精品解析：重庆市第二十九中学校2024-2025学年度下学期八年级数学半期测试题

重庆二十九中2024-2025学年度下期 初二年级数学半期测试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，不能构成直角三角形的一组是（ ） A. B. C. 10，24，26 D. 3. 对于一次函数，当自变量的值增加1时，函数值将（ ） A. 减少2 B. 减少1 C. 增加2 D. 增加1 4. 下列命题中错误的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 有三个内角是直角的四边形是矩形 C. 一组对边相等另一组对边平行的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的菱形是正方形 5. 我校《足球》社团有30名成员，下表是社团成员的年龄分布统计表，对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（　　） 年龄（单位：岁） 11 12 13 14 15 频数（单位：名） 5 12 2 A. 平均数、中位数 B. 平均数、方差 C. 众数、中位数 D. 众数、方差 6. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ） A. 逐渐变小 B. 先变小再变大 C. 先变小后再不变 D. 始终不变 7. 摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期T（单位：s），周期公式为，其中l（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为（ ）（结果保留整数；参考数据：） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，直线向下平移个单位后，与直线的交点可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形都是菱形，点都在轴上，点都在直线上，且，则点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是正方形，点为对角线的中点，分别是边上的点，且，与分别交于点与交于点，有下列命题：① ②；③；④其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（每题5分，共30分） 11. 函数中，自变量的取值范围是___________． 12. 某同学本学期体育素质历次测试的成绩（单位：分）如表所示： 测试类别 平时测试 期中测试 期末测试 第1次 第2次 第3次 成绩/分 84 85 86 80 90 如果本学期的总评成绩是将平时测试的平均成绩、期中测试成绩、期末测试成绩按的比例计算，该同学本学期体育素质的总评成绩是___________分． 13. 如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为______． 14. 如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AC上，∠CDE＝25°，现将△CDE沿直线DE翻折得到△FDE，连接BF，则∠BFE的度数是_____. 15. 已知实数a使得不等式组有解且最多有5个整数解，则a的取值范围是___________，且使得一次函数 的图象不经过第四象限，则满足条件的所有整数a的值的和为___________． 16. 在边长为4的正方形中，分别是边上的动点，并且满足连接交于，连接，是的中点，连接， （1）若，则的长度是___________； （2）点在运动过程中，的最小值是___________． 三、解答题（每题10分，共80分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 如图，已知线段与直线平行，是的平分线，交直线于点E． （1）尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，交于点F，交于点H，连接并延长交直线于点G，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，某学习小组讨论发现线段，，之间存在一定的数量关系，请你根据该兴趣小组的思路完成下面的填空： 解：，理由如下，如图所示， ∵，∴①_____________， 是的平分线， ∴②_____________， 为的垂直平分线， ∴．③_____________， 在和中，， ， ∴④_____________， ，， ． 小南再进一步研究发现，若连接，则四边形的形状是⑤_____________． 19. 为探究气温与海拔高度的关系，同学们在气象人员的指导下利用探测气球进行了试验．选用的1号气球．2号气球从海拔10米的处同时出发，其中1号气球以8米/秒的速度匀速上升；2号气球以6米/秒的速度匀速上升，30秒时，1号气球不再继续上升，悬浮，等2号气球达到同一高度时，1号气球返航，2号气球继续上升．1号气球匀速下降，又过了40秒降落到出发点．设1号，2号气球在飞行过程中的海拔高度分别为（米），（米），它们飞行的时间为（秒）．（注意：本题所求表达式不用注明自变量取值范围） （1）点坐标为___________； （2）直接写出2号气球在飞行过程中的海拔高度（米）与飞行的时间（秒）之间的函数表达式； （3）求出线段对应的海拔高度（米）关于飞行的时间（秒）的函数表达式，并说明一次项系数的实际意义是什么？ 20. 某电动车品牌新推出的甲、乙两款车型颇受民众喜爱，于是某店从甲车型和乙车型车主中各随机抽取20名车主对其所使用车型的各项性能进行评分（满分30分，成绩得分用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 甲车型20名车主评分为：11，15，16，19，19，20，21，21，23，25，25，26，27，27，28，28，28，29，30，30； 乙车型车主评分在C组中的数据是：20，23，24，24，22，24． 甲车型和乙车型得分统计表 平均数 中位数 众数 方差 甲车型 25 c 乙车型 b 28 根据以上信息，解答下列问题： （1） ______， ______， ______； （2）根据以上数据，你认为哪款车型的性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该店所有顾客中甲车型和乙车型的车主共有24000人，估计这些车主中对所使用的车型非常满意的人数是多少？ 21. 如图，某铁塔附近有一建筑物，建筑物高米，一旅游爱好者站在建筑物一楼地面墙角处测得塔顶仰角为在楼顶处测得塔顶的仰角为，点在同一平面内． （1）求塔的高度；（结果保留两位小数） （2）若一无人机速度为米/秒，此无人机从楼顶沿方向飞行到塔顶，再立即沿方向飞回处，此过程一共需要多少秒？（结果保留整数．参考数据 22. 如图，在矩形中，．点E为中点，动点P从点E出发，沿折线运动，当它回到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接，．设三角形的面积为y． （1）直接写出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出y的函数图象； （2）根据函数图象，写出该函数的一条性质； （3）若，请直接写出与y的图象有两个交点时，b的取值范围． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴负半轴交于点，，直线与直线交于点． （1）求直线的表达式； （2）如图1，点为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； （3）将直线沿射线方向平移个单位长度得到新直线，在新直线上是否存在点，使得与新直线的夹角为，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由 24. 平行四边形中，，连接，点G为延长线上一点，连接，． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，过点C作，交延长线于点E，过点G作，交延长线于点F，以为斜边构造等腰直角三角形，过点H作交于点K，交于点I．猜想线段、、的关系，并证明； （3）如图3，若、，点M、N、K分别是、、上的动点，请直接写出长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆二十九中2024-2025学年度下期 初二年级数学半期测试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行分析即可. 【详解】、，故此选项错误； 、，故此选项错误； 、是最简二次根式，故此选项正确； 、，故此选项错误. 故选. 【点睛】此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的条件. 2. 下列各组线段中，不能构成直角三角形的一组是（ ） A. B. C. 10，24，26 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足（为最长边），则该三角形为直角三角形，依次验证各选项即可得到答案． 【详解】解：选项A：最长边为，∵， ∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 选项B：最长边为，∵， ∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 选项C：最长边为，∵， ∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 选项D：三边长为，，，最长边为， ∵，，， ∴不能构成直角三角形，故本选项符合题意； 3. 对于一次函数，当自变量的值增加1时，函数值将（ ） A. 减少2 B. 减少1 C. 增加2 D. 增加1 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算自变量取和时对应的函数值，作差得到函数值的变化量，即可得出结论，本题考查一次函数图象上点的坐标特征． 【详解】解：当时， 当时， 即当自变量的值增加1时，函数值减少2． 4. 下列命题中错误的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 有三个内角是直角的四边形是矩形 C. 一组对边相等另一组对边平行的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的菱形是正方形 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，命题正确，不符合题意； B、有三个内角是直角的四边形是矩形的判定定理，命题正确，不符合题意； C、一组对边相等另一组对边平行的四边形，可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，命题错误，符合题意； D、根据正方形的判定定理，对角线相等的菱形是正方形，命题正确，不符合题意． 5. 我校《足球》社团有30名成员，下表是社团成员的年龄分布统计表，对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（　　） 年龄（单位：岁） 11 12 13 14 15 频数（单位：名） 5 12 2 A. 平均数、中位数 B. 平均数、方差 C. 众数、中位数 D. 众数、方差 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格数据可知总人数是30，从小到大排列后，中位数为第15和第16个数的平均数，在表格中找到都是12岁；再结合人数不能是负数，得到年龄13岁和年龄14岁的人都不会超过11岁，得到众数不变． 【详解】解：根据表格数据，可知总人数为， 从小到大排列后，中位数为第15和第16个数的平均数，都是12岁，故中位数是12不会随x的不同而变化； 因为人数不能是负数，所以年龄13岁和年龄14岁的人都不会超过11，所以众数是12也不会随x的不同而变化； 故选：C． 【点睛】本题考查众数、中位数、方差和平均数，理解这些统计量的定义，根据题目条件进行运算． 6. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ） A. 逐渐变小 B. 先变小再变大 C. 先变小后再不变 D. 始终不变 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，即可得出答案． 【详解】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化， 理由是：连接，设 ∵，P为中点， ∴， 即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化； 7. 摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期T（单位：s），周期公式为，其中l（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为（ ）（结果保留整数；参考数据：） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的应用．根据公式求出一个周期，即可求出在内该摆钟发出滴答声的次数． 【详解】解：一个周期， ∵， ∴在内该摆钟发出滴答声的次数约为； 故选：C． 8. 在同一平面直角坐标系中，直线向下平移个单位后，与直线的交点可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平移规律求出直线向下平移m个单位的直线解析式，再把各选项点坐标代入与，验证即可． 【详解】解：直线向下平移个单位后，得到， A、把代入得，， 把代入得，， ∴交点可能是，故A符合题意； B、把代入得，， 把代入，得，故B不符合题意； C、把代入得，， 把代入，得，故C不符合题意； D、把代入得，， 把代入，得，故D不符合题意； 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形都是菱形，点都在轴上，点都在直线上，且，则点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意以及菱形的性质得到菱形的边长，作，求得的坐标，同理求得、的坐标，找到规律进而求解． 【详解】解：设菱形的边长为，则， 作，如下图： 由题意可得， ， ∴，，即点的坐标为， 点在直线上，则，解得， ∴点的横坐标为， 同理可以求得，点的横坐标为，点的横坐标为， 从而可得点的横坐标为， 故选：A 10. 如图，四边形是正方形，点为对角线的中点，分别是边上的点，且，与分别交于点与交于点，有下列命题：①②；③；④其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①连接，先证，据此可对结论①进行判断； ②过点O作交于K，可得，进而得为等腰直角三角形，据此可对结论②进行判断； ③设的中点为K，连接，则，，假设，则，则，从而得，则为的平分线，这与点E为边上的点相矛盾，据此可对结论③进行判断； ④过点O作交于P，先证为等腰直角三角形，则，，再证，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①如图所示： ∵四边形为正方形，点O为对角线的中点， ∴，，，，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵, ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴∠， 过点O作交于K，如图2所示： ∵，， ∴，， ∴， 由结论①正确得， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即， 故结论②正确； ③设的中点为K，连接，如图3所示： ∵， ∴为 斜边上的中线， ∴， ∴， 假设，则， ∴， ∴， ∴， ∴为的平分线，这与点E为边上的点相矛盾， ∴假设不正确， 故结论③不正确； ④过点O作交于P，如图4所示： ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得： ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即，故结论④正确． 综上所述：正确的结论是①②④． 二、填空题（每题5分，共30分） 11. 函数中，自变量的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得： ， 解得：． 12. 某同学本学期体育素质历次测试的成绩（单位：分）如表所示： 测试类别 平时测试 期中测试 期末测试 第1次 第2次 第3次 成绩/分 84 85 86 80 90 如果本学期的总评成绩是将平时测试的平均成绩、期中测试成绩、期末测试成绩按的比例计算，该同学本学期体育素质的总评成绩是___________分． 【答案】86 【解析】 【分析】先计算出平时测试的平均成绩，再根据加权平均数的计算方法求解总评成绩即可． 【详解】解： 总成绩 (分)． 13. 如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为______． 【答案】20米## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， 底面周长约为6米，柱身高约16米， ， ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故答案为：20米． 14. 如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AC上，∠CDE＝25°，现将△CDE沿直线DE翻折得到△FDE，连接BF，则∠BFE的度数是_____. 【答案】85° 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得∠C＝60°，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD＝CD，根据翻折变换的性质可得CD＝DF，∠DFE＝∠C，∠CDE＝∠FDE，从而得到BD＝DF，根据等边对等角可得∠DBF＝∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠CDF＝∠DBF+∠DFB，从而求出∠DFB，再根据∠BFE＝∠DFB+∠DFE计算即可得解． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝60°， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∵△CDE沿直线DE翻折得到△FDE， ∴CD＝DF，∠DFE＝∠C＝60°，∠CDE＝∠FDE＝25°， ∴BD＝DF， ∴∠DBF＝∠DFB， 由三角形的外角性质得，∠CDF＝∠DBF+∠DFB＝2∠DFB， ∴∠DFB＝∠CDF＝∠CDE＝25°， ∴∠BFE＝∠DFB+∠DFE＝25°+60°＝85°． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，等边三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，翻折前后对应边相等，对应角相等． 15. 已知实数a使得不等式组有解且最多有5个整数解，则a的取值范围是___________，且使得一次函数的图象不经过第四象限，则满足条件的所有整数a的值的和为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解与一次函数的性质． 先解不等式组中的第一个不等式，再根据不等式组有解且最多有5个整数解确定a的初步范围，最后结合一次函数图象的性质确定符合条件的整数a，计算其和即可． 【详解】解：解不等式， ， ， 解得，． 不等式组为，不等式组有解，则， 的整数最多有5个，整数依次为，，，0，1，故最多5个整数解应满足． 故a的取值范围是． 一次函数的图象不经过第四象限， ， 解得． 结合，得． a为整数， a的取值为，，0，1． 满足条件的所有整数a的和为． 16. 在边长为4的正方形中，分别是边上的动点，并且满足连接交于，连接，是的中点，连接， （1）若，则的长度是___________； （2）点在运动过程中，的最小值是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，综合性比较强，解题的关键是根据题意，构造出合适的辅助线． （1）由题意可得，，得到，利用勾股定理求得，等面积法求得，即可求解； （2）根据可得点的轨迹为以为直径的半圆，设中点为，延长到点使得，再连接，则，求得的最小值即可． 【详解】解：（1）由题意可得，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 由勾股定理可得，， 由等面积法可得，即， 解得， ∴； （2）设中点为，延长到点使得，连接，如下图： 由题意可得，是的中位线， ∴，即的最小值就是的最小值， 由（1）可得，得到点的轨迹为以为直径的半圆， 从而得到当三点共线时，最小， 连接，作， 由题意可得，，， 由勾股定理可得，， 则最小为， 的最小值为． 故答案为：， 三、解答题（每题10分，共80分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，已知线段与直线平行，是的平分线，交直线于点E． （1）尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，交于点F，交于点H，连接并延长交直线于点G，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，某学习小组讨论发现线段，，之间存在一定的数量关系，请你根据该兴趣小组的思路完成下面的填空： 解：，理由如下，如图所示， ∵，∴①_____________， 是的平分线， ∴②_____________， 为的垂直平分线， ∴．③_____________， 在和中，， ， ∴④_____________， ，， ． 小南再进一步研究发现，若连接，则四边形的形状是⑤_____________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图作出的垂直平分线即可； （2）按照题中给出的思路证明即可． 【小问1详解】 解：所作图形，如图， ； 【小问2详解】 解：解：，理由如下，如图所示， ∵， ∴， 是的平分线， ， ， ∴， ∴， 为的垂直平分线， ∴， 在和中，， ， ∴， ，， ． ∵， ∴的垂直平分线经过点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形的形状是菱形． 【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定等知识，掌握全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质是解答本题的关键． 19. 为探究气温与海拔高度的关系，同学们在气象人员的指导下利用探测气球进行了试验．选用的1号气球．2号气球从海拔10米的处同时出发，其中1号气球以8米/秒的速度匀速上升；2号气球以6米/秒的速度匀速上升，30秒时，1号气球不再继续上升，悬浮，等2号气球达到同一高度时，1号气球返航，2号气球继续上升．1号气球匀速下降，又过了40秒降落到出发点．设1号，2号气球在飞行过程中的海拔高度分别为（米），（米），它们飞行的时间为（秒）．（注意：本题所求表达式不用注明自变量取值范围） （1）点坐标为___________； （2）直接写出2号气球在飞行过程中的海拔高度（米）与飞行的时间（秒）之间的函数表达式； （3）求出线段对应的海拔高度（米）关于飞行的时间（秒）的函数表达式，并说明一次项系数的实际意义是什么？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出1号气球到达的高度，再求出2号气球达到同样高度时所需的时间，即可求出点坐标； （2）根据路程=速度时间，即可得； （3）根据题意求出点的坐标，再利用待定系数法求出的解析式即可． 【小问1详解】 解：1号气球以8米/秒的速度匀速上升，30秒时上升的高度为：（米）， 气球是从海拔10米的A处出发， 点的纵坐标为（米），横坐标为30秒，即点坐标为， 2号气球以6米/秒的速度匀速上升，到达点250米高度所需时间为：（秒）， 点坐标为． 【小问2详解】 解：2号气球从海拔10米处出发，6米/秒的速度匀速上升， 根据路程=速度时间，即可得． 【小问3详解】 解：1号气球从40秒时开始匀速下降，又过了40秒降落到出发点， 点的横坐标为80（秒），纵坐标为10，即， 设，把，代入得： ，解得， 则线段对应的函数表达式为． 20. 某电动车品牌新推出的甲、乙两款车型颇受民众喜爱，于是某店从甲车型和乙车型车主中各随机抽取20名车主对其所使用车型的各项性能进行评分（满分30分，成绩得分用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 甲车型20名车主评分为：11，15，16，19，19，20，21，21，23，25，25，26，27，27，28，28，28，29，30，30； 乙车型车主评分在C组中的数据是：20，23，24，24，22，24． 甲车型和乙车型得分统计表 平均数 中位数 众数 方差 甲车型 25 c 乙车型 b 28 根据以上信息，解答下列问题： （1） ______， ______， ______； （2）根据以上数据，你认为哪款车型的性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该店所有顾客中甲车型和乙车型的车主共有24000人，估计这些车主中对所使用的车型非常满意的人数是多少？ 【答案】（1）40；24；28 （2）甲车型的性能更好，理由见解析 （3）估计这些车主中对所使用的车型非常满意的人数是11400人 【解析】 【分析】（1）先求出乙车型C组所占百分比，然后求出a的值即可；先求出乙车型A、B组数据的个数，然后根据中位线的定义得出b的值即可；根据众数的定义求出c的值即可； （2）根据平均数、中位数、众数和方差进行解答即可； （3）用样本所占百分比估计总体即可． 【小问1详解】 解：∵乙车型C组所占百分比为， ∴， ∵A、B组数据的个数为， ∴排在第10和第11位的两个数都是24， ∴中位数为，即， 根据甲车型的评分可知众数为； 故答案为：40；24；28． 【小问2详解】 解：甲车型的性能更好，理由如下： 甲车型和乙车型的平均数相等，但甲车型的方差比乙车型的小，所以甲车型的性能更好； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计这些车主中对所使用的车型非常满意的人数是11400人． 【点睛】本题考查平均数，中位数，方差的意义，解题的关键是熟练掌握平均数是表示一组数据的平均程度，中位数是将（或从大到小）重新排列一组数据从小到大（或最中间两个数的平均后，最中间的那个数数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量． 21. 如图，某铁塔附近有一建筑物，建筑物高米，一旅游爱好者站在建筑物一楼地面墙角处测得塔顶仰角为在楼顶处测得塔顶的仰角为，点在同一平面内． （1）求塔的高度；（结果保留两位小数） （2）若一无人机速度为米/秒，此无人机从楼顶沿方向飞行到塔顶，再立即沿方向飞回处，此过程一共需要多少秒？（结果保留整数．参考数据 【答案】（1）塔的高度为米 （2）秒 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键； （1）过点作于点，则四边形是矩形，在，中，分别求得，进而根据，即可求解； （2）根据（1）的结论求得的长，进而根据路程除以速度等于时间，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点，则四边形是矩形， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴ 解得： 答：塔的高度为米； 【小问2详解】 解：由（1）可得 ∴， ∴米 ∴秒 答：此过程一共需要秒 22. 如图，在矩形中，．点E为中点，动点P从点E出发，沿折线运动，当它回到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接，．设三角形的面积为y． （1）直接写出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出y的函数图象； （2）根据函数图象，写出该函数的一条性质； （3）若，请直接写出与y的图象有两个交点时，b的取值范围． 【答案】（1），见解析 （2）当时，y随x的增大而增大 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点的运动状态分三种情况讨论，确定线段长，列出解析式，注意写出自变量取值范围； （2）观察图形变化，描述增减性； （3），在参数b变化过程中，直线倾斜程度不发生变化，平移直线，找到关键临界位置，将点坐标代入解析式确定参数范围． 【小问1详解】 当点P在上时，, 当点P运动至点C时，； 当点P由点C向点D运动时，， 当点P运动至点D时，； 当点P由点D向点C运动时，， 当点P运动至点C时，； ∴函数关系式： 图象如下， 【小问2详解】 如图，当时，y随x的增大而增大 【小问3详解】 如图，当经过点时，与y的图象有两个交点，此时 ，解得， 当经过点时，与y的图象有1个交点，此时 ，此时， 综上，当时，与y的图象有两个交点． 【点睛】本题考查分段函数解析式，描点法画函数图象，一次函数图象性质，一次函数与方程（组）的联系，通过平移确定直线的临界位置是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴负半轴交于点，，直线与直线交于点． （1）求直线的表达式； （2）如图1，点为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； （3）将直线沿射线方向平移个单位长度得到新直线，在新直线上是否存在点，使得与新直线的夹角为，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由 【答案】（1） （2）或 （3）存在，点坐标为或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）先求出点和，设，然后分第一象限和第三象限两种情况，利用铅锤法求面积，列式进行计算即可求解； （3）将直线沿射线方向平移个单位长度，相当于将直线向右和向上分别平移了4个单位，则，设该直线交y轴于点，设符合条件的点为点M、，过点A作交于点H，过点H作轴交y轴于点G，交过点M与y轴的平行线于点N，证明，求出点M、H的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解；∵， ∴点， 将点B的坐标代入函数表达式得：， 解得：， 则直线的表达式为：． 【小问2详解】 解：∵直线的表达式为， ∴令，则， ∴， ∵直线与直线交于点， ∴， 解得， ∴， 设， 当点P在第一象限时，设直线解析式为：， 将，代入，得， 解得， ∴， 令，则， 设直线与y轴交于点D， 则D坐标为， ， 解得或5， ∵， ∴， ∴； 当点P在第三象限时，如图， 设直线解析式为：， 将，代入，得， 解得， ∴直线解析式， 令，则， 设直线与y轴交于点E， 则E坐标为， ， 解得， ∴； 综上所述，点或． 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 如图，等腰直角 ，， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ． ∵，， ∴， ∴等腰直角三角形， ∴， ∴将直线沿射线方向平移个单位长度，相当于将直线向右和向上分别平移了4个单位，则，该直线交y轴于点， 设符合条件的点为点M、， 过点A作交于点H，过点H作轴交y轴于点G，交过点M与y轴的平行线于点N， 则为等腰直角三角形，则，， 设点，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 则，且， 解得且， 则点，， 由题意得，点M和点关于点H对称， ∴由中点坐标公式，得； 综上所述，点M或． 24. 平行四边形中，，连接，点G为延长线上一点，连接，． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，过点C作，交延长线于点E，过点G作，交延长线于点F，以为斜边构造等腰直角三角形，过点H作交于点K，交于点I．猜想线段、、的关系，并证明； （3）如图3，若、，点M、N、K分别是、、上的动点，请直接写出长度的最小值． 【答案】（1）7 （2），证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）过点A作交于点Q，利用等腰三角形三线合一的性质和平行四边形的性质得到相关线段的长度，再利用等腰直角三角形的性质可求得的长度，从而利用三角形面积即可得出结果； （2）连接，，先证明，设，则，利用等腰直角三角形的性质证得，从而证得，和是等腰直角三角形，进而证得结论； （3）利用轴对称的性质，解的直角三角形的性质，勾股定理及三角形面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图，过点A作交于点Q， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， 证明：如图，连接，， ∵，四边形为平行四边形， ∴，，， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴是等腰直角三角形， 同理，，是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ． 【小问3详解】 解：如图，过点A作交于点S， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， 在中，， 过点G作交延长线于点R， ∵， ∴， ∴， ∵点M、N分别是、上的动点， 作点C关于的对称点，连接交于点L，连接，过点作交于点N，交于， ∴，即的最小值为， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 在中，， 将绕点G顺时针旋转得射线，过点N作交于点P，与交点K， 在 中，， ∴， ∴， 当点N，K，P三点共线时，有最小值，即， 过点N作于点T， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴在中， ，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $