2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册解答题专项突破之不等式与不等式组（七板块）

解答题专项突破之不等式与不等式组2025-2026学年 鲁教版（五四制）七年级下册（六板块） 板块一：解一元一次不等式 1．解不等式： （1）； （2）． 2．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： （1）x﹣4≥2（x+2）；（2）＜． 3.解不等式，并写出它的所有正整数解． 4.解不等式12，并求出其最小整数解． 板块二：解一元一次不等式组 1．解不等式组：． 2．解不等式组并将其解集在数轴上表示． 3.解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 4.解不等式组：，在数轴上表示它的解集，并写出它的最大整数解和最小整数解． 板块三：一元一次不等式（组）含参问题 1.若关于的不等式组的解集为，求的值． 2.已知关于的不等式组 （1）如果不等式组的解集为，求的值； （2）如果不等式组无解，求的取值范围； 板块四：一元一次不等式（组）与方程（组） 1.已知关于x，y的方程． （1）当a＝1时，求代数式3x﹣y的值； （2）若该方程组的解满足不等式x﹣y＜2，求a的最大整数值． 2．已知关于x、y的方程组． （1）求方程组的解（用含m的代数式表示）； （2）若方程组的解满足x≤0，y＜0，且m是正整数，求m的值． 3.已知方程组的解为非正数，为负数． （1）求的取值范围： （2）化简； （3）在的取值范围内，当取何整数时，不等式的解为? 板块五：一元一次不等式（组）新定义问题 1．定义一种新运算“a△b”：当a≥b时，a△b＝a+2b；当a＜b时，a△b＝a﹣2b．例如：3△（﹣4）＝3+2×（﹣4）＝﹣5，1△2＝1﹣2×2＝﹣3． （1）填空：（﹣4）△3＝　 　；（直接写结果） （2）若（3m﹣4）△（m+6）＝（3m﹣4）+2（m+6），求m的取值范围； （3）已知（3x﹣7）△（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围． 2．定义运算；当时，；当时，；如：； ；，根据该定义运算完成下列问题： （1）　 　，当时，　 　； （2）若，求x的取值范围． 3.新定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解中的一个，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． (1)在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是_____；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是________；（写出一个即可） (3)若方程都是关于x的不等式组的关联方程，直接写出m的取值范围． 板块六：一元一次不等式应用题 1．用不等式解决问题：甲、乙两队进行篮球比赛，比赛规则规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．两队一共比赛了10 场，甲队保持不败，且得分不低于24分．甲队至少胜了多少场？ 2.某工程队计划招聘从事甲、乙两种工作的工人共150名，设从事甲工作的人数为x人． （1）若招聘经理说：“招聘从事乙工作的人数是从事甲工作人数的2倍．”若设从事乙工作的人数为y人，请列方程组解答从事甲、乙工作的人数各有多少人？ （2）根据招聘工作人员透露：从事乙工作的人数比从事甲工作人数至少多25人，试通过列不等式的方法说明从事甲工作人数最多有多少人？ 3．为了让市民树立起“珍惜水、节约水、保护水”的用水理念，居民生活用水按阶梯式计算水价，水价计算方式如表所示，每吨水还需另加污水处理费元．已知乐乐家月份用水吨，交水费元；月份用水吨，交水费元．（提示：水费＝水价＋污水处理费） 用水量 水价（元/吨） 不超过吨 超过吨且不超过吨的部分 超过吨的部分 （1）求，的值； （2）为了节省开支，乐乐计划把月份的水费控制在不超过家庭月收入的．若乐乐家的月收入为元，则乐乐家月份最多能用水多少吨？ 板块七：一元一次不等式组应用题 1．某校有若干女生住校，若每个房间住4人，则还剩20人未住下；若每个房间住8人，则仅有一间房未住满，求该校女生宿舍的房间数．（提示：用不等式组求解） 2．为贯彻落实教育部《关于推进中小学生研学旅行的意见》，我市某中学组织七年级师生到爱莲湖开展研学活动，学校计划租用两种不同型号的客车前往爱莲湖，两种客车的载客量与租金如下表所示： 中型客车 大型客车 载客量（人/辆） 18 30 租金（元/辆） 800 1200 若共有172名师生参加此次研学活动，学校计划租用这两种客车共8辆，租金总费用不超过8000元，要使全部师生均有座位，则怎样租车更划算？ 3．为加快复工复产，某企业需运输一批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，所需费用少于54000元，求出所需费用最少的方案，且最少费用是多少？ 【答案】 解答题专项突破之不等式与不等式组2025-2026学年 鲁教版（五四制）七年级下册（六板块） 板块一：解一元一次不等式 1．解不等式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】解：（1）∵， ∴， 则； （2）∵， ∴， ， ， ， 则． 2．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： （1）x﹣4≥2（x+2）；（2）＜． 【答案】解：（1）x﹣4≥2（x+2）， x﹣4≥2x+4， x﹣2x≥4+4， ﹣x≥8， 则x≤﹣8， 将解集表示在数轴上如下： ； （2）＜， 3x﹣3＜8x﹣10， 3x﹣8x＜﹣10+3， ﹣5x＜﹣7， 则x＞， 将解集表示在数轴上如下： ． 3.解不等式，并写出它的所有正整数解． 【答案】解：去分母得：4x+15≥3（2x+3）， 去括号，得：4x+15≥6x+9， 移项得：4x﹣6x≥9﹣15， 合并得：﹣2x≥﹣6， 解得：x≤3， 则不等式的正整数解为1，2，3． 4.解不等式12，并求出其最小整数解． 【答案】解：12， 去分母，得6+3（x+1）≥12﹣2（x+7）， 去括号，得6+3x+3≥12﹣2x﹣14， 移项、合并同类项，得5x≥﹣11， 系数化为1，得x， 故不等式的最小整数解为﹣2． 板块二：解一元一次不等式组 1．解不等式组：． 【答案】解：由2+x＞7﹣4x，得：x＞1， 由x＜，得：x＜4， 则不等式组的解集为1＜x＜4． 2．解不等式组并将其解集在数轴上表示． 【答案】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 3.解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 【答案】解：， 解①得x＞2， 解②得x≤4． 则不等式组的解集是：2＜x≤4． 则整数解是：3，4． 4.解不等式组：，在数轴上表示它的解集，并写出它的最大整数解和最小整数解． 【答案】解：， ∵解不等式①得：x≥﹣1， 解不等式②得：x＜2， ∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜2， 在数轴上表示不等式组的解集为： ， ∴不等式组的最大整数解为：1，最小整数解为：﹣1． 板块三：一元一次不等式（组）含参问题 1.若关于的不等式组的解集为，求的值． 【答案】64 【详解】解： 由①得： 由②得： 所以不等式组的解集为： 关于的不等式组的解集为， 两个方程相加可得： ∴ ∴ 2.已知关于的不等式组 （1）如果不等式组的解集为，求的值； （2）如果不等式组无解，求的取值范围； 【答案】（1）11；（2） ，解之可得答案； （2）根据不等式组无解，利用“大大小小找不到”可得，解之可得答案． 【详解】解：（1）由，得：， 解不等式，得：， 不等式组的解集为， ∴， 解得； （2）不等式组无解， ， 解得． 板块四：一元一次不等式（组）与方程（组） 1.已知关于x，y的方程． （1）当a＝1时，求代数式3x﹣y的值； （2）若该方程组的解满足不等式x﹣y＜2，求a的最大整数值． 【答案】解：（1）当a＝1时，则， ①+②得，3x﹣y＝9； （2）由方程解得， ∵x﹣y＜2， ∴2， 解得a， ∴a的最大整数值为0． 2．已知关于x、y的方程组． （1）求方程组的解（用含m的代数式表示）； （2）若方程组的解满足x≤0，y＜0，且m是正整数，求m的值． 【答案】解：（1）， 由①，得2x+2y＝2m﹣18．③， 由 ②+③，得5x＝10m﹣20，x＝2m﹣4； 将x＝2m﹣4代入①，得y＝﹣m﹣5， ∴原方程组的解为； （2）∵， ∴， 解得﹣5＜m≤2， 且m是正整数， ∴m＝1或m＝2． 3.已知方程组的解为非正数，为负数． （1）求的取值范围： （2）化简； （3）在的取值范围内，当取何整数时，不等式的解为? 【答案】（1）；（2）6；（3）-1 【详解】解：（1）解方程组， 解得：， ∵为非正数，为负数， ， 解不等式组，得：； (2)∵， ∴， ； (3)不等式可化为：， ∵不等式的解为， 可知， ， 又， ， ∵a为整数， ∴． 板块五：一元一次不等式（组）新定义问题 1．定义一种新运算“a△b”：当a≥b时，a△b＝a+2b；当a＜b时，a△b＝a﹣2b．例如：3△（﹣4）＝3+2×（﹣4）＝﹣5，1△2＝1﹣2×2＝﹣3． （1）填空：（﹣4）△3＝　 　；（直接写结果） （2）若（3m﹣4）△（m+6）＝（3m﹣4）+2（m+6），求m的取值范围； （3）已知（3x﹣7）△（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围． 【答案】解：（1）（﹣4）*3＝﹣4﹣2×3＝﹣10， 故答案为：﹣10； （2）∵（3m﹣4）△（m+6）＝（3m﹣4）+2（m+6）， ∴3m﹣4≥m+6， 解得：m≥5； （3）由题意知， 或， 解得：x＞5或x＜1． 2．定义运算；当时，；当时，；如：； ；，根据该定义运算完成下列问题： （1）　 　，当时，　 　； （2）若，求x的取值范围． 【答案】（1），x；（2）x的取值范围为 【解析】解：（1）， 当时，； 故答案为：，x； （2）根据题意得， 解得， 即x的取值范围为． 3.新定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解中的一个，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． (1)在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是_____；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是________；（写出一个即可） (3)若方程都是关于x的不等式组的关联方程，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)③ (2)2 (3) (1) 解方程2x-1=0得x=；解方程x+1=0得x=-3；解方程x-（3x+1）=-5得x=2； 解不等式组， 得， ∴不等式组的关联方程是③； 故答案为：③； (2) 解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 其整数解为2， 则该不等式组的关联方程可以为．（答案不唯一） (3) 解方程得， 解方程得， 解关于x的不等式组得， 方程都是关于x的不等式组的关联方程， ． 板块六：一元一次不等式应用题 1．用不等式解决问题：甲、乙两队进行篮球比赛，比赛规则规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．两队一共比赛了10 场，甲队保持不败，且得分不低于24分．甲队至少胜了多少场？ 【答案】甲队至少胜了7场． 【详解】解：设甲队胜了场，则平了场， 根据题意，得： 解得： 答：甲队至少胜了7场． 2.某工程队计划招聘从事甲、乙两种工作的工人共150名，设从事甲工作的人数为x人． （1）若招聘经理说：“招聘从事乙工作的人数是从事甲工作人数的2倍．”若设从事乙工作的人数为y人，请列方程组解答从事甲、乙工作的人数各有多少人？ （2）根据招聘工作人员透露：从事乙工作的人数比从事甲工作人数至少多25人，试通过列不等式的方法说明从事甲工作人数最多有多少人？ 【答案】解：（1）由题意得：， 解得：， 答：从事甲工作的人数为50人，从事乙工作的人数为100人； （2）从事乙工作的人数为（150﹣x）人， 由题意得：150﹣x﹣x≥25， 解得：x≤62.5， 答：从事甲工作的人数最多有62人． 3．为了让市民树立起“珍惜水、节约水、保护水”的用水理念，居民生活用水按阶梯式计算水价，水价计算方式如表所示，每吨水还需另加污水处理费元．已知乐乐家月份用水吨，交水费元；月份用水吨，交水费元．（提示：水费＝水价＋污水处理费） 用水量 水价（元/吨） 不超过吨 超过吨且不超过吨的部分 超过吨的部分 （1）求，的值； （2）为了节省开支，乐乐计划把月份的水费控制在不超过家庭月收入的．若乐乐家的月收入为元，则乐乐家月份最多能用水多少吨？ 【答案】（1）m=2.4，n=3.2；（2）小明家月份最多能用水55吨 【详解】解：（1）由题意得， 解得， 即m的值为2.4，n的值为3.2； （2）由（1）得m＝2.4，n＝3.2， 当用水量为30吨时，水费为：20×2.4＋10×3.2＋30×0.6＝98（元）， 2%×11650＝233（元）， ∵233＞98， ∴小明家月份用水量超过30吨． 可设小明家月份用水x吨， 由题意得98＋（2×2.4＋0.6）（x−30）≤233， 解得x≤55， 答：小明家月份最多能用水55吨． 板块七：一元一次不等式组应用题 1．某校有若干女生住校，若每个房间住4人，则还剩20人未住下；若每个房间住8人，则仅有一间房未住满，求该校女生宿舍的房间数．（提示：用不等式组求解） 【答案】该校有6间女生宿舍 【详解】设该校有x间女生宿舍，则有女生人， 依题意得： ， 解这个不等式组得：， 因为x为整数， 所以， 答：该校有6间女生宿舍． 2．为贯彻落实教育部《关于推进中小学生研学旅行的意见》，我市某中学组织七年级师生到爱莲湖开展研学活动，学校计划租用两种不同型号的客车前往爱莲湖，两种客车的载客量与租金如下表所示： 中型客车 大型客车 载客量（人/辆） 18 30 租金（元/辆） 800 1200 若共有172名师生参加此次研学活动，学校计划租用这两种客车共8辆，租金总费用不超过8000元，要使全部师生均有座位，则怎样租车更划算？ 【答案】租用5辆中型客车，3辆大型客车更划算 【详解】解：设租用中型客车x辆，则租用大型客车辆， 根据题意，得 解得， ∵x为非负整数， ∴x取4，5 ∴当租用4辆中型客车，4辆大型客车时，租金总费用为： （元）； 当租用5辆中型客车，3辆大型客车时，租金总费用为： （元）： ∵， ∴租用5辆中型客车，3辆大型客车更划算． 3．为加快复工复产，某企业需运输一批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，所需费用少于54000元，求出所需费用最少的方案，且最少费用是多少？ 【答案】(1)1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资 (2)当有6辆大货车，6辆小货车时，最小费用为48000元 【详解】（1）解：设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资， 由题意可得：， 解得：， 答：1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资； （2）解：设有a辆大货车，辆小货车， 由题意可得：， 解得：， ∴整数，7，8； 当有6辆大货车，6辆小货车时，所需要的费用为： （元）； 当有7辆大货车，5辆小货车时，所需要的费用为： （元）； 当有8辆大货车，4辆小货车时，所需要的费用为： （元）； ∵， ∴当有6辆大货车，6辆小货车时，最小费用为48000元． 学科网（北京）股份有限公司 $