精品解析：山东省青岛市第十五中学2024-2025学年高二下学期第三学段质量检测数学试卷

青岛实验高中2024—2025学年度第二学期 第三学段质量检测 高二数学试卷 命题人：樊星星 审核人：王海蛟 2025年5月 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随意抽取2件进行检测，记取到的正品数为，则数学期望为( ) A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】服从超几何分布，求出的分布列，根据数学期望的计算方法计算即可． 【详解】方法一：可能取0，1，2，其对应的概率为， ∴． 方法二：由题可知，服从超几何分布，故． 故选：D． 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】其中为常数，求出函数的导函数，代入求解，从而可以求解. 【详解】由于函数，则其导函数为：， 代入，可得：，解得：，所以， 所以. 故选：D 3. 井字棋起源于古希腊，是一种在格子上进行的连珠游戏，其玩法与五子棋类似．两名玩家分别持不同棋子轮流在九个格子中落子，直到某位玩家的三颗棋子在同一条直线上后游戏结束，该玩家获胜．小明与小红进行井字棋游戏，小明执黑棋先下，小红执白棋．若当棋盘上刚好下满5个棋子时游戏结束，则棋盘上的棋子的分布情况共有几种（ ） A. 144 B. 120 C. 96 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步原理，先确定赢方的棋子分布情况，再确定输方的棋子分布情况. 【详解】当棋盘中恰好有5颗棋子时游戏结束，则说明赢方的三颗棋子连成了一条直线，共有8种情况．（横三种，纵三种，斜两种）， 棋盘上剩余6个空格，其中两个空格要放输方的白棋，共有种． 故此时棋子的分布情况共有种. 故选： 4. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理计算展开式中的系数即可. 【详解】原式，因展开式中没有项， 展开式中项为， 所以的展开式中的系数为. 故选：A 5. 某高校为研究学生每周平均体育运动时间进行了一次抽样调查，已知被抽取的男、女生人数相同．调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，抽取的女生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，则被抽取的男生人数至少为（ ） 附： 0.050 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 60 B. 65 C. 70 D. 75 【答案】C 【解析】 【分析】设男生总人数为，写出列联表，根据题意列出卡方不等式即可求解. 【详解】设男生总人数为，依题意可得列联表如下： 每周平均体育运动时间超过4小时的人数 每周平均体育运动时间不超过4小时 合计 男生人数 女生人数 合计 若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关， 则， 解得，则被抽取的男生人数至少为70人. 故选：C. 6. 已知随机变量.若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项分布的概率公式探讨的取值，再将等价为求解即得. 【详解】由，则， ， 且， 构造函数，其导函数为， 由于，，故函数在区间上单调递增； 当时，取最小值；当时，函数值为； 所以； 故选：B. 7. 已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性并求解不等式. 【详解】令函数，由，得， 又，求导得， 函数在R上单调递增，不等式， 解得，所以不等式的解集为. 故选：A 8. 现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ） A. 事件A与B相互独立 B. 事件A与C为互斥事件 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件求出，由互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公式进行逐一判断即可 【详解】对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有不同的安排方法， 事件“甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有种方法； 若跳高比赛安排1人，则有种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有种，则，同理， 若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有种不同的安排方法，所以， 因为，事件A与B不相互独立故A错误； 对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时发生，故事件A与C不是互斥事件，故B错误； 对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有种，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 以下四个命题中，其中正确的是（ ） A. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则. B. 两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0 C. 在回归直线方程中，当变量x每增加一个单位时，则变量平均增加0.2个单位； D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则， 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用相关系数的相关程度可判断B，利用回归直线方程的性质可判断其余选项 【详解】对于选项A，，，代入回归直线方程为，即，则，正确； 对于选项B，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，错误； 对于选项C， 在回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，则变量平均增加0.2个单位，正确； 对于选项D，对两边取对数得，设，则，与比较得，则，，即，正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查了回归直线方程的性质，相关系数的相关性. 10. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】构造且，先用导数研究的单调性，进而得到的单调性，可得，再应用不等式的性质、基本不等式及指对数的性质判断各项的正误. 【详解】由题设，令且， 令，则在上恒成立，即在上单调递增， 根据复合函数及指数函数的单调性易知在上单调递增，而， 所以，故，A对；又，则，B错； 由，显然等号不能成立， 所以，即，C对； 由，则，又，则，D错. 故选：AC 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法可判断AC选项的正误，利用二项展开式的通项可判断B选项的正误，求导后再利用赋值法可判断D选项的正误. 【详解】令. 对于A选项，，， 所以，故A正确； 对于B选项，令，可得， 则有， ，的展开式通项为， 所以，的展开式通项为， 由，解得，所以，，故B错误； 对于C选项，，因此，，故C正确； 对于D选项，， 因此，，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：一般地，若. （1）； （2）展开式各项系数和为； （3）奇数项系数之和为； （4）偶数项系数之和为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性运算求解即可. 【详解】因为随机变量，， 则，解得. 故答案为：. 13. 某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占，则小张决定采购该企业产品的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分析可得含1个二等品零件的包数占，进而由对立事件和互斥事件的概率公式计算可得答案． 【详解】解：根据题意，该企业这批产品中，含2个二等品零件的包数占，则含1个二等品零件的包数占， 在含1个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率， 在含2个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率， 则小张决定采购该企业产品的概率； 故答案为：． 14. 函数图象上不同两点处的切线的斜率分别是，规定（为A与B之间的距离）叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”.若函数图象上两点A与B的横坐标分别为0，1，则=___________；设为曲线上两点，且，若恒成立，则实数m的取值范围是___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据弯曲度的定义，利用导数即可求得；根据弯曲度定义，构造函数，求函数的最大值，即可得出的取值范围. 【详解】当时，，又根据题意可知， 故可得， 则； 当时，，根据题意可设 故可得 则； 当时，因为，故显然成立，故满足题意； 当时，等价于， 不妨令，容易知， 又因， 故要满足题意，只需，解得，结合，则. 综上所述， 故答案为：；. 【点睛】本题考查函数新定义，涉及利用导数求函数某点处切线的斜率，以及构造函数法，属综合性中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，当时取得极大值. （1）求的值； （2）求函数在上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）最大值是，最小值是. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，求出的值，再代入检验即可； （2）结合（1）可得函数的单调性，从而求出极值与区间端点函数值，即可求出最值. 【小问1详解】 因为，所以， 因为时取得极大值； 所以，，. ①当时，， 由解得或；由解得； 所以，上单调递增，在上单调递减； 时取得极小值，不符合题意，所以舍去. ②当时， 由解得或；由解得； 所以，上单调递增，在上单调递减； 时取得极大值，符合题意. 综上可得： 【小问2详解】 由（1）可知，，， 在，上单调递增，在上单调递减； 所以在上极大值为，极小值为； 又由于， 函数在上的最大值是，最小值是. 16. 某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场.从2016年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养老机构数量对照表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码（） 1 2 3 4 5 新建社区养老机构（） 12 15 20 25 28 （1）根据上表数据可知，与之间存在线性相关关系，用最小二乘法求关于的经验回归方程； （2）若该地参与社区养老的老人，他们的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人？ 参考公式：线性回归方程，，. 参考数据：， 【答案】（1）；（2）人． 【解析】 【分析】（1）利用条件及回归直线方程公式即求； （2）由题可求，结合条件即求. 【详解】（1）由题意知， ， ， ， 所以， ， 故所求经验回归方程为； （2）由题可知， 该地参与社区养老的老人有（人） 该地参与社区养老的老人约有人. 17. 已知函数． （1）若为上的单调函数，求的取值范围； （2）若函数恰有三个不同的零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）分类讨论，为增函数和减函数，参变分离，根据或在上恒成立，即可求得范围； （2）根据，以及为奇函数，将问题转化为在上存在一个零点，再分、、三种情况研究的零点，特别地，当时，通过构造函数并研究其零点即可. 【小问1详解】 若为上的单调增函数，则在上恒成立， 即恒成立， 又，故； 若为上的单调减函数，则在上恒成立， 即恒成立， 又，故； 综上所述，若为上的单调函数，则的范围为. 【小问2详解】 定义域为，且，故为奇函数， 又， 则函数恰有三个不同的零点，等价于在有一个零点， 又， 令，则， ①由（1）可知，当时，为上的单调减函数， 又，故在恒成立，故在单调递减， 又，，故存在，使得， 则得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 故当，， 又，故存在，使得， 则在有一个零点； ②当时，， 令，则，则在单调递增， 则，即在恒成立， 则在无零点，不符合题意； ③当时，令， 则， 令，则， 若，则； 若，令得， 则得；得， 又，则在恒成立，即在恒成立， 因，则，则， 则在上单调递减， 因， 易知当时，时， 则， 则由零点存在性定理可知，在上存在一个零点， 即在有一个零点； 综上所述，的取值范围为. 18. 新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．若正确答案为两项，每对一项得3分：若正确答案为三项，每对一项得2分； （1）学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表： 选项 作出正确判断 判断不了（不选） 作出错误判断 A 0.8 0.1 0.1 B 0.7 0.1 0.2 C 0.6 0.3 0.1 D 0.5 0.3 0.2 若此题的正确选项为AC．求学生甲答此题得6分的概率： （2）某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为（）．现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两个选项． ①若，且学生乙选择方案Ⅰ，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率． ②以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？ 【答案】（1） （2）① ，；② 【解析】 【分析】（1）根据题意利用独立事件的乘法公式即可求解； （2）对于①，结合答案是两个选项或三个选项，利用古典概型即可求解； 对于②，分别计算方案I和方案Ⅱ的数学期望，根据数学期望的大小关系列不等式可得的取值范围. 【小问1详解】 设事件M表示“学生答此题得6分”，即对于选项A、C作出正确的判断，且对于选项B、D作出正确的判断或判断不了， 所以； 【小问2详解】 ①记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， . ②对于方案I：记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， 则的所有可能取值为0，2，3， 则， ， ， 所以； 对于方案Ⅱ：记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则的所有可能取值为：0，4，6， 则， ， ， 所以； 要使唯独选择方案I最好，则 解得：，故P的取值范围为． 19. 维空间中点的坐标可以表示为，其中为该点的第个坐标．定义维空间中任意两点，之间的平均离差二乘距离．设维空间点集或1，其中． （1）若，，且点，，写出所有的点的坐标； （2）任取维空间中的不同两点． （i）若，求的概率； （ii）记随机变量，求的最大值． 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）根据新定义，列出方程，求解即可； （2）（i）根据新定义、组合、古典概型求解即可； （ii）根据概率、组合数的性质，结合导数化简，求出，再作差比较法判断单调性，利用单调性确定取值范围即可. 【小问1详解】 由定义可知，。 即，且， 所以解得满足方程的B点坐标为： 【小问2详解】 （i）（固定点P）：设点, 因为， 因为或1，或1， 所以中有两项等于0，两项等于1， 所以满足条件的所有可能情况有， 因为两不同点所有可能情况共有种， 所以的概率. （ii）设随机变量,其中 因为， 所以， 因为， 两边同时求导，得， 上式两边同乘,求导得 ， 令，得， 所以， 因为， 所以单调递减，因为， 所以.则的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛实验高中2024—2025学年度第二学期 第三学段质量检测 高二数学试卷 命题人：樊星星 审核人：王海蛟 2025年5月 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随意抽取2件进行检测，记取到的正品数为，则数学期望为( ) A. B. C. 1 D. 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 井字棋起源于古希腊，是一种在格子上进行的连珠游戏，其玩法与五子棋类似．两名玩家分别持不同棋子轮流在九个格子中落子，直到某位玩家的三颗棋子在同一条直线上后游戏结束，该玩家获胜．小明与小红进行井字棋游戏，小明执黑棋先下，小红执白棋．若当棋盘上刚好下满5个棋子时游戏结束，则棋盘上的棋子的分布情况共有几种（ ） A. 144 B. 120 C. 96 D. 90 4. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 24 5. 某高校为研究学生每周平均体育运动时间进行了一次抽样调查，已知被抽取的男、女生人数相同．调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，抽取的女生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，则被抽取的男生人数至少为（ ） 附： 0.050 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 60 B. 65 C. 70 D. 75 6. 已知随机变量.若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ） A. 事件A与B相互独立 B. 事件A与C为互斥事件 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 以下四个命题中，其中正确的是（ ） A. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则. B. 两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0 C. 在回归直线方程中，当变量x每增加一个单位时，则变量平均增加0.2个单位； D. 以模型去拟合一组数据时，了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则， 10. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量，若，则________. 13. 某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占，则小张决定采购该企业产品的概率为______． 14. 函数图象上不同两点处的切线的斜率分别是，规定（为A与B之间的距离）叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”.若函数图象上两点A与B的横坐标分别为0，1，则=___________；设为曲线上两点，且，若恒成立，则实数m的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，当时取得极大值. （1）求的值； （2）求函数在上的最大值与最小值. 16. 某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场.从2016年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养老机构数量对照表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码（） 1 2 3 4 5 新建社区养老机构（） 12 15 20 25 28 （1）根据上表数据可知，与之间存在线性相关关系，用最小二乘法求关于经验回归方程； （2）若该地参与社区养老的老人，他们的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人？ 参考公式：线性回归方程，，. 参考数据：， 17. 已知函数． （1）若为上的单调函数，求的取值范围； （2）若函数恰有三个不同的零点，求的取值范围． 18. 新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．若正确答案为两项，每对一项得3分：若正确答案为三项，每对一项得2分； （1）学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表： 选项 作出正确判断 判断不了（不选） 作出错误判断 A 0.8 0.1 0.1 B 0.7 0.1 0.2 C 0.6 0.3 0.1 D 0.5 03 0.2 若此题的正确选项为AC．求学生甲答此题得6分的概率： （2）某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为（）．现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两个选项． ①若，且学生乙选择方案Ⅰ，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率． ②以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？ 19. 维空间中点坐标可以表示为，其中为该点的第个坐标．定义维空间中任意两点，之间的平均离差二乘距离．设维空间点集或1，其中． （1）若，，且点，，写出所有的点的坐标； （2）任取维空间中的不同两点． （i）若，求的概率； （ii）记随机变量，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $