精品解析：广东茂名市2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学 （考试时间：120分钟，总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数的定义域为，. . 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用组合数性质，即可求出结果． 【详解】由组合数性质， 得， ． 故选：A． 3. 若1，，，，4成等比数列，则（ ） A. 16 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据1，，，，4成等比数列，利用等比中项求解. 【详解】因为1，，，，4成等比数列， ， ，(负不合题意，奇数项符号相同)， 则， 故选：B. 4. 曲线（其中e＝2.71828…是自然对数的底数）在点处的切线的斜率为 A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：，故选A 考点：导数的几何意义 5. 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据极值点的定义，结合导函数的图象判断即可. 【详解】由导函数f′(x)的图象知 在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值； 在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值； 在x＝－3处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值； 所以f(x)的极小值点的个数为1， 故选：A 【点睛】本题主要考查极值点的定义以及数形结合思想的应用，属于基础题. 6. 若，则（　　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列数和组合数的计算方法，列出方程，求出结果. 【详解】由得，解得. 故选：D. 7. 一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中(单位：是小球相对于平衡点的位移，(单位：)为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时，（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数后，由余弦函数性质得结论． 【详解】小球的瞬时速度为，，， 因此首次达到最大值时，． 故选：D． 8. 已知等比数列满足若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数证出，再利用等比数列的通项公式即可得出结果. 【详解】构造函数（），则， 令，解得； 令，解得；令，解得； 所以函数在上单调递增；在上单调递减； 所以，则， 所以，即， 因为，所以等比数列的公比， 若，则， 此时，这与矛盾； 若，，， ，即. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列问题属于排列问题的是（ ） A. 从6人中选2人分别去游泳和跳绳 B. 从10人中选2人去游泳 C. 从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 D. 从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用排列的定义逐项判断作答. 【详解】对于A，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题； 对于B，从10个人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题； 对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题； 对于D，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题． 故选：AD 10. 如图，过原点斜率为的直线与曲线交于两点以下结论中正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 函数有两个极值点 C. 当时先减后增且恒为负 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】构造，利用导数去确定的单调区间，再判断每个选项的正确性. 【详解】由题意，与交于两点，即方程有两个正根，等价于有两个解. 令，则，令，. 极大值 又，，的取值范围，A选项正确. ，，令，得，故只有一个极值点，B选项错误. 由，得. 当，，单调递减；时，，单调递增. 是交点，，且，故时，先减后增，且，C正确. 在递增，在递减，，又. ，，同理，. ，D正确. 11. 某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有共7个节目，则下列结论正确的是（ ） A. 若节目与节目相邻，则共有1440种不同的安排方法 B. 若节目与节目不相邻，则共有3600种不同的安排方法 C. 若节目在节目之前表演（可以不相邻），则共有2520种不同的安排方法 D. 若决定在已经排好的节目单中临时添加3个节目，现有节目次序不变，则共有336种不同的安排方法 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用捆绑法，插空法等求得每个选项的排列数可判断其正确性. 【详解】若节目与节目相邻，共有种不同的安排方法，故正确； 若节目与节目不相邻，共有种不同的安排方法，故B正确； 因为节目在节目之前表演与节目在节目之前表演的情况是一样的， 所以共有种不同的安排方法，故C正确； 添加第一个节目有8种情况，添加第二个节目有9种情况，添加第三个节目有10种情况， 共有种不同的安排方法，故D错误. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________ 【答案】10 【解析】 【分析】根据组合数的性质,即可求得的值. 【详解】根据组合数的性质 所以 故答案为:10 【点睛】本题考查了组合数的简单性质,属于基础题. 13. 已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于 . 【答案】 【解析】 【详解】由题意，，解得或者， 而数列是递增的等比数列，所以， 即，所以， 因而数列的前项和，故答案为. 考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前项和公式. 14. 已知函数的定义域为，，对任意，则的解集为____________． 【答案】. 【解析】 【分析】构造，根据题意得到在为单调递增函数，又由，得到，进而得到时，，即可求解. 【详解】设，可得， 因为对任意，所以，所以在为单调递增函数， 又由，可得， 所以当时，，即不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求函数的单调区间和极值； （2）若方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为，的极大值为，的极小值为 （2）. 【解析】 【分析】（1）对进行求导，然后利用导数去求的单调区间和极值. （2）根据（1）大致作出的图象，由图象确定的取值范围. 【小问1详解】 ，. 令，解得或. 递增 极大值 递减 极小值 递增 的单调递增区间为和，单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为. 【小问2详解】 由（1）可知的极大值为，的极小值为. 当，，作出的大致图象如下： 要使恰有一个实数解，则的图象与的图象有且仅有一个交点， 由图象可得的取值范围为. 16. 随着经济科技的发展，地铁作为绿色出行的交通工具不仅方便而且环保，很受市民的喜爱.某城市地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过15站的地铁票价如下表：（） 乘坐站数 票价（元） 2 4 6 现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过15站． （1）若甲、乙两人共付车费6元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？ （2）若甲、乙两人共付车费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？ 【答案】（1）40种. （2）34种． 【解析】 【分析】（1）根据分步乘法计数原理可求出结果； （2）根据分类加法计数原理可求出结果. 【小问1详解】 若甲、乙两人共付车费6元，则其中一人乘坐地铁站数不超过4站，另外一人乘坐地铁站数超过4站且不超过9站，共有（种）， 故甲、乙下地铁的方案共有40种. 【小问2详解】 若甲、乙两人共付车费8元，则甲比乙先下地铁的情形有两类： 第一类，甲乘地铁站数不超过4站，乙乘地铁站数超过9站且不超过15站，有（种）； 第二类，甲、乙两人乘地铁站数都超过4站且不超过9站，记地铁第五站至第九站分别为，，，，，易知甲比乙先下地铁有以下四种情形： ①甲站下，乙下地铁方式有种； ②甲站下，乙下地铁方式有种； ③甲站下，乙下地铁方式有种； ④甲站下，乙只能从下地铁，共有1种方式， 共有10（种）， 依据分类加法计数原理，得24+10=34（种）， 故甲比乙先下地铁的方案共有34种． 17. 在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前n项和满足． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列的递推关系和等比数列的性质可得； （2）根据（1）得到数列的表达式，采用错位相减法即可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，且， 因为，且，，成等比数列， 所以，即，解得(舍)， 所以； 数列的前n项和满足①， 所以当时，， 当时，②， 所以由①②得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以③， ④， 由③④得 ， . 18. 若数列的首项，且满足． （1）求证：是等比数列； （2）求的通项公式； （3）求的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先结合已知递推式变形得到与的关系式，再构造相邻两项比值为常数，结合首项情况依等比数列定义证明. （2）由（1）得到的通项公式，将其变形即可解出的表达式. （3）将的通项拆分为两个可求和的数列，分别用等比数列前项和公式计算两部分的和，再相加得到. 【小问1详解】 已知，则， 整理得：， 即，又因为首项， 因此 是首项为、公比为的等比数列，得证. 【小问2详解】 由（1）的结论可知，等比数列通项为：， 整理得：. 【小问3详解】 由（2）可知，， 所以，， 相加整理得：. 19. 已知函数． （1）求证：； （2）设函数． ①若时，函数单调递增，求的取值范围； ②若函数无零点，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，从而求得的最大值，证得； （2）①根据当时，函数单调递增，可得在上恒成立，分离参数，得在上恒成立；构造函数， 利用导数分析函数的最值，可得的取值范围；②分三种情况讨论，函数的取值情况，求出无零点时对应的的取值范围，综合各种情况可得函数无零点时，的取值范围． 【小问1详解】 函数的定义域为，. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 所以； 【小问2详解】 函数的定义域为， . ①若时，函数单调递增，则在上恒成立， 因为，所以，即在上恒成立. 令，则恒成立， 所以是增函数，所以. 所以的取值范围是； ②当时，，所以在定义域上无零点； 当时，， 若，则，； 若，则，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 若函数无零点，则，所以. 当时，由，得； 又，所以恒成立，无零点. 综上所述，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学 （考试时间：120分钟，总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 若1，，，，4成等比数列，则（ ） A. 16 B. 8 C. D. 4. 曲线（其中e＝2.71828…是自然对数的底数）在点处的切线的斜率为 A. 2 B. 3 C. D. 5. 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 若，则（　　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 7. 一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中(单位：是小球相对于平衡点的位移，(单位：)为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时，（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知等比数列满足若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列问题属于排列问题的是（ ） A. 从6人中选2人分别去游泳和跳绳 B. 从10人中选2人去游泳 C. 从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 D. 从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数 10. 如图，过原点斜率为的直线与曲线交于两点以下结论中正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 函数有两个极值点 C. 当时先减后增且恒为负 D. 11. 某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有共7个节目，则下列结论正确的是（ ） A. 若节目与节目相邻，则共有1440种不同的安排方法 B. 若节目与节目不相邻，则共有3600种不同的安排方法 C. 若节目在节目之前表演（可以不相邻），则共有2520种不同的安排方法 D. 若决定在已经排好的节目单中临时添加3个节目，现有节目次序不变，则共有336种不同的安排方法 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________ 13. 已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于 . 14. 已知函数的定义域为，，对任意，则的解集为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求函数的单调区间和极值； （2）若方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 16. 随着经济科技的发展，地铁作为绿色出行的交通工具不仅方便而且环保，很受市民的喜爱.某城市地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过15站的地铁票价如下表：（） 乘坐站数 票价（元） 2 4 6 现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过15站． （1）若甲、乙两人共付车费6元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？ （2）若甲、乙两人共付车费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？ 17. 在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前n项和满足． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 18. 若数列的首项，且满足． （1）求证：是等比数列； （2）求的通项公式； （3）求的前项和. 19. 已知函数． （1）求证：； （2）设函数． ①若时，函数单调递增，求的取值范围； ②若函数无零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $