精品解析：广东广州市培正中学2025-2026学年第二学期八年级期中调研 数学学科

2025学年第二学期初二期中调研—数学学科 本调研资料共6页，25小题，满分150分．完成时间：120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中．只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件逐一判断即可，最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、的被开方数满足上述两个条件，故是最简二次根式； B、的被开方数，是能开得尽方的平方数，不满足条件，不是最简二次根式； C、的被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式； D、的被开方数，含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式． 2. 若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为　　 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(n﹣2)×180°=720°，然后解方程即可． 【详解】设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°， 根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°． 解得n=6. 故选C. 【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解答本题的关键. 3. 以下列各组数为边长，可以组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，5 B. 6，7，8 C. 1，1， D. 2，，3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理判定直角三角形，掌握勾股定理逆定理的计算是关键． 运用勾股定理逆定理的计算判定直角三角形即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：C ． 4. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对角分别相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记知识点是解此题的关键．根据矩形的性质和菱形的性质即可解决问题． 【详解】解：矩形的性质是：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相等且互相平分； 菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角， 所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等， 故选：． 5. 下列图象中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，即可解答． 【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故A不符合题意； B、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故B不符合题意； C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C不符合题意； D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D符合题意； 故选：D． 6. 如图，矩形中，在数轴上，且点与原点重合，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点表示的数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先利用勾股定理求出，再根据，即可解答． 【详解】解：， ， 以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于， ， 故选：A． 7. 下列各点在函数图像上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像，把各点代入即可求解，掌握一次函数的图像是解题的关键． 【详解】解：、当时，， ∴不在函数图像上，不符合题意； 、当时，， ∴在函数图像上，符合题意； 、当时，， ∴不在函数图像上，不符合题意； 、当时，， ∴不在函数图像上，不符合题意； 故选：． 8. 在等边三角形中，，射线，点从点出发，沿射线以的速度运动，同时点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2或6 D. 3或6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用． 分别从当点在的左侧时与当点在的右侧时去分析，由当时，以为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：①当点在的左侧时， 根据题意得：，，则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即，解得：； ②当点在的右侧时， 根据题意得：，，则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即，解得：； 综上可得：当或时，以为顶点四边形是平行四边形． 故选：C． 9. 如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将沿着折叠，点B刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点C刚好落在上的点处，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，得出，再求出，即可求出结论． 【详解】解：在长方形纸片中，， ， ， ， 由折叠得：， ， ， ∵将沿着折叠，点C刚好落在上的点处， ． 10. 如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，已知长方体长，宽，高．蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从点爬到点，则蜘蛛爬行的最短路程是（）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别把长方体沿长，宽，高展开，画出对应的示意图，利用勾股定理求出三种情况下的长，比较即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当沿着高把长方体展开时， 在中，，，， ∴； 如图所示，当沿着长把长方体展开时， 在中，，，， ∴； 如图所示，当沿着宽把长方体展开时， 在中，，，， ∴， ∵， ∴沿着长方体的表面从点爬到点，则蜘蛛爬行的最短路程是． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分．满分24分．） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 12. 如图，在平行四边形中，，则的度数为________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知对角相等，即 ，结合已知条件  ，即可求出  的度数． 【详解】解： 四边形  是平行四边形， ，  ， ，  ． 13. 如图，已知平行四边形中A、C、D三点的坐标，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质等知识，由平行四边形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，点D、E、F分别是中点，若，则长为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质及三角形的中位线定理，根据直角三角形的性质及三角形的中位线定理即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∵点分别是的中点， ∴是斜边的中线， ∴， ∵， ∴， ∵分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：5． 15. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解决本题的关键是连接，构造两个直角三角形，利用勾股定理找到四个正方形的面积之间的关系是，再根据，求出的值． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ，，，， ， ， ． 故答案为： ． 16. 为平行四边形的对角线，，于点E，于点F，，交于点H，连接和，直线交线段的延长线于点．下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论是______．(写出所有正确的序号) 【答案】①②④ 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解平行四边形的性质．①根据，得，，进而得，由此可对结论①进行判断；②证明是等腰直角三角形得，进而可判定和全等，则，，再根据即可对结论②进行判断；③假设，根据，得，则点H是线段的中点，根据已知条件无法判定点H是线段的中点，由此可对结论③进行判断；④证明得是等腰直角三角形，则，再证明是等腰直角三角形，则，根据是等腰直角三角形得，进而得，在中，由勾股定理得，则，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①，， ，， ，故结论①正确； ②，， 是等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，，， ，故结论②正确； ③假设， ， ， ， ， 点H是线段的中点， 根据已知条件无法判定点H是线段的中点，故结论③不正确； ④，， ， 在中，， ，， ， ， 又， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ，， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ，故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）2 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知：如图，在四边形中，对角线，相交于点O，O是的中点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据三角形全等，结合平行四边形的判定解答即可． 本题考查了三角形的全等判定和性质，平行四边形的判定，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】证明：， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形． 19. 某日我海防巡逻艇在A处探测到在它正东方向距它30海里的B处有一艘可疑船只，该船只正以每小时36海里的速度沿北偏西方向行驶，巡逻艇立即沿北偏东的方向前往拦截，半小时后恰好在C处拦截到该船只． （1）求巡逻艇的速度为每小时多少海里？ （2）求此时该船只所在处C与的距离为多少海里？ 【答案】（1）巡逻艇的速度为每小时48海里 （2）此时该船只所在处C与的距离为海里 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理解决航海问题． （1）先求得，在中，由勾股定理求解即可； （2）作于，利用等积法求解即可． 【小问1详解】 解：，，， ，， ， ，， ∴在中，由勾股定理得， ， 答：巡逻艇的速度为每小时48海里； 【小问2详解】 解：作于， ， ， 答：此时该船只所在处C与的距离为海里． 20. 动点H以每秒1厘米的速度沿图①的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积S（平方厘米）与时间的关系图象如图②所示，已知，设点H的运动时间为秒． （1）________，________，________； （2）当的面积为时，求t的值． 【答案】（1） （2）点H的运动时间t为或 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积及图象即可得出答案； （2）分点H在上运动和点H在上运动时两种情况． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴四边形是矩形 由图象可得， ∴ ， ． 【小问2详解】 解：当点H在上运动时，， ∴， ∴， ∴， 当点H在上运动时，， ， ∴， 故当的面积为时，点H的运动时间t为或． 21. 如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点． （1）求线段的长度； （2）试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）是等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； 【小问1详解】 解：每个小正方形的边长均为1， 根据勾股定理得，； 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形，理由如下： 连接， 根据勾股定理得，，，， ， 为等腰直角三角形． 22. 如图，菱形的对角线，相交于点O，于点E，F是的中点，于点G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得出是的中位线，进而得出四边形是平行四边形，再由垂直可得四边形是矩形； （2）由已知条件得出，再由菱形的性质得出、、、的面积相等，从而得出菱形的面积． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ， 是的中点， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是矩形，是的中位线， ，， ， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， 菱形的面积为． 23. [材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是________，的有理化因式是________（每空写出一个即可）． [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化，比如：． （3）试利用分子有理化比较和的大小．（写出比较大小的过程） 【答案】（1）（答案不唯一），（答案不唯一） （2） （3），过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据分母有理化计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ∴和互为有理化因式，和互为有理数因式， 故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一）； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ． 24. 回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形． （1）从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积个小三角形面积小正方形面积，从而得到等式①________，化简证得勾股定理②________． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行拼接，提出以下问题： （2）如图2，晓华再将4个全等直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图3，用三张含角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ （3）请直接写出此等量关系式：________． 【答案】（1）， （2）15 （3） 【解析】 【分析】（1）根据图形写出即可； （2）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （3）根据大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积，构建关系式即可． 【小问1详解】 解：大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， 从而得到等式，化简证得勾股定理； 【小问2详解】 解：如图， ， 根据题意得 ，． 设，则，． 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积； 【小问3详解】 解：设大正三角形的高为，中心小正三角形的高为，三个全等三角形的边a上的高为． 由图可知大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积， ， 大等边三角形的面积， ， 小等边三角形的面积， ， ， 三个这样的三角形面积之和为， ， 即， ∴． 25. 如图1，正方形的边长为1，E为边上一点（不与点B、C重合），垂直于的一条直线分别交、、于点M、P、N． （1）请直接写出和的数量关系________； （2）如图2，当垂足P在正方形的对角线上时，求证：； （3）如图3，在第（2）题的条件下，作，垂足为H，点E在边上运动过程中，的长度是否变化？若不变，求出的长；若变化，说明变化规律． 【答案】（1） （2）见解析 （3）不变， 【解析】 【分析】（1）过点B作交于点F，则四边形为平行四边形，得出，，由证得，得出，即可得出结论； （2）过点P作于Q，于G，证明，即可得出结论； （3）延长，使，连接，，，过点N作，交于K，先证是等腰直角三角形，，再证点F，点B，点C三点共线，由等腰三角形三线合一的性质得，由可证，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，，， 过点B作交于点F，如图1所示， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，过点P作于Q，于G， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：的长度不会变化，理由如下： 如图，延长，使，连接，，，过点N作，交于K， 由（2）知，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点F，点B，点C三点共线， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期初二期中调研—数学学科 本调研资料共6页，25小题，满分150分．完成时间：120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中．只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为　　 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 以下列各组数为边长，可以组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，5 B. 6，7，8 C. 1，1， D. 2，，3 4. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对角分别相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 5. 下列图象中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形中，在数轴上，且点与原点重合，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点表示的数是（　　） A. B. C. D. 7. 下列各点在函数图像上的是（ ） A. B. C. D. 8. 在等边三角形中，，射线，点从点出发，沿射线以的速度运动，同时点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2或6 D. 3或6 9. 如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将沿着折叠，点B刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点C刚好落在上的点处，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，已知长方体长，宽，高．蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从点爬到点，则蜘蛛爬行的最短路程是（）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分．满分24分．） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 12. 如图，在平行四边形中，，则的度数为________． 13. 如图，已知平行四边形中A、C、D三点的坐标，则点B的坐标为______． 14. 如图，在中，，点D、E、F分别是中点，若，则长为_________． 15. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则_____． 16. 为平行四边形的对角线，，于点E，于点F，，交于点H，连接和，直线交线段的延长线于点．下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论是______．(写出所有正确的序号) 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 18. 已知：如图，在四边形中，对角线，相交于点O，O是的中点，且．求证：四边形是平行四边形． 19. 某日我海防巡逻艇在A处探测到在它正东方向距它30海里的B处有一艘可疑船只，该船只正以每小时36海里的速度沿北偏西方向行驶，巡逻艇立即沿北偏东的方向前往拦截，半小时后恰好在C处拦截到该船只． （1）求巡逻艇的速度为每小时多少海里？ （2）求此时该船只所在处C与的距离为多少海里？ 20. 动点H以每秒1厘米的速度沿图①的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积S（平方厘米）与时间的关系图象如图②所示，已知，设点H的运动时间为秒． （1）________，________，________； （2）当的面积为时，求t的值． 21. 如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点． （1）求线段的长度； （2）试判断的形状，并说明理由． 22. 如图，菱形的对角线，相交于点O，于点E，F是的中点，于点G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 23. [材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是________，的有理化因式是________（每空写出一个即可）． [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化，比如：． （3）试利用分子有理化比较和的大小．（写出比较大小的过程） 24. 回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形． （1）从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积个小三角形面积小正方形面积，从而得到等式①________，化简证得勾股定理②________． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行拼接，提出以下问题： （2）如图2，晓华再将4个全等直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图3，用三张含角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ （3）请直接写出此等量关系式：________． 25. 如图1，正方形的边长为1，E为边上一点（不与点B、C重合），垂直于的一条直线分别交、、于点M、P、N． （1）请直接写出和的数量关系________； （2）如图2，当垂足P在正方形的对角线上时，求证：； （3）如图3，在第（2）题的条件下，作，垂足为H，点E在边上运动过程中，的长度是否变化？若不变，求出的长；若变化，说明变化规律． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $