号AB·h=15,解得A=6.故 AB边上的高为6. 12.解：1)因为5a4r=25ax=2×号×号X1×sin60 =9。=5,解得=4 在△ADC中由余弦定理得b=12+2-2×1X2× c0s=3 2x=1, 在△ABD中，c2=1+22-2×1×2×cos 在△ABC中，c0sB=+Q-b=7+16-3=5 2ca 27×42√7 面BsB2因光nB如日的 cos B5 (2)在△ABC中，由中线长公式可得(2AD)2+BC2= 2(AB2+AC),即22+a2=2(b+c2)=16,所以a2= 12,又Sa=之esinA=5,因而besinA=25,又由 余弦定理得a=b+c2-2 bccos A,即12=8-2 bccos A,所 以bccos A=--2,故anA=-3今cosA=-号，所8 bc=4,又b+c2+2bc=8+8=16=(b+c)2,b+c2- 2bc=8-8=0=(b一c)2,故可得b=c=2. 5 新题快递 1,D[在△ABC中，由已知可得， s血A=V-osA=是. 又cosA=5 >0,所以A为锐角. 由正孩定理可得，sin A sin C BC AB 3 所以，sinC=4 Bsin A=了7=3 BC 2=02 要使命题饣是真命题，则C有唯一满足条件的解. 若0<x<2,则sinC<号，温然C有唯一满足条件的解： 若x=2,则C=A,满足； 若x>2,且sinC<1,即是<1， 即2<<号，此时C有两解满足条件，此时命题b是复伞题： 当工=19时，此时有sinC=1,C=受有唯一解，满足； 3 当x>9时，此时有snC>1,显然C无解，不满足. 3 辩上所递，当0<x<2或=号时，命题p是真命题.] 2.AD对于A,由正弦定理得sinA:sinB:sinC=a: b:c,所以sinA,sinB,sinC作为三条线段的长一定能 构成三角形，A正确，对于B,由正弦定理得1 1 子sinA:snB c=：知a=56=12c=18期。 1 11 11= 古方市上由女甘盒上+古立 11 十一瓷上+名<不能三角的三 长，故B错误， 对于C,由正弦定理得sin2A:sin2B:sinC=a2:b ：2, 例如：a=3、b=4、c=5,则a2=9、b=16、c2=25, 则a+b=25=c2,sinA,sinB,sinC作为三条线段的 长不能构成三角形，C不正确； 对于D,由正弦定理可得√sinA:√sinB:√sinC √a:Wb:,不妨设a<b<c,则a十b>c,故a<b<, 且(wa+√b)2-(W0)=a+b-c+2√ab>2√ab>0,所 以（√a十√b)>√c,故D正确.] 假期作业8 思维整合室 1.a+-2accos B a+b-2abcos C 2. 2ca 。+6一c3.直角钝角锐角 2ab 技能提升台素养提升 1.B2.D 3.A「如图，由余弦定理可知： Cos C=2-BC+AC:-AB 3 2BC·AC =3+4-AB 2×3×4 可得AB=3,又由余弦定理可知： B=B8SC-表=t速A] 2AB·BC 4.D[依题意，5-3<c<5十3，即2<c<8, 由于B为能角，所以cosB=。+c-6<0,a十c2-6 2ac =9十c2-25=c-16<0 解得2<c4, 所以c的取值范围，也即AB的取值范围是(2,4)，门 人壁快乐假职 5.A[由正弦边角关系知：a:b:c=4:5:6,令a=4x,b =5,c=6x,所以c0sC=+-c-16x2+252-362 由C= 否和余弦定理得+6一C-E 2ab 21 2ab 2×4.x×5.x 由sinA=√3sinB及正弦定理得a=√3b. 于是6+6-C=E 6.A[因为-b+c) 2√3b 2 =-1,所以a-(b+c)2=-bc, 即a2-b-c2-2c=-bc,所以a2=b+c2+bc,由余弦定 由此可得6=6，B=C=吾A=要 理得mA=5十么C-子周为0<AK180,所以 由②csin A=3,解得c=b=2√3，a=6. 2bc 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c=2√3 A=120°，故选A.] 方案三：选条件③. 7.解析：osA=+c-a=25+36-16=3 2bc 2×5×6 4 由C=音和余孩定理得“+C- 2ab 2 sin A-v1-cos A=7 由sinA=√3sinB及正弦定理得a=√3b. 4 答案 千是沙中一由光可得 236 由③c=√3b,与b=c矛盾. 8,解析：因为c=2b,所以sinC=2sinB=是，所以nB 因此，选条件③时问题中的三角形不存在。 新题快递 因为(=2%，所以6+=8站=2，所以a= 3 1.D[,AB=3,AC=4,BC=5,满足3+42=5， ∠BAC=90°，故c0s∠ABC=3 所以o8B=2+c2b受B+46一36 BDAB3 2ac 266 8 :AD是∠BAC的角平分线，肥-是-兰， 答案： 3√6 8 BD=号X5=号 7 9.D[m号-9osB=1-2=1 在△ABD中，由余弦定理AD=AB+BD-2AB·BD 2 ·cOs∠ABD, 得AD=+(9)-2x3x9×是-器 549 谷+-2X6X4X号-36，解得6=6.故速D] 解得AD 122或者AD= 7 12区（含去）.门 7 10.解析：由已知及余弦定理可得cosA= AB +AC-BC 2.解析：由余弦定理可得a2=b十c2-2bcc0sA,即64=b+ 2AB·AC 49-2×b×7×2=6-26+49, 9+82-72 7 2X9X8 子设中线长为，由余弦定理得x 2 故b-2b-15=0,解得b=-3(舍)或b=5, ()+AB-2 因为cosC=。+6-C,所以co0sC=64t25-49= 2 ·AB·cosA=4+92-2×4×9 2ab 2×8×5 2,又 3=49,即x=7.所以AC边上的中线长为7. C∈(0，x),故C= 3 答案：7 1,解：1)周为+C。-20A-26c=2,所以c=1, 答案：5号 cos A cos A 假期作业9 (2)acos B-bcos A b= sin Acos B-sin Bcos A 思维整合室 acos B++bcos A sin Acos B+sin Bcos A sin B=1. L.解三角形3.(2)号bsinA 1 2casin B sin C 技能提升台 素养提升 所以inA-B_sinB-imCA-B)sinB=l, 1.C2.B sin(A+B)sin C sin C 3.B[如图所示建立平面直角坐标系，假设|OE=|OG引= 所以sin(A-B)-sinB=sinC=sin(A+B). 441,OF⊥EG, 所以sin Acos B-sin Bcos A-sinB y北 =sin Acos B++sin Bcos A, 入热带风暴中心 即cosA=-1 ，由A为三角形内角得A= 3 459 G △ABC西积S=名4rnA=X1x号 24 12.解：方案一：选条件①. 由C=吾和余孩定理得十C= 0基地 2ab 2 南 由sinA=√3sinB及正弦定理得a=√3b. 于是雪-9由光了得= 由题意易知1OF1=5×588=2942,则1GF1 2 236 √TOG-10FF=√21609=147， 由①ac=3,解得a=√3，b=c=1. 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c=1. 所以该基地受热带风暴中心影响的时长EG=147X2 21 21 方案二：选条件② =14.] 58