2026年广西壮族自治区钦州市初中学科素养第二次测试数学

2026年钦州市初中学科素养第二次测试 数学 （考试时间：120分钟，满分120分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．） 1．下列各数中，是有理数的是 A． B． C． D． 2．2025年全国两会顺利召开，在政府工作报告中提到，2024年粮食产量首次跃上1400000000000斤，迈上了新台阶，亩产提升10.1斤．将1400000000000用科学记数法表示应为 A． B． C． D． 3．下列人工智能大模型图标是轴对称图形的是 A． B． C． D． 4．若式子有意义，则x的取值范围是 A． B． C． D． 5．如图，A，B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接，，点D，E分别是线段，的中点，现测得，则 A． B． C． D． 6．若，面积比为，则与的周长比为 A． B． C． D． 7．下列计算正确的是 A． B． C． D． 8．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是 A． B． C． D． 9．二次函数图象的对称轴是 A． B． C． D． 10．一元二次方程的根的情况 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 11．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，瓶内液体已经过半，截面圆中弦的长为，最大深度，则球的半径为 A． B． C． D． 12．如图，直线，正六边形的顶点，分别在直线，上，若，则的度数是 A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．若分式有意义，则的取值范围是_____________． 14．分解因式：_____________． 15．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中数据计算，这个几何体的全面积为_____________． 16．如图，平行四边形中，对角线，交于点，直线过点，且与边，分别交于点，，．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是_____________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题满分8分） （1）计算： （2）解不等式： 18．（本题满分10分）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加了其中一项活动．为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校50名学生进行调查，得到如下未完成的统计表． 体育活动 足球 篮球 排球 乒乓球 跳绳 啦啦操 人数 6 12 9 8 5 （1）表格中的值为_____________； （2）若该校有1000名学生，请估计该校参加乒乓球活动的学生人数； （3）为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队．已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试共有10次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图所示．你建议选拔哪名同学，请说明理由． 19．（本题满分10分）如图，是的外接圆，在中，，延长至点，使．过点作，垂足为． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 20．（本题满分10分）为培养学生的阅读能力，某校购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，分别花费10500元和4500元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的3.5倍，并且订购《西游记》的数量比《红楼梦》的数量多50本． （1）求该校购买的《红楼梦》和《西游记》的单价； （2）某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《西游记》的数量不超过《红楼梦》数量的2倍，这个班应怎样订购，才使得订购费用最低？ 21．（本题满分10分）综合与实践 图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的左视图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为．（，，，，，） （1）求的度数； （2）为保证小桌板结构稳定，小桌板能放置物体的最大质量为，是支架的承受力，且与满足，其中是物体的质量，．求支架承受力的最大值； （3）图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点，点到的距离为；图4是此时小桌板的左视图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，求的最大高度？ 22．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线为（为常数，）． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）将抛物线向上平移2个单位后与轴交于，两点，求的长； （3）当（）时，的最大值与最小值之差为5，求的取值范围． 23．（本题满分12分）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，且点不在直线上，过点作，交直线于点． （1）如图1，若点与点重合，，求证：； （2）如图2，点，都在的延长线上，连接． ①尺规作图：线段上取点，使；（保留作图痕迹，不写作法） ②证明：； （3）在（2）的情况下，判断与的数量关系，并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年钦州市初中学科素养第二次测试 数学参考答案 一、 选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 题号 3 4 5 6 7 8 10 11 12 答案 D B C D B A A B B A 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13.a≠1 14.（2x+3)(2x-3 15 15.16元 16. 92 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17.(1)解：原式=9+(-2)-2 2分 =5. 4分 (2)解：6x+2>5 1分 6x>3 2分 1 x72 4分 18.解：(1)10 3分 (2)1000× 9=180(人)， 5分 5 答：估计该校参加乒乓球活动的学生人数约为180人； 6分 (3)选择乙，理由： 8分 从折线统计图可以发现，随着周数的增加，乙同学投篮的命中次数也在增加. 10分 (答案不唯一). 19.解：(1)连接OB, 0 .O是AC中点，B是CD中点， .OB是△ACD的中位线， 1分 .OB//AD, ∠OBE=∠BED. 2分 BE⊥AD, ∴.∠BED=90°， ∴.∠OBE=90°， .OB⊥BE. 3分 .OB是半径， 4分 ∴BE为⊙O的切线 5分 (2)在Rt△ABE中，根据勾股定理， AB=AE2+BE2=23, 6分 由(1)得∠OBE=90°， ∴.∠OBA+∠ABE=90°. .OA=OB, ∴.∠OBA=∠OAB. 7分 在Rt△ABC中， ∠OAB+∠C=90°， ∴.∠C=∠ABE, 8分 ÷sin∠C=sin∠ABE,即AB=AE 9分 AC AB .AC=6, .⊙0的半径为3. 10分 20.解：(1)设该校购买《西游记》的单价为x元， 1分 10500 +50=4500 2分 3.5x 解得x=30, 3分 检验：x=30时，3.5x≠0，.x=30是原分式方程的解， 4分 .3.5x=3.5×30=105, 答：该校购买的《西游记》的单价为30元，《红楼梦》的单价为105元. 5分 (2)设这个班订购m本《红楼梦》，订购总费用为n元， n=105m+3010-m=75m+300, 6分 根据题意得10-m≤2m,解得m≥3， m为正整数， ∴.m的最小值是4， 7分 ∴.n是关于m的一次函数，且k=75>0, 8分 ∴.n随m的增大而增大， 9分 .当m=4时，n取得最小值75×4+300=600， 此时10-m=10-4=6, 答：这个班应订购4本《红楼梦》，6本《西游记》，才使得订购费用最低.。 10分 21.解：(1)过点A作AD⊥OP交OP于点D,则∠ADO=90°， 1分 .∠OAB=128°， .∴.∠0=∠OAB-∠ADO=38°. 2分 A D 0 (2)、8。>0,且为定值， 3分 2sin0 ∴，F是关于m的正比例函数，且F随m增大而增大， 4分 ∴.当m=24时，F最大 将m=24、8=10Nkg、sin38°号代入F=7m3。,得F≈200， 3 2sin0 ∴.支架能承受的最大力F约为200N. 5分 (3)过点O作OD/1AB,过点A作AT⊥OD交于点T,过点E作ES⊥OD交于点S, 则∠BAT=∠ATO=∠AES=∠EST=90°， ∴.四边形ATSE是矩形， 6分 ∴.AT=ES,AE=TS, :∠OAB=128°， .∠OAT=∠OAB-∠BAT=38°， .Rt△AOT中， 4 AT=0Ac0s∠0AT=40×c0s38°≈40×=32cm, 3 0T=0Asin∠0AT=40×sin38°≈40×=24cm, 5 ∴.ES=AT=32cm, 7分 :AE=AQ-QE=5-3=2(cm), .TS=AE =2 cm, .OS=0T+TS=24+2=26(cm), 8分 ,∠POP'=30°， ∴.∠FOS=90°-∠POP'=60°， 9分 ∴.在Rt△OFS中， FS=OS.tan∠F0S=OS,tan60°=26V3cm, :.EF =FS-ES =(263-32 cm, 即在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度EF是(26V5-32cm. 10分 P F B TS D 22.解：(1)当a=1时，抛物线为y=x2-6x+3=(x-3)2-6. 1分 抛物线的顶点坐标为(3，-6)： 2分 (2)抛物线向上平移2个单位后为y=ax2-6ax+5a, 3分 令y=0,即ax2-6ax+5a=0, 4分 ax2-6x+5=0, .ax-1x-5)=0, 解得x=1或x=5, 5分 ∴.抛物线与x轴的交点分别为1,0)，（5,0)， .AB=5-1=4; 6分 (3)y=ax2-6ax+5a-2=a(x-32-4a-2, ,.对称轴为直线x=3, 7分 .a>0, ∴.抛物线开口向上， 0≤t≤1，t≤x≤t+3, ∴.当x=3时，y取到最小值为-4a-2, 8分 当x=t时，y取到最大值，最大值为at2-6at+5a-2, 9分 :y的最大值与最小值之差为5， .at2-6at+5a-2)-(-4a-2)=5, 10分 化简得：at-3)2=5,即a 5 (t-3)2 ,0≤t≤1， ∴.-3≤t-3≤-2， .4≤(t-3≤9， 11分 < 5 5 9(t-324 5<as4 .5 12分 23.证明：(1).∠ACB=90°，∠ABC=45°， .∠BAC=∠ABC=45°， 1分 ,线段AD绕点A逆时针旋转180°-2×45°=90°得到线段AE,点D与点C重合， .AE=AD=AC,∠EAB=90°-∠BAC=45°， .∠EAB=∠ABC, .BC/AE 2分 EF //AB, ∴.四边形ABFE是平行四边形， :BF AE .BF=AC; 3分 (2)①如图，在DC上取一点G,使得AG=AB.(作法不唯一) 5分 G ②，将线段AD绕点A逆时针旋转180°-2得到线段AE, .DA=EA,∠DAE=180°-20， AG=AB, ∴.∠AGB=∠ABG=O, 6分 ∴.∠GAB=180°-2， ∴.∠DAG=∠EAB, .△DAG≌△EAB(SAS), 7分 (3)DF=2BC,理由如下： 8分 :AG=AB,∠ACB=90°， ∴.GB=2BC. 9分 ,∠AGB=∠ABG=a, ∴.∠AGD=∠ABE=180°-a, ∴.∠FBE=∠ABE-∠ABC=180°--a=180°-2a, 10分 EF //AB, ∴.∠BFE=∠ABF=, .∠BEF=180°-∠FBE-∠BFE=, .BE BF 11分 ·GD=BE, GD=BF,即DF=GB, .∴.DF=2BC. 12分