专项突破3 平行线的常见模型-【全程复习大考卷】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版·新教材）

.大长方形AEFG的面积是1×4=4。 ∴.∠AME=∠MEF,∠CNE=∠NEF。 专项突破三平行线的常见模型 .∴.∠MEN=∠MEF+∠NEF=∠AME+∠CNE。 1.C【解析】如图，过点C作CM∥AB。 (2)165°【解析】如图2，延长BC,FE相交于点P E 点P作PQ∥AB交CD于点Q。 AB -C,P M D ED∥AB,∴.CM∥ED。 M .∠D+∠MCD=180°，∠MCB+∠B=180°。 图2 BC LAB,∴∠B=90°。∴.∠MCB=90°。 AB∥GH,∴.AB∥GH∥PQ。 .∠MCD=∠DCB-∠MCB=140°-90°=50°。 .∴.∠QPF=∠EFH=75°，∠ABC+∠BPQ=180°。 .∠EDC=130°。 BC⊥EF,.∠BPF=90°。 2.解：(1)两直线平行，同旁内角互补 ∴.∠BPQ=90°-∠QPF=90°-75°=15°。 平行关系的传递性C360° ∴.∠ABC=180°-∠BPQ=180°-15°=165°。 A A B J---- (3)如图3，根据题意，得∠AME=10°t,∠DNF=25°t .∠EPN=15°t。 H-- H----------- 4 由题意可得∠EPN=45°。 F E ∴.15t=45°，解得t=3; 图1 图2 (2)540°【解析】如图1，分别过，点C,D作CG∥AB,DH M ∥AB,则CG∥DH∥EF, .∠1+∠B=∠2+∠3=∠4+∠E=180°。 N ∴.∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=∠1+∠B+∠2+∠3+ 图3 ∠4+∠E=540°。 如图4，根据题意，得∠AME=10°t,∠CNF=25° (3)720°【解析】如图2，分别过点C,D,E作AB的平 180°，由题意，得∠EPN=45°， 行线CJ,DH,EI,则CJ∥DH∥EI∥FG, .25°t-180°+45°=10°t,解得t=9。 ∴.∠B+∠BCJ=180°，∠JCD+∠CDH=180°， M ∠HDE+∠IED=180°，∠IEF+∠GFE=180°， A B .∠B+∠BCD+LCDE+∠DEF+∠F=720°。 C EN D (4)(n+1)·180°【解析】由(1)(2)(3)知，拐，点的个 图4 数n与角的和之间的关系是(n+1)·180°， 综上所述，运动时间t为3或9。 .∠B+∠M1+∠M2+…+∠Mn+∠D=(n+1)·180°。 4.解：AB∥DE。 3.解：(1)∠MEN=∠AME+∠CNE。理由如下： 理由：如图所示，过点C作FG∥AB, 如图1，过点E作EF∥AB。 ∴.∠BCG=∠ABC=80°。 A E<2------F 又：∠BCD=40°， ∴.∠DCG=∠BCG-∠BCD=80°-40°=40°。 C -D ∠CDE=140°， N 图1 .∠CDE+∠DCG=180°。 AB∥CD,∴.AB∥CD∥EF。 .∴.DE∥FG。 .AB∥DE。 则∠BAG=∠MBA=25°， A .∠GAC=LBAC-∠BAG=60°-25°=35°。 过 ∠PCA=35°， G .∠PCA=∠GAC。.AG∥PQ。 5.解：(1)如图1，过点C作CP∥AB,且点P在BC的 又.AG∥MN,.MN∥PQ。 下方。 (3)如图2，过点A作直线EF∥PQ, A M B N D G E H 图1 DE⊥GH,AB∥DE,∴.AB⊥GH。 A BC∥GH,∴.AB⊥BC。.∠BCP=∠B=90°。 图2 .∠DCP=∠BCP-∠BCD=90°-25°=65°。 MN∥PQ,∴.MN∥PQ∥EF。 :AB∥DE,CP∥AB, ∴.∠MBC+30°=∠BAF,∠BAF+60°=∠PCA。 .CP∥DE。 .∠MBC+30°+60°=∠PCA。 .∠CDE=180°-∠DCP=180°-65°=115°。 ∴.∠PCA-∠MBC=90°。 (2)如图2，过点C作CP∥AB,且点P在BC的下方。 7.解：(1)10°【解析】小.∠ACB=90°，∠ECD=45°， B .∠ACB+∠ECD=135°。 ∴.∠BCD=135°-∠ACE=135°-125°=10°。 D (2)①当AB在CE的上方时， G E AB∥CE,.∠BCE=∠B=30°。 图2 .∠DCE=45°， CP∥AB, .∠BCD=45°-30°=15°，即a=15°； .∠ABC=∠BCP=∠BCD+∠DCP 当AB在CE的下方时， 由(1)，得CP∥DE, AB∥CE,∴.∠ACE=∠A=60°。 .∠CDE+∠DCP=180°。 ,∠DCP=∠ABC-∠BCD, ∠DCE=45°， .∠CDE+∠ABC-∠BCD=180°。 .∠BCD=360°-90°-45°-60°=165°。 .∠CDE+∠ABC=180°+∠BCD=225°。 综上所述，若AB∥CE,a的度数为15°或165°。 6.解：(1)AB∥CD, ②除了AB∥CE外，还存在互相平行的边， .∠ACD+∠A=180°。 当AC∥DE时，a=45°； ∠A=60°， 当AB∥DE时，a=105°； .∠ACD=180°-∠A=180°-60°=120°。 当BC∥DE时，a=135°； .·∠ECD=45°， 当AB∥CD时，a=150°。 .∠ACE=∠ACD-∠ECD=120°-45°=75°。 综上所述，还存在互相平行的边，α为45°或105°或135° (2)MW∥PQ。理由如下： 或150°。 如图1，过点A作AG∥MN, BN 专项突破四求不等式（组）中的字母的 值或取值范围 1.02.a<13.B4.-12 5.解：(1)不是 图1 (2)解不等式x-3a≥0，得x≥3a; ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 ·59…专项突破三 平行线的常见模型 模型一 铅笔头模型 1.近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧 面示意图如图2所示，其中BC⊥AB,CD,DE分别可以绕点C,D上下调节一定的角度，经使用发现： 当∠DCB=140°，且ED∥AB时，台灯光线最佳。此时∠EDC为 E D C A B 图1 图2 A.110° B.120° C.1309 D.140° 2.(1)如图1，AB∥CD,求∠A+∠AEC+∠C的度数。 解：过点E作EF∥AB。 EF∥AB(已作)， ∴.∠A+∠AEF=180°( ) 9 又.AB∥CD(已知)， ∴.EF∥CD( )。 .∠CEF+∠ =180°（两直线平行，同旁内角互补）。 .∠A+∠AEF+∠CEF+∠C=360°（等式性质）， 即∠A+∠AEC+∠C= (2)根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，AB∥EF,则∠B+∠C+∠D+∠E= (3)根据(1)和(2)的规律，图3中AB∥GF,猜想：∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= (4)如图4，AB∥CD,在B,D两点的同一侧有M1,M2,M3,…Mn共n个折点，则∠B+∠M1+∠M2+ …+∠M,+∠D的度数为 (用含n的代数式表示)。 A B M M E -D M D 图1 图2 图3 图4 模型二锯齿型模型 3.新情境〔项目式学习〕【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形 料 形象地称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系。 (1)如图1，AB∥CD,E为AB,CD之间一点，连接ME,NE,得到∠MEN,试探究∠MEN与∠AME, ∠CNE之间的数量关系，并说明理由； 【实际运用】 (2)消防云梯的示意图如图2所示，其由救援台AB,延展臂BC(点B在点C的左侧)，伸展主臂CD, 支撑臂EF构成，在作业过程中，救援台AB,车身GH及地面MN三者始终保持平行。为了参与 一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图3，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直， 且∠EFH=75°，这时展角∠ABC=; 【深入探索】 (3)今年元宵节小美在江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转。如图4，射线ME从MA 开始，绕点M以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线NF从ND开始，绕点N以25°每秒的速度 逆时针旋转，直线ME与直线MF交于点P,若直线ME与直线NF相交所夹的锐角为45°，请求 出运动时间t(0≤t≤10)的值。 AB C P M A B E E A -B B D D M M 图1 图2 图3 图4 备用图 模型三翘脚模型 4.如图所示，已知∠ABC=80°，∠BCD=40°，∠CDE=140°，试确定AB与DE的位置关系，并说明理由。 ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 ·33· 5.图1是一辆滑轮摄影轨道车，图2为其侧面示意图。固定底座DE⊥GH于点E,BC与CD是轨道车 的“手臂”，可通过改变∠BCD的度数调节车的高度。在调节过程中，放摄像机的杆AB始终平行 于DE。 (1)如图3，调节轨道车的“手臂”，使BC∥GH,此时∠BCD=25°，求∠CDE的度数； (2)若图2中∠BCD=45°，求∠ABC与∠CDE的度数之和。 A E G H 图1 图2 图3 模型四三角板拼接模型 6.新考法〔过程性学习〕在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思 考》。 (1)嘉嘉将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在AB上，且AB∥CD,求∠ACE的度数； (2)如图2，淇淇将一个三角板ABC放在一组直线MN与PQ之间，并使顶点B在直线MN上，顶点C 在直线PQ上，现测得∠PCA=35°，∠MBA=25°，请判断直线MN,PQ是否平行，并说明理由； (3)现将三角板ABC按图3方式摆放，仍然使顶点B在直线MN上，顶点C在直线PQ上，若MN∥ PQ,请直接写出∠PCA与∠MBC之间的关系式。 B N M 0 A 图1 图2 图3 ·34· ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 7.将一副三角板按如图方式叠放在一起（其中∠ACB=∠E=90°，∠A=60°，∠B=30°，∠ECD= ∠EDC=45°)。 (1)若∠ACE=125°，则∠BCD的度数为 (2)将三角形ABC绕点C顺时针转动，设∠BCD=a&。 ①若AB∥CE,求a的度数； ②当旋转角度不超过180°时，这两块三角尺除了AB∥CE外，是否还存在互相平行的边？若存 在，请直接写出α的所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由。 D B