6.2.4 第1课时 平面向量的数量积-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版）

6.2.4 向量的数量积 平面向量的数量积 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义, 会求投影向量. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.两向量的夹角 (1)定义:已知两个______向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则___________________叫做向量a与b的夹角(a,b的夹角也记作<a,b>). (2)特殊情况:当θ=0时,a与b ______;当θ=π时,a与b ______. 2.两向量垂直 如果a与b的夹角为______,我们说a与b垂直,记作_________. 非零 ∠AOB=θ(0≤θ≤π) 同向 反向 a⊥b 3.平面向量数量积的定义 定义 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量____________ 叫做向量a与b的数量积(或内积) 记法 记作a·b,即a·b=_______________ 规定 零向量与任一向量的数量积为______ |a||b|cos θ |a||b|cos θ 0 |微|点|助|解| (1)数量积运算中间是“·”,不能写成“×”,也不能省略不写. (2)向量的数量积是一个实数,不是向量,它的值可正、可负、可为0. (3)a·b=0不能推出a和b中至少有一个零向量. (4)|a|=是求向量的长度的工具. (5)区分0·a=0与0·a=0. (6)a·b>0是a与b夹角为锐角的必要不充分条件;a·b<0是a与b夹角为钝角的必要不充分条件. 4.投影向量 (1)定义:如图,设a,b是两个非零向量,=a,=b,作如下变换:过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,我们称上述变换为向量a向向量b投影,叫做_________ ______________________. 向量a在 向量b上的投影向量 (2)公式:如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则与e,a,θ之间的关系是=_____________. |a|cos θe 5.数量积的性质 设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则 (1)a·e=e·a=____________. (2)a⊥b⇔_________. (3)当a与b同向时,a·b=_________;当a与b反向时,a·b=___________.特别地,a·a=______或|a|=. (4)|a·b|≤_________. |a|cos θ a·b=0 |a||b| -|a||b| |a|2 |a||b| |微|点|助|解| 关于投影向量的注意点 (1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量. (2)如果向量a与向量b平行或垂直,向量a在向量b上的投影向量具有特殊性. (3)由定义可知,投影是一个过程,而投影向量是一个结果. 基础落实训练 1.(多选)在锐角三角形ABC中,下列说法正确的是 (　　) A.与的夹角是钝角 B.与的夹角是锐角 C.与的夹角是钝角 D.与的夹角是锐角 √ √ 2.若向量a,b满足|a|=|b|=2,a与b的夹角为30°,则a·b等于 (　　) A.2 B.2 C.1+ D.4 解析:a·b=|a||b|cos 30°=2. √ 3.已知|a|=3,|b|=4,a·b=-6,则向量a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 解析:设向量a与b的夹角为θ,θ∈[0,π],因为cos θ===-,所以θ=. √ 4.已知|a|=4,e为单位向量,它们的夹角为,则a在e上的投影向量是______. -2e 解析:a在e上的投影向量是|a|cose=4×e=-2e. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　向量的夹角 [例1]　已知|a|=|b|=2,且a与b的夹角为60°,则a+b与a的夹角是多少? a-b与a的夹角又是多少? 解:如图所示,作=a,=b,且∠AOB=60°, 以,为邻边作▱OACB,则=a+b,=a-b. 因为|a|=|b|=2,所以▱OACB是菱形. 又∠AOB=60°, 所以与的夹角为30°,与的夹角为60°. 即a+b与a的夹角是30°,a-b与a的夹角是60°. |思|维|建|模| 求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合,作两个向量的夹角,按照“一作二证三算”的步骤求出. 针对训练 1.在△ABC中,AB=,BC=1,AC=2,D是AC的中点,求与的夹角. 解:如图,△ABC中,AB2+BC2=AC2,所以∠ABC=90°.而AB=,BC=1,AC=2,所以A=30°,C=60°.D是AC的中点,则AD=DC=BD,∠ADB=120°,所以与的夹角为120°. 题型(二)　向量的数量积 [例2]　已知正三角形ABC的边长为1,求: (1)·; 解:∵与的夹角为60°, ∴·=||||cos 60°=1×1×=. (2)·; 解:∵与的夹角为120°, ∴·=||||cos 120°=1×1×=-. (3)·. 解:∵与的夹角为60°, ∴·=||||cos 60°=1×1×=. |思|维|建|模| 向量数量积的求法 求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键. 针对训练 2.已知平面上三点A,B,C满足||=3,||=4,||=5, 则·+·+·的值等于(　　) A.-7　　　　B.7　　　　C.25 　　　　D.-25 解析:由题意知∠ABC=90°,所以原式=0+4×5×cos(180°-C)+5 ×3×cos(180°-A) =-20cos C-15cos A=-20×-15×=-16-9=-25. √ 3.已知|a|=4,|b|=5,设a与b的夹角为θ, (1)当a∥b时,a·b=______________; 20或-20 0 10 解析:当a∥b时,若a与b同向,则θ=0°, a·b=|a||b|cos 0°=4×5×1=20; 若a与b反向,则θ=180°,a·b=|a||b|cos 180°=4×5×(-1)=-20. (2)当a⊥b时,a·b=___________; 解析:当a⊥b时,则θ=90°,a·b=|a||b|cos 90°=4×5×0=0. (3)当a与b的夹角为30°时,a·b=___________. 解析:当a与b的夹角为30°时,a·b=|a||b|cos 30°=4×5×=10. [例3]　在△ABC中,已知||=5,||=4,||=3,求: (1)·; 题型(三)　投影向量 解:因为||=5,||=4,||=3, 所以+=,即AC⊥BC, 所以cos B==,所以·=||||(-cos B)=5×4×=-16. (2)在上的投影向量; 解:由(1)知,AC⊥BC,所以cos A==, 所以在上的投影向量为||cos A·=3××=. (3)在上的投影向量. 解:由(1)知,cos B=,所以在上的投影向量为||(-cos B)· =5××=-. |思|维|建|模| 投影向量的求法 (1)向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量),它是一个向量,且与b共线,其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定. (2)向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ. 针对训练 4.已知|b|=3,a在b上的投影向量为b,则a·b的值为(　　) A.3　　　　B.　　　　C.2　　　　D. 解析:设a与b的夹角为θ, ∵|a|cos θ=b,∴|a|cos θ=,即|a|cos θ=, ∴a·b=|a||b|cos θ=3×=. √ 5.已知a·b=16,若a在b上的投影向量为4b,则|b|=_________. 2 解析:设a,b的夹角为θ, 则a·b=|a||b|·cos θ=16.① 由a在b上的投影向量为|a|cos θ=4b, 得|a|cos θ=4|b|.② 由①②得|b|=2. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.若a·b<0,则a和b的夹角θ的取值范围为 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:∵a·b=|a||b|cos θ<0, ∴cos θ<0.∵θ∈[0,π],∴θ∈. √ 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知向量a和b的夹角为120°,若|a|=3,a·b=-3,则|b|= (　　) A.1 B. C. D.2 解析:由题可得a·b=|a||b|cos 120°=3×|b|×=-|b|=-3,所以|b|=2. √ 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.在等腰Rt△ACB中,若∠C=90°,AC=,则·的值等于(　　) A.-2 B.2 C.-2 D.2 解析:由题意知,BC=AC=,∠ABC=45°,则BA=2, 所以·=||||cos∠ABC=2××cos 45°=2. √ 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.设a,e均为单位向量,当a,e的夹角为时,a在e方向上的投影向量为(　　) A.-e B.-e C.e D.e √ 解析:由题意,知a在e方向上的投影向量为|a|cos e=1×e=-e. 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.(多选)已知向量a,b满足|a|=3|b|=a·b=3,则下列结论正确的是 (　　) A.a⊥b B.a∥b C.|a+b|=4 D.|a-b|=2 解析:由|a|=3|b|=a·b=3,可得|b|=1. 因为a·b=|a||b|cos<a,b>=3cos<a,b>=3, 所以cos<a,b>=1.因为<a,b>∈[0,π], 所以<a,b>=0, 所以a=3b,a∥b,|a+b|=4,|a-b|=2. √ √ √ 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,向量a在向量b上的投影向量是b,则a与b夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. √ 解析:由向量a在向量b上的投影向量为b, 所以·=·=b. 又因为|a|=2|b|,所以cos<a,b>=,故C正确. 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a,b的夹角为120°,且|b|=2|a|,则向量b与c的夹角为 (　　) A.150° B.30° C.120° D.60° 解析:由题意画出图形,如图, 因为a,b的夹角为120°, 所以∠CAB=60°.又|b|=2|a|,所以∠ACB=90°,∠ABC=30°,则向量b与c的夹角为150°. √ 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.若平面四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是(　　) A.直角梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 解析:由+=0, 得平面四边形ABCD是平行四边形, 由(-)·=0, 得·=0, 即平行四边形ABCD的对角线互相垂直, 则该四边形一定是菱形. √ 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(多选)已知正方形ABCD的边长为2,向量a,b满足=2a,=2a+b,则(　　) A.|b|=2 B.a⊥b C.a·b=2 D.向量b在a上的投影向量为-2a √ √ 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:如图,连接BD,取AB的中点E,则=2=2a, ∴=a,b=-2a=-=. ∴|b|=||=2,故A正确; a·b=·=·=||||cos<,>=×2×2×=-2,故B、C错误; 结合图形容易知道,向量b在a上的投影向量为=-2a,故D正确. 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知|a|=2,|b|=,a·b=3,则a与b的夹角为___________. 30° 解析:因为|a|=2,|b|=,a·b=3,所以a·b=|a||b|cos<a,b> =2××cos<a,b>=3, 所以cos<a,b>=.又因为0°≤<a,b>≤180°, 所以<a,b>=30°. 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)定义:|a×b|=|a||b|sin θ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|=___________. 8 解析:∵cos θ===-,∴sin θ=. ∴|a×b|=2×5×=8. 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是___________. 解析:设a与b的夹角为θ,由题意可得, Δ=|a|2-4a·b≥0. ∵|a|=2|b|≠0,∴cos θ≤.又θ∈[0,π], ∴θ∈. 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(5分)已知平面向量a满足a·e=3,其中e是单位向量,则|a|的取值范围为___________. [3,+∞) 解析:∵a·e=|a||e|cos<a,e>=3>0, ∴cos<a,e>∈(0,1]. ∴|a|==≥3. 故|a|的取值范围为[3,+∞). 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知|a|=2. (1)若b2=3,a∥b,求a·b;(4分) 解:因为b2=3,所以|b|=. 当a∥b时,有两种情况, ①当a与b的夹角为0°时,a·b=|a||b|cos 0°=2××1=2; ②当a与b的夹角为180°时,a·b=|a||b|cos 180°=2××(-1)=-2.所以a·b=2或-2. 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若a·b=4,|b|=2,求a与b的夹角θ;(3分) 解:a·b=|a||b|cos θ=2×2×cos θ=4, 所以cos θ=.又0°≤θ≤180°,所以θ=45°. (3)若a·b=-6,a与b的夹角为150°,求|b|.(3分)    解:当a与b的夹角为150°时, a·b=|a||b|cos 150°=2×|b|×=-6,解得|b|=2. 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知在△ABC中,AB=AC=4,·=8. (1)判断△ABC的形状;(6分) 解:·=||||cos∠BAC,即8=4×4cos∠BAC,于是cos∠BAC=. 又0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°.又AB=AC,故△ABC是等边三角形. (2)求·.(4分) 解:由(1)得与的夹角为120°,所以·=||||cos 120° =4×4×=-8. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 16.(15分)如图,扇形AOB的弧的中点为M,动点C,D分别在OA,OB上,且OC=BD,OA=1,∠AOB=120°. (1)若点D是线段OB靠近点O的四等分点,用,表示向量;(5分) 16 解:由已知可得=, 四边形OAMB是菱形,则=+, 所以=-=-(+)=--. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求·的取值范围.(10分) 16 解:易知∠DMC=60°,且||=||, 那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时,MC最小,此时MC=, 则·=××cos 60°=. 当MC与MO重合时,MC最大,此时MC=1, 则·=cos 60°=. 所以·的取值范围为. 15 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $