2024年湖北省十堰市东风高级中学学科特长招生考试数学试卷

2024年东风高级中学自主招生考试 数学试题 注意事项： 1.本卷共有4页，19小题，满分150分，考试时限120分钟。 2答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置，并认真核对条形 码上的准考证号和姓名，在答题卡规定的位置贴好条形码。 3选择题必须使用2B铅笔在指定位置填涂，非选择题必须使用0.5毫米，黑色墨水签字笔答题， 不得使用铅笔或圆珠笔等笔作答。要求字体工整，笔迹清晰。请按照题目序号在答题卡对应 的各题目的答题区域内作答，超出答题卡区域的答案和在试卷、草稿纸.上答题无效。 4,考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸均不得带出考场。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分。共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.“世界是对称的，对称是美的，但是绝对对称是没有的.”下列图形是轴对称图形但不是 中心对称图形的是( ) A B. D 2.设abcd<0,则后+台+后+高+c的大于0的值等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.两个矩形的位置如图所示，若∠1=120°，则c0s∠2=( ) A.9 B.月 c.9 D. 2 4.有一组样本数据1，x2,x3,x4,x5,x6,x7,其中x1是最小值，x7是最大值.下列结论正确的是 A.X2,X3,X4,X5,X6的众数等于X1,X2,X3,x4,X5,x6,x7的众数 B.X2,x3,x4,x5,x6的中位数等于x1,x2,x3,X4,X5,x6,x7的中位数 C.x2,X3,x4,X5,x6的方差小于x1,x2,X3,x4,x5,x6,x7的方差 D.x2,x3,X4,x5,X6的极差不小于X1,x2,X3,X4,x5,x6,X7的极差 5.已知关于x的分式方程x+名。=二无解，且关于y的不等式组二升 U-4≤30+4有 且只有三个偶数解，则符合条件的整数m有()个. A.0 B.1 C.2 D.3 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,设⊙O与BC、AC 分别相切于点E、F,BO平分LABC,连接OA,则图中阴影部分的面积为 A.-买 B.-目 c.晋 D. 7.关于x的方程x2-mx+2=0有两个实数根分别为x1,x2,且x1<x2,则下列结论正确的是 第1页共4页数学试题 A.若|x1-x2|=2V2,则m=±8 B.若2x1=名+3，则m=-或3 C.若x1>1,x2>1,则2V2<m<3 D.存在实数m,使得导+=1 X2 8.东风高中举办校庆活动需要一批志愿者，高一、高二、高三这三个年级报名参加志愿活动 的学生人数比例为2：2：1，学校从每个年级报名人数中按照高一3%，高二2%，高三1%的比 率选出一批学生成为志愿者.现在从所有报名的人中选出一人，已知他是被选出的志愿者，那 他来自高一年级的概率为() A.号 B.3% C. D.品 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分。 9.在平面直角坐标系x0y中，过原点0的直线AB与两函数y=是(x>0),y=(x<0)的 图象分别交于A,B两点，过A作y轴的垂线，垂足为H,连接BH交x轴于点C,连接AC交y轴 于点D,则下列结论正确的是() A.S440H=9 B.8胎=3 c品- D.Sanoc- 10.如图，AB是⊙O的直径，AB=10,点C是圆上不与A,B重合的点，CD平分LACB,交 ⊙O于D,AE平分∠CAB,交CD于E.下列结论正确的是() A.点D是定点 B.CA+CB的最大值为15 C.D为△ABE的外心 D.线段0E长度的最小值为5V2-5 11.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，c<0)经过(1,1)，(x1,0),(x2,0)三点，且 x2≥3.下列结论正确的是() A.b<0; B.4ac-b2<4a; C.当x2=3时，若点(2，m)在该抛物线上，则m>1; D.若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤x恒成立，则0<x1≤ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.化简：1+中+本+++ot20 1 13.若a,6,c为正实数，a*=b=c2,+号+日0，则abc 14.组合数学常应用于计算机编程，计算机中著名的康威生命问 (1,1) (1,2) (13) 题与开关问题有相似的地方.下图为一个开关阵列，每个开关只有 (2,1) (2,2) (2,3) “开”和“关”两种状态，按其中一个开关一次，将导致自身和周围所 (3,1) (3,2) (3,3) 有相邻的开关改变状态，例如，按(2,2)将导致(1,2)，(2,1)，(23)， (3,2)改变状态.如果要求只改变(1,1)的状态，则需按开关的最少次数为 第2页共4页数学试题 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)灵山秀水新十堰，如图是十堰的一座山，其高AD为100米，一辆汽车在水平的公 路上沿直线从B往C匀速行驶，在B处测得山J顶A的仰角为30°，经过30秒后汽车到达C处，这 时测得山J顶A的仰角为45°，且∠BAC=90°. (1)求这辆汽车的速度： (2)若汽车从B往C行驶了10秒时到达E处，求此时山顶A与汽车的距离AE: 16.(15分) (1)若实数a满足(a+2023)(a+2024)=5,求(a+2023)2+(a+2024)2的值： (2)解关于x的不等式：x2-2x-1<-: (3)求方程x2-2y2+xy+3y=3的所有整数解， 17.(15分)某超市有一专柜预代理销售甲乙两家公司的一种可相互替代的日常生活用品.经 过一段时间分别单独试销甲乙两家公司的商品，从销售数据中随机各抽取50天，统计每日的 销售数量，得到如下的频数分布条形图.甲乙两家公司给该超市的日利润方案为：甲公司给 超市每天基本费用为90元，另外每销售一件提成1元：乙公司给超市每天的基本费用为130 元，每日销售数量不超过83件没有提成，超过83件的部分每件提成10元. (1)求乙公司给超市的日利润y（元)与日销售数量n(件)的函数关系： (2)若将频率视为概率，回答下列问题： ()求甲公司产品销售数量不超过87件的概率； ()如果仅从日均利润的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为超市作出抉择，选择哪 家公司的产品进行销售？并说明理由. 频数() 口甲公司 乙公司 20 15 10 8184879093销售数里（件） 第3页共4页数学试题 18.(17分)如图1，已知△AMN是等腰直角三角形，∠AMN=90°，正方形ABCD与△AMN 有公共顶点A,当RUAAMN绕点A旋转时，边AM、AN分别与BC(或BC延长线，如图2)、CD(或 CD延长线，如图2)相交于点E、F,连接EF, D M B C E 图1 M 图2 (1)如图1，证明：EF=DF+BE; (2)如图1，若正方形的边长为1，设DF=x,请用x表示EF的长： (3)如图2，结论EF=DF+BE是否成立，如不成立，写出三线段EF、DF、BE的数量关系， 并证明. 19.(17分)抛物线y=x2-1交x轴于A,B两点(A在B的左边). (1)平行四边形ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上： ①)如图(1)，若点C的坐标是(0,3)，点E的横坐标是多，直接写出点A,D的坐标. (i)如图(2)，若点D在抛物线上，且平行四边形ACDE的面积是12，求点E的坐标. (2)如图(3)，F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行于y轴的直线分别交线段AF,BF(不 含端点)于G,H两点.若直线与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH的值是定值 G (1) (2) (3) 第4页共4页数学试题2024年东风高级中学自主招生考试数学试题参考答案 一、单选题（每小题5分，共40分） 题号 2 3 4 5 6 7 6 答案 C A B B C C C D 二、多选题（每小题6分，共18分.第9题选对一个得3分，两个都对得6 分，第10,11题选对一个得2分，选对两个得4分，三个都对得6分，有错 则全错，得·分) 题号 9 10 11 答案 AB ACD BCD 三、填空题（每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 2V506 5 四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17 分，第19题17分，共77分) 15.(1)根据题意得AD=100m,∠ABD=30°，∠ACD=45°，AC1AB,AD1 平面BCD,所以在Rt△ABD中，AB=2AD=200m,在Rt△ACD中，AC= V2AD=100V2m,所以在Rt△ABC中，BC=J(1002)+2002=100V6, 所以这辆汽车的速度为BC=10v5m 30 3m/s. (2)汽车从B往C行驶10秒时到达E处，此时 BE-gV6m,在Rt△ABC中，CB=100V6,所 以点E为BC上靠近B的三等分点， 过点A作BC的垂线，垂足为F,由等面积法可得 AP=碧V3m,由勾股定理可得cF=gV6m,所 以点F是BC上靠近C的三等分点，所以易得AE=AC=100v2m 16.(1)115分 (2)-1<x<0或1<x<2;5分 (-子号-5分 术x=1 17.解：(1)由题意得到，当0≤n≤83时，y=130元，当n>83时，y= 130+(n-83)×10=10n-700, “乙公司给超市的日利润y(单位：元)与日销售数量n的函数关系为：y= 1/4 ∫130(0≤n≤83) (10m-700(n>83) (2)①甲公司产品销售数量不超过87件的概率为：5+10+5= 50 ②设甲公司的给超市的日利润为x元， 则x的所有可能的值为：171,174,177,180,183， 元=0(171X5+174×10+17x5+180×20+183×10）=178.2（元)， 设乙公司的给超市的日利润为y元， 则y的所有可能的值为：130,140,170,200,230， =0×(130×50+0×5+10×5+40×10+70×15+100×15)=190(元)， x<,“超市应代理销售乙公司的产品较为合适。 18.(1)证明：如图1，延长CB到G,使BGDF,连接AG :四边形ABCD是正方形，LD=∠ABC=∠DAB=∠ABG=90°，AD=AB, AD=AB 在△ADF和△ABG中， ∠D=∠ABG, DF=BG ·△ADF≌△ABG(SAS);∴EF=EG=BG+BE= DF+BE,得证. GB (2)EF=(0<x<1) M 1+x (3)不成立，三线段EF、DF、BE的数量关系是EF=BEDF, 证明：如图3，在BC上取BGDE连接AG AB=AD 在△ABG和△ADF中LB=∠ADF∴△ABG≌△ADF F BG=DF A (SAS),∴AF=AG,∠DAFP=LBAG△AMW是等腰直 角三角形，·LNAM=∠W=45°，∴LFAD+∠DAC-45°， ∴LDAC+∠BAG=45°，LDAB=90°，LGAE=90°. B G E 45°=45°=∠FAE,在△FAE和△GAE中 M AF=AG ∠FAE=GAF△FAE≌△GAE(SAS), AE=AE .EF-EG-BE BGBG-DF,.EF-BE DF. 19.【详解】(1)解：①把y=0代入y=x2-1得： 0=x2-1,解得：x=±1， :A在B的左边，点A的坐标为（←1,0）：把x=代入 =-1作：(-1牙点厅的华标为 35) 2'4 2/4 :四边形ACDE为平行四边形，点C的坐标是(O,3), 3=0-(-1 设点D的坐标为(xoy),则 ,解得： 5 3-0 17 yD-4 yD= 点D的坐标为) ②连接CE,过点E作x轴的垂线，垂足为M,过点C作CN⊥EM,垂足为 N,如图所示：设点C的坐标(0，n),点E的坐标(，m2-1), :四边形ACDE为平行四边形，“将AC沿AE平移可与ED重合，则点D的坐标 为：（m+1,2-1+n),:点D在抛物线上，m2-1+n=(m+1)2-1,解得： n=2m+1,点C的坐标为(0,2m+1),:ACDE的面积是12， S一S-00=22W∴.‘9=乙T〉 6=m+加+(2m+)u+0ar-)2m+1-m2-月整理得： m2+3m-10=0,解得：m=2,m2=-5（舍去)，点E的坐标为：（2,3). （2)解：“抛物线的顶点坐标为(0，-1)，F是原点O关于抛物线顶点的对称 点，点F的坐标为：(0，-2)， 抛物线的对称轴为y轴，A、B关于y轴对称， .B(1,0),设直线BF的解析式为y=x+b(k≠0)， 则0.解得：合，直线加的解析式为 k+b=0 [k=2 y=2x-2, 同理可得：直线AF的解析式为y=-2x-2, 设直线/的解析式为：y=x+加，联立=+” y=x2-1' 消去y得：x2-x-n-1=0, :直线1与抛物线只有一个公共点，=()-4(n-1)=0,解得：n=- 91, [y=2x-2 联立 =在-￡-1且2，解得：=生2， 4 4 3/4 y=-2x-2 联立 片-1且2，解衍：号 4 :A、B关于y轴对称，∠AFO=∠BFO, :OB=1,OF=2,÷8F=VF+2=5,∴sim∠AF0=sin∠B0= B01V5 BF-√55 过点G作GM⊥y轴于点M,过点H作N⊥y轴于点N,则∠GMF=90°， HINF-90,GM=-%HN-FG=-MG -Xa sin∠AFO sin∠AFO' XH -xa XH 1 生n0snB0FG+m阳n ro sin0mO》 11+2t2=1 sin∠AFo4-4)5 =51:5.G+H的值是定值. 4/4