湖北省十堰市第一中学2024年学科特长生自主招生考试试题 数学

十堰市第一中学2024年学科特长生自主招生考试试题 数学 考试时间：120分钟 满分150分 ★热烈欢迎同学们报考一中！ ★请同学们沉着、冷静、细心、守纪；预祝同学们考试顺利！ 一、单项选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1. 小明同学利用计算机软件绘制函数（a、b为常数）的图像如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 3. 某篮球队10名队员的年龄结构如表，已知该队队员年龄的中位数为21.5，则众数与方差分别为（ ） 年龄 19 20 21 22 24 26 人数 1 1 x y 2 1 A. 22，3 B. 22，4 C. 21，3 D. 21，4 4. 如图，一个边长分别是6，8，10的直角三角形的一个顶点与正方形的点A重合，另两个顶点在正方形的两边，上，则正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则的值为（ ） A. 4 B. 0 C. 2 D. 6. 如图，扇形中，，，是的中点，交于点，以为半径的交于点E，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把P1（y－1，－x－1）叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，这样依次得到各点．若A2022的坐标为（1，-2），设A1（x，y），则x+y的值是（ ） A. -5 B. -1 C. 3 D. 5 8. 若直角坐标系内两点M、N满足条件①M、N都在函数y的图象上②M、N关于原点对称，则称点对是函数y的一个“共生点对”（点对与看作同一个“共生点对”），已知函数，则函数y的“共生点对”有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 如图，点在半圆上，直径，，点在弧上移动，连结，作于．连结，点在移动的过程中，的最小值是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，，，点P是所在平面内一点，则取得最小值时，下列结论正确的是（ ） A. 点P是三边垂直平分线的交点 B. 点P是三条内角平分线的交点 C. 点P是三条高的交点 D. 点P是三条中线的交点 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 11. 定义新运算： ，例如： ．已知实数满足，则的最大值是______． 12. 在中，，分别为的对边，若，则的值为__________． 13. 设，则_____． 14. 两个等腰直角三角板如图放置，点F为的中点，，，则的长为_____． 15. 如图，在菱形中，，点E，F分别在边，上，将菱形沿所在直线折叠，点B的对应点M恰好落在边上，且点M为边的三等分点，则的值为______． 16. 我们把不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，则下列说法正确的是______（填序号）． ①； ②如，则实数m的取值范围是； ③若且，则； ④方程的实数解有4个． 三、解答题（共6小题，共70分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 已知，，，． （1）因式分解：． （2）解方程组． 18. 如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高m，楼高m，某天上午9时太阳光线从山顶点处照射到住宅的点外．在点处测得点的俯角，上午10时太阳光线从山顶点处照射到住宅点处，在点处测得点的俯角，已知每层楼的高度为3m，m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？（） 19. 若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“中线三角形”．在直角坐标系中，正方形的两直角边分别在坐标轴上，点的坐标是． （1）在正方形的边上找一点，使得是边上的“中线三角形”，求点的坐标． （2）直线与正方形的两边的交点为，，能否是“中线三角形”？若能，求该直线的函数表达式；若不能，试说明理由． 20. 如图1，已知ABC，∠CAB＝45°，AB＝7，AC＝3，CD⊥AB于点D．E是边BC上的动点，以DE为直径作⊙O，交BC为F，交AB于点G，连结DF，FG． （1）求证：∠BCD＝∠FDB． （2）当点E在线段BF上，且DFG为等腰三角形时，求DG的长． （3）如图2，⊙O与CD的另一个交点为P．若射线AP经过点F，求的值． 21. 【问题背景】在已知所在平面内求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下：如图2，把绕点逆时针旋转得到（点，的对应点分别为点，），连接，则， ． ∵ ，∴为等边三角形，∴， ∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． （1）横线处填写的条件是 ； （2）当点P是的“费马点”时， ； （3）如图3，中，，，，为上的点，且，判断，，之间的数量关系并写出证明过程； （4）【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点，，为公园的出入口，， ， ，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则的最小值是 ． 22. 若关于x的函数y，当时，函数y的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称之为函数的“共同体函数”． （1）若函数，当时，求函数的“共同体函数”h的值； 若函数（，，为常数），求函数的“共同体函数”的解析式； （2）若函数，求函数的“共同体函数”的最大值； （3）若函数，是否存在实数，使得函数的最大值等于函数的“共同体函数”的最小值．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 十堰市第一中学2024年学科特长生自主招生考试试题 数学 考试时间：120分钟 满分150分 ★热烈欢迎同学们报考一中！ ★请同学们沉着、冷静、细心、守纪；预祝同学们考试顺利！ 一、单项选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】10 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】或 【16题答案】 【答案】① 三、解答题（共6小题，共70分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 【17题答案】 【答案】（1） （2）， 【18题答案】 【答案】至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙 【19题答案】 【答案】（1）或或 （2）或 【20题答案】 【答案】（1）见解析；（2），，2；（3） 【21题答案】 【答案】（1） （2） （3），证明过程见解析 （4） 【22题答案】 【答案】（1）；时，，时，； （2）最大值为； （3）存在实数，使得函数的最大值等于函数的“共同体函数”的最小值，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $