6.2.4 第1课时 向量的夹角、数量积的定义及投影向量-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

6.2.4　向量的数量积 1 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积（数学抽象、数学运算）. 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义（数学抽象、直观想象）. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系（逻辑推理）. 课标要求 　　前面我们学习了向量的线性运算，包括加法、减法和数乘运算，类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？让我们带着这些问题共同开启今天的探索之旅吧！ 情景导入 第一课时 向量的夹角、数量积的定义及投影向量 4 知识点一　两向量的夹角 01 知识点二　两向量的数量积 02 知识点三　投影向量 03 目录 课时作业 04 5 知识点一 两向量的夹角 01 PART 目 录 问题1　物理上已学习了物体在力F的作用下发生了位移s，那么F所做的 功为W＝｜F｜｜s｜ cos θ.在计算公式中，θ的几何意义是什么？ 提示：θ是向量F与向量s的夹角. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 夹角：已知两个 a，b（如图），O是平面上的任意一 点，作 ＝a， ＝b，则 叫做向量a与b的夹角，夹角 θ的取值范围是 .a，b的夹角记作＜a，b＞. 当θ＝0时，a与b ；当θ＝π时，a与b ⁠. 非零向量　 ∠AOB＝θ　 0≤θ≤π　 同向　 反向　 数学·必修第二册 目 录 2. 垂直：如果a与b的夹角是 ，则称a与b垂直，记作 ⁠. 　　提醒：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角的范围是 [0，π]，而两直线夹角的范围为 . 　 a⊥b　 数学·必修第二册 目 录 解：如图所示，作 ＝a， ＝b，且∠AOB＝60°. 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB， 则 ＝a＋b， ＝a－b. 因为｜a｜＝｜b｜＝2，所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB＝60°， 所以 与 的夹角为30°， 与 的夹角为60°.即a ＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 【例1】　已知｜a｜＝｜b｜＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的 夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 求两个向量夹角的方法 （1）求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作 两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出； （2）特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b（λ1，λ2是非零常数）的夹角为 θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ. 数学·必修第二册 目 录 训练1　如图，在等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC， AC的中点，写出下列各组向量的夹角. （1） 与 ； 解： 与 的夹角是∠EDF＝60°. （2） 与 . 解： 因为 ＝ ，所以 与 的夹角等于 与 的夹角，即 ∠EDA＝120°. 数学·必修第二册 目 录 知识点二 两向量的数量积 02 PART 目 录 【知识梳理】 1. 向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 ⁠ 叫做向量a与b的数量积（或内积），记作 ，即 ⁠ ⁠. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 　　提醒：（1）数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省 略不写；（2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可 负、可为0，这个数量的大小与两向量的长度及其夹角有关. ｜a｜｜b｜ cos θ　 a·b　 a·b＝｜ a｜｜b｜ cos θ　 数学·必修第二册 目 录 2. 向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量， 则： （1）a·e＝e·a＝｜a｜ cos θ； （2）a⊥b⇔ ⁠； （3）当a∥b时，a·b＝ 特别地，a2＝a·a＝｜a｜ 2或｜a｜＝ ； （4）a·b ｜a｜｜b｜； （5） cos θ＝ . a·b＝0　 ≤　 数学·必修第二册 目 录 【例2】　（1）（链接教材P17例9）若｜m｜＝4，｜n｜＝6，m与n的 夹角θ为120°，则m·n＝（　D　） A. 12 B. 12 C. －12 D. －12 解析： m·n＝｜m｜｜n｜ cos θ＝4×6× cos 120°＝24×（－ ）＝ －12.故选D. D 数学·必修第二册 目 录 （2）已知正三角形ABC的边长为1，则 · ＝ ， · ＝ ⁠. 解析： ∵ 与 的夹角为60°，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos 60°＝1×1× ＝ .∵ 与 的夹角为120°，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos 120°＝1×1×（－ ）＝－ . 　 － 　 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ. 运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点 必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件；该定义式中涉及四 个量，可知三求一. 数学·必修第二册 目 录 训练2　（1）设｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为 （　B　） A. B. C. D. π 解析： 设a，b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ，∵θ∈[0，π]， ∴θ＝ . B 数学·必修第二册 目 录 （2）已知平面上三点A，B，C满足｜ ｜＝3，｜ ｜＝4，｜ ｜ ＝5，则 · ＋ · ＋ · ＝（　D　） A. －7 B. 7 C. 25 D. －25 解析： 由题得｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2，所以∠ABC＝90°， 所以原式＝0＋4×5 cos （180°－C）＋5×3 cos （180°－A）＝－20 cos C－15 cos A＝－20× －15× ＝－16－9＝－25.故选D. D 数学·必修第二册 目 录 03 PART 知识点三 投影向量 目 录 【问题2】　如图所示，设∠AOB＝θ，过点A作OB的垂线AD，则线段 OD就是线段OA在OB上的投影，试用｜OA｜和θ表示｜OD｜. 提示：｜OD｜＝｜OA｜ cos θ. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 定义： 如图，设a，b是两个非零向量， ＝a， ＝b，我们考虑如下的变 换：过 的起点A和终点B，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为 A1，B1，得到 ，我们称上述变换为向量a向向量b ， 叫 做向量a在向量b上的 . 投影　 投影向量　 数学·必修第二册 目 录 2. 公式：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在 向量b上的投影向量是 ⁠. 　　提醒：（1）向量a在向量b上的投影向量是一个向量，它与向量b共 线，其大小为｜｜a｜ cos θ｜，其中θ为向量a与b的夹角；（2）a在b上 的投影向量也可表示为｜a｜ cos ＜a，b＞ 或 ·b. ｜a｜ cos θ e　 数学·必修第二册 目 录 【例3】　已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的 单位向量为e. （1）求a·b； 解： a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ＝5×4× cos 120°＝－10. （2）求a在b上的投影向量. 解： a在b上的投影向量为｜a｜ cos θ e＝－ e. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 投影向量的求解方法 任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于｜a｜ cos θ e（θ为 向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量），其中｜a｜ cos θ也称为a 在b上投影向量的数量，即当0≤θ≤ 时，｜a｜ cos θ为a在b上投影向量 的模，当 ＜θ≤π时，｜a｜ cos θ为a在b上投影向量模的相反数. 数学·必修第二册 目 录 训练3　（1）等边三角形ABC的边长为2，则 在 上的投影向量为 （　A　） A. － B. C. 2 D. －2 解析： 因为△ABC是边长为2的等边三角形，且 cos ＜ ， ＞＝ － ，所以向量 在向量 上的投影向量为｜ ｜ cos ＜ ， ＞ × ＝－1× ＝－ .故选A. A 数学·必修第二册 目 录 （2）已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且b在a上的投影向量为－ a，则｜a ＋b｜＝  　 ⁠. 解析： 由题意可得 ·a＝－ a，又｜a｜＝3，所以a·b＝－ 6，又｜b｜＝4，所以｜a＋b｜＝ ＝ ＝ ＝ . 　 数学·必修第二册 目 录 1. 已知在▱ABCD中，∠DAB＝60°，则 与 的夹角为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析：　如图，∠DAB＝60°，则 与 的夹角为 ∠ABC＝120°. √ 数学·必修第二册 目 录 2. 已知｜a｜＝ ，｜b｜＝2 ，a与b的夹角是120°，则a·b＝ （　　） A. 3 B. －3 C. －3 D. 3 解析：　由数量积的定义，得a·b＝｜a｜｜b｜ cos 120°＝ ×2 ×（－ ）＝－3. √ 数学·必修第二册 目 录 3. 〔多选〕对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是（　　） A. 若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B. 向量a与向量b夹角的范围是[0，π） C. 若a⊥b，则a·b＝0 D. ｜a｜＝ 解析： 　a·b＝0，则a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；向量夹角的 范围是[0，π]，所以B错误；由 数量积的性质知，C正确；因为a·a＝｜a｜｜a｜ cos 0＝｜a｜2，所 以｜a｜＝ ，所以D正确. √ √ 数学·必修第二册 目 录 4. 已知｜a｜＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角等于45°时，向量 a在向量e上的投影向量是 　  　. 解析：因为向量a，e的夹角等于45°，所以向量a在向量e上的投影向量 是｜a｜· cos 45°·e＝3 e. 3 e 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）两向量的夹角； （2）向量数量积的定义； （3）向量数量积的性质； （4）投影向量. 2.应体会 计算向量的数量积及投影向量，二者都离不开向量的夹角，而解决向量 的夹角问题时要结合具体的图形，应用数形结合的思想方法. 3.避易错 （1）用几何法求两个向量的夹角时，两个向量需共起点； （2）向量a在向量b上的投影向量与向量b在向量a上的投影向量不同. 数学·必修第二册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 若｜a｜＝3，｜b｜＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝（　　） A. －3 B. －6 C. 6 D. 2 解析：　a·b＝｜a｜｜b｜ cos 135°＝3×4×（－ ）＝－6 .故 选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册 目 录 2. 如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面 成60°角.则当小车向前运动10 m时，力F做的功为（　　） A. 100 J B. 50 J C. 50 J D. 200 J 解析：　由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s ＝10×10× cos 60°＝50（J）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 3. 对于非零向量a与b，下列不等式中恒成立的是（　　） A. a·b≥｜a｜｜b｜ B. a·b≤｜a｜｜b｜ C. a·b＞｜a｜｜b｜ D. a·b＜｜a｜｜b｜ 解析：　设非零向量a与b的夹角为θ，则θ∈[0，π]， cos θ∈[－1， 1]，则a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ≤｜a｜｜b｜.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 4. 已知向量｜a｜＝2，b在a上的投影向量为－2a，则a·b＝（　　） A. 4 B. 8 C. －8 D. －4 解析：　根据b在a上的投影向量为－2a，得 · ＝－2a，即 a·b＝－2｜a｜2＝－2×4＝－8.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 5. 〔多选〕设a为非零向量，下列有关向量 的描述正确的是 （　　） A. ｜ ｜＝1 B. ∥a C. ＝a D. ·a＝｜a｜ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析： 　因为 表示与向量a同方向的单位向量，所以 ＝ 1， ∥a，即A、B正确；当a不是单位向量时， ≠a，所以C错 误；因为 ·a＝｜ ｜｜a｜ cos 0°＝ ×｜a｜＝｜ a｜，所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕在△ABC中，下列说法正确的是（　　） A. 在 上的投影向量可能为0 B. ｜ － ｜＝｜ ｜ C. 若 · ＜0，则△ABC为钝角三角形 D. 若△ABC是等边三角形，则 ， 的夹角为60° √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析： 　对于A，△ABC为直角三角形且∠ABC＝90°时， 在 上的投影向量为0，故A正确；对于B，｜ － ｜＝｜ ｜ ＝｜ ｜，故B正确；对于C， · ＝｜ ｜｜ ｜ cos A＜ 0，所以 cos A＜0，所以A为钝角，则△ABC为钝角三角形，故C正确； 对于D，若△ABC是等边三角形，则 ， 的夹角为120°，故D错 误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 7. 若向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝1，且a与b的夹角为120°，则a·a ＋a·b＝ ⁠. 解析：a·a＋a·b＝12＋1×1× cos 120°＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 8. 已知a·b＝16，e为b方向上的单位向量.若a在b上的投影向量为 4e，则｜b｜＝ ⁠. 解析：设a与b的夹角为θ，且a·b＝16，∴｜a｜·｜b｜· cos θ＝16， 又∵a在b上的投影向量为4e，∴｜a｜· cos θ e＝4e，∴｜a｜ cos θ＝ 4，∴｜b｜＝4. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 9. 已知圆O的半径为R，A，B是其圆周上的两个三等分点，则 · ＝ ⁠. 解析：因为圆O的半径为R，A，B是其圆周上的两个三等分点，所以｜ ｜＝｜ ｜＝R，＜ ， ＞＝ ，＜ ， ＞＝π－ ＝ ，｜ ｜＝ R，所以 · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos ＜ ， ＞＝ R2 cos ＝－ R2. － R2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 10. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a·b＝－3，e为与b同向的单位向量. （1）求a与b的夹角θ； 解： 由a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ， 得 cos θ＝ ＝ ＝－ . 又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°. （2）求a在b上的投影向量. 解： a在b上的投影向量为｜a｜ cos θ e＝－ e. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 11. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系. 在如图所示的正五角星ABCDE中，AB＝6，O是该正五角星的中心，则 · ＝（　　） A. －18 B. －12 C. 12 D. 18 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：　过O作OH⊥AB，垂足为H，如图所示，易知 H为AB的中点，故 · ＝｜ ｜·｜ ｜· cos ∠OAB＝｜ ｜·｜ ｜· ＝ ｜ ｜2＝18. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 12. 〔多选〕在△ABC中，边长分别为a，b，c，外接圆半径为1，则下 列结论中正确的是（　　） A. 若G是重心，则 ＋ ＋ ＝0 B. 若H是垂心，则 · ＋ · ＋ · ＝0 C. 若I是外心，则 ·（ ＋ ＋ ）＝ （a2＋b2＋c2） D. 若O是内心，则 · － · ＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析： 　A、B显然正确；对于C， ·（ ＋ ＋ ）＝ ·（ ＋ － ＋ ）＝ 2 · ＝b2，若 ·（ ＋ ＋ ）＝ （a2 ＋b2＋c2）成立，则△ABC为直角三角形，否则不成 立，所以C不一定正确；对于D，设AD＝x，BD＝y，CE＝z，则 解得x＝ ，如图， · － · ＝｜ ｜c－｜ ｜b＝｜ ｜（c－b）＝ .故A、B、D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 13. 已知在△ABC中，AB＝AC＝4， · ＝8，则△ABC的形状 是 ， · ＝ ⁠. 解析： · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠BAC，即8＝4×4 cos ∠BAC， 于是 cos ∠BAC＝ ，因为0°＜∠BAC＜180°，所以∠BAC＝60°.又 AB＝AC，故△ABC是等边三角形.此时 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos 120°＝－8. 等边三角形　 －8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 14. 如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且 OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. （1）若点D是线段OB靠近点O的四等分点，用 ， 表示向量 ； 解：由已知可得 ＝ ，连接AM，BM（图略），则四边形OAMB是菱形，则 ＝ ＋ ，所以 ＝ － ＝ －（ ＋ ）＝－ － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）求 · 的取值范围. 解：易知∠DMC＝60°，且｜ ｜＝｜ ｜，那 么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝ ， 则 · ＝ × × cos 60°＝ . 当MC与MO重合时，MC最大，此时MC＝1， 则 · ＝ cos 60°＝ .所以 · 的取值范围为［ ， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 15. 设M，P，Q为平面内三点，求证｜ · ｜≤｜ ｜｜ ｜，并确定等号成立的条件. 证明：令向量 ， 的夹角为θ. ∵M，P，Q为平面内三点，∴0°≤θ≤180°，∴－1≤ cos θ≤1， 又 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos θ， ∴－｜ ｜｜ ｜≤ · ≤｜ ｜｜ ｜， ∴｜ · ｜≤｜ ｜｜ ｜， 当且仅当 cos θ＝±1即θ＝0°或180°时，｜ · ｜＝｜ ｜｜ ｜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 $