第4章 因式分解（复习课件）数学新教材浙教版七年级下册

该初中数学单元复习课件系统梳理了因式分解的概念、提公因式法、公式法（平方差、完全平方）及与整式乘法的互逆关系，通过单元知识图谱将整式乘法与因式分解的相反变形，提公因式法的三要素（系数、字母、指数）和公式法的步骤串联，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”递进模式，如“完全平方式求m值”培养运算能力，“智慧数探究”发展推理意识，“几何应用”强化模型意识。分层设计让学生巩固基础并提升综合能力，教师可通过典型例题和训练精准把握学情，提高复习效率。

单元复习课件 第4章 因式分解 新教材浙教版·七年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 3.准确判断公因式、灵活选用公式，分解彻底且规范。 1.理解因式分解的概念，明确与整式乘法的互逆关系；掌握提公因式法、公式法（平方差、完全平方）的基本步骤；能正确、规范地对多项式进行因式分解，培养运算能力。 2.掌握提公因式法和公式法进行因式分解。 单元学习目标 单元知识图谱 考点一、因式分解的意义 1．定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫作因式分解。把这一过程叫作分解因式。 因式分解 整式乘法 等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积。 2．因式分解与整式乘法的内在关系：因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式。 考点串讲 1．公因式：像多项式，它的各项都有一个相同的因式，我们把这个相同的因式叫作这个多项式各项的公因式。 考点二、提取公因式法 注意： 公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数——各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 例 找 3x 2 – 6 xy 的公因式. 系数：最大公约数 3 字母：相同的字母 x 所以公因式是3x. 指数：相同字母的最低次幂 1 考点串讲 2．提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提取出来进行因式分解，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 考点二、提取公因式法 提公因式法的一般步骤（分三步） （1）确定应提取的公因式。 （2）用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式。 （3）把多项式写成这两个因式的积的形式。 整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. 考点串讲 考点二、提取公因式法 注意事项： (1)提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式； (2)公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式； (3)首项的系数为负时，通常提负因数，括号里各项要变号； (4)括号前面添“＋”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面添 “－”号，括到括号里的各项都变号。 考点串讲 1.平方差形式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 考点三、公式法分解因式 整式乘法 因式分解 2.完全平方形式：两个数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方. 整式乘法 因式分解 考点串讲 考点三、公式法分解因式 运用公式法分解因式的步骤： 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 注意运用整体思想。 考点串讲 题型一、因式分解的定义与公因式 例1 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 解：∵ 因式分解是将多项式化为整式的积的形式， A．，左边是整式的积，右边是多项式，不符合定义，故本选项不符合题意； B．，左边是多项式，右边是整式的积，符合定义，故本选项符合题意； C．，右边不是积的形式，不符合定义，故本选项不符合题意； D．，左边不是多项式，不符合定义，故本选项不符合题意； 解析：考查因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式．根据定义逐一判断各选项即可． B 题型剖析 解：多项式的系数的最大公约数是2，各项的相同字母的最低指数次幂是， 所以公因式是， 练一练 多项式中，各项的公因式是 ． 题型一、因式分解的定义与公因式 题型剖析 题型二、完全平方式 例2 已知是完全平方式，则的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 解：∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴， ∴， 解析：考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键。 B 题型剖析 解：，是完全平方式，故①符合； ，因为首项，末项，而中间项应为，不等于题目中的，不是完全平方式，故②不符合； ，是完全平方式，故③符合； 不是完全平方式，故④不符合； ，是完全平方式，故⑤符合， 其中①、③、⑤是完全平方式的共有3个， 练一练 下列多项式是完全平方式的有（   ） ①；②；③； ④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二、完全平方式 C 题型剖析 题型三、提公因式法分解因式 例3 已知，则的值为（   ） A． B．12 C． D．24 解：∵， ∴， 又∵， ∴ ， 解析：考查了因式分解的应用，积的乘方的逆运算，先求出的值，再将原式因式分解为，再代入已知条件计算． B 题型剖析 练一练 因式分解： (1)； (2)． （1）解： ； 题型三、提公因式法分解因式 （2）解： ． 题型剖析 题型四、平方差法分解因式 例4 因式分解： ． 解：． 解析：考查因式分解中的基本公式——平方差公式的应用．关键在于识别出两个平方项，并准确套用公式．此类题目在代数运算中非常基础且常见，熟练掌握公式有助于提高解题效率与准确性． 题型剖析 练一练 分解因式： (1)； (2)； (3)； （1）解：原式 ； （2）解：原式 题型四、平方差法分解因式 （3）解：原式 ． 题型剖析 题型五、完全平方法分解因式 例5 分解因式： ． 解：原式 ． 解析：该多项式为二次三项式，符合完全平方公式的结构，可直接应用公式因式分解． 题型剖析 练一练 因式分解： (1)； (2) （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型五、完全平方法分解因式 题型剖析 题型六、提公因式与公式法结合 例6 分解因式：________． 解： 解析：先提取公因式，再由完全平方公式进行分解即可． 题型剖析 练一练 因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求的值； （1）解：依题意，把代入得 解得：； 题型六、提公因式与公式法结合 题型剖析 练一练 因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (2)若和是多项式的两个因式，试求的值； （2）解：把和分别代入， 即 解得： 题型六、提公因式与公式法结合 题型剖析 1.利用因式分解计算： (1) (2) 考查因式分解的简算 （1）解：原式； （2）解：原式． 针对训练 2.对于任意整数n，多项式都能（   ） A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被12整除 考查整除问题 解： ， ∵n是任意整数， ∴都能被8整除， ∴多项式都能被8整除． 针对训练 3.如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”.例如，因为，所以就是一个智慧数，而和则是的智慧分解.那么究竟哪些数为智慧数?第个智慧数是否存在，若存在，又是哪个数? 为此，小明和小颖展开了如下探究： 小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：，，，， 小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：设两个数分别为，，其中，且为整数.则. (1)根据上述探究，可以得出：除外所有______都是智慧数，并请直接写出的智慧分解； (2)继续探究，他们发现，，所以和均是智慧数，由此，他们猜想：（，且为整数）均为智慧数，请证明他们的猜想； (3)根据以上所有探究，请直接写出第个智慧数，以及它的智慧分解. 考查智慧数问题 针对训练 考查智慧数问题 （1）解：由探究可以得出：除外所有奇数都是智慧数， ∵， ∴的智慧分解为和，故答案为：奇数； （2）证明：设，且为整数， ∵， ， ∴， ∴除外，所有能被整除的偶数都是智慧数， ∴(，且为整数)均为智慧数； （3）解：根据探究得，智慧数是奇数时，且为整数，智慧数是的倍数时，且为整数， ∴正整数中前四个正整数只有为智慧数，此后每连续四个数中有三个智慧数， ∵，， ∴第个智慧数是， ∵， ∴第个智慧数的智慧分解为和. 针对训练 4.通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如求代数式的最小值，． 可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式有最____（填“大”或“小”）值，值为____ (2)若与，判断、的大小关系，并说明理由； (3)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 考查配方法求最值 针对训练 考查配方法求最值 （1）解：， 当时，有最大值，为， 代数式的最大值为.故答案为：大，； （2）解：，理由如下： ，， ， ，， ，； 针对训练 考查配方法求最值 （3）解：∵ ， 又∵，， ∴当，原式有最小值， 即时，有最小值为16． 针对训练 5.阅读思考：将式子分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样我们可以得到． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为___________． 考查十字相乘法 针对训练 考查十字相乘法 （1）解：①； ② ； （2）∵，，，， ∴整数的可能值为：，，，， ∴整数的所有可能值为：，． 故答案为：，． 针对训练 6.把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 考查整体思想 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 针对训练 7.小明在学习配方法时，将关于x的多项式配方成，发现当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如:当时，即或-1时，的值均为6；当时，即或-2时，的值均为11．于是小明给出一个定义:对于关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对偶，例如关于对偶． 请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于__________对偶； (2)当或时，关于x的多项的值相等，求b的值； (3)若整式)关于对偶，求n的值． 考查新定义问题 针对训练 考查新定义问题 （1）解：∵， ∴根据题意，多项式关于对偶； 故答案为： （2）解：． 依题意，得与互为相反数，即 ∴； （3） ∵该整式关于对偶． ∴ 针对训练 8.定义：我们将边长为的正方形称为“完全方框”．若将“完全方框”分成四个小区域（如图1所示），四个小区域的面积分别为，四个小区域的面积之和称为“完全方框”的完全和，即完全和等于． 【定义理解】 （1）若，用含的代数式表示该“完全方框”的完全和． 考查因式分解的几何应用 针对训练 【深入探究】 （2）图2是一个长方形，沿图中虚线分割成四个全等的小长方形，拼成如图3所示的“完全方框”，且该“完全方框”的“完全和”为． ①图2中大长方形的面积为___________，图3中阴影部分的面积为___________；（用含，的代数式表示） ②若，求图3中阴影部分的面积． 【问题解答】 （3）图4是一块多边形空地，某校规划出了正方形区域与正方形区域，计划在这两块区域种花，剩余两块三角形区域种草．已知正方形与正方形的边长分别为，面积分别为，并且三点在同一条直线上，若，求种草区域的面积和． 考查因式分解的几何应用 针对训练 考查因式分解的几何应用 解：（1）∵， ∴； （2）①∵， ∴完全方框的边长为， ∴小长方形的两条邻边的长分别为， ∴大长方形的两条邻边的长分别为， ∴大长方形的面积为； 图3中阴影部分的面积为； 针对训练 考查因式分解的几何应用 ②∵， ∴ ； （3）由题意，， ∵， ∴， ∴； ∴种草区域的面积和. 针对训练 课堂总结 感谢聆听! $