第09讲 平面解析几何【十七题型】讲义-2026届高考数学考前核心考点题型三轮冲刺（新高考地区）

第09讲 平面解析几何 【题型归纳】 · 题型一：直线与方程 · 题型二：圆的方程问题 · 题型三：直线与圆的位置关系 · 题型四：圆与圆的位置关系 · 题型五：直线与圆的综合问题 · 题型六：圆锥曲线性质的应用 · 题型七：直接法求离心率问题 · 题型八：构造齐次方程求离心率问题 · 题型九：离心率的范围问题 · 题型十：渐近线问题 · 题型十一：抛物线问题 · 题型十二：圆锥曲线弦长问题 · 题型十三：圆锥曲线面积问题 · 题型十四：圆锥曲线中点弦问题 · 题型十五：圆锥曲线范围问题 · 题型十六：圆锥曲线的定点、定值问题 · 题型十七：圆锥曲线与向量压轴问题 【题型探究】 题型一：直线与方程 【典例1】．（2026·河北沧州·二模）已知直线：，直线：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】．（2026·北京顺义·二模）已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型二：圆的方程问题 【典例2】．（2026·重庆·三模）已知圆与直线和圆都相切，当圆的半径最小时，其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026·陕西渭南·二模）已知是圆上一动点，若直线上存在两点，，使得成立，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式2】．（2026·湖北孝感·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，点．点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型三：直线与圆的位置关系 【典例3】．（2026·山东威海·二模）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A． B． C． D．1 【变式1】．（2026·青海西宁·二模）已知曲线：，过点作该曲线的条弦，这些弦的长度构成一个递增的等差数列，则该数列公差的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知圆：，若存在，使得直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型四：圆与圆的位置关系 【典例4】．（2026·陕西榆林·三模）已知两点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026·江苏·二模）已知，，则的最小值为（   ） A．1 B．9 C．16 D．25 【变式2】．（2026·河北石家庄·一模）已知，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：直线与圆的综合问题 【典例5】．（2026·河北沧州·二模）在平面直角坐标系中，点到直线的距离的平方比点到点的距离的平方大记动点P的轨迹为. (1)求的方程. (2)已知为上不同的三点. （i）若线段的中点坐标为，求的面积; （ii）若直线和直线均与圆相切，证明：直线与圆相切. 【变式1】．（2025·江西萍乡·二模）已知圆，圆，动圆与外切，与内切． (1)求的轨迹的标准方程； (2)设过点的直线与交于两点，且，求的取值范围． 【变式2】．（2026·广东江门·二模）已知圆的圆心在第一象限且圆与两坐标轴均相切，抛物线经过圆心． (1)求圆的标准方程． (2)设与圆交于，两点，证明：，两点到轴的距离均不小于． (3)为坐标原点，过圆心的直线交于另一点，的焦点为，求的最小值． 题型六：圆锥曲线性质的应用 【典例6】．（2026·贵州贵阳·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距，点A，B在椭圆上且满足．若，则椭圆的长轴长为（   ） A． B． C．2 D．4 【变式1】．（2026·河北·三模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P在C的右支上，且，若的中点在C的第一、三象限内的渐近线上，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·贵州安顺·模拟预测）在平面直角坐标系中，定点，为动点，线段的中点到轴的距离等于，直线交轴于点，的平分线交轴于点，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型七：直接法求离心率问题 【典例7】．（2026·河南新乡·三模）已知是椭圆的左、右焦点，是双曲线的右顶点，过的直线交椭圆于M，N两点，且的周长为20，则椭圆的离心率为______. 【变式1】．（2026·河南郑州·一模）已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N在x轴上，满足，若，则双曲线E的离心率为 __． 【变式2】．（2026·江西·二模）已知双曲线的左焦点为，焦距为，过的斜率为的直线与双曲线的右支交于点，若，其中为坐标原点，则双曲线的离心率为_____． 题型八：构造齐次方程求离心率问题 【典例8】．（25-26高三下·吉林长春·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与C交于A，B两点，且，以AB为直径的圆过点，设C的离心率为，则 ___________________ ． 【变式1】．（2026·河北·二模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上位于轴上方的一点，直线交于另一点，且，则的离心率为_______. 【变式2】．（2026·浙江·模拟预测）已知椭圆，点分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足，则椭圆C离心率的取值范围是______． 题型九：离心率的范围问题 【典例9】．（2026·江苏·二模）已知椭圆的右焦点为，经过坐标原点且斜率的直线与椭圆交于，两点，设的中点为，的中点为，以线段为直径的圆经过点，则的离心率的取值范围________. 【变式1】．（2026·吉林长春·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，.为椭圆上一点，.圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，且，，则椭圆离心率的取值范围是________. 【变式2】．（25-26高二上·河南许昌·期末）已知点为双曲线的右顶点，点的坐标为，若上存在一点（不与点重合），使得，则的离心率的取值范围为__________. 题型十：渐近线问题 【典例10】．（2026·四川资阳·三模）已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长等于，则______． 【变式1】．（2026·河北张家口·二模）双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线分别为，点在第一象限内且在上，若，则该双曲线的离心率为__________. 【变式2】．（2026·河北保定·一模）已知双曲线 左、右焦点分别为 ，点是上一点且位于第二象限， 的面积为，过原点O 且平行于的直线与和的平分线分别交于点，且 则双曲线的渐近线方程为________. 题型十一：抛物线问题 【典例11】．（2026·上海·二模）已知焦点为F的抛物线上有两点A和B，且，E为A和B的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则的最小值为________． 【变式1】．（2026·山东威海·二模）已知抛物线的顶点为原点，为的准线上一点，为的焦点，线段交于点，若，则________． 【变式2】．（2026·山西朔州·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，为坐标原点，设的平分线交于点，交于点，若，则________. 题型十二：圆锥曲线弦长问题 【典例12】．（2026·云南·模拟预测）已知点在抛物线上． (1)求抛物线C的方程； (2)设直线与抛物线C相交于M，N两点， （ⅰ）若，求实数k的值； （ⅱ）O为坐标原点，求外接圆圆心的轨迹方程． 【变式1】．（2026·上海黄浦·二模）已知点、分别是曲线的左、右焦点，动直线过点且不过点，它与交于点、． (1)求点、的坐标； (2)若，求直线的方程； (3)设直线过点且与垂直，直线与的交点为，求证：存在唯一的常数，使得点与的中心的连线平分线段，并求此时的最大值． 【变式2】．（2026·北京海淀·二模）椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方），与轴的交点为．点关于轴的对称点为．过点作与轴平行的直线交直线于点．设与的面积分别为与，若，求直线的斜率． 题型十三：圆锥曲线面积问题 【典例13】．（2026·上海杨浦·二模）已知A、F分别是双曲线：（常数）的右顶点和右焦点，记过一、三象限的渐近线为. (1)求双曲线的离心率和渐近线的方程； (2)设，是上一点，若线段的中点在双曲线上，求点Q的坐标； (3)设，过A作两条相互垂直的直线与双曲线交于M、N两点（M在第一象限），若直线、分别与交于C、D两点，且与的面积之比为2，求直线的方程. 【变式1】．（2026·安徽淮南·二模）已知椭圆：的短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)记点为椭圆的左顶点，点为椭圆的下顶点，动点是第一象限内椭圆上的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.证明：四边形的面积为定值. 【变式2】．（2026·湖南湘潭·二模）椭圆（）的离心率为，其左焦点到点的距离是. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线被圆截得的弦长为3，且l与椭圆E交于A，B两点，求面积S的最大值. 题型十四：圆锥曲线中点弦问题 【典例14】．（2026·湖南长沙·一模）已知双曲线 过点，且焦距为 (1)求双曲线的方程； (2)过定点的直线与双曲线交于两点，若，求直线的方程. 【变式1】．（2026·广东湛江·二模）已知双曲线的离心率为，且经过点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于、两点，求线段的中点的轨迹方程. 【变式2】．（25-26高三下·重庆·月考）已知椭圆的离心率，且过点，圆M的圆心为，半径为，O为坐标原点． (1)求椭圆C和圆M的标准方程； (2)设斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点，点N在圆M上，且满足，求直线l的斜率． 题型十五：圆锥曲线范围问题 【典例15】．（2026·上海·二模）设椭圆的左顶点为A． (1)求的离心率； (2)设的左焦点为F，上顶点为B，若点P在上且位于y轴右侧．，求点P的横坐标； (3)设直线，l与交于不同的两点C和D，若点A在以CD为直径的圆外，求实数m的取值范围． 【变式1】．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆的离心率，以椭圆C的四个顶点为顶点的四边形面积为4. (1)求椭圆C的方程； (2)设A为椭圆C的上顶点，P为椭圆上任意一点，求的最大值及此时点P的坐标. 【变式2】．（2026·北京昌平·二模）设椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，直线与的斜率的乘积为. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围. 题型十六：圆锥曲线的定点、定值问题 【典例16】．（25-26高二下·重庆·期中）已知平面内动点到点的距离与到直线的距离相等．记动点的轨迹为，过点的直线与曲线相交于，两点． (1)求轨迹的方程； (2)设点关于轴对称的点为，证明：直线恒过定点． 【变式1】．（2026·湖南永州·三模）在平面直角坐标系中，已知点，、动点满足，，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程： (2)已知点，，过点作斜率为的直线交于，两点，设直线，的斜率分别为，，若，，成等差数列，求． 【变式2】．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知分别是双曲线：的左、右顶点，点是双曲线上的一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线：，交双曲线的左、右两支于两点（异于）. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 题型十七：圆锥曲线与向量压轴问题 【典例17】．（2026·福建南平·二模）已知椭圆的焦点为，，离心率为.平行于轴的直线与椭圆交于A，B两点，且与直线交于点，直线与轴交于点. (1)求面积的最大值； (2)求的值. 【变式1】．（2026·福建宁德·二模）已知椭圆的离心率为，直线交于两点.当时，. (1)求的方程； (2)过作直线的垂线，垂足为，点，证明：三点共线. 【变式2】．（2026·北京朝阳·一模）已知椭圆：（）的离心率为，，分别为椭圆的上、下顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)过点的斜率存在且不为1的直线与椭圆交于不同的两点，（均不与点重合），点与点关于原点对称，直线与直线交于点.求证：直线经过点. 【变式3】．（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知椭圆：的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为． (1)求椭圆的方程； (2)设点，，过点的直线与椭圆交于不同的两点，点关于轴的对称点记为（与不重合）．若，试判断三点是否共线？并说明理由． 【高考达标】 一、单选题 1．（2026·河北沧州·三模）已知双曲线的焦距为4，右焦点到渐近线的距离等于1，则其离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）双曲线：的右焦点为，过点且斜率为的直线与y轴交于点A，线段与E交于点B，若B为的中点，则E的离心率为（   ） A． B． C． D．5 3．（2026·山东济南·三模）在中，，，为与的交点，且．若，则面积的最大值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 4．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点．若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·四川绵阳·模拟预测）抛物线，点A在C上，圆，直线，点A到圆M上的点距离为，A到的距离为，则的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 6．（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，设为的内切圆圆心，若的面积为，且，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·浙江·三模）如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线，已知，互为共轭双曲线，且，的离心率分别为，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题 8．（2026·江西宜春·模拟预测）已知圆与曲线，则（    ） A．，恒有公共点 B．当时，，恰有2个公共点 C．当时，，在时的公共点有3个 D．当时，直线与有3个公共点的充要条件是直线与圆相交 9．（2026·辽宁锦州·二模）椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，为双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点，椭圆与轴交于，两点，则（） A．与有且只有两个公共点 B． C．若，则 D．使成立的值不存在 10．（2026·山东聊城·模拟预测）已知点是圆上的动点，点，为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A．过点的直线被圆截得的最短弦长为4 B．的最大值为7 C． D．对任意实数的最小值为2 11．（2026·福建宁德·二模）设抛物线的焦点为，准线为.过的直线交于两点，过，作的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B．的最小值为2 C．若为的中点，则 D．点到上点的距离的最小值为3 三、填空题 12．（2026·江西宜春·模拟预测）已知抛物线的焦点为，若点为在第一象限内的一点，且，则直线的斜率为________． 13．（2026·贵州安顺·模拟预测）在平面直角坐标系中，过单位圆上一点作圆的切线，定点，若线段的垂直平分线与直线交于点，则的最小值为________. 14．（2026·上海黄浦·二模）已知曲线与曲线交于两点P，Q，点F是的焦点，点O是坐标原点．若，则的离心率为______． 15．（2026·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，双曲线与焦点为的双曲线相交于点（点位于第一象限），连接，，，．若，则双曲线的离心率为___________． 四、解答题 16．（2026·辽宁沈阳·三模）过抛物线（为不等于2的质数）的焦点，作与轴不垂直的直线交抛物线于、两点，线段MN的垂直平分线交MN于点，交轴于点. (1)若直线的斜率为1，求； (2)求PQ中点的轨迹的方程； (3)证明：上有无穷多个整点（横、纵坐标均为整数的点），但上任意整点到原点的距离均不是整数. 17．（2026·江西宜春·模拟预测）已知点，分别是椭圆的左、右顶点，且的离心率为． (1)求的方程； (2)若点是上与，不重合的点，直线，与直线分别交于点，，求的最小值； (3)若不过点且斜率为的直线与交于，两点，证明：的外心恒在定直线上． 18．（2026·河北沧州·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆的上顶点为A，右顶点为B，离心率为，的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点的直线l交椭圆于C，D两点． （ⅰ）若的面积等于的面积的，求直线l的方程． （ⅱ）过点D作x轴的垂线，交直线BC于点E，若M为DE的中点，则M，A，B三点是否共线？若共线，请证明你的结论；若不共线，请说明理由． 19．（2026·山东威海·二模）已知椭圆的离心率为，的右顶点与上顶点之间的距离为6. (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线分别交于点和，且线段和的中点分别为． （i）若直线的斜率大于1，且的面积为，求直线的方程； （ii）若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 20．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，，为上的动点，且． (1)求的方程； (2)若在第一象限，直线与只有一个公共点，是轴上一点，且． （ⅰ）证明：直线，关于直线对称； （ⅱ）过原点作的垂线，垂足为，与相交于点，求面积的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 平面解析几何 【题型归纳】 · 题型一：直线与方程 · 题型二：圆的方程问题 · 题型三：直线与圆的位置关系 · 题型四：圆与圆的位置关系 · 题型五：直线与圆的综合问题 · 题型六：圆锥曲线性质的应用 · 题型七：直接法求离心率问题 · 题型八：构造齐次方程求离心率问题 · 题型九：离心率的范围问题 · 题型十：渐近线问题 · 题型十一：抛物线问题 · 题型十二：圆锥曲线弦长问题 · 题型十三：圆锥曲线面积问题 · 题型十四：圆锥曲线中点弦问题 · 题型十五：圆锥曲线范围问题 · 题型十六：圆锥曲线的定点、定值问题 · 题型十七：圆锥曲线与向量压轴问题 【题型探究】 题型一：直线与方程 【典例1】．（2026·河北沧州·二模）已知直线：，直线：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】直线：，直线：， 当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行， 当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行， 设直线方程为，直线方程为， 若，则，即， 化简可得，即，解得，， 当时，代入可得：，：， 两直线重合，所以舍去， 当时，代入可得：，：， 和的斜率都为，所以， 因此是的充要条件. 【变式1】．（2026·北京顺义·二模）已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，直线过点，且原点到直线的距离， 则直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，由，则，解得或， 又，则的取值范围是. 【变式2】．（2026·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆C的方程变形为，圆心，半径， 又，， 所以，即在方向上的投影为， 所以，又，所以， 则点P的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆， 又直线恒过定点， 所以， 则P到直线的距离的最大值为. 题型二：圆的方程问题 【典例2】．（2026·重庆·三模）已知圆与直线和圆都相切，当圆的半径最小时，其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆C的半径为，则，即， 则当圆的半径最小时，， 如图1，圆心在过点且与直线垂直的线段上， 即在上，设， 则，解得， 则，又，故其标准方程为. 【变式1】．（2026·陕西渭南·二模）已知是圆上一动点，若直线上存在两点，，使得成立，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心，半径， 由直线上存在两点，使得成立， 以为直径的圆与圆有公共点，当长度最小时，两圆外切，且两圆连心线与垂直，如图， 圆心到直线的距离， 所以. 【变式2】．（2026·湖北孝感·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，点．点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】设出点的坐标，根据切线的性质可得到直线的方程，进而可知直线过定点，进而可知点到直线的距离的最大值为. 【详解】如图，设，则. 根据圆的切线性质知，以为直径的圆与圆交于两点， 即线段为两圆的公共弦. 而以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以其方程为，即. 与圆的方程作差得直线的方程为， 将代入得，即. 因为上式对恒成立，令，解得， 所以直线恒过定点，所以点到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为. 题型三：直线与圆的位置关系 【典例3】．（2026·山东威海·二模）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】圆可化为， 圆心坐标为，半径为. 圆心到直线的距离为. 由弦心距公式可知，，即，解得. 【变式1】．（2026·青海西宁·二模）已知曲线：，过点作该曲线的条弦，这些弦的长度构成一个递增的等差数列，则该数列公差的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】曲线：，即， 所以曲线是以为圆心，为半径的圆， 因为， 所以在圆内，且， 所以过点的最短弦，最长弦， 从而公差， 又因为数列是递增的，所以， 所以公差的取值范围是． 【变式2】．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知圆：，若存在，使得直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】法一：依题意，圆心到直线的距离， 即，即， 依题意，存在，使得成立， 故且，也即，解得. 法二：当变化时，圆扫过的图形是以原点为圆心，2为半径的圆盘， 故若存在，使得直线与圆有公共点， 即直线与圆有交点，得，解得. 题型四：圆与圆的位置关系 【典例4】．（2026·陕西榆林·三模）已知两点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以点在以为直径的圆上， 又因为点在圆上，所以， 即， 所以，解得. 【变式1】．（2026·江苏·二模）已知，，则的最小值为（   ） A．1 B．9 C．16 D．25 【答案】D 【详解】将， 设， 由，， 得点在以为圆心，为半径的圆上， 点在以为圆心，为半径的圆上， 两圆心距，两圆内含， 所以，， 则. 【变式2】．（2026·河北石家庄·一模）已知，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点，已知，且， 所以， 化简得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 因为圆上总存在点满足，即圆与圆有公共点， 所以两圆的圆心距满足（，为两圆的半径）， 即， 化简得， 解得. 题型五：直线与圆的综合问题 【典例5】．（2026·河北沧州·二模）在平面直角坐标系中，点到直线的距离的平方比点到点的距离的平方大记动点P的轨迹为. (1)求的方程. (2)已知为上不同的三点. （i）若线段的中点坐标为，求的面积; （ii）若直线和直线均与圆相切，证明：直线与圆相切. 【详解】（1）设动点的坐标为， 由已知点到的距离的平方比到原点的距离平方大， 所以 化简可得， 所以的方程为， （2）（i）设， 因为都在上，故， 所以， 所以直线​的斜率， 因为​中点为，所以， 所以，直线的方程为，即， 联立直线与抛物线方程： ， 方程的判别式 由韦达定理得， 所以 所以的面积(是直线在轴截距)； （ii）设， 所以直线的方程为， 圆的圆心为，半径， 因为​与圆相切，故圆心到直线距离等于， 所以，即， 所以， 同理， 所以，​是一元二次方程的两个根， 故，​是方程， 方程的判别式 由韦达定理得，， 对直线，同理得圆心到的距离平方为， 又，故 ， 所以，即，故直线与圆相切. 【变式1】．（2025·江西萍乡·二模）已知圆，圆，动圆与外切，与内切． (1)求的轨迹的标准方程； (2)设过点的直线与交于两点，且，求的取值范围． 【详解】（1）由题知，圆的半径为，圆的半径为，设动圆M的半径为r， 则，，故， 故M的轨迹E是椭圆，焦点为，，长轴长为4， 故M的轨迹E的标准方程为； （2） ①若直线l不存在斜率，则，，则， ②若直线l存在斜率，设其方程为，，，则，显然，联立E与l的方程，化简得， ，得， ，， 则，，得， 则，由， 当 时，；当 时， 得， 又，解得， 综上所述，的取值范围为． 【变式2】．（2026·广东江门·二模）已知圆的圆心在第一象限且圆与两坐标轴均相切，抛物线经过圆心． (1)求圆的标准方程． (2)设与圆交于，两点，证明：，两点到轴的距离均不小于． (3)为坐标原点，过圆心的直线交于另一点，的焦点为，求的最小值． 【详解】（1）设圆的半径为， 圆的圆心在第一象限且圆与两坐标轴均相切，则圆心， 由抛物线经过圆心， 得，解得， 所以圆的标准方程为. （2）由，得， 即，则， 而，因此， 所以两点到轴的距离均不小于. （3）抛物线的焦点为，设， 由抛物线定义得， 则， 同理， 因此 ， 设直线的方程为， 由，得， ，则，， 因此， 所以当时，取得最小值. 题型六：圆锥曲线性质的应用 【典例6】．（2026·贵州贵阳·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距，点A，B在椭圆上且满足．若，则椭圆的长轴长为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【详解】根据，设，， 则，， 因为，所以， 在中，因为，所以， 即，① 在中，， 即，② 联立①②解得，， 所以椭圆的长轴长为. 【变式1】．（2026·河北·三模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P在C的右支上，且，若的中点在C的第一、三象限内的渐近线上，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的中点为M，设，结合双曲线定义与正弦定理计算可得，再利用余弦定理可列出与、、有关齐次等式，即可得其渐近线方程. 【详解】设的中点为M，又O是的中点，则，则， 设，则， 在中，由正弦定理得， 则，得， 在中，由余弦定理得， 则，即， 结合，整理得， 所以C的渐近线方程为. 【变式2】．（2026·贵州安顺·模拟预测）在平面直角坐标系中，定点，为动点，线段的中点到轴的距离等于，直线交轴于点，的平分线交轴于点，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的坐标为，则的中点坐标为， 的中点到轴的距离等于，即， 两边同时平方整理得，故动点的轨迹是焦点为，准线为的抛物线， 所以为准线与轴的交点，其坐标为，且， ， 在中，必在线段上，即， 即，解得，， 由角平分线定理得，即， 令，则有，即， 随着的减小，随之增大，也会增大，因此，为了求的最大值，即求的最小值， ，同时平方得， 考虑的情况，若则，显然不是最大值， 同时分子分母除以得， 当且仅当时等号成立，即的最小值为，进而的最小值为， 则， 则. 题型七：直接法求离心率问题 【典例7】．（2026·河南新乡·三模）已知是椭圆的左、右焦点，是双曲线的右顶点，过的直线交椭圆于M，N两点，且的周长为20，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【详解】由椭圆的定义 则，， 则的周长为，即得， 且是双曲线的右顶点，所以，即得， 所以椭圆的离心率为. 【变式1】．（2026·河南郑州·一模）已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N在x轴上，满足，若，则双曲线E的离心率为 __． 【答案】 【详解】， 以为邻边作平行四边形，以为起点的对角线对应的向量与共线， ，为的角平分线， 以为邻边的平行四边形为菱形， ，点为双曲线E右支上一点，，， 在中，，则有， 即，即，即，即，即，故双曲线E的离心率为. 【变式2】．（2026·江西·二模）已知双曲线的左焦点为，焦距为，过的斜率为的直线与双曲线的右支交于点，若，其中为坐标原点，则双曲线的离心率为_____． 【答案】5 【详解】设双曲线的右焦点为，则， 故， 因为，故， ，所以， 所以， 由双曲线的定义可知． 题型八：构造齐次方程求离心率问题 【典例8】．（25-26高三下·吉林长春·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与C交于A，B两点，且，以AB为直径的圆过点，设C的离心率为，则 ___________________ ． 【答案】 【详解】根据题意，过点的直线与双曲线的左支交于A，B两点，如图所示. ，∴设，则. 由双曲线定义可知，. ∵以AB为直径的圆过点，，即， 化简整理得，即，解得（舍去），或. ∴，，，. 在中，. 在中，， 即，即. . 【变式1】．（2026·河北·二模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上位于轴上方的一点，直线交于另一点，且，则的离心率为_______. 【答案】/ 【分析】根据椭圆定义和余弦定理可构造方程，利用表示出的长度，再利用余弦定理构造关于的齐次式即可求得离心率. 【详解】 设，则， 由椭圆定义可知：，， 由余弦定理得：， 整理可得：，（舍）或， ，，， ，，即， 的离心率. 【变式2】．（2026·浙江·模拟预测）已知椭圆，点分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足，则椭圆C离心率的取值范围是______． 【答案】 【详解】设，， 则由，可得，所以①． 又因为点，都在椭圆上，满足椭圆方程，所以②， 由方程组①②可得，化简得， 解得，因为， 所以，即，解得． 所以该椭圆的离心率的取值范围是． 题型九：离心率的范围问题 【典例9】．（2026·江苏·二模）已知椭圆的右焦点为，经过坐标原点且斜率的直线与椭圆交于，两点，设的中点为，的中点为，以线段为直径的圆经过点，则的离心率的取值范围________. 【答案】 【详解】由题意知， ， 又因为 是 的中点，所以， 所以点在以原点为圆心，半径为的圆上，即， 设，联立 ，解得，因为，所以，即， 所以且，所以，又因为， 所以，， 令，则，即， 解得，即，所以， 所以椭圆的离心率.    【变式1】．（2026·吉林长春·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，.为椭圆上一点，.圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，且，，则椭圆离心率的取值范围是________. 【答案】 【详解】 解法一：设，因为，所以， 由圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，所以，， 因为，且，所以， 又因为， 所以，即，所以椭圆的离心率 因为函数在上，所以 即椭圆离心率的取值范围是. 解法二：切线长定理、向量条件 由椭圆定义求焦半径 根据椭圆定义，结合，解得， 应用切线长定理设圆与延长线切于，与延长线切于，与切于. 根据切线长定理：，， 设，. 从点出发的切线长 从点出发的切线长 由，得： 又在线段上，故. 联立方程， 解得 由，可知. 代入和得 整理得. 因此，离心率为 已知，则. 代入，得 解法三：旁切圆性质公式 确定旁切圆切点位置 圆是的一个旁切圆，与边相切. 对于三角形的旁切圆，其与一边的切点到对应顶点的距离公式为 代入，，得 结合向量条件，由得. 联立，整理得 因此离心率为， 已知，则， 代入，即椭圆的离心率取值范围是. 【变式2】．（25-26高二上·河南许昌·期末）已知点为双曲线的右顶点，点的坐标为，若上存在一点（不与点重合），使得，则的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由得，整理得：，与双曲线方程联立得：，计算即可. 【详解】点为双曲线的右顶点， ， 若上存在一点（不与点重合），使得，设，， ，， ， 整理得：，与双曲线方程联立得：， 整理得：，解得：，由题意知要使点P存在，须，解得， 又P不与A重合，故，则点P必在双曲线右支上， 则，整理得：即，结合， . 故答案为： 题型十：渐近线问题 【典例10】．（2026·四川资阳·三模）已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长等于，则______． 【答案】 【详解】根据题意，双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，即， 圆的圆心为，半径为（）， 所以圆心为到渐近线的距离为， 因为渐近线被圆所截得的弦长等于， 所以，即，整理得， 所以，又，解得. 【变式1】．（2026·河北张家口·二模）双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线分别为，点在第一象限内且在上，若，则该双曲线的离心率为__________. 【答案】 【详解】设，渐近线方程分别为， 设.由得， 因为点在直线上，于是解得点坐标为， 因为，所以.，所以， 将代入，得， 即，又， 所以， 所以. 【变式2】．（2026·河北保定·一模）已知双曲线 左、右焦点分别为 ，点是上一点且位于第二象限， 的面积为，过原点O 且平行于的直线与和的平分线分别交于点，且 则双曲线的渐近线方程为________. 【答案】 【详解】设，如图， 因为，为的中点，所以为的中点，且, 又为的角平分线，所以，所以， 所以为等腰三角形，所以，即，所以. 由双曲线的定义可知，所以， 所以的面积为， 所以. 在中，由余弦定理得， 将代入上式整理得，解得. 所以，解得， 所以，且，所以， 所以，解得， 所以，即， 则双曲线 C 的渐近线方程为 题型十一：抛物线问题 【典例11】．（2026·上海·二模）已知焦点为F的抛物线上有两点A和B，且，E为A和B的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则的最小值为________． 【答案】 【详解】设，，作垂直抛物线的准线于点，垂直抛物线的准线于点. 由抛物线的定义，知，，根据中位线定理以及抛物线定义可得， 由余弦定理得，又， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴， ∴，即的最小值为. 【变式1】．（2026·山东威海·二模）已知抛物线的顶点为原点，为的准线上一点，为的焦点，线段交于点，若，则________． 【答案】12 【分析】求出抛物线焦点坐标，作出几何图形，结合抛物线定义列式求解. 【详解】由抛物线的准线为，则抛物线的焦点， 令抛物线的准线与轴交于点，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为， 于是，，而， 因此，解得， 所以.    【变式2】．（2026·山西朔州·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，为坐标原点，设的平分线交于点，交于点，若，则________. 【答案】4 【详解】由，得焦点，准线． 设，其中．因为三点共线，且在线段上，又，所以. 过点作，垂足为． 因为点在抛物线上，所以由抛物线定义得. 在直角三角形中，. 所以. 又因为，且三点共线，所以. 因为是的平分线，所以. 故直线与轴正方向所成的角为，其斜率为． 又直线过点，所以直线的方程为. 联立直线与抛物线的方程，得. 整理得. 解得或. 因为点位于第一象限，且在点的右上方，所以，从而. 于是. 题型十二：圆锥曲线弦长问题 【典例12】．（2026·云南·模拟预测）已知点在抛物线上． (1)求抛物线C的方程； (2)设直线与抛物线C相交于M，N两点， （ⅰ）若，求实数k的值； （ⅱ）O为坐标原点，求外接圆圆心的轨迹方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）将点代入，得，即， 则抛物线C的方程为. （2）（ⅰ）设， 联立，得， 则， 且， 则， 则，解得. （ⅱ）由（1）知，，， 则 ， 所以，即为直角三角形，则外接圆圆心为的中点， 设的中点为， 则， 消去，得，则外接圆圆心的轨迹方程为． 【变式1】．（2026·上海黄浦·二模）已知点、分别是曲线的左、右焦点，动直线过点且不过点，它与交于点、． (1)求点、的坐标； (2)若，求直线的方程； (3)设直线过点且与垂直，直线与的交点为，求证：存在唯一的常数，使得点与的中心的连线平分线段，并求此时的最大值． 【答案】(1)、 (2)或． (3) 【详解】（1）椭圆的半焦距，故、. （2）由题意可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设、， 将代入，得，则， 故，， 又，， ，解得， 所以直线的方程为或． （3）设线段的中点为，由（2）知，， 直线的斜率， 易知直线的方程为， 将代入直线的方程，可得， 直线的斜率， 因为直线平分线段，则，所以对任意的实数恒成立， 则，解得， 故存在唯一的常数，使得平分线段． 此时， ，所以， 令，则，故（当且仅当时，）， 所以的最大值为． 【变式2】．（2026·北京海淀·二模）椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方），与轴的交点为．点关于轴的对称点为．过点作与轴平行的直线交直线于点．设与的面积分别为与，若，求直线的斜率． 【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为 (2) 【详解】（1）设椭圆的焦距为， 则下顶点坐标为，左焦点到下顶点的距离为， 因为椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为， 所以，， 所以椭圆的方程为； 离心率为； （2）由题意知，直线的斜率存在且不为零， 设直线方程为，令得，故， 联立方程，得，解得或， 所以，代入得， 所以，， 所以， 所以直线的方程为， 因为的方程为， 所以，得， 所以， 因为， 点到直线的距离为， 所以， 因为， 所以，即， 设椭圆的右顶点为， 因为经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方）， 所以，故，， 所以， 令，则，即， 所以， 解得或（舍去），则， 所以，即直线的斜率为. 题型十三：圆锥曲线面积问题 【典例13】．（2026·上海杨浦·二模）已知A、F分别是双曲线：（常数）的右顶点和右焦点，记过一、三象限的渐近线为. (1)求双曲线的离心率和渐近线的方程； (2)设，是上一点，若线段的中点在双曲线上，求点Q的坐标； (3)设，过A作两条相互垂直的直线与双曲线交于M、N两点（M在第一象限），若直线、分别与交于C、D两点，且与的面积之比为2，求直线的方程. 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）由可得，则，则， 故双曲线的离心率， 渐近线的方程为； （2）由，则双曲线方程为，，设， 则线段的中点的坐标为， 有，解得，故点Q的坐标为； （3）由，则双曲线方程为，、， 由题意可得直线斜率存在且不为， 设直线的方程为，则直线的方程为， ，解得或，则， 由在第一象限，则，解得， ，解得，即， 则，即， ，即， ， 即，则，又，故， 即直线的方程为，整理得. 【变式1】．（2026·安徽淮南·二模）已知椭圆：的短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)记点为椭圆的左顶点，点为椭圆的下顶点，动点是第一象限内椭圆上的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.证明：四边形的面积为定值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为离心率为，椭圆的短轴长为， 所以，解得，所以椭圆的方程为． （2）由（1）可知点，，设（，）， 则，即①， 则直线的方程为，令，得，所以， 直线的方程为，令，得，所以， 所以， ， 所以四边形的面积为：又因为，所以 ， 所以四边形ABCD的面积为定值． 【变式2】．（2026·湖南湘潭·二模）椭圆（）的离心率为，其左焦点到点的距离是. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线被圆截得的弦长为3，且l与椭圆E交于A，B两点，求面积S的最大值. 【答案】(1) (2) 据基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意可得，， 解得，，则， 所以椭圆的方程为. （2）由圆，圆心为，半径为， 则到直线的距离为， 则，即． 联立，得， 则， 设，，则，， ∴ ， 则， 当且仅当，即时，． 题型十四：圆锥曲线中点弦问题 【典例14】．（2026·湖南长沙·一模）已知双曲线 过点，且焦距为 (1)求双曲线的方程； (2)过定点的直线与双曲线交于两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）双曲线过点， 代入点坐标得，解得， 由焦距​得，即， 故， 因此双曲线的方程为： ； （2） 分两种情况讨论： 直线斜率不存在时， 此时直线方程为，代入双曲线得， 即， 计算得，满足条件， 故是符合要求的直线， 直线斜率存在时，设直线：， 联立双曲线，整理得： ， 直线与双曲线交于两点，故 （即），且判别式恒成立， 设 ，中点为， 由韦达定理得： ， 因此，， 由，得在的垂直平分线上， 故，即 ， 代入坐标化简得： ， 即，整理得，满足条件， 综上，直线的方程为：或. 【变式1】．（2026·广东湛江·二模）已知双曲线的离心率为，且经过点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于、两点，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设双曲线的焦距为，由离心率，得， 又，所以，即. 将点代入方程，得，即，所以，. 故双曲线的标准方程为. （2）解法一：设点、、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意， 故直线的斜率存在， 设直线的方程为，即. 联立方程，代入消去，整理得. 则， 即，且，所以. 于是，中点的横坐标，则. 又点在直线上，所以，即. 因为，且， 当时，，可得，则， 当时，，可得，则， 故线段的中点的轨迹方程为或. 解法二：设点、、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意， 故直线的斜率存在， 设直线的方程为，即. 联立方程代入消去，整理得. 则即，且， 由、两点在双曲线上得，作差得，① 当时，易知； 当时，①式可化为，即. 故（由题意可得且）， 可得， 因为，所以. 当时，也在直线上. 又，可得，且， 当时，，可得，则， 当时，，可得，则， 综上，线段的中点的轨迹方程为或. 【变式2】．（25-26高三下·重庆·月考）已知椭圆的离心率，且过点，圆M的圆心为，半径为，O为坐标原点． (1)求椭圆C和圆M的标准方程； (2)设斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点，点N在圆M上，且满足，求直线l的斜率． 【答案】(1)椭圆C的标准方程为，圆M的标准方程为； (2) 【详解】（1）由椭圆的离心率，得，则， 由点在椭圆C上，得，联立解得，， 所以椭圆C的标准方程为；圆M的标准方程为. （2）设，中点， 由在椭圆上，得， 则， 又，于是， 而，由，得， 由在圆M上，得，联立解得，， 由，得点在椭圆内，即存在满足条件的点N， 当点时，，不符合题意，当点时，，符合题意， 所以. 题型十五：圆锥曲线范围问题 【典例15】．（2026·上海·二模）设椭圆的左顶点为A． (1)求的离心率； (2)设的左焦点为F，上顶点为B，若点P在上且位于y轴右侧．，求点P的横坐标； (3)设直线，l与交于不同的两点C和D，若点A在以CD为直径的圆外，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由椭圆方程可得，，所以. （2）由条件可知， 设直线的斜率为，直线的斜率为， ，因为，所以， 所以直线的方程为， 联立椭圆：， 所以或， 又因为点P位于y轴右侧，所以P的横坐标为. （3）设 ，，联立椭圆 ， 先确定有两个交点，即， 即， 所以. 因为圆上任意一点与直径两端点连线所成的角为直角， 而点在以为直径的圆外，所以，等价于， 由，， 所以， 即. 将，代入可得， ， ， 解得 或，结合， 所以. 【变式1】．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆的离心率，以椭圆C的四个顶点为顶点的四边形面积为4. (1)求椭圆C的方程； (2)设A为椭圆C的上顶点，P为椭圆上任意一点，求的最大值及此时点P的坐标. 【答案】(1) (2)，坐标为或 【详解】（1）以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为 ，即. 由，得 ， 则，即，代入，解得，所以椭圆的方程为. （2）由题可设，且满足， 即，，而上顶点， 则 ，. 所以当时，， 所以的最大值为. 此时，， 所以点坐标为或. 【变式2】．（2026·北京昌平·二模）设椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，直线与的斜率的乘积为. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围. 【答案】(1)方程为，离心率为 (2) 【详解】（1）由题意可得右顶点，上顶点，设左焦点. 因为 ，所以，即. 因为，所以. 椭圆的方程为，离心率为. （2）由题可知.                                    当直线斜率不存在时，， 所以 当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为. 由可得. . 设. 则 因为， 所以 因为，所以. 所以 综上所述，的取值范围为 题型十六：圆锥曲线的定点、定值问题 【典例16】．（25-26高二下·重庆·期中）已知平面内动点到点的距离与到直线的距离相等．记动点的轨迹为，过点的直线与曲线相交于，两点． (1)求轨迹的方程； (2)设点关于轴对称的点为，证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)过定点 【详解】（1）∵平面内动点到点的距离与到直线的距离相等， ∴由抛物线的定义知，动点的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线， ∴其轨迹方程为. （2）由题意可知，直线的斜率不为， 设直线的方程为，，则. 由，得. 恒成立，， ∵不重合，∴，即， ∴直线的方程为， 即. ∴直线过定点. 【变式1】．（2026·湖南永州·三模）在平面直角坐标系中，已知点，、动点满足，，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程： (2)已知点，，过点作斜率为的直线交于，两点，设直线，的斜率分别为，，若，，成等差数列，求． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，得点的轨迹是以为左右焦点，实轴长为2的双曲线， 实半轴长，半焦距，虚半轴长， 因此点的轨迹方程为，设，由，得， 于是，即，所以曲线的方程为. （2）依题意，直线的斜率存在且不为0，设其方程为，， 由消去得，， 则，，， 由，，成等差数列，得，即， 则，即，所以. 【变式2】．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知分别是双曲线：的左、右顶点，点是双曲线上的一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线：，交双曲线的左、右两支于两点（异于）. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)（i）的取值范围为；（ii）证明见解析． 【详解】（1） 由题意可知，，， 因为，解得或， 若，则双曲线的方程为， 因为是上一点，所以，解得，不满足题意； 若，则双曲线的方程为， 因为是上一点，所以，解得，满足题意； 所以双曲线的方程为； （2） （ⅰ）由题意知，直线的方程为，设，， 联立，化简得， 因为直线与双曲线左右两支相交，所以， 所以，解得或， 所以的取值范围为； （ⅱ），，则， 直线的方程为①，直线的方程为②， 联立①②得，所以， 化简得， 所以， 所以点的横坐标始终为，故点在定直线上． 题型十七：圆锥曲线与向量压轴问题 【典例17】．（2026·福建南平·二模）已知椭圆的焦点为，，离心率为.平行于轴的直线与椭圆交于A，B两点，且与直线交于点，直线与轴交于点. (1)求面积的最大值； (2)求的值. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，， 所以椭圆的方程为，如图， 设，，其中，， 因为在上，所以， 由基本不等式，， 故，当且仅当时，等号成立， 所以面积，即面积的最大值为. （2）设，，则，，三点共线， 所以，即，解得， 所以， ， 所以. 【变式1】．（2026·福建宁德·二模）已知椭圆的离心率为，直线交于两点.当时，. (1)求的方程； (2)过作直线的垂线，垂足为，点，证明：三点共线. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以， 又，所以， 所以椭圆方程为 当时，的方程为，代入椭圆的方程得： 又因为，所以 所以解得，故椭圆的方程为 （2）方法一： 设，，则 由消去得：， 则，， ，， 因为 所以，且有公共点，故，，三点共线. 方法二： 设，，则 由消去得：， 则，， ，， 因为 所以，且有公共点，故，，三点共线. 方法三： 设，，则 由消去得：， 则，， 直线的方程为， 即，令得， 即， 因此， 故点在直线上，所以，，三点共线. 【变式2】．（2026·北京朝阳·一模）已知椭圆：（）的离心率为，，分别为椭圆的上、下顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)过点的斜率存在且不为1的直线与椭圆交于不同的两点，（均不与点重合），点与点关于原点对称，直线与直线交于点.求证：直线经过点. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率公式求出即可. （2）设点，求出直线的方程及点的坐标，再设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量共线的坐标表示推理得证. 【详解】（1）由椭圆：的下顶点为，得， 由的离心率为，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，点，则点， 直线的方程为，直线的方程为，联立解得点， 由消去得， 则，， 而点，则， ， 即，又有公共点，则点三点共线， 所以直线经过点. 【变式3】．（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知椭圆：的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为． (1)求椭圆的方程； (2)设点，，过点的直线与椭圆交于不同的两点，点关于轴的对称点记为（与不重合）．若，试判断三点是否共线？并说明理由． 【详解】（1）因为椭圆上的点到两焦点的距离之和为，所以，解得. 又因椭圆的离心率为，所以，所以. 所以. 故椭圆的方程为. （2）依题意，直线的斜率不能为0，故可设其方程为，再设，，则.    联立，整理得. 令，即. 则，. 又，，所以. 又，， 则. 分子 所以，即，所以， 又为公共点，所以三点共线. 【高考达标】 一、单选题 1．（2026·河北沧州·三模）已知双曲线的焦距为4，右焦点到渐近线的距离等于1，则其离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线的焦距为4，得，所以， 所以右焦点的坐标为，又双曲线的渐近线方程为，即。 又右焦点到渐近线的距离等于1，所以，即，所以 又因为，所以，解得，所以，所以， 所以双曲线的离心率为. 2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）双曲线：的右焦点为，过点且斜率为的直线与y轴交于点A，线段与E交于点B，若B为的中点，则E的离心率为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】写出直线 方程，求出点与中点的坐标，再将点坐标代入双曲线方程，利用并令求解出，进而得到离心率. 【详解】记，则：，整理得， 则，因为为的中点，所以， 因为点B在双曲线E上，则，令，得， 化简得，又，则，故离心率. 3．（2026·山东济南·三模）在中，，，为与的交点，且．若，则面积的最大值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】以为原点，所在直线为轴，设，其中，联立直线与求得交点坐标，利用条件推出点坐标满足的方程，从而确定点的轨迹是以为圆心、半径为4的圆（上半部分，），当最大时即可求得面积最大值. 【详解】以为原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，，设，其中，因为，所以， 由知，所以，所以， 所以直线的方程为， ，所以直线的方程为， 因为为与的交点，所以，解得， 代入计算得，所以， 因为， ，， 由得，化简得， 所以点的轨迹是以为圆心、半径为4的圆（上半部分，），所以 ，因为，所以面积的最大值为.    4．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点．若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用题设条件结合双曲线定义探求出的关系即可作答. 【详解】设，由于，则，， 根据双曲线定义，，, 即，， 因为，所以， 即，化简得到 又由， 即，即， 化简得到，则. 5．（2026·四川绵阳·模拟预测）抛物线，点A在C上，圆，直线，点A到圆M上的点距离为，A到的距离为，则的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线定义将“点到准线的距离”转化为“点到焦点的距离”，再利用三点共线求最值的方法即可求解. 【详解】由题意得抛物线的准线为，焦点为，圆的圆心为，半径为1， 则，若求的最小值，则应三点共线， 且，则. 6．（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，设为的内切圆圆心，若的面积为，且，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合余弦定理和三角形面积公式得到椭圆焦点三角形的面积公式，根据已知条件即可得，再利用得到内切圆半径，最后利用三角形面积也等于半周长乘以内切圆半径得到关于的等式，求解即可得离心率. 【详解】设， 根据椭圆定义有，在中，由余弦定理可得 ， 即，整理得， 又的面积，由 可得，结合已知条件有，所以， 点为内切圆圆心，所以是的角平分线，设内切圆半径为， 作，垂足为，则， 同时由等面积法可知， 整理得，进而得到， 故的离心率为. 7．（2026·浙江·三模）如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线，已知，互为共轭双曲线，且，的离心率分别为，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设，的标准方程，再用，表示出，，代入后，利用函数的单调性求出最大值. 【详解】设双曲线的标准方程为，，则双曲线的标准方程为，， 所以，， 所以， 设，则， 设，则， 令，解得，又因为，所以， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当，函数有最大值， 所以的最大值为. 二、多选题 8．（2026·江西宜春·模拟预测）已知圆与曲线，则（    ） A．，恒有公共点 B．当时，，恰有2个公共点 C．当时，，在时的公共点有3个 D．当时，直线与有3个公共点的充要条件是直线与圆相交 【答案】ABD 【分析】由 得 ，代入圆，把公共点个数转化为关于的方程根的个数．注意圆 上的点满足，所以只需讨论的情况． 【详解】由得，代入圆： ，化简得：. 当时，由得，将点代入，成立，因此点为公共点，恒成立，选项A正确. 下面讨论时的公共点．令 则时公共点个数等于方程的正根个数． 对于B选项，当时，， 若 ，则 ．若 ，令，则 ， 则， 因为二次函数 的最小值为 所以 恒成立．故在上单调递增．又 所以方程在内有且仅有一个正根．再加上公共点，共有个公共点，故B选项正确． 对于C选项，当时， 此时 令，则 的两个根为 因此在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 又 且 所以在时只有一个正根，公共点不是个，故C选项错误． 对于D选项，当时，曲线为 直线与有个公共点，等价于方程 有个不同实根． 设 则， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 又 因此方程 有个不同实根的充要条件是 另一方面，直线与圆 相交的充要条件是圆心到直线的距离小于半径， 即 等价于，所以D选项正确. 9．（2026·辽宁锦州·二模）椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，为双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点，椭圆与轴交于，两点，则（） A．与有且只有两个公共点 B． C．若，则 D．使成立的值不存在 【答案】ACD 【分析】先由写出椭圆、双曲线的基本量与离心率，联立两曲线方程得仅有两个横轴交点判定A正确；代入离心率表达式化简验证不等于1知B错误；由平方求解得，算出判定C正确；再联立双曲线渐近线与椭圆求得交点，利用向量运算表示并与列方程，解得与矛盾，故满足条件的不存在，D正确. 【详解】已知椭圆，双曲线. 椭圆参数：，，，离心率. 双曲线参数：，，，离心率 选项A:联立与方程：， 两式相加得，代入得，公共点为，，共2个，故A正确. 选项B:，故B错误. 选项C,， 平方得，，故C正确. 选项D:双曲线的渐近线：，第一象限渐近线. 联立椭圆：，，即. 椭圆顶点，，， ，， ，, 由，平方得，与矛盾，故不存在，D正确. 10．（2026·山东聊城·模拟预测）已知点是圆上的动点，点，为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A．过点的直线被圆截得的最短弦长为4 B．的最大值为7 C． D．对任意实数的最小值为2 【答案】AC 【详解】由圆的方程，可得圆心，半径． 对于A，因为，可得 所以点在圆内，且， 当过点的直线与直线垂直时，被圆截得的弦最短， 则被截得的最短弦长为，所以A正确． 对于B，因为，可得点在圆外，且， 由圆的性质，可得的最大值为，所以B错误； 对于C，方法一：如图，作向量在上的投影向量， 则， 因为，即， 所以，所以C正确． 方法二：设，则，因为，可得． 设，则直线与圆有公共点， 则满足，解得，所以C正确． 对于D，方法一：对任意实数，向量与共线， 设，则点在直线上，， 则的最小值为圆心到直线的距离， 因为点，所以直线的方程为， 所以圆心到直线的距离为，所以D错误． 方法二：因为，可得， 所以， 当时，，所以D错误． 11．（2026·福建宁德·二模）设抛物线的焦点为，准线为.过的直线交于两点，过，作的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B．的最小值为2 C．若为的中点，则 D．点到上点的距离的最小值为3 【答案】AC 【详解】对于A，因为抛物线的焦点为，准线为， 所以，由抛物线的定义可知：，故A正确； 对于B，设直线的方程为， 联立，设， 所以， 由抛物线的定义可知： ， 当时，的最小值为4，故B错误； 对于C，若为的中点，,, 因为所以，所以， 又因为 所以，故C正确； 对于D，设上任意一点为，则该点到的距离为： ， 当时，，故D错误. 三、填空题 12．（2026·江西宜春·模拟预测）已知抛物线的焦点为，若点为在第一象限内的一点，且，则直线的斜率为________． 【答案】 【分析】设，根据焦半径公式得，进而求得，再计算斜率即可. 【详解】由已知得，设， 所以，根据焦半径公式得，解得， 代入得，解得， 所以直线的斜率为． 13．（2026·贵州安顺·模拟预测）在平面直角坐标系中，过单位圆上一点作圆的切线，定点，若线段的垂直平分线与直线交于点，则的最小值为________. 【答案】/ 【分析】先确定点的轨迹，再利用点到直线的距离公式求的最小值. 【详解】如图： 设， 因为在线段的垂直平分线上，所以. 又直线与相切，所以. 所以， 所以，整理得：. 即点的轨迹为直线. 所以的最小值为点到直线的距离，为. 14．（2026·上海黄浦·二模）已知曲线与曲线交于两点P，Q，点F是的焦点，点O是坐标原点．若，则的离心率为______． 【答案】 【分析】联立抛物线和双曲线方程，根据韦达定理可得，结合抛物线的定义可得，即可得双曲线离心率. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为， 设，， 联立方程，消去可得， 则，解得，可得， 又因为，则， 即，可得，可得， 所以双曲线的离心率为. 15．（2026·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，双曲线与焦点为的双曲线相交于点（点位于第一象限），连接，，，．若，则双曲线的离心率为___________． 【答案】 【分析】结合且，易发现和，和关于直线对称，联立双曲线和直线可求得点坐标，再代入双曲线可求解. 【详解】 由点且 可知， 结合图像可发现线段和，和关于直线对称 所以点在直线上运动 联立双曲线和直线，解得， 将代入得，结合可得， 所以双曲线的离心率为． 四、解答题 16．（2026·辽宁沈阳·三模）过抛物线（为不等于2的质数）的焦点，作与轴不垂直的直线交抛物线于、两点，线段MN的垂直平分线交MN于点，交轴于点. (1)若直线的斜率为1，求； (2)求PQ中点的轨迹的方程； (3)证明：上有无穷多个整点（横、纵坐标均为整数的点），但上任意整点到原点的距离均不是整数. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设直线方程与抛物线联立，利用韦达定理和抛物线焦点弦长公式，求得； （2）设直线斜率为，求出、坐标，用中点公式消参，得到轨迹方程； （3）构造无穷多组整数点，再用反证法结合数论知识，证明无整点到原点距离为整数. 【详解】（1）设则的方程为， 则由得，则， 由抛物线焦点弦长公式得. （2）抛物线的焦点为，设的直线方程为. 由得. 由，得， 而，故的斜率为，的方程为. 代入得. 设动点R的坐标为，则， 因此，故中点R的轨迹L的方程为. （3）由的方程，是不等于的质数，故， 又由于和4的最大公约数为1，且是质数，可得. 设（为任意非零整数），代入得， 显然均为整数，且有无穷多个，故上有无穷多个整点. 假设L上有一个整点到原点的距离为整数，不妨设，则: ，因为p是奇质数，于是， 从②可推出，再由①可推出. 令，则有， 由③，④得，于是， 即， 于是，得， 故，有，但L上的点满足，矛盾. 因此，L上任意点到原点的距离不为整数. 17．（2026·江西宜春·模拟预测）已知点，分别是椭圆的左、右顶点，且的离心率为． (1)求的方程； (2)若点是上与，不重合的点，直线，与直线分别交于点，，求的最小值； (3)若不过点且斜率为的直线与交于，两点，证明：的外心恒在定直线上． 【答案】(1) (2)6 (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件求解即可. （2）设直线求出的坐标，然后得到函数，利用基本不等式解决最值问题. （3）设出点，坐标与直线方程，通过联立得到韦达公式，设出外接圆一般方程，将得到的韦达公式代入运算，寻求的关系即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为的离心率为，所以，解得， 所以的方程为． （2） 设直线的方程为，令，得， 设点，其中，则， 则， 所以， 所以直线的方程为， 所以， ， 当且仅当时等号成立． 故的最小值是6． （3） 证明：设，，直线的方程为， 联立，得， 所以，，且，， ， ． 设的外接圆方程为， 把点代入圆的方程得， 因为点，在圆上，所以①，②， ①+②得， 其中， ， 所以， 即， ①-②得， 易得，且， 上式两边同时除以得， 整理得，即， 代入得， 所以，或． 当时，，不满足题意， 所以，即， 即点正在定直线上， 所以的外心恒在定直线上． 18．（2026·河北沧州·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆的上顶点为A，右顶点为B，离心率为，的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点的直线l交椭圆于C，D两点． （ⅰ）若的面积等于的面积的，求直线l的方程． （ⅱ）过点D作x轴的垂线，交直线BC于点E，若M为DE的中点，则M，A，B三点是否共线？若共线，请证明你的结论；若不共线，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）或；（ⅱ）M，A，B三点共线,证明见解析 【分析】（1）利用离心率和三角形面积建立方程，求解椭圆参数； （2）（i）面积比转化为线段比，用向量关系表示坐标，联立椭圆方程求解；（ii）设直线方程，联立椭圆，利用中点坐标和直线方程验证共线. 【详解】（1）由，得，代入，得，即. 的顶点坐标：，，， ，即. 将 代入上式： 解得：，故，， 所以椭圆方程为. （2）（ⅰ）因为，，与共顶点，底边在直线上， 所以， 因为共线，则，设，则. 设直线，代入椭圆方程，整理得： 将，代入韦达定理消元，化简得二次方程 ， 解得：或. 所以直线方程为：或. （ⅱ）在直线上， 证明：直线的方程：过、，斜率为， 方程为：，作轴垂线， 交于.为中点，故： 、所在直线方程为： 验证在直线上，即证： ， 即： 代入 ， ， 左边= 化简可得左边， 右边 化简可得右边，所以，左边右边，等式成立.即 . 这说明 满足直线的方程，因此在直线上，即三点共线 因此，三点共线. 19．（2026·山东威海·二模）已知椭圆的离心率为，的右顶点与上顶点之间的距离为6. (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线分别交于点和，且线段和的中点分别为． （i）若直线的斜率大于1，且的面积为，求直线的方程； （ii）若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 【详解】（1）由题意可知， 解得，，所以C的方程为． （2）（ⅰ）设直线PQ的方程为，， 联立，可得， 可得点G的横坐标为， 所以， 同理可得， 因为的面积为，所以，即， 整理得，即， 解得，因为， 所以，代入可得G，H的横坐标均为， 所以直线GH的方程为．    （ⅱ）法一：设，，，， 由，可得， 因为的中点为，所以，， 所以， 因为，所以， 所以， （当斜率不存在或中点为A时也满足上式） 同理可得， 所以点G，H在曲线上， 因为，所以，即， 可得①， 当直线GH的斜率不存在时，设GH的方程为， 联立，可得， 所以，， 代入①式可得，即，解得或， 若，则直线GH的方程为，所以直线GH过，不符合题意，舍去， 若，则直线GH的方程为； 当直线GH的斜率存在时，设GH的方程为， 联立，可得， 所以，， 由①式可得， 代入整理得， 即，可得或， 若，则直线GH的方程为， 所以直线GH过，不符合题意，舍去， 若，则直线GH的方程为，所以直线GH过． 综上可知，直线GH过定点． 取AK的中点， 在中，， 所以存在定点，使得为定值． 法二：设，，，， 当直线，斜率都存在时，由，可得， 因为PQ的中点为G，所以，，可得， 所以直线PQ的斜率为， 因为，所以， 即，（当中点为A时也满足上式） 同理可得， 两式相减得， 当直线PQ或MN斜率不存在时，也满足上式， 又直线GH的方程为， 即，所以直线GH过定点． 取的中点， 在中，， 所以存在定点，使得为定值．    20．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，，为上的动点，且． (1)求的方程； (2)若在第一象限，直线与只有一个公共点，是轴上一点，且． （ⅰ）证明：直线，关于直线对称； （ⅱ）过原点作的垂线，垂足为，与相交于点，求面积的取值范围． 【详解】（1）焦距，由椭圆定义， 所以， 则椭圆C标准方程为. （2）（i）设过点处的切线为，因为，所以切线的斜率一定存在，设切线方程为， 代入椭圆方程得， 因为直线与椭圆相切，所以判别式，即， 又因为满足，所以代入得， 则椭圆在处的切线方程为. 即斜率， 因为，所以直线 (即点M的法线)的斜率. 设与法线MN夹角分别为，因为，所以. 由夹角正切公式：，， 因为，代入得； (M在第一象限， )， 即，即MN平分，所以直线关于MN对称，得证 （ii）由题，切线方程：，过原点与垂直的直线OA方程：， 直线方程：.联立OA与切线：， 解得垂足； 联立直线与的方程：，解得交点. 利用三角形面积坐标公式得 =， 用化简式子得. 令，因为，所以，则. 令，，，令， 即单调递增；单调递减. 所以 ，端点处 ，所以 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $