广东东莞市大岭山中学、松山湖莞美学校、众美中学2025-2026学年度第二学期高二期中考试数学试卷

2025～2026学年度第二学期期中考试高二数学答案 1．【答案】C 2．【答案】A 【详解】共有6个因式，从4个因式中选择，在剩下的2个因式中选择， 则的展开式中的常数项为. 3． 【答案】C 【详解】，则, 4．【答案】B 【详解】不大于30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个.从中随机选取两个素数有种情况，其中被选取的两个素数之和为30的有，，共3种情况，故所求概率为. 5．【答案】A 【详解】因为，所以，又因为函数在处的切线方程为，所以，所以，则，所以，将点代入切线方程得，即，所以. 6．【答案】D 【详解】. 7．【答案】C 【详解】的展开式中的系数为，若的系数为，则，故，所以“的展开式中的系数为”推不出“”，反之，若，则展开式中的系数为，故“”能推出“的展开式中的系数为”，故“的展开式中的系数为”是“”的必要不充分条件. 8．【答案】D 【详解】因为，所以由，设，所以函数是实数集上的减函数，，所以不等式的解集为. 9．【答案】BCD 【详解】A选项，，所以A选项错误； B选项, ，所以B选项正确； C选项, ，所以C选项正确;D选项,所以D选项正确; 10． 【答案】AC 【详解】学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有种不同的选法，A正确； 课程“乐”排在“书”前面，可得课程共有种排法，B错误； 课程“射”“御”排在不相邻两个月，通过插空法，先排好其他的4门课程，有5个空位可选，在其中任选2个，安排课程“射”“御”共有种排法，C正确； 课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，利用分类加法计数原理，当“数”在第六个月时共有种；当“数”既不在第一个月也不在第六个月时，共有种，故课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，课程共有种排法，D错误． 11． 【答案】ABD 【详解】对于A：由题意可得，则，故A正确；对于B：因为，所以展开式的二项式系数和为，故B正确；对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确；对于D：令，得，令，得，所，故D正确． 12．【答案】6 【详解】. 13．【答案】3 【详解】由题意可知函数在区间上的平均变化率为, 14．【答案】 【详解】因为互相独立，所以.又因为，把代入可得：， 故.由相互独立，得. 15.【详解】（1）记抽取的3件产品全部是一级品为事件A，则事件A的概率. （2）记抽取的3件产品中恰有1件是二级品为事件B，则事件的概率， 所以抽取的3件产品中至多有1件是二级品的概率. 16．【详解】（1）的定义域为，，所以.所以曲线在点处的切线方程为，即 （2）函数的定义域为，.当时，；当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增.所以函数在处取得极小值，极小值为.所以函数的极小值为，无极大值. 17．【详解】（1）易知，则，此时的常数项为； （2）因为，则问题为求展开式中的系数，先求展开式中含的项，易知该项为，再求展开式中含的项，易知该项为，所以展开式中含的项为，所以其系数为. 18．【详解】（1）设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为，则且两两互斥，依题意，，，且， 由全概率公式得. （2） 由贝叶斯公式，得所求概率为. （3） 设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为，由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立，从而选择篮球的概率为，当时，由全概率公式，得的递推关系为，而，，化简得，. 19． 【详解】（1）当时，．所以曲线在处的切线方程为，即．曲线在处的切线方程为. （2） 解法一：因为，令，得，即.令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数.又因为，当时，；当时，.所以函数在上单调递增，在上单调递减，且，有极大值也是最大值，如图：由图可知，当时，函数与的图象无交点；当时，函数与的图象有1个交点；当时，函数与的图象有2个交点. 综上，时，的零点个数为0；时，的零点个数为1；时，的零点个数为2. 解法二：因为，设，当时，单调递减；当时，单调递增； 当时，的极小值为． ①当，即时，恒成立，此时的零点个数为0． ②当，即时，的零点个数为1． ③当，即时，的极小值，令，所以单调递减，所以，即，有，所以，所以在区间和上各有一个零点，即的零点个数为2． 综上，时，的零点个数为时，的零点个数为1；时，的零点个数为2． （3） ①当时，，令，因为，所以，而，即，，所以在区间上单调递增，所以，即，所以在区间上单调递增．所以. ②当时，令，所以单调递增，所以，即.又因为，令， 当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，的极小值为．若，即，则，所以．若，即，则在区间上单调递减，所以．所以，即． 综上可得，. 学科网（北京）股份有限公司 $2025~2026学年度第二学期期中考试 高二数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其他答案标号.非选择题将答案写在答题卡上相应位置，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求 的. 1.己知f(x)是函数f(x)的导函数，若f(x)=x2+x,则f"1)=() A.-4 B.-3 C.3 D.4 的展开式中的常数项为() A.15 B.12 C.30 D.6 3.函数f(x)=8nx-x2的单调递增区间为() A.（-0,-2)U(2,+∞) B.(-2,2) C.(0,2) D.(2,+0) 4.从不大于30的素数中随机选取两个素数，则被选取的两个素数之和为30的概率是() A.15 1 C.2 5.已知函数f(x)=alnx+x2在x=1处的切线方程为3x-y-b=0,则a-b的值为() A.-1 B.3 C.4 D.5 6.2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒"的姿态将醉拳的飘逸与力量完 美融合根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为07）：动作精准，必定能站稳： ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，90%能站稳： ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，50%能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为() A.0.9 B.0.91 C.0.92 D.0.93 第1页共4页 7.“(+1)的展开式中x2的系数为60"是“a=2"的() A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.必要不充分条件 D.充分不必要条件 8.已知函数f(x)是函数fx)的导函数，f)=e,对任意实数x都有fx)f(x)>0,则不等式ef(x)<e 的解集为() A.（-n,1) B.(e,+n) C.(1,e) D.(1,+0) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列求导正确的有() A.(x2+sin2）=2x+cos2 .e- c.(igx)--lge D.(sinx+cosx)=cosx-sinx r 10.为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”“乐”“射"“御"“书”“数"六门校本课程，每月一门，连续开设 六个月，则下列说法正确的是() A.若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有225种不同的选法 B.若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有240种排法 C.若课程“射”“御"排在不相邻两个月，则课程共有480种排法 D.若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有384种排法 =4+4x+4x2++ax”，且第5项与第8项的二项式系数相等，则() A.n=11 B.展开式的二项式系数和为21 C.展开式的各项系数和为 8)2 0号+号中是 3n311 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.计算A÷(C品+C品)的值为一·（用数字作答） 13.函数y=x2-5在区间[1,2]上的平均变化率为 14.已知随机事件AB互相独立，且满足P(4U)-子P(A)-片，则P圆)- 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题13分)在15件产品中，有10件是一级品，5件二级品，从中一次任意抽取3件产品，求： (1)抽取的3件产品全部是一级品的概率： (2)抽取的3件产品中至多有1件是二级品的概率. 16.(本小题15分)已知f(e)=lnr++1. (1)求曲线y=f(x)在点(1，∫1)处的切线方程： (2)求函数y=f(x)的极值. 17.(本小题15分)在x+二的展开式中，二项式系数和为64 (1)求n的值并求展开式中的常数项 2求+)x+2展开式中x的系数. 第3页共4页 18.(本小题17分)某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲 当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择 球的概率为，选择乒乓球的概率为：若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲 天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第n(n∈N)天选择羽毛球的概率为卫n,请写出n与n-1n≥2)的关系. 19.(本小题17分)已知函数f(x)=d2x2-3alnx,a>0. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线方程： (2)讨论f(x)的零点个数： (3)当a>时，证明：f()>2simx. 第4页共4页