假期作业26 平面的基本事实与推论-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版 全学年）

三-0022 假期作业26 平面的基本 《思维整合室 1.三个基本事实 基本事实1：经过 的3个 点，有且只有一个平面， 基本事实2：如果一条直线上的 在 一个平面内，那么这条直线在此平面内 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么它们 过该点的 公共直线 2.三个推论 推论1：经过一条直线与直线外一点，有且 只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 3.空间直线的位置关系 共面直线 异面直线：不同在 一个平面内 4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 相交 a∩a=A 个 平行 面 a a∥a 在平 面内 a aCa 平 平行 a∥B 个 面 与 相交 anβ=l 面 高一数学恐 事实与推论 恢弘志士之气，不宜妄自菲薄。 完成日期： 月 《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]平面的基本性质 1.下列两个相交平面的画法中正确的是（ 2.下列命题中正确的个数为 ①若△ABC在平面a外，它的三条边所在的直 线分别交a于P,Q,R,则P,Q,R三点共线； ②若三条直线a,b,c互相平行且分别交直 线1于A,B,C三点，则这四条直线共面； ③空间中不共面五个点一定能确定10个 平面. A.0 B.1 C.2 D.3 3.下列四个命题中的真命题是 A.如果一条直线与另两条直线都相交，那 么这三条直线必共面 B.如果三条直线两两都相交，那么它们能 确定一个平面 C.如果三条直线相互平行，那么这三条直 线在同一个平面上 D.如果一条直线与两条平行直线都相交， 那么这三条直线确定一个平面 4.若空间4个点不共面，则到这4个点距离都 相等的平面的个数为 ◆[考点二]空间两直线的位置关系 5.若直线a,b,c满足a∥b,a,c异面，则b与c A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 63 火壁快乐假期 6.（多选)如图所示，在正方体 D M ABCD-A1B1C1D1中，M,NA 分别是棱CD1,CC的中点， D 给出以下结论，其中正确的结 论为 () A.直线AM与直线C1C相交 B.直线AM与直线BN平行 C.直线AM与直线DD,异面 D.直线BN与直线MB1异面 7.(2023·上海卷)如图所示，在 D 正方体ABCD-A1B,CD1中， 点P为边AC上的动点，则 下列直线中，始终与直线BP 异面的是 () A.DD B.AC C.AD D.B C 8.如下图，G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点 或所在棱的中点，则表示直线GH,MN是 异面直线的图形有 ① ② ◆[考点三]异面直线所成的角 9.在正四面体P-ABC中，D为 PC的中点，则直线PB与 D AD所成角的余弦值为 c ) A 3 B.③ 2 C.3 D.23 6 3 10.如图，M是正方体ABCD一 A1BCD1的棱CD的中点，则 A 异面直线AM与BC所成的 D- 角的余弦值是 ( A.10 B.25C.5D.0 5 5 10 11.(2023·全国甲卷（理）)在正方体ABCD A1B1C1D1中，E,F分别为CD,A1B1的中 点，则以EF为直径的球面与正方体每条 棱的交点总数为 12.如图，在三棱锥PABC中，PA=4,BC=6. (1)该棱锥的6条棱中，共有多少对异面直 线？请一一列出 S0M= (2)若PB中点为M,AC 中点为N,MN=4,求异 面直线PA与BC所成角 的余弦值. 新题快递 1.若m,n是空间两条不同的直线，a,β是空间 两个不同的平面，那么下列命题成立的是 () A.若a∥m,3∥m那么a∥B B.若m∥a,nCa,那么m∥n C.若m∥n,n∥a,那么m∥a D.若a∥B,mCa,那么m∥3 2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E,F 分别是BC,CC1的中点，则平面AEF截该 正方体所得的截面面积为 () A.5 B含 c. D. 《益智欢乐谷 踏上幽径，追逐星光 人有两条路要走，一条是必须走的，一条是 想走的，你必须把必须走的路走漂亮才可以走想 走的路，有些路，你不走下去，就不会知道那边的 风景有多美，所以内心难过也不要把自己丢在黑 暗中.按时睡觉，好好吃饭，洗个热乎的澡，喝甜 甜的奶茶.看看长河落日，花朵树木，驱逐丧气再 努力奔跑，生活到处是发光的星星.飞受快乐假期 新题快递 1.C[如图将正方体还原可得如下 D C 图形： N M B 则V4,w=号×号X1X1X2= 1 =×号×1×2x2= 2 号VaA,S4=公=8，所以该元 何体的体教V=8-子-号=7.] 2.解析：四面体的体积最大时即 面SAB⊥面ABC, SA=SB=2,且SA⊥SB,BC= √5，AC=√5，所以∠ACB=90°， 取AB的中点H,连接 CH,SH, B SH⊥AB,平面SAB∩平面 ABC=AB,SH在平面SAB 内，而5H=号反，SA=厄 所以5H1平面ABC,所以Vx=专XSAC·SH =号×号×w5x5xE=, 61 则外接球的球心在SH上，设球心为O,连接OC,CH= 合×AB=号×EXSA=E,因为sH=号×2XSA=E, 所以O与H重合，所以R=CH=SH=√2， 所以四面体的外接球的表面积S=4πR2=8π」 答案：①8x 假期作业26 思维整合室 1.不在一条直线上两点有且只有一条 3.平行相交任何4.10无数0无数 技能提升台素养提升 1.D 2.C[在①中，因为P,Q,R三点既在平面ABC上，又在平面 Q上，所以这三点必在平面ABC与a的交线上，即P,Q,R 三，点共线，故①正确；在②中，因为a∥b,所以a与b确定一 个平面a,而l上有A,B两点在该平面上，所以lCa,即a,b, l三线共面于a;同理a,c,l三线也共面，不妨设为B,而a,B 有两条公共的直线a,1,所以a与B重合，故这些直线共面， 故②正确；在③中，不妨设其中四点共面，则它们最多只能确 定7个平面，故③错.] 3.D[对于A、B,一条直线与另两条直线都相交或三条直线 两两都相交，比如棱柱共点三条棱，这三条直线就不共面，也 不一定能确定一个平面，故A、B错，对于C,若三条直线相 互平行，其中两条可以确定一个平面，另一条可以与已知平 面平行，故C错误，对于D,一条直线与两条平行直线都相 交，这三条直线能确定一个平面.] 4.解析：当一个点在平面一侧，另三个点在平面另一侧时，这种 平面有4个；当平面两侧各有两个，点时，这种平面有3个，故 共有7个. 答案：7 5.C[由于a∥b,a,c a 异面，此时，b和c可 6 能相交，也即共面，如 o c 图所示b与c相交；b 和c也可能异面，如 0 图所示b与c异面.综上所述，b与c不可能是平行直线.] .-S00 6.CD[AM与C1C异面，故A错；AM与BN异面，故B错. 易知C、D正确.] 7.B[对于A,当P是AC1的中点时，BP与DD1是相交直 线；对于B,根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线； 对于C,当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直线；对于 D,当，点P与C1重合时，BP与B1C是相交直线.门 8.解析：①中HG∥MN;③中GM∥HN且GM≠HN,所以直 线HG与MN必相交. 答案：②④ 9.C[取BC的中点为E,连接DE,AE,则DE∥PB, 所以∠ADE为AD与PB所成的角（或其补角）. 设正四面体的棱长为2a, 则DE=a,AD=3a,AE=√3a, 所以在AADE中，oADE=5OB@=得] 2X3a·a 10.A[连接AD1,D1M(图略).AB=C1D1,AB∥C1D1, .四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1∥BC1,则 ∠D,AM(或其补角)为异面直线AM与BC,所成的角.设 正方体的棱长为2，则AD1=2√2，AM=D1M=√5， cos∠D,AM=22)2+52-（5)=0,即异面直 2×2√2XW5 5 线AM与BC,所成角的余孩值是√四.故选A.] 5 11.解析：在正方体ABCD D C ABCD1中，E,F分别 为CD,A1B1的中点， A B1 设正方体ABCD A1B1CD1中棱长为2， EF中点为O, 0s M 取AB,BB1中点G,M,侧 D 面BB1C,C的中心为N, 连接FG,EG,OM,ON, A G B MN,如图， 由题意得O为球心，在正方体ABCD-A,BC,D1中，EF= √FG2+EG=√4+4=2√2， ∴R=√2， 则球心O到BB1的距离为OM=√ON2+MN=√I+I =√2， 球O与棱BB,相切，球面与棱BB,只有一个交点， 同理，根据正方体ABCD-A1B1CD1的对称性可知，其余 各棱和球面也只有一个交点， ∴.以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12 答案：12 12.解：(1)6条棱中，PC,AB成异面 直线，PB,AC成异面直线，PA, BC成异面直线，共3对. (2)如图，取AB的中点Z,连接 MZ,NZ,因为M是PB中点， Z是AB中点， 所以MZ∥PA,MZ=2PA=2 同理，Nz∥BC,NZ=2BC=3. 所以异面直线PA与BC所成角为∠MZN(或其补角)， 在△MZN中，由余弦定理可得cos∠MZN=2,十3-4 2×2×3 =-,故异面直线PA与BC所成角的余孩值为 · 新题快递 1.D[当a∥m,B∥m时，a,B可以相交，故选项A不正确；当 m∥a,n二a时，m,n可以是异面直线，因此选项B不正确；当 m∥n,n∥a时，存在mCa这一情况，所以选项C不正确；根 据面面平行的性质可知选项D正确.] 三a0022-.- 2.D[连接AD,则AD∥EF, 0 连接FD1,则平面AEF截正方 体所得截面多边形为梯 形AD1FE, B 正方体棱长为2，故AD1= 2√2，EF=√2， D 又AE=D,F=√22+1=√5， .等腰梯形AD1FE的高为 41 、梯形ADEE的面积为=2十22X=之.门■ 2 假期作业27 思维整合室 1.这个平面内交线2.相交直线相交交线 技能提升台素养提升 1.A 2.A[五棱台中，AB∥A1B1,.四边形AA1B1B是梯形， ~-8器PG∥AB,而FGE丰西ABCDE,.ABC平 面ABCDE.∴.FG∥平面ABCDE.] 3.D[A可由上底面与下底面平行的性质定理判定正确，B,C 可由线面平行的判定定理判定正确性.D错在D1B1∥l,l与 B1C1所成角是45°.] 4.解析：由题易知EF∥BC,BC∥AD,所以EF∥AD,故EF∥ 平面PAD,因为EF∥AD,所以E,F,A,D四点共面，所以 AD为平面AEF与平面ABCD的交线. 答案：平行AD 5.C 6.BD[A:若a∩y=a,∩y=b,且a∥b,则a,B可能相交、平 行，错误；B:若a,b相交，且都在a,B外，a∥a,b∥a,a∥B,b∥ B,由面面平行的判定可得a∥B,正确；C:若a∥a,b∥B,且a ∥b,则a,B可能相交、平行，错误；D:若aCa,a∥B,a∩B=b, 由线面平行的性质定理得a∥b,正确.] 7.C[由E,F分别是AB,AC的中点可知EF∥BC,既=合 在三棱柱ABC一A1B1C1中，平面A1B1C1∥平面ABC,由两 个平面平行的性质可得GH∥BC,而GH经过△AB,C的 重心，所以是-号所以望-号里EF/GH,GHt争面 A1EF,EFC平面A1EF,所以GH∥平面A1EF.因为A1B ∥BE且BE<A1B1,所以直线A1E与BB1有交点，所以平 面AEF与平面BCC1B1相交.故①②③正确，④错误.故 选C.] 8.解析：由正方体是侧棱长等于底面正方形边长的正四棱柱 知：平面AA1D1D∥平面BB1C1C,平面ABCD∥平面 ABC1D1;:正方体的侧棱相互平行，.AA1∥BB1∥CC1, .CC1∥平面BDDB,AA∥平面BDDB 答案：平面BB1C1C;平面ABCD;AA1,CC1 9.D[如图，任取线段A1B上一点M,A 过M作MH∥AA1,交AB于H,过H 作HG∥AC交BC于G,过G作CC1 B 的平行线，与CB,一定有交点N,连 M 接MN, 可证平面MNGH∥平面ACC,A, 所以MN∥平面ACC1A1,则这样的 H MN有无数条.] 10.解析：连接HN,FH,FN(图略)，则FH∥DD1,HN∥BD, 易知平面FHN∥平面B,BDD,,只需M∈FH,则MNC 平面FHN,∴.MN∥平面BBDD. 答案：点M在线段FH上（或点M与点H重合） 一数半恐) 11.证明：（1)因为M,N分别是CD,CB的 中点， 所以MN∥BD.又因为BB1LDD1, 所以四边形BB,DD是平行四边形， 所以BD∥BD1,从而MN∥BD. (2)连接A1C1,交B1D1于点O,连接OE. 因为四边形A1B,C1D1为平行四边形，则O点是A1C1的 中点.因为E是AA1的中点，所以EO是△AAC的中位 线，所以EO∥AC1. 又AC1中平面EB1D1,EOC平面EB1D1, 所以AC1∥平面EBD. (3)连接GH,因为EALB,H,则四边形EAHB,是平行四 边形，所以EB,∥AH.因为AD LHG,则四边形ADGH是 平行四边形，所以DG∥AH,所以EB,∥DG. 又因为BB1LDD,所以四边形BB,D,D是平行四边形， 所以BD∥BD.因为BD∩DG=D, 所以平面EBD,∥平面BDG. 12.证明：(1)连接AE,则AE必过DF与GN 的交点O,连接MO,则MO为△ABE的 中位线，所以BE∥MO. 又BE￠平面DMF,MOC平面DMF, 所以BE∥平面DMF, (2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中 点，所以DE∥GN, 又DE￠平面MNG,GNC平面MNG, 所以DE∥平面MNG. 又M为AB的中点， 所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN, 又MNC平面MNG,BD丈平面MNG 所以BD∥平面MNG, 又DE,BDC平面BDE,DE∩BD=D, 所以平面BDE∥平面MNG 新题快递 1.解析：(1)由平面与平面平行的判定可知，若平面α内有两条 相交直线分别平行于平面B,则a∥B,故(1)错误； (2)由平面与平面平行的定义可知，若平面。内任意一条直 线与平面B平行，则a∥B,故(2)正确； (3)当平面外的一条直线与平面相交时，过已知平面外一条 直线，不能作出一个平面与已知平面平行，故(3)错误； (4)不重合的平面a,B,Y,若a∥Y,B∥Y,由平面与平面平行 的传递性可得α∥B,故(4)正确. 答案：(2)(4) 2.解：(1)证明：因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点， 底面ABCD为平行四边形，所以MN∥PD,NQ∥AD, 又MN￠平面PAD,PDC平面PAD, 则MN∥平面PAD, 同理可得NQ∥平面PAD, 又MN∩NQ=N,MN,NQC平面MNQ 所以平面MNQ∥平面PAD. (2)证明：因为BC∥AD,BC￠平面PAD,ADC平面PAD, 所以BC∥平面PAD, 又BCC平面PBC,平面PBC∩平面PAD=l, 所以BC∥L. 假期作业28 思维整合室 1.两条相交直线平行2.垂线交线3.(1)锐角（或直角） 4.(1)锐角 PAO 5.(1)半平面棱(2)0°≤0≤180°(3)0°<0≤90° 技能提升台素养提升 1.D 05