4.3+用乘法公式分解因式第1课时（教学课件）2025--2026学年浙教版七年级数学下册

浙教版 七年级 数学 下册 4.3 用乘法公式分解因式 第4章 因式分解 第1课时 学习目标 01 能用平方差公式分解因式 一座公园建筑的示意图如图所示。 环形绿化带的外圆半径为7.5m, 内 圆半径为5.5m。 这个环形绿化带的 面积是多少?怎样计算比较简便? 解 ： 由 题 意 可 得 ：S环形绿化带=π(7.5²-5.52)= 26π (m²) ; S 环 形 绿 化 带 = π ( 7 . 5²- 5 . 5 2 ) = π (7.5+5.5)(7.5-5.5) = 26π (m²) 。 课堂引入 01 单位：m 用平方差公式分解因式： 由平方差公式( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2可得： a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b )。 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 运用这个公式可以把具有平方差形式的多项式分解因式。 因式分解 整式乘法 ( a + b ) ( a - b ) a2 - b2 新课讲解 下列各式能用公式a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b )分解因式吗？a，b分别表示什么？把下列各式分解因式。 ( 1 ) x2 - 1； ( 2 ) m2 - 9； ( 3 ) x2 - 4y2。 解：( 1 ) a，b分别表示x，1， x2 - 1 = ( x + 1 ) ( x - 1 )； ( 2 ) a，b分别表示m，3， m2 - 9 = ( m + 3 ) ( m - 3 )； ( 3 ) a，b分别表示x，2y， x2 - 4y2 = ( x + 2y ) ( x - 2y )。 注意： 将2y看作整体。 新课讲解 √ 用平方差公式分解因式： 由平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b² 可得： a²-b²=(a+b)(a-b) 。 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 运用这个公式可以把具有平方差形式的多项式分解因式。 因式分解 (a+b)(a-b) 整式乘法 知识精讲 02 下列各式能用公式a²-b²=(a+b)(a-b 表示什么?把下列各式分解因式。 (1)x²-1; (2)m²-9; 解：(1)a,b 分别表示x,1 , x²-1=(x+1)(x-1) ; (2)a,b 分别表示m,3 , m²-9=(m+3)(m-3); (3)a,b 分别表示x,2y , x²-4y²= (x+2y)(x-2y) 。 )分解因式吗?a,b 分别 (3)x²-4y²。 注 意 ： 将2y看作整体。 做做 02 知识精讲 02 知识精讲 例1 把下列各式分解因式： ( 1 ) 16a2 - 1； ( 2 ) -m2n2 + 4l2； ( 3 ) x2 - y4； ( 4 ) ( x + z )2 - ( y + z )2。 解：( 1 ) 16a2 - 1 = ( 4a )2 - 12 = ( 4a + 1 ) ( 4a - 1 )； ( 2 ) -m2n2 + 4l2 = ( 2l )2 - ( mn )2 = ( 2l + mn ) ( 2l - mn )； ( 3 ) x2 - y4 = ( x )2 - ( y2 )2 = ( x + y2 ) ( x - y2 )； ( 4 ) ( x + z )2 - ( y + z )2 = [( x + z ) + ( y + z )][( x + z ) - ( y + z )] = ( x + y + 2z ) ( x - y )。 02 知识精讲 用平方差公式分解因式的多项式的形式： 一般地，如果一个多项式可以转化为a2 - b2的形式， 那么这个多项式就可以用平方差公式分解因式。 详细解读： 多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反。 例2 分解因式：4x3y - 9xy3。 解：4x3y - 9xy3 = xy (4x2 - 9y2） = xy [( 2x )2 - ( 3y )2] = xy ( 2x + 3y ) ( 2x - 3y )。 注意： 多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。 新课讲解 02 知识精讲 例2 分解因式：4x3y - 9xy3。 解：4x3y - 9xy3 = xy (4x2 - 9y2） = xy [( 2x )2 - ( 3y )2] = xy ( 2x + 3y ) ( 2x - 3y )。 注意： 多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。 用平方差公式分解因式的多项式的形式： 一般地，如果一个多项式可以转化为a2 - b2的形式， 那么这个多项式就可以用平方差公式分解因式。 详细解读： 多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反。 新课讲解 课内练习 3.分解因式： (1)4x³-x; (2)a⁴-81。 解：(1)4x³-x= x(4x²-1) =x[(2x)²-1²]=xy (2x+1)(2x-1) ; (2)a⁴-81=(a²)²-92= (a²+9)(a²-9) =(a²+9)(a²-32)=(a²+9) (a+3)(a-3) 02 知识精讲 。 x²-2能否分解因式? 考 解 ：x²-2在有理数范围内不能分 解 ， 但如果把数的范围扩大到实数范围则可分 解 ： x²-2=x²-(√2)²=(x+√2)(x-√2) 。 02 知识精讲 √ 实数范围内分解因式： 实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围 (可用无理数的形式来表示), 一些式子在有理数的范围内无法分解因式， 可是在实数范围内就可以继续分解因式。 PS: 如无特别说明，因式分解的结果必须是： 每个因式在有理数范围内不能再分解为止。 02 知识精讲 做 一做 02 知识精讲 分解因式： ( 1 ) 2x2 - 1； ( 2 ) a4 - 9。 解：( 1 ) 2x2 - 1 = 2( x2 - ) = 2[x2 - ()2] = 2(x + ) (x - )； ( 2 ) a4 - 9 = ( a2 )2 - 32 = ( a2 + 3 ) ( a2 - 3 ) = ( a2 + 3 ) [a2 - ()2] = (a2 + 3) (a + ) ( a - )。 x2 - 2能否分解因式？ 解：x2 - 2在有理数范围内不能分解， 但如果把数的范围扩大到实数范围则可分解： x2 - 2 = x2 - ( )2 = ( x + ) ( x - )。 新课讲解 实数范围内分解因式： 实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围 (可用无理数的形式来表示)， 一些式子在有理数的范围内无法分解因式， 可是在实数范围内就可以继续分解因式。 PS：如无特别说明，因式分解的结果必须是： 每个因式在有理数范围内不能再分解为止。 新课讲解 B.4x²+4x-1 C.9-3x+x2 D.9x²-16y² 解：9x²-16y²=(3x)²-(4y)²= (3x+4y)(3x-4y) 。 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是( D ) A.x²+xy+y² 03 典例精析 解：(1)25-16x²=5²-(4x)²= (5+4x)(5-4x) ; (2)(4a+b)²-4(a+b)²=(4a+b)²-(2a+2b)² = [4a+b+(2a+2b)][4a+b-(2a+2b)] =(6a+3b)(2a-b) =3 (2a+b)(2a-b)。 分解因式： (1)25-16x²; (2)(4a+b)²-4(a+b)²。 03 典例精析 在实数范围内分解因式：x2y - 19y。 例3 03 典例精析 解：x2y - 19y = y ( x2 - 19 ) = y [x2 - ()2] = y ( x + ) ( x - )。 课后总结 用平方差公式分解因式： 由平方差公式( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2可得：a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b )。 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 运用这个公式可以把具有平方差形式的多项式分解因式。 用平方差公式分解因式的多项式的形式： 一般地，如果一个多项式可以转化为a2 - b2的形式， 那么这个多项式就可以用平方差公式分解因式。 详细解读： 多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反。 用平方差公式分解因式： 由平方差公式( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2可得：a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b )。 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 运用这个公式可以把具有平方差形式的多项式分解因式。 用平方差公式分解因式的多项式的形式： 一般地，如果一个多项式可以转化为a2 - b2的形式， 那么这个多项式就可以用平方差公式分解因式。 详细解读： 多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反。 课堂总结 谢谢大家 $