山东淄博第七中学2025-2026学年高二下学期期中测试数学试题

淄博七中2025-2026年下学期高二期中测试题 一、单选题 1.已知函数f(x)在x=1处可导，若lim △0 24e+)-0-2.则r0 △x A- c.一2 1 2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间 (a,b)内有极小值点 y=f(x) A1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.某班级寒假期间安排4名优秀团员到A,B两个社区参加志愿者活动，A社区要求至少2名志愿者， B社区要求至少1名志愿者，每位团员都要参加活动，且只能参加一个社区的活动，则不同的分配方 案有 () A40种 B.20种 C.10种 D.6种 4.在(x-1)(x-2)(x-3)(c-4)(x-5)的展开式中，含x的项的系数是 A-15 B.85 C.-120 D.274 5.已知函数f(c)=x·2+1,则曲线在点(-1，f(-1)处的切线在y轴上的截距为 A 1-In2 B.In2-1 C.In2 D.-n2 6已知PA)=,PB)=3,PAB)=,则PAUB)- A号 玉分 c D.3 4 7.已知a=e.01,b=1.01,c=log2,则 () A c>b-a B.c=a>b C.b>a>c D.a>b>c 8.若函数f(x)的定义域为R,满足f(0)=2,Hx∈R,都有f(x)十f'(x)>1,则关于x的不等式f(x)> e-“+1的解集为 A {xa>1 B.{xa>e C.{cx<0} D.{a>0} 二、多选题 9.设A,B分别为随机事件A,B的对立事件，以下概率均不为零，则下列结论正确的有 A.P(B)=P(A)P(BA)+P(AP(BIA) B.若P(BA)=P(B),则P(AB)=P(A) C.P(ABC)=P(A)P(BA)P(CAB) D.P(BA)+P(BA)=1 试卷第1页，共3页 10.甲参加游戏获得的积分X的分布列为 X 4 5 6 7 8 P 0.1 0.3 0.3 m n 且E(X)=6,则 ( ) Am+n=0.3 B.P(X>5)=0.6 c.m=2 D.D(X)=1.6 2 l1.已知函数f(x)=(e+a)x,g(x)=(x十a)lnc,则下列说法正确的是 A若函数y=f)存在两个极值，则实数a的取值范围为-o0,。】 1 B.当a=1时，函数y=g(x)在(0，+∞)上单调递增 C.当a=1时，若存在x≥1，使不等式fmx)≥f(x2+x)nc)成立，则实数m的最小值为0 D.当a=1时，若f)=g(c)=tt>0),则x(+1)lnt的最小值为1 三、填空题 12已知离敬型随机变量X的取值为有限个，EX)-子，DX)-岛，则EX9- 13.若(2-1)2026=a十a1c+ac2+ax3+.+a226x2026(c∈R),则|al+la1+la+…+a2026的值被8除 的余数为 14.已知f)=n0-em(m>0对定义域内任意4>都有f〔）-f<1成立，则m的取值范 01一03 围为 四、解答题 1反.已知fe)-寸e+号x-6aa∈R在x=2处取得极值 2 (1)求实数a的值； (2)求f(x)在[-4,3]上的最值 试卷第1页，共3页 16在(G-是广的展开式中， (1)求展开式中所有项的系数和； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ 17.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传 给另外三人中的任何一人.设n次传球后球在甲手中的概率为P. (1)求，P； (2)用P表示R,并证明{P-}为等比数列： (3)求n次传球后球在甲手中的概率P。. 试卷第1页，共3页 18.某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每 次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券已知甲箱每次抽取中奖的概率为号，乙箱和丙箱每次抽取中奖 的概率均为子，中奖与否互不彩响 (1)已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学 习用品，其他情况没有奖励. 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其 他情况没有奖励； 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？ (2)若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中 奖，求该同学选择乙抽奖箱的慨率 19.已知函数f(x)=ce. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)已知函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称，证明：当x>1时，f(x)>g(x); (3)如果1≠2，且f(x1)=f(x),证明：1十x>2. 试卷第1页，共3页 淄博七中2025-2026年下学期高二期中测试题 一、单选题 1.已知函数f(x)在x=1处可导，若lim △0+0 2e+-0-,则ra △x A- c- 【答案】B 【详解】f'(1)=im .f2△e+1)-f1=1 △→0 (2z1) 2△x △c 4 2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(c)在开区间 (a,b)内有极小值点 () y=f(x) A1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【详解】从图形中可以看出，f'(x)在开区间(a,b)内有4个零点c1,x,,c4,(c1<c2<c=0<x, 在x1处的两边f'(x)左正、右负，取得极大值； 在c处的两边f'(x)左负、右正，取值极小值； 在c处的两边f'(x)都为正，没有极值； 在x4处的两边f(x)左正、右负，取值极大值】 因此函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点只有一个. 故选：A 3.某班级寒假期间安排4名优秀团员到A,B两个社区参加志愿者活动，A社区要求至少2名志愿者， B社区要求至少1名志愿者，每位团员都要参加活动，且只能参加一个社区的活动，则不同的分配方 案有 () A40种 B.20种 C.10种 D.6种 【答案】C 【详解】由题意可得A社区2名、B社区2名或者A社区3名、B社区1名， 所以不同的分配方案数为C+C=6+4=10. 4.在（x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(c-5)的展开式中，含c的项的系数是 A-15 B.85 C.-120 D.274 【答案】A 【详解】(c-1)(c-2)(x-3)(c-4)(x-5)的展开式中， 含x项为五个括号中四个取x还有一个括号取常数相乘得到， 故含x的项的系数为(-1)+(-2)+(-3)+（-4)+（-5)=-15. 故选：A 5.已知函数f(x)=x·2+1,则曲线在点(-1，f(-1)处的切线在y轴上的截距为 试卷第1页，共3页 A 1-In2 B.n2-1 C.In2 D.-n2 【答案】A 【详解】因为f'(x)=2+1+x·2+1.ln2,故可得f(-1)=1-n2,f(-1)=-1, 故f(x)在点(-1，f(-1)处的切线方程为：y+1=(1-n2)(x+1), 令红=0，解得y=-2故切线在y轴上的截距为- 故选：A 6已知P(A=2,PB)=3,PAB)=7,则PAUB)= () A 【答案】C 【详解】P(AB)=PAB PB PAB)=3含=君 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=2 故选：C 7.已知a=e.01,b=1.01,c=log2,则 A c>b>a B.c=a>b C.b-a-c D.a>b>c 【答案】D 【详解】令f(x)=e-x-1,则f'(x)=e”-1,而f'(0)=e°-1=0， 当x<0时，f'(x)<0,f(x)在(-∞，0)上单调递减； 当x>0时，f'(x)>0,f(x)在(0，+o)上单调递增， 故f(c)>f(0)=0在c≠0上恒成立，即e”-x-1>0, 令x=0.01,则e0.01>1.01,故a>b,c=log2<log3=1. 综上，a>b>c. 8.若函数f(c)的定义域为R,满足f(0)=2,Hc∈R,都有f(c)+f'(x)>1,则关于x的不等式f(x)> e-w+1的解集为 () A {oc>1 B.fox>e C.{xx<0} D.{xx>0} 【答案】D 【详解】因为f(x)+f'(x)>1,所以f(x)+f'(x)-1>0,→ef(x)+ef'(x)-e>0, 所以构造函数F(x)=ef(x)-e“,则F(x)=ef(x)+ef'(x)-e=e(f(x)+f'(x)-1)>0, 所以F(x)在R上单调递增，因为f(0)=2,所以F(0)=1, 所以不等式f(x)>e"+1台ef(x)-e>1台F(x)>F(0), 因为F(x)在R上单调递增，所以x>0,所以不等式的解集为{clx>0}, 故选：D. 二、多选题 9.设A,B分别为随机事件A,B的对立事件，以下概率均不为零，则下列结论正确的有 A P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA) B.若P(BA)=P(B),则P(AB)=P(A) C.P(ABC)=P(A)P(BA)P(CAB) D.P(BA)+P(BA)=1 【答案】ABC 【详解】对于A,由全概率公式得，P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA),故A正确； 试卷第1页，共3页 对于B,PBA=PAB=P(B,所以P(AB=PAPB,所以A,B相互独立， P(A) 那么P(AIB)= P(AB)=P(AP(B=P(A),故B正确； P(B) P(B) 对于C,PAP(BlA).P(CIAB)=PA.PCAB.PABC=PABC,故C正确； P(A)P(AB) 对于D,P(BA)表示在A发生的条件下B发生的概率，P(BA)表示在A发生的条件下B发生的概率， 两者之和不一定为1，例如：设A为“掷骰子点数为偶数”，A为“掷骰子点数为奇数”， B为“掷服子点数大于2”，则P(日A)=子，PB)=号，和为告，D错误 10.甲参加游戏获得的积分X的分布列为 X 5 6 7 8 P 0.1 0.3 0.3 m n 且E(X)=6,则 Am+n=0.3 B.P(X>5)=0.6 C.m=2 D.D(X)=1.6 n 【答案】ABD 【详解】依题意得， 4×0.1+5×0.3+6×0.3+7m+8m=6 m=0.1 0.1+0.3+0.3+m+n=1 n=0.2' 则m十n=0.3,A项正确， P(X>5)=0.3+m十n=0.3+0.3=0.6,故B项正确； 故C项错误； D(X)=(4-6)2×0.1+(5-6)P×0.3+(6-6)2×0.3+(7-6)P×0.1+(8-6)P×0.2=1.6,故D项正确 故选：ABD 11.已知函数fx)=(e+a)x,g(x)=（x十alnc,则下列说法正确的是 () A若函数y=@)存在两个极值，则实数的取值范国为（一0，） B.当a=1时，函数y=g(x)在(0，十o∞)上单调递增 C.当a=l时，若存在x≥1，使不等式fmx)≥f(x2+x)lnc)成立，则实数m的最小值为0 D当a=1时，若fa)=g)=t>0,则+1)lht的最小值为君 【答案】BC 【详解】对A选项：f'()=xe”+(e+a)=（x+1)e+a, 若函数y=f(x)存在两个极值，则函数f(x)必有两个变号零点， 令f(x)=(x+1)e+a=0,则a=-(x+1)e, 令h(c)=-(x+1)e“,则h'(x)=-(x+2)e, 则当x>-2时，h'(x)<0,当x<-2时，h'(x)>0, 故h(x)在(-∞，-2)上单调递增，在(-2，+∞)上单调递减， 故(x)≤h(-2)=-(-2+1)e2= e3 又当c>-1时，h(x)=-(c+1)e<0恒成立， 当x→-oo时，h(x)→0， 故当a(0,是)，函数r)有两个变号零点， 试卷第1页，共3页 即若函数y=f存在两个极值，则实数a的取值范围为0，。)， 故A错误； 对B选项：当a=1时，g(x)=(x+1)lnx, g(x=lnx+心+=lnx+士+1， 令ne=ge,则re到-是是- x2 则当x∈(0,1)时，4'(c)<0,当x∈(1，十∞)时，'(x)>0; 故4(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o∞)上单调递增 故g(x)≥g'(1)=2>0,故函数y=g(x)在(0，+∞)上单调递增， 故B正确； 对C选项：当a=1时，fx)=(e+1)x, f'(x)=xe+(e"+1)=(x+1)e+1, 令m(x)=f'(x),则m'(c)=(x+2)e， 则当x<-2时，m'(x)<0;当x>-2时，m'(c)>0; 故m(x)在(-0，一2)上单调递减，在（一2，+∞）上单调递增 故f(x)≥f(-2)=-e2+1=1-1>0,故f()在R上单调递增， e2 则存在x≥1，使不等式fmc)≥f(x2+x)ln)成立， 等价于存在x≥1，使不等式mx≥(x2+x)nx成立， 则当c≥1时，有m≥(c+1)lnx成立， 由当a=1时，g(x)=(x+1lnc,且y=g(x)在(0，十o)上单调递增， 故m≥(1+1)1nl=0,即实数m的最小值为0，故C正确； 对D选项：当a=1时，由B、C可知，f(x)、g(x)均为定义域上的增函数， 由f(0)=0,g(1)=0,故有x1>0,>1, 由f(c1)=g(c2),则c1(e+1)=(十1)ln2, 即x1(e+l)=(e+1)lne=(x十1)lnc2,故=e, 又f(c1)=t=c1(e+1)>0,故c1(x+1)·lnt=tlnt, 令n(=zlna,则n'a)=ln+子，令p)=n()=lnw+ 则g)=士立号 则当x∈(0,1)时，p'(x)<0,当c∈(1，+∞)时，p'(x)>0; 故p(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增 即n'(c)≥n'(1)=0,故n(c)在(0，+∞)上单调递增 故n(c)无最小值，即1(x十1)·lnt无最小值， 故D错误 故选：BC 三、填空题 12已知离敬型随机变量x的取值为有限个，BX)=子，DX)=点，则EX9-一 【答案)1/151 6 06 【详解】因为E)=子，DX= 12 试卷第1页，共3页 由D(X)=E(X)-[E(X)]P, 得Ex9=Dx+[EX=+(3=g 故答案为： 91 13.若(2m-1)202s=a0+a1x+a2ax2+a3x3+…+a206x2(x∈R),则|al+la1+al+…+a206的值被8除 的余数为 【答案】1 【详解】由展开式满足偶数次项为正，奇数次项为，令x=-1得a,-a1十a-a十…+a%=(-3)226- 32026.a+a+a2+…+a2026=3202632026=g1013=(8+1)1013.余数为1 故答案为：1. 14.已知f)=n-e(m>0)对定义域内任意1>，都有f)-f儿）<1成立，则m的取值范 r1-1r2 围为 【答案)[日+m) 【详解】因为m1>2,所以x-x2>0, 又f儿@）-f<1,则f-f）<4-,即f)-<f- D1-D2 令g(c)=fx)-x,xe(0,+o),则g(c)<g(ar), 所以函数g(x)在(0，+∞)上单调递减， 所以g(x)=lnx-memw≤0在(0，十o)上恒成立，所以lnx≤mem, 即clnx≤ncem=emalnema, 令函数h(x)=xlnx,则h'(x)=lnc+l, 当ee(0,君)时，h@)<0,当e∈（合，t∞时，he)>0, 所以h()在(0，。)上单调递减，在(：，+∞)上单调递增， 当e∈(o,是]时，h(o)=lnx<0, 因为m>0,所以h(em)=emalnema=mcem>0, 显然h(x)≤h(em)恒成立m∈R; 当c∈（日，+o)时，h()单调递增，lnx≤eIne严恒成立等价于≤e恒成立， 防边取对数得1n≤m心，故m≥，令函数p()-1,则g@=1n2 当e∈(，e)时，g)>0,当xe(e,+m)时，g)<0, 所以p()在（是，e）上单调递增，在(e,+o0）上单调递减， 所以p(as=9e)=名，所以m≥。 综上所述，正实数m的取值范围为[。+切 四、解答题 15已知fe)-行女+号”-62(a∈风在x=2处取得极值 2 试卷第1页，共3页 (1)求实数a的值； (2)求f(x)在[-4,3]上的最值 【答案】(1)a=1 (②最小值为号，最大值为贸 【详解】(1)因为f)=专+号-6z, 所以f'(x)=x2+ax-6, 因为f(x)在x=2处取得极值 所以f'(2)=0,即4+2a-6=0,解得a=1. 当a=1时，f'(x)=x2+x-6, 令f'(x)=0,解得c=-3或x=2, 当x<-3或x>2时，f(x)>0,函数单调递增； 当-3<x<2时，f'(x)<0,函数单调递减， 所以函数f(x)在c=-3处取得极大值，在c=2处取得极小值， 所以a=1符合题意； 2由①可知，f()-3+分2-60， 且f(x)在[-4，-3]上单调递增，在[-3,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增， 且-0-号f-3=号f阅=-号f)=-号. 所以函数)的最影小值为-号，最大值为子 2 16在(G-二广的展开式中 (1)求展开式中所有项的系数和： (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ 【答案】(1)1 (2)第6项和第7项 【详解】(1)令x=1,可得展开式中所有项的系数和为(-1)°=1； ②由(6-是广的展开试的酒项为： =产（是=(-2y0G,r<8,reN, 设第r+1项系数的绝对值最大，显然0<r<8,则 [2"C3≥2r+1C3+1 2rC5≥2-1Cg-11 8 A阳得】(8二”≥2r+17-r 2rg≥-1g- 8 ,即+1≥16-2r 18-2r≥r 解得5≤r≤6，而r∈N,则r=5或r=6, 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项， 17.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传 给另外三人中的任何一人.设次传球后球在甲手中的概率为P。. (1)求P,P; (2)用尸表示R,证明B-}为等比数列： (3)求n次传球后球在甲手中的概率P. 试卷第1页，共3页 【答案】1p=方，=合 (2)见答案 3a.--(-专 【详解】(1)记An=“经过n次传球后，球在乙手中”，n=1,2,3,…, 当n=1时，=P(A)=号 当n=2时，P=P(A=P()PA)+P(AP(AA)=号x号+3×0=号 0 (2)P=P(A)=P(An)P(AnAn)+P(A-1)P(AnA-1) =(1-p-）号+pm10=31-Pm-,即p=-3P1+3， ∴一}是首项为立，公比为-号的等比数列， m}-b(-号 18.某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每 次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券已知甲箱每次抽取中奖的概率为}，乙箱和丙箱每次抽取中奖 的概率均为号，中奖与否互不影响 (1)已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学 习用品，其他情况没有奖励. 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其 他情况没有奖励； 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？ (2)若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中 奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率. 【答案】(1)方案一 2g 【详解】(1)若选择方案一，设该同学获得学习用品的价值为X元，则X=50,30,0; 则P(X=50)=吉×合×分-2，P0X-0-号×分×(1-)+日×1-)x}+1-3)x号 ×号=方P0X0=1-古青品 所以B0=50×立+30×合+0×立-兽， 若选择方案二，设该同学获得学习用品的价值为Y元，则y=70,40,0; 则Pr=m=c号，Py=0)=c号x-号)=8 PY=0)=1-京-号=器， 所以()=0×7+40×号+0×9-30 2727 因为E(X)>(Y),故选择方案一比较合适 试卷第1页，共3页 (2)设“该同学抽取中奖”为事件A,“选择甲、乙、丙抽奖箱”的事件分别记为B1,B2,B, 则PB)-PB-PB)-号，PAB-3,PAB-PAB)-, 所以Pa=P(PAB)+P(BP(AIB)+PB)PAA,=吉×吉+片×方+号×号告， 故PB到A-PBA-P(BP(AB)-专×7- P(A) P(A) 8 所以所末概率为号 19.已知函数f(x)=e-”. (1)求函数f(x)的单调区间： (2)已知函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称，证明：当x>1时，f(x)>g(x); (3)如果x1≠c2,且f(c1)=f(x2),证明：x1+>2. 【答案】(1)f(x)的单调递增区间为(-∞，1)，单调递减为(1，+∞)； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】(1)f'(x)=e-x-xe-x=(1-c)e- f'(x)>0→x<1；f'(x)(0→x)1。 则f(x)的单调递增区间为（一0,1），单调递减为(1，+∞)； (2)因g(c)的图象与f(x)的图象关于直线c=1对称， 则g(x)=f2-x)=(2-x)e”-2 构造函数h(x)=f(x)-g(x)=axe--(2-x)e-,x>1, 则h'(x)=(1-x)e-[-e-2+(2-x)e-2]=(1-c)(e-e-2). 因e>1e*-e9-1ea-<0,则h回>0， e 则h(x)在(1，十o)上单调递增，则h(c)>h(1)=上-1=0， ee 即当c>1时，f(x)>g(x); (3)法一：f'(x)=(1-x)e-”,易得f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，x→-∞时， f(x)→-0，f0)=0,x→+∞时，fx)一0， 函数fm)在x=1处取得极大值f1,且f)=。,如图所示。 y=f(x) OX1 1x1+x2 X2 2 由fx1)=f(c),c1≠x2,不妨设1<m2,则必有0<x1<1<x2, 构造函数F(x)=f1+x)-f1-x),x∈(0,1]， 则F国=f1++f1--品e2-1>0, 所以F(x)在x∈(0,1]上单调递增，F(x)>F(0)=0, 也即f1+x)>f(1-x)对x∈(0,1]恒成立.由0<m<1<c2,得1-1∈(0,1]， 所以f1+(1-c1)=f2-x1)>f(1-(1-x1)=f(c)=f(x2),即f2-m)>f(), 又因为2-c1,x2∈(1，十∞)，且f(x)在(1，+∞)上单调递减，所以2-1<， 即x1十D2>2. 试卷第1页，共3页 法二：欲证x1十x2>2,即证x2>2-c1,由法知0<x1<1<c2, 故2-c1,c2∈(1，+∞)， 又因为f(x)在(1，+∞)上单调递减，故只需证f()<f(2-x), 又因为fx)=f(x), 故也银即证f(c1)<f2-x),构造函数H(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1)， 则等价于证明H(x)<0对x∈(0,1)恒成立. 由H(x)=fx)+f2-x)=1-”(1-e2)>0,则Hx)在xe(0,1)上单调递增， 所以H(x)<H(1)=0,即已证明H(x)<0对x∈(0,1)恒成立， 故原不等式1+2>2成立. 法三：由f)=fc,得xe=xe,化简得e=空 不妨设2>x1,由法知，0<c1<1<2.令t=D2-D1,则t>0,x=t+01, 代入。=会，得心=告色，反解础。千则+购=2t=。器+ et-1 故要证：四+>2，即证：2光+t>2, et-1 又因为e-1>0,等价于证明：2t+(t-2)(e-1)>0, 构造函数Gt)=2t+(t-2)(e-1),(t>0),则G'(t)=(t-1)e*+1, 令G'(t)=p(t)→p'(t)=te>0. 故G(t)在t∈(0，+∞)上单调递增，G(t)>G(0)=0, 从而Gt)也在t∈(0，+∞)上单调递增，Gt)>G(0)=0,即证2t+(t-2)(e-1)>0成立， 也即原不等式x1十x2>2成立. 试卷第1页，共3页