山西吕梁市方山部分学校2026年第二次中考模拟数学试卷

姓名 准考证号 数学 注意事项： 1.本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置. 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效」 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1.二十四节气是中国古代农耕文明的重要组成部分，用来指导农业生产和日常生活. 乐乐查询了当地2025年大寒时的最高气温为-7℃，大暑时的最高气温为30℃，则 两个节气的最高气温相差 A.37℃ B.33℃ C.30℃ D.23℃ 2.山西省，简称“晋”，又称“三晋”.下面是小明收集的关于“晋”字的演变过程，其文字 上方的部分是轴对称图形的是 署 蹈 美 亚 曰 甲骨文 金文 小篆 楷书 A B C D 3.下列运算正确的是 A.xx2 B.(x-1)(x-1)=x2+1 C.(-m2)3=-m6 D.m2+m=m 4.位于朔州市的应县木塔，是“世界三大奇塔”之一，也 是世界上现存最古老的纯木结构楼阁式建筑，它的结 构独特，全榫卯连接，没有一根铁钉.右图是一种简单 的榫卯结构示意图，几何体A和B组合后得到新的几 正面 何体，其中几何体A的俯视图为 第4题图 B D 数学试卷（二）第1页（共8页） 5.在一个不透明的袋子中装有两个红球，一个白球，一个黄球，这些球除颜色外都相 同.从中一次摸出两个球，记下颜色后放回，多次重复上述试验，摸到的两个球颜色 相同的频率最可能接近的数值为 A.1.2 B.0.78 C.0.52 D.0.17 6下面解分式方程芳=32的步聚中，错误的是 A.将方程两边同时乘x-3可转化为整式方程 B.去分母后的一元一次方程为1-x=-2 C.原分式方程的解为x=3 D.原分式方程无解 7.开窗见蓝天、出门迎白云，如今已成为太原市民的日常.一组数据印证了这份“蓝天 幸福感”：2023年全年太原市空气污染天数为121天，2025年全年太原市空气污染 天数为82天.设连续两年太原市空气污染天数的平均减少率为x,则下面所列方程 正确的是 R A.121(1-x)2=82 B.121(1-x%)2=82 C.82(1+x)2=121 D.121(1-2x)=82 8.如图，E,F是□ABCD中DA,BC延长线上的两点，连接EF分别 E 交AB,CD于点G,H.下列各式中正确的是 A.EDE明 B. EG BC ·BC-GH GH AE c格阳 DH AG 第8题图 D. CH=BG 9.已知点A,B是一次函数y=-m2x+n(m≠0)图象上的两点，若y<y2,则下列关系正 确的是 A.x<x B.>x2 C.x=x2 D.无法判断 10.如图，AB是⊙0的直径，AD,BC,AC是⊙O的弦.若∠BAD=30°， B BD=BC,AC=3√3，则AC长为 3 A. B.2T C.√3m D.3V3m 第10题图 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.比较大小：√5▲2（填“>”“=”或“<”）. 12.如图，△ABC的顶点B,C的坐标分别为(1，-1)，（2,1)，将 △ABC沿CB方向平移得到△DEB,若点A的对应点D的坐 标是(-2,0)，则点A的坐标为▲ 第12题图 数学试卷（二）第2页（共8页） 13.如图是视力表中的一部分，图中左上角的“E”与右下角的“E”是位似图形，位似中 心为点0.已知帮-含00=36cm,则AC的K为▲m 3 3山Es uE讯扫“ wmE山E G 第13题图 第14题图 第15题图 14.Wi-i的信号强度与距离有函数关系，下表是科研人员调查以后得到的距离x(m) 与信号强度y(dBm)相关数据： 距离x(m) 2 5 8 10 信号强度y(dBm) 400 20080 5040 当距离为4m时，信号强度为▲dBm 15.如图，在矩形ABCD中，线段EF垂直平分对角线BD,H是BC边上一点，连接DH并 延长，与EF的延长线交于点G,连接CG.若LBDH=45°，AB=2,AD=4,则线段CG 的长为▲ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（本题共2个小题，每小题5分，共10分) (1计算-61×分付+-4+22化简-}0.2 a2-a 17.(本题7分)如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=45°，分别过点C,D作AD, BC的垂线，分别交AD和BC的延长线于点E,F.求证：四边形CEDF是正方形， A E B C 18.(本题8分)为提升学生动手实践能力，某校计划购买一批教学器材.生物实验室需 要配备放大倍数相同的单目显微镜和双目显微镜.经市场调查，现将相关信息整 理如下： 单目显微镜（台） 双目显微镜（台） 总费用（元） 3 2 1440 8 5 3720 (1)单目显微镜和双目显微镜的单价分别是多少元/台？ (2)若学校计划购买这两种显微镜共30台，且购买的总价不超过10000元，则最多 可购买双目显微镜多少台？ 数学试卷（二）第3页（共8页） 19.(本题9分)为落实“阳光体育运动”政策，满足学生课后延时服务需求，某校在课后 服务中全面开展内容丰富、形式多样的体育活动，切实减轻学生学习负担，促进学 生健康成长.为了了解该校学生体育活动情况，实施锻炼时间目标管理，该校数学 兴趣小组用调查问卷随机调查了该校部分学生平均每天参与体育运动的时间 调查目的 1.了解本校初中生平均每天在校体育运动情况 2.给学校提出更合理的建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生 体育运动时间调查问卷 你平均每天在校参与体育运动的时间为：（每组时间含最小值，不含最大值；请根 调查内容 据实际情况在方框内打上“√”) ☐A:0-30分钟☐B:30-60分钟☐C:60-90分钟 ☐D:90-120分钟☐E:120分钟及以上 【数据收集】 ①兴趣小组计划抽取该校七年级50名学生进行问卷调查，下面的抽取方法中， 合理的是▲ A.从该校七年级1班中随机抽取50名学生的调查问卷 B.从该校七年级女生中随机抽取50名学生的调查问卷 C.从该校七年级学生中随机抽取男、女各25名学生的调查问卷 【数据整理】 ②通过问卷调查，兴趣小组获得了被抽查学生平均每天在校参与体育运动的时 间，进行整理统计，并绘制了如下条形统计图和扇形统计图（不完整） 人数（人） 调查过程 25 6%12% 20 20 1 5 3 6 30% 40% 0 A B C D E选项 【数据分析】 ③本次调查学生平均每天参与体育运动的时间的众数落在▲中（从A,B, C,D,E中选择填写)； ④若A组数据均近似地看作15分钟，B组数据均近似地看作45分钟，C组数据均 近似地看作75分钟，D组数据均近似地看作105分钟，E组数据均近似地看作 150分钟，则被抽查的50名学生平均每天在校体育活动时间为▲分钟. 建议 年年年来年中 结合调查信息，回答下列问题： (1)请将调查报告补充完整； ① ;③ ;④ (2)请将【数据整理】中的条形统计图补充完整： (3)如果学校将管理目标确定为每天不少于90分钟，该校有600名学生，那么估计 有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？请说明理由 (4)请你结合上面的统计结果，对该校“阳光体育运动”采取的措施写出一条合理 的建议. 数学试卷（二）第4页（共8页） 20.（本题7分)研学实践：忻州古城是一座具有1800多年历史的 古城，它既是历史的见证者，更是文化的传承者，被誉为晋北 地区的“文化博物馆”.忻州古城有四个城门，其中北门拱辰 门仍保留着清朝时期的建筑面貌，也是忻州古城内保存比较 完整的城门.下面是思辨小组的同学们运用所学知识测量拱 辰门的高度的方案及数据 方案1 方案2 测量工具 自制测倾器，皮尺 搭载扫描仪的航模 测量 示意图 0 D/E B 图1 图2 如图1，点A是城门顶部一点，AB的长表如图2，小军仍然站在水平地面的，点C 测量方案 示点A到水平地面的距离.小丽站在城 处，将航模竖直上升，当航模飞行至距 及数据 门前水平地面的点C处，利用高为1.5m离地面10.5m处的，点P处时，测得点A 的测倾器测得，点A的仰角∠ADE=50°.的仰角为∠AP0=37°， 思辨小组的成员发现仅仅利用方案1或方案2中的数据无法计算城门的高度，但 两组数据结合可以解决问题，请根据上面的数据计算城门顶部点A到地面的距离 AB的长.（结果精确到0.1m.参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19) 数学试卷（二）第5页（共8页） 21.(本题9分)阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务 关于“平行六边形”的研究报告 研究对象：平行六边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念—一性质一判定”的路径，由一般到特殊进行研究 研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸六边形，若其三组对边两两平行，则称该六边形为 平行六边形。 如图1，在凸六边形ABCDEF中，AB∥DE,BC∥EF,CD∥AF,则这样的凸六 边形就是平行六边形.其中AB与DE,BC与EF,CD与AF叫做“主对边”； ∠BAF与∠CDE,∠ABC与∠DEF,∠BCD与∠AFE叫做“主对角”；AD,BE,CF D 叫做“主对角线” 图1 【性质探索】 内角：平行六边形的三组主对角分别相等； 对角线：… 【判定探索】 B 平行六边形的定义是判定的一种方法，不过根据判定定理可由性质定 理的逆命题进行猜想的研究思路，大胆猜测：三组主对角分别相等的凸 六边形是平行六边形，探究过程如下： 已知：如图2，在凸六边形ABCDEF中，∠BAF=∠CDE,∠ABC=∠DEF 图2 ∠BCD=∠AFE. 求证：凸六边形ABCDEF是平行六边形 B 证明：如图3，分别延长BA,EF交于点G,BC,ED交于点H. G .'∠BAF=∠CDE, .180°-∠BAF=180°-∠CDE,即∠1=∠2. e。 【平行六边形拓展】 图3 六条边都相等的平行六边形叫做等边平行六边形 任务： (1)补全材料中“【判定探索】”的证明过程： Q (2)如图4，已知平行六边形OPORST满足OP=PQ=QR=S,则 平行六边形OPORST▲等边平行六边形（填“是”或“不 是”)； 图4 (3)如图5，已知在菱形ABCD中，∠BAD=120°，请在图中作一个等边平行六边形 AEFCGH,使得点E,F,G,H依次落在边AB,BC,CD,DA上.（要求：尺规作图，保 留作图痕迹，不写作法) C 图5 数学试卷（二） 第6页（共8页） 22.（本题12分)综合与实践 问题情境：数学之美，蕴藏于方寸之间，亦流淌于生活各处.在 学校开展的“数学之美一创意明信片设计”活动中，同学们匠 心独运，创作出了诸多融入数学知识的优秀作品.如图1所示， Oo☒。 房屋轮廓可近似看作由一段抛物线与线段围成的封闭图形，搭 配别具巧思的“弦图”窗框，尽显数学与美学交融的独特韵味 图1 为进一步优化整体结构，让造型更和谐雅致，同学们也提出了 不少新颖的设计思路 方案设计： 第一步：（设计抛物线轮廓）如图2，线段AB和线段CD互相垂直平分，且AB=CD= 6cm,抛物线经过A,B,C三点，以点D为原点，过点D且与AB平行的直线为x轴， CD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线与x轴交于E,F两点（点E在，点F 左侧)； 第二步：（设计房屋装饰分区）如图3，隐去线段AB,作线段GH∥x轴与抛物线交于 G,H两点，线段GH将房屋分为上下两部分，且下半部分的高度是上半部分高度的 2倍，上半部分用简单几何图形装饰，下半部分设计门窗； 第三步：（设计门窗）如图4，正方形窗框MNPQ的边长mcm,MN∥y轴，MQ∥x轴， 延长NM与抛物线交于点S,延长PQ与抛物线交于点T,MS=2QT. 解决问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)在图3中，求线段EF和GH的长度； (3)在图4中，若点M的坐标为(1，n). ①请直接写出n与m之间的关系式； ②当m=1时，正方形窗框如图1中所示，且被分成的五部分面积相等，请直接 写出窗框的总长度（包括正方形外框和内框） y c y个C G D P D D 图2 图3 图4 数学试卷（二） 第7页（共8页） 23.（本题13分)综合与探究 问题情境：综合探究活动中，同学们以等边三角形为背 G A 景，探索图形运动变化中元素之间的关系.如图1，在等 边△ABC外部取点D,连接BD,CD,并使得∠BDC的度 数始终是60°，将△BCD绕点C顺时针旋转120°，得到 △ECF(,点E,F分别是，点B,D的对应点)，作直线AD与直 线EF交于点G. 图1 特例分析： (1)如图2，若点D位于边AB的左侧，当∠DBC=90°时，请判断四边形CDGF的形 状，并说明理由； 深入探究： (2)如图3，若点D位于边AC的右侧，请判断AD与EG之间满足怎样的数量关系，并 说明理由； (3)直线AD与直线CE相交于点H,当△CDH是直角三角形时，请直接写出：的值. G C 图2 图3 备用图 R 数学试卷（二） 第8页（共8页）数学参考答案与评分标准 一、选择题 1 2 3 5 7 8 9 10 AC C B D A A B B 二、填空题 11.> 12.(-1,2) 13.9 14.100 15.2 提示：如图，连接BG,过点G作GM⊥BC于点M,过点G作GN⊥DC,交 DC的延长线于点N. .EF垂直平分BD,∴.BG=DG.∴.∠DBG=∠BDG=45 ∴.∠GDN+∠ADB=90°-∠BDG=45 由矩形易得∠ADB=∠DBC, O .∠GBM=45°-∠DBC,∠GDN=45°-∠ADB, ∴.∠GDN=∠GBM. M .BG=DG,∠BMG=∠DNG=90°， .△BMG≌△DNG..GM-GN,BM=DN. 易证四边形MGNC是正方形，设正方形边长为x, □N 则BM=4-x,DN=2+x.∴.4-x=2+x.解得x=1.∴.CG=√2. 三、解答题 16.解： (1)原式=-3-9+(-2) …3分 =-14. 5分 (2)原式=a-l(a-1)2 …7分 aa(a-1) _a-1,a(a-1) …8分 a(a-1)2 =l,… …10分 17.证明：CE⊥AD,DF⊥BC, ∴.∠CED=90°，∠F=90°.… …1分 ,四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC.… …2分 ∴.∠ECF+∠CED=180° .∠ECF=90°.… …3分 .四边形CEDF是矩形.… …4分 .∠ADC=45°， ∴.∠ECD=90°-45°=45°.… …5分 '.∠ADC=∠ECD ∴.DE=CE.… …6分 .矩形CEDF是正方形.… …7分 18.解：(1)设单目显微镜的单价为x元/台，双目显微镜的单价为y元/台.…1分 3x+2y=1440, 根据题意， 得 …3分 8x+5y=3720. X=240, 解，得 …4分 y=360, 答：单目显微镜的单价为240元/台，双目显微镜的单价为360元/台.…5分 (2)设可购买双目显微镜m台 根据题意，得240（30-m)+360m≤10000.…6分 解，得m≤0 3 因为m为整数，且m取最大值，所以m=23.… …7分 答：最多可购买双目显微镜23台. …8分 19.解：(1)①C… …1分 ③D… …2分 ④88.8… …3分 (2)补充完整的统计图，如图所示： …5分 人数（人） 25H 20 20 15 15H 10 53 6 0 A B C E 选项 20+6 (3)600× =312(名). 50 答：估计有312名学生能完成目标.…6分 目标合理 理由：因为40%+12%=52%，过半的学生都能完成这个目标，所以这个目标 合理.…7分 (4)①学校阳光体育运动”采取的措施成果显著，超过一半的学生平均每天 体育运动的时间为90分钟；②仍然有18%学生每天平均体育运动的时间不 足一小时，学校还需提供更多的体育运动机会.（合理即可）…9分 20解：如图1，延长DE交AB于点M;如图2，延长PQ交AB于点N.…1分 E 图1 图2 则四边形DCBM,四边形PCBN都是矩形 .BM=DC=1.5 m,BN=CP=10.5 m,DM=PN=BC. 设AB=Xm,则AM=(X-1.5)m,AN=（X-10.5)m.…2分 在Rt△ADM中，∠AMD=90°，∠ADM=50°， ·ian∠ADM=AM DM ..DM=- AM x-1.5 3分 tan∠ADM1.19 在Rt△APN中，∠ANP=90°，∠APN=37°， tan∠APN=AW PN AN .'.PN= x-10.5 5分 an∠APN0.75 由DM-PN,得-1.5-X-10.5 1.19 0.75 解，得X25.8.…6分 答：城门顶部点A到地面的距离AB的长约为258米.…7分 21.解：(1)∠BCD=∠AFE, .180°-∠BCD=180°-∠AFE. ∠3=∠4.…1分 .∠H=180°-∠3-∠2，∠G=180°-∠4-∠1， .∠H=∠G.…2分 .∠ABC=∠DEF, ∴.∠H+∠ABC=∠Gt∠DEF.… …3分 .∠H+∠ABC+∠G+∠DEF=360°， .∠H+∠ABC=180°.… …4分 .BG∥HE, 即AB∥DE.… …5分 同理可得BC∥EF,CD∥AF. ∴.凸六边形ABCDEF是平行六边形.… …6分 (2)是…7分 (3)如图，六边形AEFCGH即为所求 9分 22.解：(1).线段AB和线段CD互相垂直平分，且AB=CD=6, .A(-3,3),B（3,3),C(0,6).…1分 由己知，点C为抛物线的顶点， .设抛物线的函数表达式为y=x2+6…2分 将A(-3,3)代入，得9a+6=3. 1 解，得a=- 3分 3 ∴.抛物线的函数表达式为y= 3r+6 …4分 (2》当y0时，+6=0 解，得x=-32,X2=32 …5分 .E(-3V2,0,F3V2,0) .'EF =6v2 cm. .6分 由已知，得点G和点H的纵坐标为4. 当y4时，+6=4 3 解，得x,=-V6,x2=6 …7分 .G(-V6,0),HV6,0). .GH=2√6cm.… …8分 (3①n=-2m2-4m 17 一3m+ 3 …l0分 3 8√5 ②窗框的总长度为(4+ ）Cm.… …12分 23.解：(1)四边形CDGF是菱形.…1分 理由如下：由旋转得∠DCF=120°，∠F=∠BDC=60°，DC=FC, ∴.∠DCF+∠F=180° ∴.DC∥GF.… …2分 .∠DBC=90°， .∴.∠BCD=90°-∠BDC=30° .△ABC是等边三角形， .∴.∠ACB=60°，AC=BC. ∴.∠ACD=∠ACB-∠BCD=30 '.∠ACD=∠BCD .'CD=CD, .△ACD2△BCD.…3分 ∴.∠ADC=∠BDC=60° ∴.∠ADC+∠DCF=180° ∴.DG∥CF. .四边形CDGF是平行四边形.…4分 .'DC=FC, .四边形CDGF是菱形.…5分 (2)AD=EG.理由如下： 如图1，延长DC到M,使DM=DB,连接BM,CG. B C 'M 图1 .∠BDM=60°， .△DBM是等边三角形.…6分 .∠DBM=∠M=60°，BD=BM ,△ABC是等边三角形， ∴.∠ACB=∠ABC=60°，AB=BC .∴∠ABC-∠DBC=∠DBM-∠DBC. ∴.∠ABD=∠CBM. ∴.△ABD≌△CBM… …7分 ∴.∠ADB=∠M=60°. .∠BDC=60°， ∴.∠CDG=180°-60°-60°=60°， 由旋转得∠DCF=120°，∠F=∠BDC=60°，CD=CF, ∴.∠DCF+∠F=180°，∠DCF+∠CDG=180° ∴.CF∥DG,CD∥GF. .四边形CDGF是平行四边形.…8分 .'CD=CF, ∴.四边形CDGF是菱形 .'.DC=DG .△DCG是等边三角形.… …9分 ∴.DC=GC,∠DCG=60°. 由旋转得∠BCE=120°，AC=EC, .∠ACB=60°， ∴.∠ACE=60 '.∠ACE-∠DCE=∠DCG∠DCE,即∠ACD=∠ECG ∴.△ACD≌△ECG. AD=EG.…10分 (3)1或 13分 (答对1个2分) 提示：分∠DCH=90°和∠DHC=90°两种情况讨论. 情况一：当∠DCH=90时，如图2，∠ECF=∠DCF-∠DCH=30° ,四边形CDGF是菱形，.GF∥DC.∴.∠FEC=∠DCH=90. PC.EPGF EF G A E H B C 图2 图3 情况二：当∠DHC=90时，如图3，∠DCH=90°-∠CDH=30° ∴DH-DC.∴DH=DG,DH=CRDH=HG,HG=CF :四边形CDGF是菱形，∴DG/CR∴△EHG∽△ECR.:EC-HC_1 EF CF2 综上所述 架的值为1或号 【说明】以上各题的其他解法，请参照此标准评分.