假期作业8 函数的应用(二)-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版 全学年）

三-0022 假期作业8函数的厅 《思维整合室 几种常见函数模型 函数模型 函数解析式 f(x)=x十b(k,b为常 一次函数模型 数，k≠0) f(x)=+b(k,b为常数 反比例函数模型 x 且k≠0) f(x)=ax2+bx+c(a,b;c 二次函数模型 为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)=ba十c(a,b,c为常 数，b≠0，a>0且a≠1) f(x)=blogax+c(a,b,c 对数型函数模型 为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)=ax"十b(a,b为常 数，a≠0) 《《技能提升台 素养提升 1.某种新药服用x小时后血液中的残留量为 y毫克，如图所示为函数y=f(x)的图像， 当血液中药物残留量不小于240毫克时，治 疗有效.设某人上午8：00第一次服药，为保 证疗效，则第二次服药最迟的时间应为 (毫克) 320 20x小时 A.上午10：00 B.中午12：00 C.下午4：00 D.下午6：00 17 敏而好学，不耻下问。 Z用（二） 完成日期： 月 2.工厂在2023年底制定生产计划，要使2033 年底总产值在原有基础上翻两番，则总生产 值的年平均增长率为 () A.5而-1 B.4而-1 C.5i-1 D.4i-1 N 3.已知函数=-141g1-00》 的图像可表 示打字任务的“学习曲线”，其中t(h)表示达 到打字水平N(字/min)所需的学习时间，N 表示打字速度（字/min),则按此曲线要达到 90字/min的水平，所需的学习时间是() A.144hB.90hC.60hD.40h 4.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或 亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足 m一m一起后，其中星等为m的星的充 度为E(k=1,2).已知太阳的星等是一26.7， 天狼星的星等是一1.45，则太阳与天狼星的 亮度的比值为 A.101o.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10-10.1 5.（多选)(2023·新课标I卷)噪声污染问题 越来越受到重视.用声压级来度量声音的强 弱，定义声压级L,=20×1g卫，其中常数 （p>0)是听觉下限阈值，力是实际声压， 下表为不同声源的声压级： 与声源的 声源 声压级/dB 距离/m 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动 汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2, 3,则 () A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p。 D.p≤100p2 飞受快乐假期 6.按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030 年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到 2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透 率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬 勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电 池的容量C(单位：Ah),放电时间t(单位： h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验 公式：C=I·t,其中n为Peukert常数，为 了测算某蓄电池的Peukert常数n,在电池 容量不变的条件下，当放电电流I=20A 时，放电时间t=20h;当放电电流I=30A 时，放电时间t=l0h.则该蓄电池的Peukert常 数n大约为（参考数据：lg2^0.30,lg3≈0.48） B. c D.2 7.(多选)有一组实验数据如表所示： 1 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.424.1 37 则下列所给函数模型较不适合的有( A.y=log x(a>1) B.y=ax+b(a>1) C.y=ax2+b(a>0) D.y=logx+b(a>1) 8.(多选)如图，某池塘里浮萍的面积 12 y(单位：m)与时间t(单位：月)的 关系为y=a.关于下列说法正确 的是 () 01234i A.浮萍每月的增长率为1 B.第5个月时，浮萍面积就会超过30m C.浮萍每月增加的面积都相等 D.若浮萍蔓延到2m,3m,6m2所经过的 时间分别是t1,t2,t3,则t1十t2=t 0M-= 9.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温 度x（单位：℃)满足函数关系y=e红+b (e=2.718…为自然对数的底数，k、b为 常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192 小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该 食品在33℃的保鲜时间是 小时. 10.已知某种药物在血液中以每小时20%的 比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物 2500mg,设经过x个小时后，药物在病人 血液中的量为ymg. (1)y与x的关系式为 (2)当该药物在病人血液中的量保持在 1500mg以上时，才有疗效；而低于 500mg时，病人就有危险.则要使病人没 有危险，再次注射该药物的时间不能超过 小时.（精确到0.1） (参考数据：0.2°3≈0.6,0.823≈0.6,0.872≈ 0.2,0.89.9≈0.1) 11.某校学生研究学习小组发现，学生上课的 注意力指标随着听课时间的变化而变化， 老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来 学生的兴趣将保持较理想的状态一段时 间，随后学生的注意力开始分散，设∫(t) 表示学生注意力指标。 该小组发现f(t)随时间t(分钟)的变化规 律(f(t)越大，表明学生的注意力越集中) 如下： 100a-60(0≤t≤10)， f(t)={340(10t20), (a>0且a≠1). -15t+640(20t≤40) 若上课后第5分钟时的注意力指标为 140,回答下列问题： 三-0022 (1)求a的值； (2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比 较，哪个时间注意力更集中？并请说明 理由； (3)在一节课中，学生的注意力指标至少达 到140的时间能保持多长？ 12.某学习小组在暑期社会实践活动中，通过 对某商店一种小物品的销售情况的调查发 现：该小物品在过去的一个月内（以30天 计)每件的销售价格P(x)(单位：元)与时 间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x) =1+(k为正常数)，日销售量Q(x)(单 位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如 下表所示： x/天 10 20 25 30 Q(x)/件 110 120 125 120 已知第10天的日销售收入为121元. (1)求的值； (2)给出以下四种函数模型： ①Q(x)=ax+b;②Q(x)=a|x-25|+b; ③Q(x)=a·b;④Q(x)=a·log6x. 请你根据上表中的数据，从中选择你认为 最合适的一种函数来描述日销售量Q(x) 与时间x的变化关系，并求出该函数的解 析式； 高一数学) (3)求该小物品的日销售收入（单位：元) f(x)的最小值. 新题快递 1.某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含 量不超过0.1，若初始时含杂质2，每过滤 一次可使杂质含量减少了，至少应过滤 次才能达到市场要求？（已知g2= 0.3010,1g3=0.4771) 2.里氏震级M的计算公式为M=lgA一lgA, 其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振 幅，A。是相应的标准地震的振幅.假设在 次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000， 此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震 的震级为 级；9级地震的最大振幅 是5级地震的最大振幅的 倍 《益智欢乐谷 一个姑娘上了高铁， 见自己的座位上坐着一男 时速352km/0 士.她核对自己的票，客 气地说：“先生，您坐错位 置了吧？”男士拿出票，嚷嚷着：“看清楚点，这 是我的座，你瞎了？”女孩仔细看了他的票，不 再做声，默默地站在他的身旁.一会儿高铁起 程了，女孩低头轻松对男士说：“先生，您没坐 错位，您坐错车了！” 有一种忍让，叫做让你后悔都来不及，如 果嚎叫能解决问题，驴早就统治了世界！ 9三0022.-- 假期作业7 思维整合室 1.(1)y=x°3.单调递增单调递增单调递增y轴 x轴 技能提升台素养提升 1.C[令f)=i,则4=2a=合f)=.] 2.B[由于f(x)为暴函数，所以n+2n-2=1, 解得n=1或n=一3，经检验只有n=1适合题意，故选B.] 3.BD[:由题意a-1=1,解得a=2,f)=d,则2=日 =23,.b=-3,即f(x)=x3,f(x)=x3为奇函数，且 在(0，十∞)上为减函数.] 4.解析：不等式(a十1)言<(3-2a)言等价于a+1>3-2a> 0或3-2<a+1<0或a+1<0<3-2a,解得a<-1或号 <a<g 则实数a的取值范国是(-∞，-1U(号，2)】 答案-0，-1DU(号，号) 5.D[当x充分大时，指数函数y=a(a>l)增长最快，因此 选D.] 6.A[由已知得100=alog3(2+1),得a=100, 则当x=8时，y=100log(8+1)=200(只).故选A] 7.D[根据x=0.50,y=一0.99，代入计算，可以排除A;根据 x=2.01,y=0.98,代入计算，可以排除B、C;将各数据代入 函数y=log2x,可知满足题意.故选D.] 8.解析：将x=3分别代入y=x2+1及y=3x一1中，得y=3 +1=10,y=3×3-1=8.由于10更接近10.2，所以选用甲 模型. 答案：甲 9.B[在同一坐标系中画出函数y=log2x, y y=x2,y=2的图像，在区间(2,4)内从 上往下依次是y=x2,y=2-,y=log2x的 2 图像，.x2>2>log2x.故选B.] y=logzx 10.解析：依题意有a·ebx8=1。 2a, 01234x ..6=-In 2 81 “y=Q…e号“若容器中只有开始时的八分之一， 则有a·e平=名a,解得6=24， 所以再经过的时间为24一8=16min 答案：16 11.解：(1)C1对应的函数为g(x)=x2(x>0),C2对应的函数 为f(x)=2r(x>0). (2)因为f(2)=4,g(2)=4,f(4)=16,g(4)=16, 所以A(2,4),B(4,16). (3)由题图和(2)可知， 当0<x<2时，f(x)>g(x), 当2<x<4时，f(x)<g(x), 当x>4时，f(x)>g(x), 所以f(2024)>g(2024),f(3)<g(3), 又因为g(x)在(0，十∞)上为增函数， 所以g(2024)>g(3), 故f(2024)>g(2024)>g(3)>f(3). 12,解：1)设每年欧伐西积的百分此为(0<x<） 对a1-"=2,即1-0=合解得2=1-（合）产 所以所求百分比为1 ()产 8 高一数半 (2)设经过n年的欢伐，森林的剩余面软为原面积的号，则 。·(位)产-受，中（合）产-（合）产解释a=5所以到 今年为止，已经欧伐了5年. (③)设片一美可欢网年，则a(合)》产-，中 (合)产=（位），屏得m=0, 所以该片森林一共可欧伐20年，故今后最多还能砍伐 20-5=15(年). 新题快递 1.D[A选项：lgp=lg1026>3,T=220,由题图易知处于固 态；B选项：lgp=lg128>2,T=270,由题图易知处于液态； C选项：lgp=lg9987≈3.999，T=300,由题图易知处于固 态；D选项：1gp=1g729>2,T=360,由题图易知处于超临 界状态；所以选D.] 2.解析：当x≤0时，由f(x)=a为减函数，知0<a<1;当x >0时，由f(x)=3a-xz为减函数，知a∈R,且要满足a°≥ 3a,解得a≤行综上可知，实数。的取值范周为(0，号] 若案0,3] 假期作业8 技能提升台素养提升 1.C2.B 3.A[由N=90可知，=-14lg1-0)=144h] 4.A 5.ACD[由题意可知：L,∈[60,90]，Lp,∈[50,60]，Lp =40, 对于选项A:可得L,-L,=20X1g-20×1g2-20× p。 1s会， 因为L2L测L-L=20X1g会≥0，即g会≥0， 2 所以B≥1且p1,中2>0，可得p≥p2,故A正确； 对于选项B:可得L,-L,=20X会-20X po =20×1g2 因为L,-L,=L,-40>10,则20×1g多≥10， 即会≥ 所以≥√0且p2p>0,可得≥√0p, P3 当且仅当L,=50时，等号成立，故B错误， 对于选项C:因为L,=20X1g会=40，即1g0=2, 可得2=100，即p,=100p。,故C正确； Po 对于选项D:由适项A可知：山，-L。=20X1g号 且L,-L,≤90-50=40，则20×1g2≤40， P2 即1g≤2，可得2≤100，且p,p2>0,所以p≤100p2, 故D正确.] 飞受峡乐低翻 6.B[根据题意可得C=20”·20,C=30·10,两式相比得 8:81,即（号）=合，所以=1lg号吉=1b82 30m·10 gg产g2产a483月.地R] 1g 2 1g2 0.3 7.ABD 8.ABD[图像过(1,2)，点，∴.2=a,即a=2, .y=2, 2+1-2-221D=1, 2 2 .每月的增长率为1，A正确. 当t=5时，y=25=32>30,∴.B正确. :第二个月比第一个月增加y2一y1=22-2=2(m2),第三 个月比第二个月增加y3-y2=23-22=4(m2)≠y2-y, C不正确 2=21,3=22,6=23, ..=l0g2 2,t2=l0g2 3,ts=l0g2 6, .t1十t2=log22+log23=log26=t3,D正确.故选ABD.] 9.解析：由题意知e192, {e2+b=48. 相除得e=子，即e业=分=3时， y=ea+w=e+b,e=48X2=24. 1 答案：24 10.解析：(1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比 例衰减，给某病人注射了该药物2500mg,经过x个小时 后，药物在病人血液中的量为y=2500×(1一20%)严= 2500×0.8(mg),即y与x的关系式为y=2500×0.8. (2)当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上时， 才有疗效；而低于500mg时，病人就有危险，∴.令2500× 0.8≥500，即0.8≥0.2.0.82.2≈0.2，y=0.8是单调 递减函数，℃≤7.2，要使病人没有危险，再次注射该药 物的时间不能超过7.2小时. 答案：(1)y=2500×0.8*(2)7.2 11.解：(1)由题意得，当t=5时，f(t)=140, 即100·aò-60=140，解得a=4. (2)因为f(5)=140,f(35)=一15×35十640=115，所以 f(5)>f(35),故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时 注意力更集中 (3)①当0<t≤10时，由(1)知，f(t)=100·4ō-60≥140， 解得5≤t≤10； ②当10<t20时，f(t)=340>140恒成立； ③当20<t≤40时，f(t)=-15t+640≥140， 解得20<1≤1g9 综上所述，5≤≤100 3 故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持190-5- 的分钟。 12.解：(1)依题意知第10天的日销售收入为P(10)·Q(10) (1+急)×110=121，解得=1. (2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并 不单调，故只能选②Q(x)=a|x一25|十b.从表中任意取两 组值代入可求得Q(x)=125-|x-25(1x30,x∈N+). (3)由(2)知Q(x)=125-|x-251 =100+z(1≤x<25,x∈N), 1150-x(25≤x≤30，x∈N*), 所以f(x)=P(x)·Q(x) 8 90M= [z+100+1011≤x<25,z∈N), x 1150-x+149(25≤x≤30，z∈N). x 当1≤c<25时，y=x十10在[1,10]上单调递减，在 [10,25)上单调递增，所以当x=10时，f(x)取得最小值， f(z)min=121; 当25≤x≤30时，y= 150-工为减函数，所以当x=30时， x f(x)取得最小值，f(x)min=124. 综上所述，当x=10时，f(x)取得最小值，f(x)mm=121, 所以该小物品的日销售收入的最小值为121元. 新题快递 1.解析：设过端n次才能达到市场要求，则2(1-号)”<0.1， 即（号r<02,mg号<-1-lg2n≥7.9m=8 答案：8 2.解析：根据题意，由lg1000一lg0.001=6得此次地震的震 级为6级.因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最 大振幅为A,则lgA,-lg0.001=9,解得A,=10°，同理5 级地震的最大振幅A,=102,所以9级地震的最大振幅是5 级地震的最大振幅的10000倍. 答案：610000 假期作业9 思维整合室 1.总体个体样本 2.普查全面调查抽样调查 3.(1)相等机会(2)抽签法随机数表法(3)总体平均值 样本平均值 4.(1)互不重叠层 技能提升台素养提升 1.B[在抽样过程中，个体A每一次被抽中的概率是相等的， 因为总容量为21，故个体A“第一次被抽到”的可能性与“第 二次藏抽到”的可能性均为】 2.BC 3.B[由题言，这批垫片中非优质品约为280×500e8.9kg] 4.解析：平均每条鲢鱼的质量为20X1.6十10×2.2+10×1.8 20+10+10 =1.8(kg).因为鲢鱼的成活率约为80%， 所以成活的鲢鱼的总数约为2500×80%=2000（条）， 所以鱼塘中链鱼的总质量约为2000×1.8=3600(kg). 答案：3600 5.D 6.A[利用分层抽样，每个学生被抽到的概率是相同的，故所 求的瓶率为20+380+4000] 900 7.解析：A、B、C株数之比为4：5：7，则B类抽取的林数为 320×0=10. 答案：100 8.解析：根据题意可知，样本中参与驰步的人数为20×号 120,所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为 3 120×2+3+5=36. 答案：12036 9.ACD[A项明显正确.计算样本中5名男生成绩的平均数 ×(86+94+88十92+90)=90；5名女生成绩的平 x男5 均数i4=号×(88+93+93+8+93)=91.可儿择本中5