精品解析：重庆市铜梁区铜梁中学校2025-2026学年 八年级下学期数学期中试卷

铜中联盟班27届八下半期 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组数中，是勾股数的是（　　） A. 6，8，10 B. 0.3，0.4，0.5 C. ，， D. 32，42，52 3. 如图，点A表示的实数是（ ） A. ﹣ B. ﹣ C. ﹣ D. ﹣ 4. 下列各点在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 两条对角线相等的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直的四边形是矩形 D. 有三个角是直角的四边形是矩形 6. 估计的值应在（ ）之间 A. 7和8 B. 8和9 C. 9和10 D. 10和11 7. 如图，在▱ABCD中，∠A＋∠C＝240°，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则∠AEB是（ ） A. 20° B. 30° C. 35° D. 40° 8. 如图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上，根据图中提供的信息，下列说法正确的是（　　） A. 食堂离小明家2.4km B. 小明在图书馆呆了20min C. 小明从图书馆回家的平均速度是0.04km/min D. 图书馆在小明家和食堂之间． 9. 如图，四边形是矩形，点在边上，平分且，垂足为点，连接并延长交于点，连接交于点，连接交于点，有下列结论：①；②垂直且平分；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 对于整数，，定义一种新运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．则下列结论正确的有（ ）． ①当，时，则； ②已知，，且的值与的取值无关，则； ③已知关于的方程的解是正整数，满足条件的最小的整数记为，最大的整数记为，则； ④若，则关于的方程无解． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡上对应的横线上． 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 12. 若5，12，m为三角形的三边长，则化简＋m的结果为_____． 13. 如图，菱形中，点O为对角线的交点，E、F、G、H 是菱形的各边中点，若，，则四边形 的面积为______． 14. 如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是______． 15. 如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 16. 一个四位正整数m，各数位上的数字均不为0，若千位上的数字和百位上的数字之和，等于十位数字与个位数字之差的k倍（k为整数），称m为“k型数”，即例如，4275：，则4275为“3型数”；3526：，则3526为“型数”． （1）最小的“2型数”是_________． （2）若四位数m是“3型数”，是“型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数，也是“3型数”，求满足条件的m的最大值是_________． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）解答时每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）÷﹣（＋1）（﹣1）． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图：作AC的垂直平分线MN，垂足为点O，连接BO并延长至D使．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）判定四边形ABCD的形状．并说明理由（请补全下面的证明过程） 解：四边形ABCD是 ① 理由：∵MN垂直平分AC， ∴ ② 又∵ ∴ ③ ∵ ∴ ④ 四、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，在△ABC中，CD是AB边上高，若AD＝16，CD＝12，BD＝9． （1）求△ABC的周长． （2）判断△ABC的形状并加以证明． 20. 在中，点E、F分别在上，且． （1）求证：； （2）求证：四边形为平行四边形． 21. 阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方． 例如：3＋2＝（1＋）2，善于思考的小敏进行了以下探索： 当a、b、m、n均为整数时，若a＋b＝（m＋n）2，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn． a＝m2＋2n2，b＝2mn．这样小敏就找到了一种把类似a＋b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为整数时，若，用含mn的式子分别表示a、b，则：a＝　 　，b＝　 　； （2）若a＋6＝（m＋n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值； （3）直接写出式子化简的结果． 22. 问题：探究函数y＝|x|﹣2的图象与性质． 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x|﹣2的图象与性质进行了探究： （1）在函数y＝|x|﹣2中，自变量x可以是任意实数，下表是y与x的几组对应值； x ⋯ ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 ⋯ y ⋯ 2 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 1 a ⋯ ①表格中a的值为 　 　； ②若（b，8）为该函数图象上的点，则b＝　 　； （2）在平面直角坐标系中，描出上表中的各点，画出该函数的图象； （3）结合图象回答下列问题： ①当x＝　 　时，函数有最小值为 　 　； ②当自变量x满足什么条件时，函数值y≥0？ 23. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，动点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF． （1）若四边形AEFD为菱形，则t值为多少？ （2）在点D、E的运动过程中，设四边形ADFE的面积为y，请求出y与t的函数关系式？ 24. 如图，某公园有①，②，③三条步道．经勘测：B在A北偏东的方向上，米，C在B的东南方向，D在A的正南方向300米处，E在D的正东方向，．（参考数据：，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）小华和小南同时从A出发，小华选择步道①，小南选择步道③，若小华和小南的速度相同，则谁先到达C，请通过计算说明．（结果精确到0.1） 25. 在平行四边形ABCD中，点E为BC上一点，且FE⊥BC交AC于点F，连线AE、BF． （1）如图1，若点E为BC中点，BF⊥AC，AC＝8，AD＝6，求AB的长； （2）如图2，若AE，BF交于点G，且AB＝AE，点G为AE中点，求证：CF＝AF＋2FG； （3）如图3，若BC＝2AB，∠ABC＝60°，点B为边BC上的一动点，连接AE．将△ABE沿AB翻折得？AB′E，连接B′E交AD于点G，连接BB′交AD于点F，当线段EG最小时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜中联盟班27届八下半期 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项不是最简二次根式，不符题意； B、，则此项不是最简二次根式，不符题意； C、是最简二次根式，则此项符合题意； D、，则此项不是最简二次根式，不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题关键．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 下列四组数中，是勾股数的是（　　） A. 6，8，10 B. 0.3，0.4，0.5 C. ，， D. 32，42，52 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数解答即可． 【详解】解：A、62+82＝102能构成勾股数，故符合题意； B、0.3，0.4，0.5不是整数，不能构成勾股数，故不符合题意； C、，，不是整数，不能构成勾股数，故不符合题意； D、（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成勾股数，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用． 3. 如图，点A表示的实数是（ ） A. ﹣ B. ﹣ C. ﹣ D. ﹣ 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理可求得OA的长为，再根据点A在原点的左侧，从而得出点A所表示的数． 【详解】解：如图， ∵OB=，OA=OB， ∴OA=， ∵点A在原点的左侧， ∴点A在数轴上表示的实数是-，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了实数和数轴，以及勾股定理，注意原点左边的数是负数． 4. 下列各点在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出各点横坐标对应的函数值，进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故在函数图象上的是. 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 两条对角线相等的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直的四边形是矩形 D. 有三个角是直角的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】利用矩形的判定定理及矩形的定义进行判断后即可确定本题的答案． 【详解】解：A、有一个直角的平行四边形是矩形，故错误； B、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误； C、两条对角线互相垂直的四边形可能是梯形等，故错误； D、四个角都是直角的四边形是矩形，正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定，牢记有关矩形的判定定理及定义是解答本题的关键，属于基础概念题，难度不大． 6. 估计的值应在（ ）之间 A. 7和8 B. 8和9 C. 9和10 D. 10和11 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估算无理数的范围，即可得到原式的取值范围． 【详解】解： ∵，且 ∴ ∴ ∴估计的值应在和之间． 7. 如图，在▱ABCD中，∠A＋∠C＝240°，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则∠AEB是（ ） A. 20° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，，然后根据角平分线的定义即可得． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 8. 如图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上，根据图中提供的信息，下列说法正确的是（　　） A. 食堂离小明家2.4km B. 小明在图书馆呆了20min C. 小明从图书馆回家的平均速度是0.04km/min D. 图书馆在小明家和食堂之间． 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象的信息，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】∵由图象可知：食堂离小明家2.6km， ∴A错误， ∵58-28=30min， ∴小明在图书馆呆了30min， ∴B错误， ∵2.4÷(68-58)=0.24（ km/min）， ∴C错误， ∵食堂距小明家2.6km，图书馆距小明家2.4km，小明家、食堂、图书馆在同一直线上， ∴图书馆在小明家和食堂之间， ∴D正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查函数图象的信息，理解图象中信息的实际意义，是解题的关键． 9. 如图，四边形是矩形，点在边上，平分且，垂足为点，连接并延长交于点，连接交于点，连接交于点，有下列结论：①；②垂直且平分；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，得出，由等腰三角形的性质得出，故①正确；由得，由线段垂直平分线的性质可得②正确；由，，得不可能是等边三角形，得，故③错误；由等腰三角形的性质可判断④；由全等三角形的性质及长方形的性质可得为等腰直角三角形，求出，再根据平行线的性质可得，可判定⑤正确． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ，故①正确； ，，， ， 在的垂直平分线上， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上， 垂直且平分，故②正确； 平分， ， ， ， 又， 不可能是等边三角形， ， 错误；故③错误； ，， ， ， ， ，故④错误； ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 故⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 10. 对于整数，，定义一种新运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．则下列结论正确的有（ ）． ①当，时，则； ②已知，，且的值与的取值无关，则； ③已知关于的方程的解是正整数，满足条件的最小的整数记为，最大的整数记为，则； ④若，则关于的方程无解． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，整式的加减无关型问题，化简绝对值等知识，正确理解新定义规定的运算是解答本题的关键． 对于①，直接根据新定义计算；对于②，利用整式的加减法表示，根据其值与的取值无关得到，求出，继续利用新定义计算；对于③，先解方程得到，根据要求得到或2或3或1，则 ，继续利用新定义计算；对于④，当为偶数时，则为奇数，，当为奇数时，则m为偶数，，分类讨论化简绝对值，化简计算，验证即可． 【详解】解：①当，时，为奇数， ∴，故①正确； ②∵，， ∴， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴， ∴为偶数， ∴，故②错误； ③， 解得：， ∵方程的解是正整数 ∴或2或3或1， ∴或6或7或5， ∴， ∴为奇数， ，故③正确； ④当为偶数时，则为奇数，， 当时，，解得：（舍） 当时，，解得：（舍）， 当时，，解得：（舍）； 当为奇数时，则m为偶数，， 当时，，解得：（舍）； 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴当时，方程为，此方程无解， 当，方程为，此方程有解，故④错误， ∴正确的有2个， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡上对应的横线上． 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零列不等式求解 【详解】∵ 在实数范围内有意义， ∴ 被开方数 ， 解得 ． 故答案为 ． 12. 若5，12，m为三角形的三边长，则化简＋m的结果为_____． 【答案】##-5+2m 【解析】 【分析】由三角形的三边关系可求出m的范围，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解∶∵5，12，m为三角形的三边长， ∴12-5＜m＜12+5， 即7＜m＜17， ∴5-m＜0， ∴ = = =． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，三角形三边关系，解答的关键是求得m的范围． 13. 如图，菱形中，点O为对角线的交点，E、F、G、H 是菱形的各边中点，若，，则四边形 的面积为______． 【答案】12 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理，可以证明四边形EFGH和四边形MFNO是平行四边形，同时得到四边形EFGH的边长，再证明四边形MFNO是矩形，∠MFN是直角，则四边形EFGH是矩形，即可求得面积． 【详解】解：如图，设EF交BD于点M，FG交AC于点N， ∵ E、F、G、H 是菱形的各边中点， ∴EHBD，FGBD，EFAC，GHAC，EH＝FG＝BD＝4，GH＝EF＝AC＝3 ∴EHFG，EFGH，FMON，FNOM ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD ∴∠MON＝90° ∴四边形EFGH是矩形 ∴四边形的面积＝EF×FG＝12 故答案为：12 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、菱形的性质、矩形的判定方法等知识，熟练掌握相关知识的应用是解题的关键． 14. 如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称—最短路线问题，解题的关键是掌握菱形的性质和轴对称的性质．作关于的对称点，过作的垂线，垂足为，与交于点，此时的最小值，其值为．根据、菱形的面积是与的乘积可得答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，， ． 作关于的对称点，过作的垂线，垂足为，与交于点，此时的最小值，其值为． ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用矩形和折叠的性质可得，，设，则，在中，根据勾股定理可得；连接，当四边形为正方形时，，由勾股定理得出，在中，利用勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：当与重合时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 如图，连接， 当四边形为正方形时，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 16. 一个四位正整数m，各数位上的数字均不为0，若千位上的数字和百位上的数字之和，等于十位数字与个位数字之差的k倍（k为整数），称m为“k型数”，即例如，4275：，则4275为“3型数”；3526：，则3526为“型数”． （1）最小的“2型数”是_________． （2）若四位数m是“3型数”，是“型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数，也是“3型数”，求满足条件的m的最大值是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题是一个新定义阅读题，主要考查整式的加减和三元一次方程组，考查了学生阅读、归纳材料的能力；重点是理解题目意思，熟练掌握整式的加减 （1）根据“k型数”直接求解即可； （2）根据题目中的要求进行整式的加减运算，分情况讨论即可． 【详解】解：（1）设这个四位数（其中，b，c，且均为整数），若，且k为整数，称m为“k型数”， ∵，b，c，且均为整数 ∴,，即， ∴当时，有最小的“2型数”为， 故答案为：； （2）设四位数， ∵四位数m是“型数”， ∴，则， 是“型数”，则十位数与个位数的差是个负数， ∴，或， 当时，，与矛盾，舍去， 当时，， ∴可取、两个数，则， 将m的百位数字与十位数字交换位置，得到新四位数， 也是“型数”，则， 联立上述式子得：， ①当时，， 解得，则四位数； ②当时，， 解得，则四位数； 满足条件的所有四位数m有和． 则满足条件的m的最大值是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）解答时每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）÷﹣（＋1）（﹣1）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别化简二次根式再合并即可； （2）先计算二次根式的除法和应用平方差公式计算（＋1）（﹣1），再相减即可； 【小问1详解】 解：原式= =． 【小问2详解】 解：原式= =． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图：作AC的垂直平分线MN，垂足为点O，连接BO并延长至D使．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）判定四边形ABCD的形状．并说明理由（请补全下面的证明过程） 解：四边形ABCD是 ① 理由：∵MN垂直平分AC， ∴ ② 又∵ ∴ ③ ∵ ∴ ④ 【答案】（1）见解析； （2）矩形；OA＝OC；四边形ABCD是平行四边形；平行四边形ABCD是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作线段垂直平分线，作线段的方法按要求作出图形即可； （2）根据OA＝OC，OB＝OD可得四边形ABCD是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 解：四边形ABCD是矩形， 理由：连接AD，CD， ∵MN垂直平分AC， ∴OA＝OC， 又∵OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形． 故答案为：矩形；OA＝OC；四边形ABCD是平行四边形；平行四边形ABCD是矩形． 【点睛】本题考查尺规作图，矩形的判定等知识，解题的关键是理解题意，掌握矩形的判定定理． 四、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，在△ABC中，CD是AB边上高，若AD＝16，CD＝12，BD＝9． （1）求△ABC的周长． （2）判断△ABC的形状并加以证明． 【答案】（1）60；（2）直角三角形，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可求出AC，BC的长，即可求出△ABC的周长； （2）利用勾股定理的逆定理即可证明． 【详解】解：（1）∵CD是AB边上高， ∴∠CDA=∠CDB=90°， ∴AC==20， BC==15， ∵AB=AD+BD=25， ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=25+20+15=60； （2）△ABC是直角三角形，理由如下： 202+152=252， 即AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及其逆定理的运用；熟练掌握勾股定理与勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 20. 在中，点E、F分别在上，且． （1）求证：； （2）求证：四边形为平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，结合，即可得证； （2）根据平行四边形的性质，推出，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵点E、F分别在上，且， ∴，，即， ∴四边形为平行四边形． 21. 阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方． 例如：3＋2＝（1＋）2，善于思考的小敏进行了以下探索： 当a、b、m、n均为整数时，若a＋b＝（m＋n）2，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn． a＝m2＋2n2，b＝2mn．这样小敏就找到了一种把类似a＋b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为整数时，若，用含mn的式子分别表示a、b，则：a＝　 　，b＝　 　； （2）若a＋6＝（m＋n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值； （3）直接写出式子化简的结果． 【答案】（1）， （2）a=16或a=64 （3） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式； （2）根据题意，6=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=3，n=1或者m=1，n=3，然后即可确定a的值； （3）直接利用完全平方公式，变形化简即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ； 【小问2详解】 ∵， ， ， ∵a、m、n均为正整数， ∴或， ∴a=16或a=64； 【小问3详解】 ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． 22. 问题：探究函数y＝|x|﹣2的图象与性质． 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x|﹣2的图象与性质进行了探究： （1）在函数y＝|x|﹣2中，自变量x可以是任意实数，下表是y与x的几组对应值； x ⋯ ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 ⋯ y ⋯ 2 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 1 a ⋯ ①表格中a的值为 　 　； ②若（b，8）为该函数图象上的点，则b＝　 　； （2）在平面直角坐标系中，描出上表中的各点，画出该函数的图象； （3）结合图象回答下列问题： ①当x＝　 　时，函数有最小值为 　 　； ②当自变量x满足什么条件时，函数值y≥0？ 【答案】（1）①2；②±10 （2）见详解 （3）①0；-2；②或 【解析】 【分析】（1）①将x=4代入y＝|x|﹣2得a；②将（b，8）代入y＝|x|﹣2得b； （2）根据表格数据描点画出函数图像即可； （3）根据（2）所得图象即可判断； 【小问1详解】 解：①将x=4代入y＝|x|﹣2得，y＝|4|﹣2=2， ∴a的值为2； ②将（b，8）代入y＝|x|﹣2得，8＝|b|﹣2， 解得：b=±10； 【小问2详解】 如图，即为所求； 【小问3详解】 ①根据（2）图象，当x=0时，该函数有最小值为-2； ②根据（2）图象可直接看出，当或时； 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数相关知识是解题的关键． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，动点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF． （1）若四边形AEFD为菱形，则t值为多少？ （2）在点D、E的运动过程中，设四边形ADFE的面积为y，请求出y与t的函数关系式？ 【答案】（1）5s （2） 【解析】 【分析】（1）由DF∥AE且DF=AE，得四边形ADFE是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即AD=DF，可得关于t的方程，求解即可； （2）由直角三角形的性质可求DF，BF的长，即可求解． 【小问1详解】 解：∵∠B＝90°，∠A＝60°， ∴∠C=30°， ∴CD=2DF，AC=2AB， ∵AC＝30cm， ∴AB=15cm， 根据题意得：CD=4tcm，AE=2tcm，则AD=（30-4t）cm， ∴DF=2tcm， ∴DF=AE， ∵DF⊥BC， ∴DF∥AE， ∴四边形AEFD是平行四边形， 当DF=AD时，四边形AEFD为菱形， 即30-4t=2t，解得：t=5； 【小问2详解】 解：∵∠B＝90°，AC＝30cm，AB=15cm，CD=4tcm，DF=2tcm， ∴，， 由（1）得：四边形AEFD是平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数，菱形的性质、平行四边形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 24. 如图，某公园有①，②，③三条步道．经勘测：B在A北偏东的方向上，米，C在B的东南方向，D在A的正南方向300米处，E在D的正东方向，．（参考数据：，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）小华和小南同时从A出发，小华选择步道①，小南选择步道③，若小华和小南的速度相同，则谁先到达C，请通过计算说明．（结果精确到0.1） 【答案】（1）步道的长度为米； （2）小南先到C处，见解析． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）过点B作，垂足为F．在中，，．则，由勾股定理得，在中，，则，最后再由勾股定理得； （2）过点E作，垂足为G．步道①的长度为，，可得，在中，，由勾股定理得，则，故步道③的长度为．再比较即可． 【小问1详解】 解：如图，过点B作，垂足为F． 由B在A北偏东的方向上，可得． 在中，，． ∴， ∴． 在中，， ∴． ∴． 答：步道BC的长度为米． 【小问2详解】 解：如图，过点E作，垂足为G． 由（1）可知，， ∴步道①的长度为， 由（1）可知，，． ∴ ∵E在D的正东方向，D在A的正南方向，． ∴，． ∵ ∴ 在中，，． ∴，即， ∴， ∴． ∴步道③的长度为． ∵小华和小南的速度相同，且， ∴小南先到C处． 答：小南先到C处． 25. 在平行四边形ABCD中，点E为BC上一点，且FE⊥BC交AC于点F，连线AE、BF． （1）如图1，若点E为BC中点，BF⊥AC，AC＝8，AD＝6，求AB的长； （2）如图2，若AE，BF交于点G，且AB＝AE，点G为AE中点，求证：CF＝AF＋2FG； （3）如图3，若BC＝2AB，∠ABC＝60°，点B为边BC上的一动点，连接AE．将△ABE沿AB翻折得？AB′E，连接B′E交AD于点G，连接BB′交AD于点F，当线段EG最小时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，，由勾股定理可求解； （2）由“”可证，可得，，可证四边形是平行四边形，可得，，可得结论； （3）由直角三角形的性质和折叠的性质分别求出，的长，即可求解． 【小问1详解】 解：点为中点，， ， ，，，， ，， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，过点作于，交于，连接， ，， ，， 是的中垂线， ， ， ， ， 点是中点， ， 又， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ； 【小问3详解】 如图3，过点作于， 点在上，点在上， 当时，有最小值， ，， ， ，， 将沿翻折得△， ，，， ，， ，， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $