第11讲 抛体运动 讲义——2027届高三物理一轮复习

第11讲 抛体运动 讲义 知识梳理： 一、平抛运动 1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在 重力　作用下的运动。 2．性质：平抛运动是加速度为g的 匀变速　曲线运动，其运动轨迹是 抛物线　。 3．研究方法：化曲为直 (1)水平方向： 匀速直线　运动； (2)竖直方向： 自由落体　运动。 4．基本规律：以抛出点为坐标原点，水平初速度v0方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t，有： (1)位移：分位移x＝ v0t　；y＝ gt2　 合位移x合＝＝ 　， tan φ＝ 　，φ为合位移与x轴的夹角。 (2)速度：分速度vx＝ v0　；vy＝ gt　 合速度v＝＝，tan θ＝ 　，θ为合速度v与x轴的夹角。 二、斜抛运动 1．定义：将物体以初速度v0 斜向上方　或斜向下方抛出，物体只在 重力　作用下的运动。 2．性质：斜抛运动是加速度为g的 匀变速　曲线运动，运动轨迹是 抛物线　。 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向： 匀速　直线运动。 (2)竖直方向： 匀变速　直线运动。 4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示) 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy. 初速度可以分解为v0x＝ v0cos θ　，v0y＝ v0sin θ　。 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t vx＝v0x＝v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt 考点一　平抛运动基本规律的应用 1．关于平抛运动必须掌握的四个物理量 物理量 相关分析 飞行时间 (t) t＝，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程 (x) x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 落地速度 (v) v＝＝，用θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关 速度的改 变量(Δv) 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示 2．平抛运动的两个重要推论 (1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲所示。其推导过程为tan θ＝＝＝。 (2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。如图乙所示，其推导过程为tan θ＝＝＝＝2tan α。 单物体(或流体)的平抛运动 典例1：贵州继“村BA”火遍全网后，“村超”(乡村足球超级联赛)又在全网爆火。某运动员在离球门正前方约6 m处训练头球攻门时，跳起后，头部高度约1.8 m，将足球以一定的初速度垂直球门水平顶出，恰好落在球门线上，足球视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A．球在空中运动的时间约为1 s B．球被水平顶出时的初速度大小约为15 m/s C．球落地瞬间竖直方向的速度大小约为6 m/s D．球落地瞬间速度方向与初速度方向的夹角约为45° [答案]　C[解析]　由h＝gt2知t近似为0.6 s，故A选项错误；由v0＝知v0近似为10 m/s，故B选项错误；由vy＝gt知vy近似为6 m/s，故C选项正确；落地时速度与水平方向的夹角正切tan θ＝＝，故θ不是45°，故D选项错误。故选C。 多物体的平抛运动 典例2：在一次娱乐活动中，教师和学生分别在A、B两点以速度v1和v2水平抛出沙包，两沙包在空中的C点相遇，忽略空气阻力，重力加速度为g，则(　　) A.教师和学生同时抛出沙包 B.学生应先抛出沙包 C.若教师远离学生几步，则需要与学生同时扔出沙包，两沙包才能相遇 D.若知A和C、B和C的高度差hAC和hBC，可求出A、B两点间的水平距离 [答案]　D[解析]　抛出的沙包做平抛运动，由h＝gt2可得t＝，由题图可知，教师抛出的沙包下落的高度比学生抛出的沙包下落的高度大，则运动的时间较长，所以教师应先抛出沙包，两沙包才能相遇，故A、B、C错误;若A和C、B和C的高度差hAC和hBC，则可计算出两沙包相遇前平抛运动的时间，A、B两点的水平距离可表示为LAB＝v1t1＋v2t2＝v1＋v2，故D正确。 类平抛运动的处理方法 用研究平抛运动的方法处理类平抛运动，将物体的运动沿着初速度方向(x方向)和垂直于初速度方向(y方向)分解，由于物体在初速度方向上做匀速直线运动，满足vx＝v0，x＝v0t;与初速度垂直的方向上由于受恒力作用，物体在该方向上做初速度为零的匀加速直线运动，满足vy＝at，y＝at2。 典例3：(多选)如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，将一物块(可看成质点)由斜面左上方顶点P以初速度v0水平射入斜面。物块恰好从斜面底端Q点离开斜面，重力加速度为g，则(　　) A.物块由P点运动到Q点所用的时间t＝ B.物块由P点运动到Q点所用的时间t＝ C.初速度v0＝b D.初速度v0＝b [答案]　AC[解析]　根据牛顿第二定律可得mgsin θ＝ma，则物块做类平抛运动的加速度为a＝gsin θ，根据l＝at2得t＝，A正确，B错误;物块射入斜面的初速度为v0＝＝b，C正确，D错误。 考点二　与斜面或圆弧面有关的平抛运动 　1.与斜面有关的平抛运动 从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动 两种 特殊 状态 落回斜面的时刻 速度与斜面平行的时刻 处理 方法 分解位移 tan θ＝ 分解速度 tan θ＝ 运动 特征 ①位移偏转角度等于斜面倾角θ; ②落回斜面上时速度方向与水平面的夹角α与初速度大小无关，只与斜面的倾角有关，即tan α＝2tan θ; ③落回斜面上时的水平位移与初速度的平方成正比，即x∝ ①竖直分速度与水平分速度的比值等于斜面倾角的正切值; ②该时刻是运动全过程的中间时刻; ③该时刻物体距斜面最远 运动 时间 由tan θ＝得t＝ 由tan θ＝得 t＝ 平抛运动与斜面结合的三种模型 模型 处理 方法 分解速度 分解速度 分解位移 运动 时间 由tan θ＝得t＝ 由tan θ＝得t＝ 由tan θ＝得t＝ 典例4：近年来，国家大力开展冰雪运动进校园活动，蹬冰踏雪深受学生喜爱。如图所示，两名滑雪运动员(均视为质点)从跳台a处先后沿水平方向向左飞出，其速度大小之比为v1∶v2＝2∶1，不计空气阻力，重力加速度为g，则两名运动员从飞出至落到斜坡(可视为斜面)上的过程中，下列说法正确的是(　　) A．他们飞行时间之比为t1∶t2＝1∶2 B．他们飞行的水平位移之比为x1∶x2＝2∶1 C．他们速度变化之比为Δv1∶Δv2＝2∶1 D．他们在空中离坡面的最大距离之比为s1∶s2＝2∶1 [答案]　C[解析]运动员从跳台a处水平飞出，设初速度为v0，飞行时间为t，斜坡的倾角为θ，运动员在空中做平抛运动，落到斜坡上时，有tan θ＝＝，解得t＝，可得他们飞行时间之比为t1∶t2＝v1∶v2＝2∶1，A错误；运动员飞行的水平位移为x＝v0t＝，所以他们飞行的水平位移之比为 x1∶x2＝＝4∶1，B错误；两运动员在水平方向的速度不变，在竖直方向的速度变化为Δvy＝gt，因为他们飞行时间之比为t1∶t2＝2∶1，则他们速度变化之比为Δv1∶Δv2＝t1∶t2＝2∶1，C正确；运动员在空中离坡面的最大距离为s＝，他们在空中离坡面的最大距离之比为s1∶s2＝＝4∶1，D错误。 2.与圆弧面有关的平抛运动 1.从空中某处平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向。 处理方法:分解速度tan θ＝。 2.从圆心处或与圆心等高的圆弧上抛出，落到半径为R的圆弧上。 情景 处理方法 x＝v0t y＝gt2 x2＋y2＝R2 水平方向: R±＝v0t 竖直方向:h＝gt2 典例5： (多选)如图所示，一个半径为R＝0.75 m的半圆柱体放在水平地面上，一小球从圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出(小球可视为质点)，恰好从半圆柱体的右上方C点掠过。已知O为半圆柱体侧面半圆的圆心，OC与水平方向夹角为53°，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则(　　) A.小球从B点运动到C点所用时间为0.3 s B.小球从B点运动到C点所用时间为0.5 s C.小球做平抛运动的初速度为4 m/s D.小球做平抛运动的初速度为6 m/s [答案]　AC[解析]小球做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于C点，可知速度方向与水平方向的夹角为37°，tan 37°＝，设位移与水平方向的夹角为θ，则有tan θ＝tan 37°＝，因为tan θ＝，解得y＝ m，根据y＝gt2，可得小球从B点运动到C点所用时间为t＝ s＝0.3 s，故A正确，B错误;小球做平抛运动的初速度v0＝ m/s＝4 m/s，故C正确，D错误。 考点三　斜抛运动 1．斜上抛运动的射高和射程 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。 (1)斜抛运动的飞行时间：t＝＝。 (2)射高：h＝＝。 (3)射程：s＝v0cosθ·t＝＝，对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。 2．解题技巧 (1)斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析为平抛运动。 (2)分析完整的斜上抛运动，可根据对称性求解。 典例6：(多选)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是(　　) A．运动时间为2 s B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10 m D．轨迹最高点与落点的高度差为45 m [答案]　BD[解析]将初速度分解为沿PQ方向的分速度v1和垂直PQ方向的分速度v2，则有v1＝v0cos 60°＝10 m/s，v2＝v0sin 60°＝10 m/s，将重力加速度分解为沿PQ方向的分加速度a1和垂直PQ方向的分加速度a2，则有a1＝gsin 30°＝5 m/s2，a2＝gcos 30°＝5 m/s2，垂直PQ方向根据对称性可得重物的运动时间t＝2×＝4 s，重物离P、Q连线的最远距离dmax＝＝10 m，故A、C错误；重物落地时竖直分速度大小vy＝－v0sin 30°＋gt＝30 m/s，则落地速度与水平方向夹角的正切值tan θ＝＝＝，可得θ＝60°，故B正确；从抛出到最高点所用时间t1＝＝1 s，则从最高点到落地所用时间t2＝t－t1＝3 s，轨迹最高点与落点的高度差h＝gt＝45 m，故D正确。 考点四　平抛运动的临界和极值问题 1．临界点的确定 (1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。 (2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。 (3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点。 2．求解平抛运动临界问题的一般思路 (1)找出临界状态对应的临界条件。 (2)分解速度或位移。 (3)若有必要，画出临界轨迹。 典例7：如图为排球比赛场地示意图，其长度为L，宽度为s，球网高度为h。现某女排队员在底线中点正上方沿水平方向发球，发球点高度为1.5h，排球做平抛运动(排球可看作质点，忽略空气阻力)，重力加速度为g，则排球(　　) A．能过网的最小初速度为 B．能落在界内的最大位移为 C．能过网而不出界的最大初速度为 D．能落在界内的最大末速度为 [答案]　Ｃ[解析]根据平抛运动的两个分运动规律x＝v0t，y＝gt2，联立可得y＝x2，刚能过网的条件为x＝，y＝1.5h－h＝0.5h，代入轨迹方程可得最小初速度为v0＝，故A错误；能落在界内的最大位移是落在斜对角上，由几何关系有smax＝，故B错误；能过网而不出界落在斜对角上时有最大初速度，条件为x＝，y＝1.5h，代入轨迹方程可得最大初速度为v0max＝，故C正确；根据末速度的合成规律可知，能落在界内的最大末速度为vmax＝＝，故D错误。故选C。 典例８：如图，容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度为h，在圆筒侧壁开一个小孔P，筒内的水从小孔水平射出，设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为x，小孔P到水面的距离为y。短时间内可认为筒内水位不变，重力加速度为g，不计空气阻力，在这段时间内下列说法正确的是(　　) A．水从小孔P射出的速度大小为 B．y越小，则x越大 C．x与小孔的位置无关 D．当y＝时，x最大，最大值为h [答案]　D[解析]　取水面上质量为m的水滴，从小孔喷出时由机械能守恒定律可知mgy＝mv2，解得v＝，选项A错误；水从小孔P射出时做平抛运动，则x＝vt，h－y＝gt2，解得x＝v＝2，可知x与小孔的位置有关，由数学知识可知，当y＝h－y，即y＝h时x最大，最大值为h，并不是y越小，x越大，选项D正确，B、C错误。 学科网（北京）股份有限公司 $