精品解析：湖北省十堰市第一中学2024年学科特长生自主招生考试试题 数学

十堰市第一中学2024年学科特长生自主招生考试试题 数学 考试时间：120分钟 满分150分 ★热烈欢迎同学们报考一中！ ★请同学们沉着、冷静、细心、守纪；预祝同学们考试顺利！ 一、单项选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1. 小明同学利用计算机软件绘制函数（a、b为常数）的图像如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像过二、四象限可判断a的取值，根据x在负半轴的图像，可判断b的取值． 【详解】∵图像过二、四象限 ∴a＜0， ∵x=-b时，函数值不存在，结合图象可知： b＞0 故选C． 【点睛】此题主要考查函数图像的综合判断，解题的关键是熟知函数图像与变量之间的关系． 2. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】等号左边可变形为，通过裂项相消进行化简，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得． 3. 某篮球队10名队员的年龄结构如表，已知该队队员年龄的中位数为21.5，则众数与方差分别为（ ） 年龄 19 20 21 22 24 26 人数 1 1 x y 2 1 A. 22，3 B. 22，4 C. 21，3 D. 21，4 【答案】D 【解析】 【详解】【分析】先根据数据的总个数及中位数得出x=3、y=2，再利用众数和方差的定义求解可得． 【详解】∵共有10个数据， ∴x+y=5， 又该队队员年龄的中位数为21.5，即2.15=， ∴x=3、y=2， 则这组数据的众数为21，平均数为=22， 所以方差为×[（19﹣22）2+（20﹣22）2+3×（21﹣22）2+2×（22﹣22）2+2×（24﹣22）2+（26﹣22）2]=4， 故选D． 【点睛】本题主要考查中位数、众数、方差，熟练掌握方差的计算公式、根据中位数的定义得出x、y的值是解题的关键. 4. 如图，一个边长分别是6，8，10的直角三角形的一个顶点与正方形的点A重合，另两个顶点在正方形的两边，上，则正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，可得，可设，则，，在中，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】此题考查了正方形的性质 ，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识，综合性比较强，对于学生的能力要求比较高． 5. 已知，，则的值为（ ） A. 4 B. 0 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，非负数的性质以及代数式求值的方法．先将字母b表示字母a，代入，转化为非负数和的形式，根据非负数的性质求出a、b、c的值，从而得到的值． 【详解】解：∵， ∴， 代入，可得， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 6. 如图，扇形中，，，是的中点，交于点，以为半径的交于点E，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，根据点C为的中点可得，继而可得为等边三角形，求出扇形的面积，最后用扇形的面积减去扇形的面积，再减去空白部分即可求出阴影部分的面积． 【详解】如图，连接、， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴ ． 故选：C 【点睛】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式． 7. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把P1（y－1，－x－1）叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，这样依次得到各点．若A2022的坐标为（1，-2），设A1（x，y），则x+y的值是（ ） A. -5 B. -1 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别求出A1，A2，A3A4，A5的坐标，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：∵A2022的坐标为（1，-2）， 根据题意可知： A2021的坐标为（1，2）， A2020的坐标为（-3，2）， A2019的坐标为（-3，-2）， A2018的坐标为（1，-2）， A2017的坐标为（1，2）， A2016的坐标为（-3，2）， … ∴A4n+1（1，2），A4n+2（1，-2），A4n+3（-3，-2），A4n+4（-3，2）（n为自然数）． ∵2022＝505×4+2，A2022的坐标为（1，-2）， ∴A2021（1，2）， ∴A1（1，2）， ∴x+y＝3． 故选：C． 【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标的变化，解决该题型题目时，根据友好点的定义列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键． 8. 若直角坐标系内两点M、N满足条件①M、N都在函数y的图象上②M、N关于原点对称，则称点对是函数y的一个“共生点对”（点对与看作同一个“共生点对”），已知函数，则函数y的“共生点对”有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设点函数y的图象上，且坐标为，当时，，其关于原点对称的点为，不在函数y的图象上，不符合题意，则令，点关于原点对称的点为，则，由“共生点对”的定义可得方程，该方程的解的个数可知函数的“共生点对”的个数，即研究函数，两个函数图象的交点个数，画出函数的草图如图，由图象的交点个数即可求解． 【详解】解：函数， 设点函数y的图象上，且坐标为，当时，，其关于原点对称的点为，不在函数y的图象上，不符合题意，则令， 点关于原点对称的点为，则， 若也在函数y的图象上，则点对是函数y的一个“共生点对”， ∵，，在函数y的图象上， ∴，则， ∵也在函数y的图象上， ∴， 则，该方程的解的个数可知函数的“共生点对”的个数， 即研究函数，两个函数图象的交点个数， 当时，，，即画出函数的草图如图， 由图可知，与有两个交点，故方程有两个解， ∴此函数的“共生点对”有2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与二次函数函数的图象的对称性和函数图象的交点个数，还考查了新定义问题，本题难度适中，属于中档题． 9. 如图，点在半圆上，直径，，点在弧上移动，连结，作于．连结，点在移动的过程中，的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，取的中点，连接，，．由题意点H始终在以为直径的圆上，推出当M、H、B共线时，的值最小，利用圆周角定理结合勾股定理在与中，求得，，再根据即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，． ∵， ∴， ∴点H始终在以为直径的圆上， ∴当B，H，M，共线时取得最小值， ∵，为半径，则， ∵是直径， ∴， 在中，由勾股定理：得， 在中，由勾股定理：得． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 10. 在中，，，，点P是所在平面内一点，则取得最小值时，下列结论正确的是（ ） A. 点P是三边垂直平分线的交点 B. 点P是三条内角平分线的交点 C. 点P是三条高的交点 D. 点P是三条中线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则=，可得P(2，)时，最小，进而即可得到答案． 【详解】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图， 则A(0，0)，B(6，0)，C(0，8)， 设P(x，y)，则= ==， ∴当x=2，y=时，即：P(2，)时，最小， ∵由待定系数法可知：AB边上中线所在直线表达式为：， AC边上中线所在直线表达式为：， 又∵P(2，)满足AB边上中线所在直线表达式和AC边上中线所在直线表达式， ∴点P是三条中线的交点， 故选D． 【点睛】本题主要考查三角形中线的交点，两点间的距离公式，建立合适的坐标系，把几何问题化为代数问题，是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 11. 定义新运算：，例如：．已知实数满足，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据新运算的规则，把等式转化为一般的一元二次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：， ， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，， 的最大值是 12. 在中，，分别为的对边，若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图所示： 在中，由勾股定理可知：， ， ， ， ，， ，即：， 求出或（舍去）， 在中：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在中， ，，． 13. 设，则_____． 【答案】10 【解析】 【分析】由可得，则，再整体代入代数式进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 整理得：，则， ∴ ； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是求解代数式的值，二次根式的乘法运算，熟练的利用完全平方公式把原条件变形是解本题的关键． 14. 两个等腰直角三角板如图放置，点F为的中点，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】依据，，即可得出，进而得到，依据相似三角形的性质，即可得到，即可得到，继而求出，再利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：连接， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， 是的中点， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又中，， ， ， ， 即， ， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． 15. 如图，在菱形中，，点E，F分别在边，上，将菱形沿所在直线折叠，点B的对应点M恰好落在边上，且点M为边的三等分点，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，特殊角度的三角函数值，勾股定理，能够根据题目分类讨论是解题的关键． 过点作交延长线于点，设，，由可推得，则，，，由点M为边的三等分点分别讨论，两种情况，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作交延长线于点，设，， 四边形为菱形，， ，， 则， ， ，， 如图，当靠近时， ， ， ∵将菱形沿所在直线折叠，点B的对应点为点M， ， 在中，， 解得，即， ， ； 如图，当靠近时， ， ， ∵将菱形沿所在直线折叠，点B的对应点为点M， ， 在中，， 解得，即， ， ； 综上所述，的值为或． 16. 我们把不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，则下列说法正确的是______（填序号）． ①； ②如，则实数m的取值范围是； ③若且，则； ④方程的实数解有4个． 【答案】① 【解析】 【分析】由，推出的范围，可判断①；由知，解这个不等式组，可判断②；分两种情况：当时，，当时，，分别求出的值，可判断③；由题意推出，再由不等式的性质推出，则的值为或或0或1或2，进一步求出的值，可判断④． 【详解】解：①， ， ， ， 因此①是正确的； ②， ， 解得， 因此②是错误的； ③， 当时，， ， ， ， 当时，， ， ， ， 综上，的值为或， 因此③是错误的； ④，， ， ， ， ， ， ，则的值为或或0或1或2， 当时，， ， ； 当时，， ， ； 当时，， ， ； 当时，， ， ； 当时，， ， ， 综上，方程的实数解有，，0.4，1.6，2.8，共5个， 因此④是错误的． 即说法正确的是①． 三、解答题（共6小题，共70分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 已知，，，． （1）因式分解：． （2）解方程组． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）将拆为，分组，综合十字相乘法和提公因式法分解因式即可； （2） ，得 ，可得，可得，代入，可得，，即可得原方程组的解． 【小问1详解】 解： . 【小问2详解】 解：， ，得， ∴ ， ∴， ∴， 把代入，得 ， ∴， 解这个方程得，， 把，代入，得，， ∴原方程组的解为，． 18. 如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高m，楼高m，某天上午9时太阳光线从山顶点处照射到住宅的点外．在点处测得点的俯角，上午10时太阳光线从山顶点处照射到住宅点处，在点处测得点的俯角，已知每层楼的高度为3m，m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？（） 【答案】至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙 【解析】 【分析】设FD=x，则ME=80-x，在△EAM中求出AM=ME=80-x，在△AMF中求出，再由建立方程求出x的值进而求出FD，最后再根据每层楼高度为3米即可求出层数． 【详解】解：设FD=x，则ME=AB-EF-FD=120-40-x=80-x， ∵∠EAM=45°，MA⊥CM， ∴△EAM为等腰直角三角形，其三边之比为， ∴AM=ME=80-x， ∵∠FAM=60°，MA⊥MF， ∴△AMF为30°，60°，90°直角三角形， ∴， ∴， 又， ∴， 解得米， ∵每层楼的高度为3米， ∴， 答：至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握俯角的定义，三角函数的定义等是解决本题的关键． 19. 若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“中线三角形”．在直角坐标系中，正方形的两直角边分别在坐标轴上，点的坐标是． （1）在正方形的边上找一点，使得是边上的“中线三角形”，求点的坐标． （2）直线与正方形的两边的交点为，，能否是“中线三角形”？若能，求该直线的函数表达式；若不能，试说明理由． 【答案】（1）或或 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质得到，，进而得到中点D的坐标为，再分当点P在上时，当点P在上时，当点P在上时，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可； （2）先证明直线与x轴，y轴的夹角（锐角）都为，则当与有交点时，一定不满足能否是“中线三角形”；当与交于E、F时，则，则，再证明，进而证明，得到；当中线时，由等腰直角三角形的性质得到，，同理，则三点共线，则，求出，得到，则，利用待定系数法即可求出直线解析式为；当中线时，过点E作于H，设，点T为中点，则，，由勾股定理得到，则，，求出，同理可得，则，求出，则直线解析式为． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形，点的坐标是， ∴，， ∴中点D的坐标为， 如图所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“中线三角形”， ∴， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“中线三角形”， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“中线三角形”， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或； 【小问2详解】 解：在中，当时，，当时，， ∴直线与x轴，y轴的交点到原点的距离相同， ∴直线与x轴，y轴的夹角（锐角）都为， ∴当与有交点时，一定不满足能否是“中线三角形”； 当当与交于E、F时，则， ∴， 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当中线时， ∵为的中点， ∴，， 同理， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 如图所示，当中线时，过点E作于H，设，点T为中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴直线解析式为； 综上所述，直线解析式为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 20. 如图1，已知ABC，∠CAB＝45°，AB＝7，AC＝3，CD⊥AB于点D．E是边BC上的动点，以DE为直径作⊙O，交BC为F，交AB于点G，连结DF，FG． （1）求证：∠BCD＝∠FDB． （2）当点E在线段BF上，且DFG为等腰三角形时，求DG的长． （3）如图2，⊙O与CD的另一个交点为P．若射线AP经过点F，求的值． 【答案】（1）见解析；（2），，2；（3） 【解析】 【分析】(1)由DE为直径得∠BCD+∠CDF=90°，再由CD⊥AB 可得∠FDB+∠CDF=90°，即可得出结论； (2)分当DF=DG时, 当DF=FG时，当FG=DG时，三种情况讨论，即可得出结论； (3) 由四边形PDEF是⊙O圆内接四边形，可得∠PAD=∠EDF，连结PG，得出△ADP∽△DFE，再得到△CDB∽△PFG，列比例式即可得出结论． 【详解】证明：（1）∵DE是直径 ∴∠CFD=90° ∴∠BCD+∠CDF=90° ∵CD⊥AB ∴∠FDB+∠CDF=90° ∴∠BCD=∠FDB （2）（i）当DF=DG时,如图： ∵∠CAB=45°，CD⊥AB，AC=3 ∴AD=CD=3 ∵AB=7 ∴BD=7-3=4 ∴BC= ∴DF= ∴DG （ii）如图： 当DF=FG时，过F作FH⊥BD交BD于点H， ∴△DFH∽△CBD ∴ ∴ ∴DG=2DH= （iii）如图： 当FG=DG时，∠1=∠2 ∵∠1+∠3=∠2+∠4=90° ∴∠3=∠4 ∴FG=GB=DG ∴DG= （3）如图： ∵四边形PDEF是⊙O圆内接四边形 ∴∠APD=∠DEF ∵∠APD+∠PAD=∠DEF+∠EDF=90° ∴∠PAD=∠EDF 连结PG ∵∠PAD=∠EDF ∠ADP=∠DFE=90° ∴△ADP∽△DFE ∴ ∵∠PDG=90° ∴PG是直径 ∴∠PFG=90° ∵∠FPG=∠FDG=∠BCD ∴△CDB∽△PFG ∴ ∴ ∴. 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、三角形相似的性质和判定、圆的性质，直角三角形的性质，正确的添加辅助线是解决问题的关键. 21. 【问题背景】在已知所在平面内求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下：如图2，把绕点逆时针旋转得到（点，的对应点分别为点，），连接，则，． ∵ ，∴为等边三角形，∴， ∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． （1）横线处填写的条件是 ； （2）当点P是的“费马点”时， ； （3）如图3，中，，，，为上的点，且，判断，，之间的数量关系并写出证明过程； （4）【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点，，为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则的最小值是 ． 【答案】（1） （2） （3），证明过程见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）先证明为等边三角形，得到，则，由此可得当，，，四点在同一直线上时，的值最小，即点是的“费马点”； （2）由旋转的性质可得， ，进而利用三角形内角和定理得到 ，再由等边三角形的性质得到，则 ，，即可利用周角的定义得到； （3）将绕点逆时针旋转，得到，连接，利用旋转的性质和等边对等角，得到，为直角三角形，进而得到，证明，得到，即可得出结论； （4）将绕点A逆时针旋转得到，连接，由（1）可得当，，，四点在同一直线上时，的值最小，最小值为，过点作交延长线于D，证明是等腰直角三角形，得到 ，则，利用勾股定理得到，即可得的最小值． 【小问1详解】 解：如图2，把绕点逆时针旋转得到（点，的对应点分别为点，），连接，则，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴当，，，四点在同一直线上时，的值最小，即点是的“费马点”． 【小问2详解】 解：如图2所示，设，交于， 由（1）可得当，，，四点在同一直线上时，的值最小， 由旋转的性质可得， ， 又∵ ， ∴ ∵为等边三角形， ∴， ∴ ，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：，理由如下： ∵，， ∴， 如图所示，将绕点逆时针旋转，得到，连接， 则，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，由（1）可得当，，，四点在同一直线上时，的值最小，最小值为， 过点作 交延长线于， 由旋转的性质可得， ， ∵， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴的最小值为． 22. 若关于x的函数y，当时，函数y的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称之为函数的“共同体函数”． （1）若函数，当时，求函数的“共同体函数”h的值； 若函数（，，为常数），求函数的“共同体函数”的解析式； （2）若函数，求函数的“共同体函数”的最大值； （3）若函数，是否存在实数，使得函数的最大值等于函数的“共同体函数”的最小值．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；时，，时，； （2）最大值为； （3）存在实数，使得函数的最大值等于函数的“共同体函数”的最小值，． 【解析】 【分析】（1）根据新定义结合正比例函数的性质即可求解；根据新定义结合一次函数的性质即可求解； （2）根据新定义结合反比例函数的性质列出的表达式，根据二次函数的性质即可求解； （3）根据新定义结合二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 （1）解：当时，则，即， ∵，，随的增大而增大， ∴， 若函数，当时，， ∴ ， ， ∴， 当时，则 ， ， ∴， 综上所述，时，，时，． 【小问2详解】 解：对于函数， ∵，，函数在第一象限内，随的增大而减小， ∴，解得， 当时， ∴，， ∴， ∵当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，此时取得最大值， 最大值为． 【小问3详解】 解：对于函数， ，抛物线开口向下， 时，随的增大而增大， 时，随的增大而减小， 当时，函数y的最大值等于， 在时， 当时，即时， ， ， ∴ ， ∵， ∴无最小值，该情况不合题意，故舍去； 当时，即时， ， ， ∴， ∵ ∴无最小值，该情况不合题意，故舍去； 当时，即时，， ）当 时，即时， ， ， ∵对称轴为，，抛物线开口向上，在上， 当时，h有最小值， ∴， 解得， ）当 时，即时，， ， ∴ ∵对称轴为，，抛物线开口向上，在上， 当时，有最小值， ∵， ∴在上无最小值， 综上所述，存在实数，使得函数的最大值等于函数的“共同体函数”的最小值，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 十堰市第一中学2024年学科特长生自主招生考试试题 数学 考试时间：120分钟 满分150分 ★热烈欢迎同学们报考一中！ ★请同学们沉着、冷静、细心、守纪；预祝同学们考试顺利！ 一、单项选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1. 小明同学利用计算机软件绘制函数（a、b为常数）的图像如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 3. 某篮球队10名队员的年龄结构如表，已知该队队员年龄的中位数为21.5，则众数与方差分别为（ ） 年龄 19 20 21 22 24 26 人数 1 1 x y 2 1 A. 22，3 B. 22，4 C. 21，3 D. 21，4 4. 如图，一个边长分别是6，8，10的直角三角形的一个顶点与正方形的点A重合，另两个顶点在正方形的两边，上，则正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则的值为（ ） A. 4 B. 0 C. 2 D. 6. 如图，扇形中，，，是的中点，交于点，以为半径的交于点E，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把P1（y－1，－x－1）叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，这样依次得到各点．若A2022的坐标为（1，-2），设A1（x，y），则x+y的值是（ ） A. -5 B. -1 C. 3 D. 5 8. 若直角坐标系内两点M、N满足条件①M、N都在函数y的图象上②M、N关于原点对称，则称点对是函数y的一个“共生点对”（点对与看作同一个“共生点对”），已知函数，则函数y的“共生点对”有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 如图，点在半圆上，直径，，点在弧上移动，连结，作于．连结，点在移动的过程中，的最小值是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，，，点P是所在平面内一点，则取得最小值时，下列结论正确的是（ ） A. 点P是三边垂直平分线的交点 B. 点P是三条内角平分线的交点 C. 点P是三条高的交点 D. 点P是三条中线的交点 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 11. 定义新运算：，例如：．已知实数满足，则的最大值是______． 12. 在中，，分别为的对边，若，则的值为__________． 13. 设，则_____． 14. 两个等腰直角三角板如图放置，点F为的中点，，，则的长为_____． 15. 如图，在菱形中，，点E，F分别在边，上，将菱形沿所在直线折叠，点B的对应点M恰好落在边上，且点M为边的三等分点，则的值为______． 16. 我们把不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，则下列说法正确的是______（填序号）． ①； ②如，则实数m的取值范围是； ③若且，则； ④方程的实数解有4个． 三、解答题（共6小题，共70分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 已知，，，． （1）因式分解：． （2）解方程组． 18. 如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高m，楼高m，某天上午9时太阳光线从山顶点处照射到住宅的点外．在点处测得点的俯角，上午10时太阳光线从山顶点处照射到住宅点处，在点处测得点的俯角，已知每层楼的高度为3m，m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？（） 19. 若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“中线三角形”．在直角坐标系中，正方形的两直角边分别在坐标轴上，点的坐标是． （1）在正方形的边上找一点，使得是边上的“中线三角形”，求点的坐标． （2）直线与正方形的两边的交点为，，能否是“中线三角形”？若能，求该直线的函数表达式；若不能，试说明理由． 20. 如图1，已知ABC，∠CAB＝45°，AB＝7，AC＝3，CD⊥AB于点D．E是边BC上的动点，以DE为直径作⊙O，交BC为F，交AB于点G，连结DF，FG． （1）求证：∠BCD＝∠FDB． （2）当点E在线段BF上，且DFG为等腰三角形时，求DG的长． （3）如图2，⊙O与CD的另一个交点为P．若射线AP经过点F，求的值． 21. 【问题背景】在已知所在平面内求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下：如图2，把绕点逆时针旋转得到（点，的对应点分别为点，），连接，则，． ∵ ，∴为等边三角形，∴， ∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． （1）横线处填写的条件是 ； （2）当点P是的“费马点”时， ； （3）如图3，中，，，，为上的点，且，判断，，之间的数量关系并写出证明过程； （4）【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点，，为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则的最小值是 ． 22. 若关于x的函数y，当时，函数y的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称之为函数的“共同体函数”． （1）若函数，当时，求函数的“共同体函数”h的值； 若函数（，，为常数），求函数的“共同体函数”的解析式； （2）若函数，求函数的“共同体函数”的最大值； （3）若函数，是否存在实数，使得函数的最大值等于函数的“共同体函数”的最小值．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $