奥数：第5讲 最短路线问题（讲义）-2025-2026学年六年级上册数学人教版

【人教版】小学六年级上数学奥数:第5讲 最短路线问题 一、核心方法 最短路线问题常用方法:对称法、展开法、翻折法 核心原理:两点之间,线段最短 二、经典例题 例 1 河岸垂钓问题 如图,小明从 A 地出发,先到河边垂钓,再去 B 地售卖,求最短路线。 解:作点 A 关于河岸的对称点 A′,连接 A′B,与河岸交于点 P。 最短路线:A P B。 例 2 两墙之间蚂蚁爬行问题 如图,一只蚂蚁从一面墙的 A 点爬到相邻墙面的 B 点,求最短路线。 解:将含 B 点的墙面旋转,与 A 所在墙面展平为同一平面,连接 AB 交墙棱于 P。 最短路线:A P B。 例 3 长方体表面最短路线 如图,长方体 ABCD-A′B′C′D′中,AB=4,AA′=2,AD=1,一只小壁虎从 D′沿表面爬到 B 点。问这只小壁虎怎么爬距离最短? 解:将相邻面展开成平面,比较三种情况: ① 上底面 + 前侧面:,距离 =5(最短) ② 左侧面 + 前侧面: ③ 左侧面 + 下底面: 答案:最短距离为5。 例 4 圆柱绕线一周最短问题 如图,为金龙绕柱设计最短路线,从圆柱上 A 点绕一周到 B 点,求最短路线。 解:将圆柱侧面展开为长方形,连接 A、B′两点,线段 A B′ 即为最短路线。 例 5 圆锥侧面绕圈最短路线 如图,圆锥母线 OA 上,B 为 OA 中点,从 A 出发绕侧面一周到 B。求最短路径。 解:沿母线剪开,将圆锥侧面展开成扇形,连接 A 与 B 的对应点,还原后即为最短路线。 例 6 圆柱桶内外壁虎爬行问题 如图,小壁虎从桶外 A 爬到桶内 B,已知A 到桶口 C 长 12cm,B 到桶口 D 长 8cm,CD 弧长 15cm。问小壁虎如何走距离最短,最短距离是多少? 解:展开圆柱侧面,作 B 关于 CD 的对称点 F,连接 AF。 ,AF=25。 答案:最短路程25 厘米。 例 7 两次对称最短路线(平行直线) 如图,A、B 在两条直线外侧,小蚂蚁从 A 出发先到直线 l₁,再到直线 l₂,最后到 B。求小蚂蚁爬行最短路径。 解: 1. 作 A 关于 l₁的对称点 A′ 2. 作 B 关于 l₂的对称点 B′ 3. 连接 A′B′,交 l₁于 P,交 l₂于 Q 最短路线:A P Q B。 三、进阶例题(小升初高频) 进阶例 1 长方体表面最短路线 底面是正方形,边长为 3,高为1的长方体,小虫从底面一顶点沿表面走到对角顶点,求最短路程。 解:本题有两种展开方法,分别计算斜边长。将相邻两面展开,横向展开,直角边长为6和1,纵向展开直角边为 3 和 4,斜边为5,因此,最短距离是5。 最短距离: 进阶例 2 圆柱绕两周最短路线 圆柱高 5cm,底面周长 6cm,求绕侧面两周的最短路线。 解:侧面展开为长 12cm、高 5cm 的长方形。 最短路线。 进阶例 3 楼梯表面最短路线 楼梯高 3m,水平宽 4m,小虫沿楼梯表面爬行,求最短路程。 解:将楼梯展平为长方形,长 4m,高 3m。 最短路线:米。 进阶例 4 正方体三点最短路线 正方体棱长为 4,A、B、C 为三条棱中点,小虫沿表面从 A 经 B 到 C,求最短路线。 解:将相关面展开,连接 A、C,B 在线段 AC 上,此路线最短。 进阶例 5 两次对称最短路线(斜线) 如图,一只蚂蚁在图中的A点,蚂蚁要从A点出发到达B点,要求它从 A 点出发,必须先划到甲边,然后到乙边,再到 B 点,最后回到 A 点,试问应选择怎样的路线才能使路程最短? 解:分别作 A、B 关于甲边、乙边的对称点 A′和 B′,连结 A′、B′分别交甲边、乙边于 E、F 两点,则 A E F B A 是最短路线,即最短路程为:AE + EF + FB + BA. 释疑:由对称性可知路线 A E F B 的长度恰等于线段 A′B′的长度。而从 A 点到边,又到乙边,再到 B 点的任意的另一条路线,利用对称方法都可以化成一条连接 A′、B′之间的折线,它们的长度都大于线段 A′B′,所以 A E F B A 是最短路线. 四、基础练习题 1. 如图,河岸为直线EF,A、B 是两岛,设转运码头,使航程最短。 2. 从 A 出发触到直线 到 B 再触直线 到 C,画出最短路线。 3. 如图,从 M点出发,先到 AB 岸,再到 CD 岸,再返回 M,求最短路线。 4. 如图,两条河,A 点出发到 B 点,需要在两条河上架两座垂直河岸的桥(两座桥分别垂直两条河的河岸),确定最短路径。 5. 如图,一条河,A 到 B、A 到 C 各架一座垂直河岸的桥,确定架桥位置。 6. 如图,台球桌击 A 球,经 CD、CF 两次反弹后击中 B 球,画出路线。 7. 如图,正方体三棱中点 A、B、C,判断图中路线是否为最短。 8. 如图,A、E 为长方体同一棱上的两个顶点,且 AE=8,底面为边长是 2 的正方形,B、C、D 分别到底面距离为 2、4、6,连接 AB、BC、CD、DE,则折线 ABCDE 是以 A 为起点,以 E 为终点绕棱柱侧面一周的路线,说明折线 ABCDE 为最短路线。 五、进阶练习题 1. 底面是正方形边长为 5,高为7的长方体,小虫从底面一顶点沿表面走到长方体对角顶点,求最短距离。 2. 圆柱高 10cm,底面周长 12cm,求绕侧面两周的最短路线长度。 3. 楼梯竖直高 6m,水平长 8m,小虫沿楼梯表面爬行,最短路程是多少? 4. A、B 在两直线外侧,A,B在直线的同一侧,从 A 经 l₁、l₂到 B,画出最短路线。 5. A、B 在两直线内侧,两直线为斜线,从 A 经 l₁、l₂到 B,画出最短路线。 六、参考答案 基础题答案 1. 作 A 关于河岸的对称点 A′,连接 A′B 交河岸于 P,P 为码头位置。 2. 作对称点连接,确定触墙点,画出最短路线。 3. 作 M 关于两岸的对称点,连接交两岸于两点,形成最短路线。 4. 作垂线截取河宽,连接对称点确定架桥位置。 5. 同理作对称点,确定最短架桥路线。 6. 作两次对称,连接对称点交桌边于反弹点。 7. 展开对比,题图所示为最短路线。 8. 侧面展开为正方形,折线恰为对角线,故最短。 进阶题答案 1. 本题有两种展开方法,分别计算斜边长。①直角边为5和12,斜边为13;②直角边为7和10,斜边为12.2,因此最短距离为(约12.2) 2. 26cm 3. 10m 4. 两次对称,连接对称点,确定交点即可 5. 两次对称,连接对称点,确定交点即可 学科网(北京)股份有限公司 $