专题05： 一元一次不等式（组）（2个概念+2个性质+12大题型） 2025-2026学年七年级下学期数学期末考试专题复习（苏科版）

2025-2026学年七年级下学期 数学期末专题复习 专题:05： 一元一次不等式（组）（2个概念+2个性质+12大题型） 模块1：知识结构+题型预览 模块2：课本复盘+考点默写 考点1：不等式、一元一次不等式基本概念 1. 不等式定义：用不等号(>,<,≥,≤、≠)表示数量之间关系的式子叫作不等式。 易错提醒：不等式中可以没有未知数，例如：也是不等式。这个不等式的概念与方程的概念不同！ 2. 不等式的传递性： （1）如果那么. （2）如果,那么. 考点2：不等式的基本性质 基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式,不等号的方向不变. 可以用符号表示为:如果,那么. 基本性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变; 不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 可以用符号表示为:如果,那么(或 ); 如果,那么(或 ). 考点3：一元一次不等式（组）及其解集的概念、表示方法 1.一元一次不等式定义：只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式。 一元一次不等式的三个条件：不等式两边都是整式、只含有一个未知数、未知数的次数为1. 2. 不等式的解与解集： 满足不等式的未知数的某个值称为不等式的一个解,所有的解组成的全体叫作这个不等式的解集.求不等式解集的过程叫作解不等式。 在数轴上表示不等式解集的方法： 不等式的解集 数轴表示 3.解一元一次不等式的基本步骤和方法：（与一元一次方程解法步骤类似） （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。 4.一元一次不等式组定义： 把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起, 就组成了一个一元一次不等式组。 5.不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫作这个不等式组的解集 . 6.求不等式组解集四种情况： 不等式组 不等式的解集在数轴上的表示 不等式组的解集 无解 记忆口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找 7.解不等式组解集的方法步骤： （1）求出各个不等式的解集； （2）借助数轴或口诀求解集的公共部分。 考点4：一元一次不等式（组）的实际应用解题步骤 1.审题：找出题目中的关于表示不等关系的关键字词“大于”、“小于”、“不超过”等； 2.设元：根据需要设出适当的未知数； 3.列式：根据不等关系，列出不等式或不等式组； 4.求解：解出不等式（组）的解集； 5.检验：检验解集是否符合题意和实际生活； 6.写答：写出答案。 模块3：重点题型+变式训练 【题型1】不等式的概念与识别 例题1．式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据不等式的定义：用不等号（、、、、）连接的式子叫做不等式，逐一判断各个式子，进而统计符合条件的式子个数． 【详解】解：①用不等号连接，是不等式； ②用不等号连接，是不等式； ③用不等号连接，是不等式； ④是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤用不等号连接，是不等式； 符合不等式定义的式子共有个． 【变式训练】 1．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】不等式定义为：用不等号连接表示不等关系的式子叫做不等式．根据不等式定义逐一判断式子，统计个数即可得到结果． 【详解】解： ①，用不等号连接，是不等式； ②，用不等号连接，是不等式； ③，用等号连接，是等式，不是不等式； ④，是代数式，无不等号连接，不是不等式； ⑤，用不等号连接，是不等式； ∴不等式共有3个． 2．下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“用不等号表示不等关系的式子叫做不等式”，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A的是代数式，不含不等号，不是不等式， 选项B的，选项C的都是用等号连接的等式，不是不等式， 选项D的是用不等号连接，表示不等关系的式子，符合不等式定义． 3．已知“①；②；③；④；⑤”属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据不等式的定义，即用不等号连接的式子是不等式，逐个判断式子，统计符合条件的个数即可求解． 【详解】解：∵ ①是等式，不含不等号，不属于不等式； ②是代数式，不含不等号，不属于不等式； ③是代数式，不含不等号，不属于不等式； ④含有不等号，属于不等式； ⑤含有不等号，属于不等式； ∴ 属于不等式的共有2个． 4．老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】不等式的概念：用不等号、、、、连接而成的式子叫做不等式，据此逐个判断式子即可． 【详解】解：∵ ① 是用不等号连接的式子，是不等式； ② 是用不等号连接的式子，是不等式； ③ 是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ④ 是等式，不是不等式； ⑤ 是用不等号连接的式子，是不等式； ∴符合条件的不等式共有3个，故C正确． 【题型2】用不等式表示不等关系 例题2．“的与3的差是非负数”用不等式表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据 “非负数”就是，按题干描述逐步列式即可得到结果． 【详解】解：∵的可表示为， 的与的差可表示为． 又∵非负数是指大于或等于的数， ∴列出不等式为． 【变式训练】 1．惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，气温转暖，渐有春雷，今年惊蛰这一天太原市的最高气温是，最低气温是，则当天我市气温t（）满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最高气温和最低气温的实际含义，气温不低于最低气温，不高于最高气温，包含端点值，即可得到正确结果． 【详解】解：∵当天太原市的最高气温是，最低气温是， ∴气温（单位）满足：不低于最低气温，不高于最高气温可得． 2．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的概念及实际应用，根据图形中的标志，可得出通过该桥洞的车高最高为，据此得出答案． 【详解】解：由题意知，图形中的标志表示的是通过该桥洞的车高范围为， 故选：D． 3．为了保证学生能正常学习，学校的噪音一般不得超过50分贝．设学校的噪音为（分贝），则应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式，根据“不得超过”的含义，噪音x应不超过50分贝，即． 【详解】解：∵ 噪音不得超过50分贝， ∴ ， 故选：D． 4．假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为________． 【答案】80（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式的定义，掌握图标的意义是解题的关键．根据标志可得出行驶速度的范围，取其中任意数即可． 【详解】解：由图可知：该车道上车辆行驶速度的取值范围， 建议车速为. 故答案为：（答案不唯一）． 【题型3】不等式的基本性质判断 例题3．设x，y是实数，若，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A，不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，，本选项式子错误； B，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，，本选项式子错误； C，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，，本选项式子错误； D，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，，不等式两边同时加同一个正数，不等号不变，，本选项式子正确． 【变式训练】 1．已知，下列不等式变形中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵，不等式两边同时减2，不等号方向不变，∴，A变形错误； B、∵，当时，，此时，B变形错误； C、∵，不等式两边同时乘，不等号方向改变，∴，C变形正确； D、∵，不等式两边同时乘5，再加2，不等号方向不变，∴，D变形错误． 2．下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐一判断各选项，即可找出错误说法． 不等式性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变． 不等式性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：A、，不等式两边同时加，可得， ∴A说法正确，不符合题意； B、，不等式两边同时减，可得， ∴B说法正确，不符合题意； C、，不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得， ∴C说法错误，符合题意； D、，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得， ∴D说法正确，不符合题意． 3．如果，那么下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的性质逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：已知 根据不等式性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变． ∵两边同时加3，不等号方向不变， ∴成立，A不符合题意； 根据不等式性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变． ∵，两边同时乘，不等号方向改变， ∴，因此不成立，B符合题意． ∵两边同时减2，不等号方向不变， ∴成立，C不符合题意； 根据不等式性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，结合性质1可得： ∵，两边同时除以正数2，得，再两边同时加1，不等号方向不变， ∴ 成立，D不符合题意； 4．已知，则下列不等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质逐一变形即可判断各选项． 【详解】解：已知 ，移项可得，∴A正确； 对两边同乘，得 ，移项得 ，与 矛盾，∴B错误； 对，两边同除以，不等号方向改变，得 ，与C选项一致，∴C正确； 对，展开得，两边加得，与已知条件一致，∴D正确． 【题型4】一元一次不等式的概念与识别 例题4．下列不等式是一元一次不等式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义，逐一判断选项即可求解． 【详解】解：选项A中，里未知数的最高次数为2，不符合一元一次不等式的定义，该项错误． 选项B中，是等式，不是不等式，不符合要求，该项错误． 选项C中，含有两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，该项错误． 选项D中，是不等式，只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边均为整式，符合一元一次不等式的定义，该项正确． 【变式训练】 1．下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A．含有两个未知数，不符合一元一次不等式的定义，故A不符合题意； 选项B．是等式，不是不等式，故B不符合题意； 选项C．含有一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，故C符合题意； 选项D．中不是整式，不符合定义，故D不符合题意． 2．下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，一元一次不等式需满足：只含有一个未知数，未知数的次数为1，不等号两边都是整式．根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，故该选项符合题意； B、是分式，不是整式，不符合定义，故该选项不符合题意； C、含有两个未知数，不符合定义，故该选项不符合题意； D、未知数的次数为2，不符合定义，故该选项不符合题意． 3．式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：一元一次不等式有：①，不含未知数，不符合题意； ②，含有两个未知数，不符合题意； ③，是等式，不符合题意； ④，是代数式，不符合题意； ⑤，是一元一次不等式，符合题意； ⑥，分母中含有未知数，不符合题意； 故选：A ． 4．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只含有一个未知数，未知数的最高次数为的整式不等式，称为一元一次不等式；据此逐一判断即可． 【详解】A．含有和两个未知数，故该选项不是一元一次不等式，不符合题意， B．未知数的次数为，故该选项不是一元一次不等式，不符合题意， C．分母含有未知数，不是整式不等式，故该选项不是一元一次不等式，不符合题意， D．只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式不等式，故该选项是一元一次不等式，符合题意． 【题型5】根据一元一次不等式的概念求参数的值 例题5．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的 “未知数次数为 1 且系数不为 0” 这两个条件列方程与不等式求解． 根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，且系数不为零得到关于的方程求解即可． 【详解】∵ 不等式是关于 x 的一元一次不等式， ∴ x 的指数 ，且系数 ， 解 ，得 ，即 或 ， 又 ∵ ，即 ， ∴． 故选A． 【变式训练】 1．若是关于x的一元一次不等式，则a的值为（   ） A．2 B．－1 C．0 D．0或2 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，正确掌握定义是解决此题的关键．由一元一次不等式未知数x的次数为1且系数不为0，求出的值即可． 【详解】一元一次不等式未知数x的次数为1， ， 解得：或， 一元一次不等式未知数x的系数不为0， ， 解得：， 综上，a的值为0． 故选：C． 2．若是关于 x的一元一次不等式，则 m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值． 【详解】解：依题意得：且， 解得． 故选：B． 3．已知关于x的不等式是一元一次不等式，则______． 【答案】 【分析】含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的不等式是一元一次不等式， ∴， ∴． 4．若是关于x的一元一次不等式，则a的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， ∴且， 解得． 【题型6】一元一次不等式的解法 例题6．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1) ，数轴表示见解析 (2) ，数轴表示见解析 【详解】（1）解：， ， ， ； 数轴表示解集如图： （2）解： ， ， ， ． 在数轴上表示解集如图： 【变式训练】 1．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】（1）根据解不等式的基本步骤求解即可； （2）根据解不等式的基本步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 用数轴表示为： （2）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 系数化为1，得， 用数轴表示为： 2．解不等式，并把解集在数轴上表示出来 (1) (2) 【答案】(1)，见详解 (2)，见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）按照解不等式的步骤求解即可； （2）按照解不等式的步骤求解即可；系数化为时，注意不等号的方向是否变化. 【详解】（1）解： 去括号得， 移项得 合并同类项得 系数化为1得， 在数轴上表示为： （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得. 在数轴上表示为： 3．解不等式，并将其解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】；图见解析 【分析】按照解一元一次不等式的解法解不等式，再在数轴上表示即可． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 将该不等式的解集表示在数轴上如图所示： 4．解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【详解】解：， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得， 将解集在数轴上表示如图： 【题型7】一元一次不等式组的解法 例题7．解不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上 (1)； (2)． 【答案】(1) ，解集表示在数轴上见解析 (2) 无解，解集表示在数轴上见解析 【详解】（1）解： ， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集是， 把解集表示在数轴上： ； （2）解： ， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组无解， 把解集表示在数轴上： ． 【变式训练】 1．解不等式组： (1)； (2)，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)无解； (2)，数轴见解析 【详解】（1）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵， ∴不等式组无解； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是，在数轴上表示为： 2．解下列不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式得：， 因此，不等式组的解集为； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式得：， 因此，不等式组的解集为． 3．解不等式组，并把其解集表示在数轴上． (1)． (2)． 【答案】(1) ，数轴见解析； (2) ，数轴见解析． 【详解】（1）解：， 由得， 由得， ， 综上，解集为，在数轴上表示如下： （2）解：， 由得， ， ， ， 由得， ， ， ， 综上，解集为，在数轴上表示如下： 4．解不等式组： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】分别求出每个不等式组中两个一元一次不等式的解集，然后找出两个解集的公共部分即可． 【详解】（1）解： 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为； （2）解： 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为． 【题型8】一元一次不等式（组）的整数解问题 例题8．不等式组的整数解是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再确定不等式组的公共解集，最后找出解集中的整数即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为，其中整数解为． 【变式训练】 1．已知关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，再根据整数解的和为9确定符合条件的整数解，进而得到a的取值范围． 【详解】解：由不等式组可得解集为． ∵所有整数解的和为9，且，因此符合条件的整数解为2，3，4． 若，则整数解包含1，此时所有整数解的和为，因此． 若，则整数解不包含2，此时所有整数解的和为，因此． 综上，的取值范围是． 2．若整数使关于的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的整数的值之和为（   ） A．6 B．8 C．9 D．7 【答案】C 【分析】先求得不等式组的解集为，根据题意得到，据此求解即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组有且只有3个整数解，即、0、1， ∴，解得， ∵是整数， ∴的取值为、0、1、2、3、4． ∴满足条件的整数的值之和为． 3．关于x的不等式组恰好有3个整数解，则所有满足条件的整数m的和为______． 【答案】 【分析】先解不等式组，可得，结合整数解可得，再进一步求解即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得： 不等式组的解集为． ∵不等式组恰好有3个整数解， ∴x取2，1，0， ∴， 解得， ∴整数m的值为，，， ∴所有满足条件的整数m的和为． 4．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】先对不等式组进行求解，再根据不等式组有且只有4个整数解确定m的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式可得，； ∴该不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有4个整数解，即3，2，1，0， ∴． 【题型9】根据含参数的不等式组解集求参数范围 例题9．若关于的不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式组解集的确定规则，判断两个不等式解集存在公共部分的条件即可求解． 【详解】解：关于的不等式组有解， 两个不等式的解集必须存在公共部分，即存在实数满足 ， ． 【变式训练】 1．已知关于的不等式组，甲、乙两位同学分别得出以下结论：甲：如果不等式组有且仅有一个整数解，那么的取值范围是；乙：如果，那么此不等式组无解．其中下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都对 B．甲错，乙对 C．甲对，乙错 D．甲、乙都错 【答案】B 【分析】根据不等式组解的情况，对a进行讨论求解． 【详解】解：根据题意，得不等式组的解集为， 由它有且仅有一个整数解， ∴， 解得：，故甲错误； 若它无解，则， 解得：， 因为当时，满足， 所以不等式组无解，故乙正确． 2．若关于x的一元一次不等式组，有且仅有3个整数解，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】求出不等式的解集，根据不等式组有且仅有3个整数解确定不等式组的整数解即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵关于x的一元一次不等式组，有且仅有3个整数解， ∴该不等式组的整数解为1，2，3， ∴． 3．关于x的不等式组有解．则m的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组有解，即两个解集之间存在公共部分，确定的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②： 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为，得 关于的不等式组有解 解得． 4．已知关于的不等式组， （1）若不等式组无解，则的取值范围是______． （2）若不等式组有且仅有个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求出不等式组中两个不等式的解集，（1）由不等式组无解得到，即可求解；（2）根据题意可得这三个整数解为，，，进而得到，即可求解． 【详解】解：（1） 解不等式①得， 解不等式②得， 该不等式组无解， ，即； （2）该不等式组有且仅有个整数解，则这三个整数解为，，， ， 解得． 【题型10】不等式与方程组综合问题 例题10．若整数使关于的不等式组至少有个整数解，且使关于，的方程组的解为整数，那么所有满足条件的整数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式组得到解集，根据不等式组至少有个整数解确定的取值范围，再解方程组，根据方程组的解为整数找出符合条件的整数，统计其个数即可． 【详解】解：解不等式， ， ， 解得； 解不等式， ； 不等式组的解集为， 不等式组至少有个整数解， ， 解得． ， 由得，， 将代入得，， 整理得， ， 将代入得，， 方程组的解为整数， 为整数， 为整数，且， ，，， 所有满足条件的整数的个数是个． 【变式训练】 1．已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 【答案】 【分析】先利用整体的思想求出，从而可得，进而可得，进一步进行计算，即可解答． 【详解】解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 2．已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】（1）由加减消元法解二元一次方程组得出，然后代入计算即可得解； （2）由（1）得，结合题意得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， 得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∵该方程组的解满足为正数，为负数， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为0． 3．关于的方程组的解满足． (1)求m的取值范围； (2)若关于不等式组只有3个整数解，求满足条件的所有整数的和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）得出，再根据得出m的不等式，解不等式即可； （2）先求出不等式组的解集得出，再根据不等式组只有3个整数解，得出，再根据，得出，最后求出所有整数的和即可． 【详解】（1）解：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为． 4．已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 【答案】(1) (2) 整数的值是 【分析】（1）先解二元一次方程组得到用表示的，再根据为非负数，为负数列出不等式组，求解得到的取值范围； （2）整理不等式后，根据解集判断系数的符号，得到的新范围，结合（1）的范围即可求出整数． 【详解】（1）解：给定方程组， ，得， 解得； ，得， 解得． ∵为非负数，为负数， ∴， 解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得． 因此的取值范围是． （2）解：整理不等式得， 当时，，不合题意； 当时，x不存在； 当时，， 此时， 结合（1）中，可得． 因此范围内的整数为． 【题型11】不等式（组）的实际应用问题 例题11．七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【答案】8或9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有人包粽子，则表示出粽子总量为个，第二次分配时最后一个人的粽子数量为个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于个但少于个列出不等式组，求正整数解即可． 【详解】解：设参加端午节包粽子活动的学生有人． 由题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴可取或， 答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为或． 【变式训练】 1．“端午节”将至，某超市销售两种品牌的“粽子”，若购买9件A品牌粽子和6件B品牌粽子共需390元；若购买5件A品牌粽子和8件B品牌粽子共需310元． (1)A品牌粽子、B品牌粽子每件价格分别是多少元？ (2)若某公司购买两种品牌粽子30件，且A品牌粽子的数量至少比B品牌粽子的数量多5件，又不超过B品牌粽子的2倍，求该公司有几种购买方案？ 【答案】(1)A品牌粽子每件30元． B品牌粽子每件20元． (2)共有3种购买方案． 【分析】（1）根据两种购买方案的总费用，设未知数列出二元一次方程组，求解即可得 （2）根据两种品牌粽子的数量限制，列出一元一次不等式组，求出未知数的正整数解的个数，即可得到购买方案的数量． 【详解】（1）解：设品牌粽子每件x元，品牌粽子每件y元．根据题意可得 解得 答：品牌粽子每件30元，品牌粽子每件20元． （2）设购买品牌粽子m件，则购买品牌粽子件，m为正整数．根据题意可得 解不等式组得， ∴符合条件的正整数m为18，19，20，共3个． 答：该公司有3种购买方案． 2．某工厂用如图所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张，若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒x个． ①根据题意，完成以下表格： 纸盒 纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个） 正方形纸板（张） ________ 长方形纸板（张） ________ ②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ (2)若每个竖式纸盒获利2元，横式纸盒获利3元，求上述哪种方案销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)①见解析；②有三种方案：①生产竖式纸盒个，横式纸盒个；②生产竖式纸盒个，横式纸盒个；③生产竖式纸盒个，横式纸盒个 (2)方案①销售利润最大，最大利润是262元 【分析】（1）①根据题意和表格中的数据可以将空白出的数据补充完整； ②根据题意列出不等式组即可； （2）分别计算三种方案的利润，然后比较求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意得， 纸盒 纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个） 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） ②由题意得 解得． ∵为正整数， ∴，，． 有三种方案：①生产竖式纸盒个，横式纸盒个；②生产竖式纸盒个，横式纸盒个；③生产竖式纸盒个，横式纸盒个； （2）解：方案①利润为：（元）； 方案②利润为：（元）； 方案③利润为：（元）； ∵ ∴方案①销售利润最大，最大利润是262元． 3．剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进A，B两种样式的剪纸用于课外拓展课，A种剪纸每幅10元，B种剪纸每幅8元，计划购进A，B两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过920元，且购进的A种剪纸数量不少于B种剪纸数量的一半，则至少购进A种剪纸多少幅？并直接写出共有几种购买方案． 【答案】至少购进A种剪纸34幅．共有27种购买方案 【分析】设购进A种剪纸x幅，则购进B种剪纸幅，根据购买预算不超过920元，且购进的A种剪纸数量不少于B种剪纸数量的一半列出不等式组，解不等式组并结合为正整数进行解答即可． 【详解】解：设购进A种剪纸x幅，则购进B种剪纸幅， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为34，最大值为．即共有27种购买方案． 答：至少购进A种剪纸34幅．共有27种购买方案． 4．为推进“足球进校园”活动的开展，巴城某学校计划购进一批足球存放架用于存放学生足球．若购买个甲种足球存放架，个乙种足球存放架共需资金元；若购买个甲种足球存放架，个乙种足球存放架，共需资金元． (1)甲、乙两种足球存放架每个的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购进甲、乙两种足球存放架共个，其中乙种足球存放架的数量不少于甲种足球存放架的数量，且学校至多能够提供资金元，请通过计算设计出所有购买方案． 【答案】(1)甲种足球存放架每个元，乙种足球存放架每个元； (2)共有三种购买方案，方案一：购买甲种足球存放架个，乙种足球存放架个；方案二：购买甲种足球存放架个，乙种足球存放架个；方案三：购买甲种足球存放架个，乙种足球存放架个． 【分析】（）设甲种足球存放架每个的价格为元，乙种足球存放架每个的价格为元，根据题意可得，然后解方程组即可； （）设购进甲种足球存放架个，则购进乙种足球存放架个，根据题意可得，然后解不等式组，结合数量为正整数，得到所有符合要求的购买方案． 【详解】（1）解：设甲种足球存放架每个的价格为元，乙种足球存放架每个的价格为元， 根据题意可得，解得， 答：甲种足球存放架每个元，乙种足球存放架每个元； （2）解：设购进甲种足球存放架个，则购进乙种足球存放架个， 根据题意可得， 解得：， 因为为正整数， 所以的取值为，，， 当时，； 当时，； 当时，； 答：共有三种购买方案，方案一：购买甲种足球存放架个，乙种足球存放架个；方案二：购买甲种足球存放架个，乙种足球存放架个；方案三：购买甲种足球存放架个，乙种足球存放架个． 【题型12】有关不等式（组）的新定义问题 例题12．定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【答案】(1)① (2)或 (3) 【分析】（1）求出两个不等式组的解集，根据定义进行判断即可； （2）根据定义得到关于a的不等式组，进而计算可以得解； （3）根据“相容不等式组”的定义求出的取值范围，再根据两个不等式组整数解相同求出的取值范围，取两个取值范围的公共部分即可． 【详解】（1）解：不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相容不等式组”． 故答案为：①． （2）解：∵关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， ∴或． ∴或 （3）解：∵不等式组是的“相容不等式组” ， 解得 的整数解为2，3，4，且和的整数解相同， ∴ ∴ 综上所述： 【变式训练】 1．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是________；（只填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？ 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查新定义，涉及解一元一次方程、解一元一次不等式组等知识，理解新定义的“关联方程”是解决问题的关键． （1）解题中给出的三个一元一次方程及不等式组的解集，根据“关联方程”验证即可得到答案； （2）解一元一次方程得到，解不等式组得到，根据“关联方程”的定义得到求解即可确定答案． 【详解】（1）解：①，解得； ②，解得； ③，解得； ， 解不等式①得； 解不等式②得； 原不等式组的解集为； 、在范围内；不在范围内， 不等式组的“关联方程”是①②， 故答案为：①②； （2）解：，解得； 解不等式①得； 解不等式②得； 不等式组的解集为； 关于x的方程是不等式组的“关联方程”， ，解得． 2．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． (1)不等式______（选填“是”或“不是”）的“云不等式”； (2)若关于的不等式与不等式互为“云不等式”，且有个公共的整数解，求的取值范围． 【答案】(1)不是 (2)的取值范围为 【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，理解“云不等式”是解题的关键 （1）根据“云不等式”的定义，即可解答； （2）先分别解两个不等式，然后根据题意可得，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：与没有公共解， 不等式不是的“云不等式”， 故答案为：不是； （2）解：解不等式，得； 解不等式，得； 这两个不等式互为“云不等式”， ， 又它们有个公共的整数解， 其公共整数解为和， 由题意得：， ， 的取值范围为． 3．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． (1)不等式______的“和谐不等式”（填“是”或“不是”）． (2)如果关于x的不等式不是的“和谐不等式”，求m的取值范围． (3)当时，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 【答案】(1)不是 (2) (3)或 【分析】（1）根据“和谐不等式”的定义即可得解； （2）解不等式可得，解不等式得，再根据“和谐不等式”的定义可得； （3）分和两种情况讨论，根据“和谐不等式”的定义得到含n的不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据“和谐不等式”的定义可知：不等式与没有公共整数解， ∴不等式不是的“和谐不等式”， （2）解：解不等式可得， 解不等式得， ∵关于x的不等式不是的“和谐不等式”， 即两个不等式的公共解集中没有整数； 因为小于3的最大整数是2，所以要使公共解集中没有整数， ∴； （3）解：解不等式得， 解不等式得， ①当，即时，则， 此时不等式与不等式总有公共整数解， ∴时，不等式与不等式总是互为“和谐不等式” ②当，即时，， ∵不等式与不等式互为“和谐不等式”， ∴， 解得， ∴， 综上，n的取值范围为：或． 4．对于一元一次方程和一元一次不等式组，给出如下定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程” (1)在方程①，②，③中，__________（填序号）是不等式组的“子方程”； (2)若不等式组的一个“子方程”的解是整数，则这个“子方程”可以是_________；（写出一个即可） (3)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)② (2)（满足解是1的一元一次方程均可） (3) 【分析】（1）求出不等式组的解集和三个方程的解，再根据“子方程”的定义逐一判断即可； （2）求出不等式组的解集，进而确定不等式组的整数解，则可确定“子方程”的解，据此可得答案； （3）求出不等式组的解集和方程的解，再根据“子方程”的定义建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解： 解不等式得， 解不等式得， ∴原不等式组的解集为； 解方程得， 解方程得， 解方程得， ∴只有方程是不等式组的“子方程”； （2）解： 解不等式得， 解不等式得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为1， ∵不等式组的一个“子方程”的解是整数， ∴该“子方程”的解是， ∴该“子方程”可以为； （3）解： 解不等式得， 解不等式得， ∴原不等式组的解集为； 解方程得， ∵方程，是关于x的不等式组的“子方程”， ∴， 解得． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期 数学期末专题复习 专题:05： 一元一次不等式（组）（2个概念+2个性质+12大题型） 模块1：知识结构+题型预览 模块2：课本复盘+考点默写 考点1：不等式、一元一次不等式基本概念 1. 不等式定义：用 表示 的式子叫作不等式。 易错提醒：不等式中可以没有未知数，例如：也是不等式。这个不等式的概念与方程的概念不同！ 2. 不等式的传递性： （1）如果那么 （2）如果,那么 . 考点2：不等式的基本性质 基本性质1：不等式的两边都 (或 )同一个 ,不等号的方向 . 可以用符号表示为:如果,那么 . 基本性质2：不等式的两边都 同一个 ,不等号的方向 ; 不等式的两边都 同一个 ,不等号的方向 . 可以用符号表示为:如果,那么 (或 ); 如果,那么 (或 ). 考点3：一元一次不等式（组）及其解集的概念、表示方法 1.一元一次不等式定义：只含有 ,并且 的不等式叫作一元一次不等式。 一元一次不等式的三个条件：不等式两边都是 、 、 . 2. 不等式的解与解集： 满足不等式的未知数的 称为不等式的一个解, 叫作这个不等式的解集.求不等式解集的过程叫作解不等式。 在数轴上表示不等式解集的方法： 不等式的解集 数轴表示 3.解一元一次不等式的基本步骤和方法：（与一元一次方程解法步骤类似） （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） 。 4.一元一次不等式组定义： 把几个含有 的 联立在一起, 就组成了一个一元一次不等式组。 5.不等式组的解集：不等式组中 叫作这个不等式组的解集 . 6.求不等式组解集四种情况： 不等式组 不等式的解集在数轴上的表示 不等式组的解集 记忆口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找 7.解不等式组解集的方法步骤： （1）求出各个不等式的 ； （2）借助数轴或口诀求解集的 。 考点4：一元一次不等式（组）的实际应用解题步骤 1.审题：找出题目中的关于表示 的关键字词“ ”、“ ”、“ ”等； 2.设元：根据需要设出 ； 3.列式：根据不等关系，列出 ； 4.求解：解出 ； 5.检验：检验解集 和 ； 6.写答：写出答案。 模块3：重点题型+变式训练 【题型1】不等式的概念与识别 例题1．式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】 1．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 3．已知“①；②；③；④；⑤”属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2】用不等式表示不等关系 例题2．“的与3的差是非负数”用不等式表示是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，气温转暖，渐有春雷，今年惊蛰这一天太原市的最高气温是，最低气温是，则当天我市气温t（）满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 2．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 3．为了保证学生能正常学习，学校的噪音一般不得超过50分贝．设学校的噪音为（分贝），则应满足（    ） A． B． C． D． 4．假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为________． 【题型3】不等式的基本性质判断 例题3．设x，y是实数，若，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知，下列不等式变形中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．如果，那么下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则下列不等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【题型4】一元一次不等式的概念与识别 例题4．下列不等式是一元一次不等式的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 3．式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【题型5】根据一元一次不等式的概念求参数的值 例题5．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【变式训练】 1．若是关于x的一元一次不等式，则a的值为（   ） A．2 B．－1 C．0 D．0或2 2．若是关于 x的一元一次不等式，则 m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 3．已知关于x的不等式是一元一次不等式，则______． 4．若是关于x的一元一次不等式，则a的值为______． 【题型6】一元一次不等式的解法 例题6．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【变式训练】 1．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 2．解不等式，并把解集在数轴上表示出来 (1) (2) 3．解不等式，并将其解集表示在如图所示的数轴上． 4．解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 【题型7】一元一次不等式组的解法 例题7．解不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上 (1)； (2)． 【变式训练】 1．解不等式组： (1)； (2)，并把它的解集在数轴上表示出来． 2．解下列不等式组： (1) (2) 3．解不等式组，并把其解集表示在数轴上． (1)． (2)． 4．解不等式组： (1) (2) 【题型8】一元一次不等式（组）的整数解问题 例题8．不等式组的整数解是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练】 1．已知关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 2．若整数使关于的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的整数的值之和为（   ） A．6 B．8 C．9 D．7 3．关于x的不等式组恰好有3个整数解，则所有满足条件的整数m的和为______． 4．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则m的取值范围为______． 【题型9】根据含参数的不等式组解集求参数范围 例题9．若关于的不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知关于的不等式组，甲、乙两位同学分别得出以下结论：甲：如果不等式组有且仅有一个整数解，那么的取值范围是；乙：如果，那么此不等式组无解．其中下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都对 B．甲错，乙对 C．甲对，乙错 D．甲、乙都错 2．若关于x的一元一次不等式组，有且仅有3个整数解，则m的取值范围为______． 3．关于x的不等式组有解．则m的取值范围是________． 4．已知关于的不等式组， （1）若不等式组无解，则的取值范围是______． （2）若不等式组有且仅有个整数解，则的取值范围是______． 【题型10】不等式与方程组综合问题 例题10．若整数使关于的不等式组至少有个整数解，且使关于，的方程组的解为整数，那么所有满足条件的整数的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 2．已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 3．关于的方程组的解满足． (1)求m的取值范围； (2)若关于不等式组只有3个整数解，求满足条件的所有整数的和． 4．已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 【题型11】不等式（组）的实际应用问题 例题11．七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【变式训练】 1．“端午节”将至，某超市销售两种品牌的“粽子”，若购买9件A品牌粽子和6件B品牌粽子共需390元；若购买5件A品牌粽子和8件B品牌粽子共需310元． (1)A品牌粽子、B品牌粽子每件价格分别是多少元？ (2)若某公司购买两种品牌粽子30件，且A品牌粽子的数量至少比B品牌粽子的数量多5件，又不超过B品牌粽子的2倍，求该公司有几种购买方案？ 2．某工厂用如图所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张，若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒x个． ①根据题意，完成以下表格： 纸盒 纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个） 正方形纸板（张） ________ 长方形纸板（张） ________ ②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ (2)若每个竖式纸盒获利2元，横式纸盒获利3元，求上述哪种方案销售利润最大？最大利润是多少？ 3．剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进A，B两种样式的剪纸用于课外拓展课，A种剪纸每幅10元，B种剪纸每幅8元，计划购进A，B两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过920元，且购进的A种剪纸数量不少于B种剪纸数量的一半，则至少购进A种剪纸多少幅？并直接写出共有几种购买方案． 4．为推进“足球进校园”活动的开展，巴城某学校计划购进一批足球存放架用于存放学生足球．若购买个甲种足球存放架，个乙种足球存放架共需资金元；若购买个甲种足球存放架，个乙种足球存放架，共需资金元． (1)甲、乙两种足球存放架每个的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购进甲、乙两种足球存放架共个，其中乙种足球存放架的数量不少于甲种足球存放架的数量，且学校至多能够提供资金元，请通过计算设计出所有购买方案． 【题型12】有关不等式（组）的新定义问题 例题12．定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【变式训练】 1．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是________；（只填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？ 2．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． (1)不等式______（选填“是”或“不是”）的“云不等式”； (2)若关于的不等式与不等式互为“云不等式”，且有个公共的整数解，求的取值范围． 3．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． (1)不等式______的“和谐不等式”（填“是”或“不是”）． (2)如果关于x的不等式不是的“和谐不等式”，求m的取值范围． (3)当时，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 4．对于一元一次方程和一元一次不等式组，给出如下定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程” (1)在方程①，②，③中，__________（填序号）是不等式组的“子方程”； (2)若不等式组的一个“子方程”的解是整数，则这个“子方程”可以是_________；（写出一个即可） (3)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，求m的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $