专题04： 二元一次方程组（2种方法+10大题型） 2025-2026学年七年级下学期数学期末考试专题复习（苏科版）

2025-2026学年七年级下学期 数学期末专题复习 专题:04： 二元一次方程组（2种方法+10大题型） 模块1：知识结构+题型预览 模块2：课本复盘+考点默写 考点1：二元一次方程（组）基本概念 1. 二元一次方程：含有 未知数,并且 的方程叫作二元一次方程。 2. 二元一次方程组：把只含有 未知数，并且 的方程组叫作二元一次方程组。 3. 二元一次方程组的解：把二元一次方程组中两个方程的 叫作二元一次方程组的解。 考点2：二元一次方程组的解法 1.代入消元法： （1）将方程组的一个方程中的某个未知数用 表示,并代入 , ,从而把解 转化为解 .这种解方程组的方法叫作代入消元法,简称代入法. （2）代入消元法基本步骤：变形→ →求解→ →写解 2.加减消元法： （1）把方程组的两个方程(或先做适当变形)的左、右两边分别 或 ,消去 ,从而把解 转化为解 .这种解方程组的方法叫作加减消元法,简称加减法. （2）加减消元法基本步骤：变形→ →求解→ →写解 考点3：二元一次方程组的实际应用 运用二元一次方程组解决实际问题解题一般步骤： （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ． 模块3：重点题型+变式训练 【题型1】二元一次方程的概念与识别 例题1．下列是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．下列方程中，是二元一次方程的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】根据二元一次方程的解求参数值 例题2．已知是二元一次方程的一组解，则a的值为（   ） A． B．3 C． D． 【变式训练】 1．若，是关于x、y的二元一次方程的一个解，则a的值为（    ） A．4 B． C．6 D． 2．已知是方程的解，那么的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 3．若是二元一次方程的一个解，则（    ） A． B． C． D． 4．若是二元一次方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型3】二元一次方程的整数解问题 例题3．关于的二元一次方程的正整数解个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．二元一次方程的正整数解（即x、y都是正整数）有（    ）对． A．1 B．2 C．3 D．4 2．二元一次方程的整数解有几组？ （    ） A．1组 B．3组 C．4组 D．无数组 3．若二元一次方程有正整数解，则x的取值应为（ ） A．0 B．正偶数 C．正奇数 D．任意整数 4．下列关于二元一次方程的解的说法中，错误的是（   ） A．是它的解 B．它没有正整数解 C．它有无数个解 D．它只有一个解 【题型4】二元一次方程组的概念与识别 例题4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①②③④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 【题型5】二元一次方程组的解法 例题5．解下列方程组 (1) (2) 【变式训练】 1．解方程组： (1) (2) 2．解下列二元一次方程组： (1) (2) 3．解下列方程组： (1)； (2)． 4．材料阅读：小明在解方程组时发现，如果把方程组中的，分别看成两个整体，通过换元，可以简化运算．以下是他的解题过程： 令，原方程组化为解得 把代入，，得解得 所以原方程组的解为 (1)学以致用：运用上述方法解方程组 (2)拓展提升：已知关于x，y的方程组的解为请直接写出关于的方程组的解是__________． 【题型6】含参数的二元一次方程组问题 例题6．已知二元一次方程组的解满足，求的值． 【变式训练】 1．已知关于，的二元一次方程组的解，满足，求的值． 2．已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若原方程组的解满足，求m的值． 3．已知关于的二元一次方程组的解为，且，求的值 4．延时课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值． 请结合他们的对话，解答下列问题： (1)按照小云的方法，的值为_____，的值为_____． (2)老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 【题型7】二元一次方程组的同解问题 例题7．若方程组与方程组的解相同， (1)求方程组的解； (2)求、的值． 【变式训练】 1．已知方程组和有相同的解，求的值． 2．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解． (2)求的值． 3．已知关于x，y的方程组 和关于x，y的方程组 的解相同，求 的值． 4．已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【题型8】二元一次方程组的错解问题 例题8．甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【变式训练】 1．小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 2．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值 3．甲、乙两人解关于x，y的方程组，甲看错方程“”中的a，得到方程组的解为；乙看错方程“”中的b，得到方程组的解为，求的值． 4．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【题型9】二元一次方程组的实际应用 例题9．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（1托为5尺）．意思是，一支竿子和一根绳子，绳子比竿子长5尺，绳子对折后比竿子短5尺．问：竿子长多少尺？ 【变式训练】 1．小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑．拼成如图2所示的正方形，中间留下的空白部分恰好是边长为的小正方形． 你能求出这些小长方形的长和宽吗？ 【思路分析】 (1)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程______，由图2可列二元一次方程______． 【问题解决】 (2)根据（1）中的分析，求出小长方形的长和宽． 【拓展延伸】 (3)七（6）班举办“以规范书写呈现汉字之美”的写字活动．现有甲、乙两种规格的笔记本作为奖品奖励给同学们．已知每本乙笔记本的厚度是每本甲笔记本厚度的2倍．根据下图中所给的数据，求每本甲笔记本的厚度和桌子的高度． 2．疫情之下，我市组织300名医护人员支援威海各地抗疫活动，可以选用的车辆有小客车和大客车两种车型．已知租用2辆小客车和1辆大客车可载150人，租用1辆小客车和2辆大客车可载165人． (1)1辆小客车和1辆大客车分别可载多少人？ (2)要同时租用小客车和大客车两种车型，一次性将300名医护人员送到目的地．要使租用的车辆恰好都能坐满且不超载，则需租用的小客车和大客车数量分别为 （辆）． 3．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 4．2026马年央视春晚中，字树科技的机器人（武）展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． (1)求两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． (3)每台A型机器人每月维护费万元，每台B型机器人每月维护费万元，在（2）的所有方案中，维护费最低的是哪个方案？最低维护费是多少？ 【题型10】二元一次方程（组）与新定义问题 例题10．规定：形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”． (1)方程的“共轭二元一次方程”为_______； (2)若关于x，y的方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的“共轭系数”． 【变式训练】 1．阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：已知关于x、y的二元一次方程（其中），若将该方程中y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为． (1)写出的“船山方程”是______，由该方程和其“船山方程”组成的方程组的解是______； (2)若关于x，y的二元一次方程（其中）的系数满足， ①求该方程与其“船山方程”组成的方程组的解； ②若①中方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 2．我们把关于、的两个二元一次方程与叫作互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做关于、共轭二元一次方程组．例如：与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于、共轭二元一次方程组；与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于、的共轭二元一次方程组． (1)若关于、的方程组，为共轭方程组，则______， ______； (2)若二元一次方程中、的值满足下列表格： 1 0 0 2 则这个方程的共轭二元一次方程是______； (3)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：的解为______． (4)发现：若方程组是共轭方程组，且方程组的解是，请计算的值． 3．规定：形如关于x、y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组 叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于x、y的方程组 为共轭方程组，则 ， ； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组 时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以 ③×4得： ①④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组 的解． 4．数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期 数学期末专题复习 专题:04： 二元一次方程组（2种方法+10大题型） 模块1：知识结构+题型预览 模块2：课本复盘+考点默写 考点1：二元一次方程（组）基本概念 1. 二元一次方程：含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。 2. 二元一次方程组：把只含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组。 3. 二元一次方程组的解：把二元一次方程组中两个方程的公共解叫作二元一次方程组的解。 考点2：二元一次方程组的解法 1.代入消元法： （1）将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示,并代入另一个方程,消去这个未知数,从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法叫作代入消元法,简称代入法. （2）代入消元法基本步骤：变形→代入→求解→回代→写解 2.加减消元法： （1）把方程组的两个方程(或先做适当变形)的左、右两边分别相加或相减,消去其中一个未知数,从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法叫作加减消元法,简称加减法. （2）加减消元法基本步骤：变形→加减→求解→回代→写解 考点3：二元一次方程组的实际应用 运用二元一次方程组解决实际问题解题一般步骤： （1）审题；（2）设出未知数；（3）列出方程组；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）写答案． 模块3：重点题型+变式训练 【题型1】二元一次方程的概念与识别 例题1．下列是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A．，只含有1个未知数，属于一元一次方程，不合题意； B．，分母含有未知数，不是整式方程，不合题意； C．，含未知数的项的次数为2，不是二元一次方程，不合题意； D．，是整式方程，含有 两个未知数，含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程的定义，符合题意． 【变式训练】 1．下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义判断，二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，共含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1． 【详解】解：选项A，，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且为整式方程，符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意； 选项B，，项的次数为2，不符合定义，故本选项不符合题意； 选项C，，只含有1个未知数，不符合定义，故本选项不符合题意； 选项D，，该方程不是整式方程，不符合定义，故本选项不符合题意； 2．下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义，即含有两个未知数，且所有未知项的次数都是1的整式方程，对各选项逐一判断即可. 【详解】解：A选项，未知项的次数为2，不符合二元一次方程定义，不是二元一次方程； B选项中只含有一个未知数，且的次数为2，是一元二次方程，不是二元一次方程； C选项是整式方程，含有两个未知数，所有未知项的次数都是1，符合二元一次方程定义，是二元一次方程； D选项，不是整式，方程不是整式方程，不符合二元一次方程定义，不是二元一次方程. 3．下列方程中，是二元一次方程的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二元一次方程需要满足三个条件：是整式方程，含有两个未知数，所有未知数的最高次数为1，据此逐一判断即可． 【详解】解：①满足整式方程，含两个未知数，所有未知数次数均为1，是二元一次方程； ②只含有1个未知数，不是二元一次方程； ③含有3个未知数，不是二元一次方程； ④满足整式方程，含两个未知数，所有未知数次数均为1，是二元一次方程； ⑤中的次数为，不满足未知数最高次数为1的要求，不是二元一次方程； 综上，符合条件的二元一次方程共个． 4．下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需满足三个条件：①是整式方程；②含有两个未知数；③所有含未知数的项的次数均为1． 【详解】解：对于选项A：，项的次数为，不符合定义； 对于选项B：整理得，，符合二元一次方程的定义； 对于选项C：，是分式方程，不符合定义； 对于选项D：，的次数为，不符合定义． 【题型2】根据二元一次方程的解求参数值 例题2．已知是二元一次方程的一组解，则a的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】将代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴将代入原方程得， 整理得， 解得． 【变式训练】 1．若，是关于x、y的二元一次方程的一个解，则a的值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将代入二元一次方程中求出a的值即可． 【详解】解：将代入，得 ， 解得． 2．已知是方程的解，那么的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】利用二元一次方程解的定义求解，方程的解满足方程，将已知解代入原方程即可求出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得． 3．若是二元一次方程的一个解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二元一次方程的解的定义可得，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， ∴ ． 4．若是二元一次方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据方程的解得到的值，再代入代数式即可求解． 【详解】解：∵ 是二元一次方程 的一个解， ∴ 将， 代入， 得 ， ∴ ． 【题型3】二元一次方程的整数解问题 例题3．关于的二元一次方程的正整数解个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】将方程变形为用表示的形式，根据，为正整数确定的取值范围，再枚举验证得到符合条件的正整数解，统计解的个数即可． 【详解】解： ，均为正整数 ∴ ∴ ， 解得 又∵ x为正整数， ∴ x可取1，2，3，4，5，6，7 依次代入验证： 当时， ，不是正整数，不符合条件； 当时， ，不是正整数，不符合条件； 当时， ，是正整数，符合条件； 当时， ，不是正整数，不符合条件； 当时， ，不是正整数，不符合条件； 当时， ，不是正整数，不符合条件； 当时， ，是正整数，符合条件； 因此方程共有2个正整数解． 【变式训练】 1．二元一次方程的正整数解（即x、y都是正整数）有（    ）对． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由，可得出，结合，均为正整数，即可求出二元一次方程的正整数解共有3对． 【详解】解：， ． 又，均为正整数， 或或， 二元一次方程的正整数解共有3对． 2．二元一次方程的整数解有几组？ （    ） A．1组 B．3组 C．4组 D．无数组 【答案】D 【分析】本题主要考查了求二元一次方程的整数解，将方程变形，用x表示y，分析x的取值范围．由于x可取任意整数，对应的y值也为整数，因此整数解有无数组． 【详解】解：将方程变形为， 对于任意整数，均为整数， 因此也为整数，对应的y值必为整数． 由于x可以取所有整数（如，1，，2，，…），每个x对应唯一的整数y， 因此方程的整数解有无数组． 故选D． 3．若二元一次方程有正整数解，则x的取值应为（ ） A．0 B．正偶数 C．正奇数 D．任意整数 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的正整数解，熟练掌握用含一个未知数的式子表示另一个未知数以及数的奇偶性分析是解题的关键． 先将二元一次方程变形为用表示的形式，再根据正整数解的条件分析的取值特征． 【详解】解：由，可得， ∵方程有正整数解， ∴是正整数，即，且能被整除． 由，解得． 又∵能被整除，为奇数（因为奇数减是偶数）， ∴为正奇数． 故选：C． 4．下列关于二元一次方程的解的说法中，错误的是（   ） A．是它的解 B．它没有正整数解 C．它有无数个解 D．它只有一个解 【答案】D 【分析】根据二元一次方程的相关知识，解答判断即可． 本题考查了二元一次方程的认识，熟练掌握其相关知识是解题的关键． 【详解】解：由， 得， A. 是它的解，正确，不符合题意； 根据题意，得，故，而，矛盾， 故方程没有正整数解， B. 它没有正整数解，正确，不符合题意； C. 它有无数个解，正确，不符合题意；     D. 它只有一个解，错误，符合题意； 故选：D． 【题型4】二元一次方程组的概念与识别 例题4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义判断各选项是否满足条件：①方程组共含两个未知数；②每个方程都是整式方程；③每个方程中含未知数的项的次数均为1． 【详解】解：选项A中第二个方程不是整式方程，不符合定义，不是二元一次方程组； 选项B中方程组含有三个未知数，不符合定义，不是二元一次方程组； 选项C中两个方程均为整式方程，仅含两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； 选项D中第一个方程含二次项，次数不为1，不符合定义，不是二元一次方程组． 【变式训练】 1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二元一次方程组满足：共含有两个未知数，所有未知数的项的次数都是1，且均为整式方程． A、选项中两个方程均为一次方程，共含有两个未知数，是二元一次方程组，不符合题意； B、选项中方程中，项的次数是2，不满足次数为1的要求，不是二元一次方程组，符合题意； C、选项中两个方程均为一次方程，共含有两个未知数，是二元一次方程组，不符合题意； D、选项中两个方程均为一次方程，共含有两个未知数，是二元一次方程组，不符合题意． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程组中两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； B、方程组是二元一次方程组，符合题意； C、方程组中方程中含未知数的项的次数不是1，不是二元一次方程组，不符合题意； D、方程组中方程不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意； 3．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二元一次方程组的定义为：由一次方程组成，且方程组中共含有两个未知数的整式方程组，叫做二元一次方程组. A中方程组仅含有两个未知数，所有方程都是一次整式方程，是二元一次方程组； B中方程组含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； C中方程组仅含有两个未知数，所有方程都是一次整式方程，是二元一次方程组； D中方程组仅含有两个未知数，所有方程都是一次整式方程，是二元一次方程组． 4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①②③④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义：共含有两个未知数，所有方程均为一次整式方程的方程组，依次判断各方程组即可． 【详解】解：①是二元一次方程组，符合题意； ②是二元一次方程组，符合题意； ③不是整式方程，故不是二元一次方程组，不符合题意； ④是二元一次方程组，符合题意； 其中是二元一次方程组的是①②④． 【题型5】二元一次方程组的解法 例题5．解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 把②代入①得，， 解得：， 把代入①得，， 解得：， ∴方程组的解为； （2）解： ①②得，， 解得：， 把代入②得，， 解得：， ∴方程组的解为． 【变式训练】 1．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 由得， 解得， 将代入得， 解得， ∴方程组的解为． （2）解：， 由得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为：． 2．解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可； （2）把方程整理为，再加减消元法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】（1）解： ，得③， ，得，， 将代入①，得，， ∴原方程组的解为； （2）解：原方程组可化为， ，得 ，得， ，得，， 将代入①，得，， ∴原方程组的解为． 3．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组； （2）首先整理二元一次方程组，再用加减消元法解二元一次方程组． 【详解】（1）解：， ②得：， ①③得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 方程组的解为； （2）解：， 整理得：， ①②得：， 解得：， 把代入方程①得：， 解得：， 方程组的解为． 4．材料阅读：小明在解方程组时发现，如果把方程组中的，分别看成两个整体，通过换元，可以简化运算．以下是他的解题过程： 令，原方程组化为解得 把代入，，得解得 所以原方程组的解为 (1)学以致用：运用上述方法解方程组 (2)拓展提升：已知关于x，y的方程组的解为请直接写出关于的方程组的解是__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组，掌握换元法是解题的关键． （1）根据题目描述，利用换元法将复杂方程转化为简答方程即可求解； （2）将方程组进行变形后得，利用换元法和已知解即可求解． 【详解】（1）解：设，， 原方程组可化为，解得， 把代入，得， ， 解得； （2）解：将化简得， ， 设，， 原方程组化为， 由题可知，解为， 将代入得，， 解得． 【题型6】含参数的二元一次方程组问题 例题6．已知二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解满足， ∴ 解得． 【变式训练】 1．已知关于，的二元一次方程组的解，满足，求的值． 【答案】 【分析】由得：，再由，可得，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴， 解得：． 2．已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若原方程组的解满足，求m的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由x，y为正整数，从而可得方程的正整数解； （2）先构建新的方程组，再解方程组求解x，y的值，再把x，y的值代入，再求解m的值即可． 【详解】（1）解：方程的所有正整数解：或； （2）解：由题意得：， 解得， 把代入， 得： ， 解得． 3．已知关于的二元一次方程组的解为，且，求的值 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．利用关于，的二元一次方程组的解为得到，，据此求解即可． 【详解】解：关于的二元一次方程组的解为，且， ， 由得， 即， ， 4．延时课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值． 请结合他们的对话，解答下列问题： (1)按照小云的方法，的值为_____，的值为_____． (2)老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）把方程①＋②，利用整体未知数再建立一元一次方程即可． 【详解】（1）解： 得到， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴ 故答案为： （2）， ①＋②得到， 即， ∵③， ∴， 解得：． 【题型7】二元一次方程组的同解问题 例题7．若方程组与方程组的解相同， (1)求方程组的解； (2)求、的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）把代入方程组得到，解方程组求出m、n的值. 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为. （2）解：解方程组得， ∵方程组与方程组的解相同， ∴是方程组的解， ∴， 解得. 【变式训练】 1．已知方程组和有相同的解，求的值． 【答案】0 【分析】先解方程组得到，再把代入方程组中得到关于a、b的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴方程组的解为， ∵方程组和有相同的解， ∴， 得，解得， 把代入③得，解得， ∴方程组的解为， ∴． 2．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解． (2)求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）理解题意，先建立方程组，再运用加减消元法解出； （2）先把代入得，，再相加得，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于，的方程组和有相同的解， ∴联立得，， ，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴这个相同的解为； （2）解：由（1）得， 把分别代入，， ∴，， 把上式两式相加得， ∴． 3．已知关于x，y的方程组 和关于x，y的方程组 的解相同，求 的值． 【答案】0 【分析】先求出，再将代入，解得，即可得到答案． 【详解】解：两个方程组的解相同，故是两个方程组的公共解， 解得， 将代入，得， 解得， ． 4．已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程组有相同的解得到，再利用加减消元法运算即可； （2）把代入，得，再运算求解即可． 【详解】（1）解：∵方程组和有相同的解， ∴ ①②得， 解得， 将代入①得， ∴方程组的解为； （2）解：把，代入，得， 解得， ∴． 【题型8】二元一次方程组的错解问题 例题8．甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意加减消元法的应用． （1）将代入②，代入①得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值； （2）应用加减消元法，求出原方程组的正确解是多少即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得 ， 解得； （2）解：由上题，得， ①②，得， 把代入②，可得：， 解得， 原方程组的正确解是． 【变式训练】 1．小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 【答案】，，0 【详解】解：将代入②，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 故 2．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值 【答案】，，0 【分析】根据题意可知甲的解满足方程②，乙的解满足方程①，据此分别代入到对应的方程求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得：把代入中得， 解得， 把代入中得， 解得， ． 3．甲、乙两人解关于x，y的方程组，甲看错方程“”中的a，得到方程组的解为；乙看错方程“”中的b，得到方程组的解为，求的值． 【答案】2 【分析】根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程，乙所得的方程组的解满足方程，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程和方程中求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵甲看错方程“”中的a，得到方程组的解为， ∴满足题中的方程， ， 解得：， ∵乙看错方程“”中的b，得到方程组的解为， ∴满足题中的方程， ， 解得：， ． 4．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【答案】，． 【分析】先根据看错系数但未看错的方程仍然成立的原则，将甲、乙的解分别代入未看错的方程，得到关于、的二元一次方程组，再解方程组求出和的值． 【详解】解：∵甲看错了方程①中的，解得， ∴是方程②的解， ∴，即③． ∵乙看错了方程②中的，解得， ∴是方程①的解， ∴，即④． 由，得， 解得， 把代入③，得， 解得， ∴，． 【题型9】二元一次方程组的实际应用 例题9．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（1托为5尺）．意思是，一支竿子和一根绳子，绳子比竿子长5尺，绳子对折后比竿子短5尺．问：竿子长多少尺？ 【答案】15尺 【分析】根据题意找到两个等量关系，设出未知数后列出方程组求解即可得到竿子的长度． 【详解】解：设竿子长为y尺，绳子长为x尺， 由题意得， 解得． 答：竿子长15尺． 【变式训练】 1．小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑．拼成如图2所示的正方形，中间留下的空白部分恰好是边长为的小正方形． 你能求出这些小长方形的长和宽吗？ 【思路分析】 (1)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程______，由图2可列二元一次方程______． 【问题解决】 (2)根据（1）中的分析，求出小长方形的长和宽． 【拓展延伸】 (3)七（6）班举办“以规范书写呈现汉字之美”的写字活动．现有甲、乙两种规格的笔记本作为奖品奖励给同学们．已知每本乙笔记本的厚度是每本甲笔记本厚度的2倍．根据下图中所给的数据，求每本甲笔记本的厚度和桌子的高度． 【答案】(1)； (2)小长方形的长是，宽是 (3)每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为 【分析】（1）根据图1、图2列二元一次方程即可； （2）联立（1）中两二元一次方程求解即可； （3）设每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为，则每本乙笔记本的厚度为，根据题干图列方程组求解即可． 【详解】（1）解：由图1可列二元一次方程，由图2可列二元一次方程． （2）解：根据题意，得， 解得， 答：小长方形的长是，宽是． （3）解：设每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为，则每本乙笔记本的厚度为， 根据题意，得， 解得， 答：每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为． 2．疫情之下，我市组织300名医护人员支援威海各地抗疫活动，可以选用的车辆有小客车和大客车两种车型．已知租用2辆小客车和1辆大客车可载150人，租用1辆小客车和2辆大客车可载165人． (1)1辆小客车和1辆大客车分别可载多少人？ (2)要同时租用小客车和大客车两种车型，一次性将300名医护人员送到目的地．要使租用的车辆恰好都能坐满且不超载，则需租用的小客车和大客车数量分别为 （辆）． 【答案】(1)1辆小客车可载45人，1辆大客车可载60人 (2)4，2 【分析】（1）设1辆小客车可载人，1辆大客车可载人，根据“租用2辆小客车和1辆大客车可载150人，租用1辆小客车和2辆大客车可载165人”，列方程组求解即可； （2）设租用小客车辆、大客车辆，均为正整数（需同时租用两种车型，因此都大于0），根据总人数可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：设1辆小客车可载人，1辆大客车可载人， 根据题意可得： ， 解得， 答：1辆小客车可载45人，1辆大客车可载60人； （2）解：设租用小客车辆、大客车辆，均为正整数（需同时租用两种车型，因此都大于0）， 根据总人数列方程： ，化简得：， 变形得， ∵均为正整数， ∴仅当时，符合要求． 因此需要租用小客车4辆，大客车2辆． 3．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁 【分析】设现在哥哥岁，妹妹岁，根据两个孩子的对话，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得 解得： 答：现在哥哥10岁，妹妹6岁 4．2026马年央视春晚中，字树科技的机器人（武）展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． (1)求两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． (3)每台A型机器人每月维护费万元，每台B型机器人每月维护费万元，在（2）的所有方案中，维护费最低的是哪个方案？最低维护费是多少？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)方案1：购买9台A型智能机器人，4台B型智能机器人；方案2：购买6台A型智能机器人，8台B型智能机器人；方案3：购买3台A型智能机器人，12台B型智能机器人 (3)方案3维护费最低，最低维护费是万元 【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 根据题意，得：，解答即可； （2）设购买m台A型智能机器人，n台B型智能机器人,根据题意，得，且m，n均为正整数，求得方程的整数解即可； ． （3）计算比较解答即可； 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 根据题意，得：， 解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买m台A型智能机器人，n台B型智能机器人, 根据题意，得，且m，n均为正整数， 故方程的整数解为，，， 故一共有3种购买方案，方案1：购买9台A型智能机器人，4台B型智能机器人； 方案2：购买6台A型智能机器人，8台B型智能机器人； 方案3：购买3台A型智能机器人，12台B型智能机器人； （3）解：每台A型机器人每月维护费万元，每台B型机器人每月维护费万元， 方案1的维护费：（万元）； 方案2的维护费：（万元）； 方案3的维护费：（万元）； 故方案3维护费最低，最低维护费是万元； 【题型10】二元一次方程（组）与新定义问题 例题10．规定：形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”． (1)方程的“共轭二元一次方程”为_______； (2)若关于x，y的方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的“共轭系数”． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键， （1）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可； （2）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出“共轭系数”． 【详解】（1）解：∵形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”， ∴方程的共轭二元一次方程为， 故答案为：； （2）解：由题意，得， 整理，得， ，得， ，得，解得， 把代入，得，解得， ∴， ，， 故此“共轭方程组”的“共轭系数”为． 【变式训练】 1．阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：已知关于x、y的二元一次方程（其中），若将该方程中y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为． (1)写出的“船山方程”是______，由该方程和其“船山方程”组成的方程组的解是______； (2)若关于x，y的二元一次方程（其中）的系数满足， ①求该方程与其“船山方程”组成的方程组的解； ②若①中方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1)， (2)①；②2026 【分析】（1）根据“船山方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）①首先得到，根据题意联立方程组，求出x，y的值； ②将代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：根据定义可得：的“船山方程”． 联立得， 由得： 解得， 把代入①得：， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：①∵， ， ∴与其“船山方程”所组成的方程组为， 由得： 解得， 把代入①得：， ∴ 解得， ∴方程组的解为； ②将代入方程中，得， 即，， ∴ ． 2．我们把关于、的两个二元一次方程与叫作互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做关于、共轭二元一次方程组．例如：与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于、共轭二元一次方程组；与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于、的共轭二元一次方程组． (1)若关于、的方程组，为共轭方程组，则______， ______； (2)若二元一次方程中、的值满足下列表格： 1 0 0 2 则这个方程的共轭二元一次方程是______； (3)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：的解为______． (4)发现：若方程组是共轭方程组，且方程组的解是，请计算的值． 【答案】(1)；1 (2) (3) (4)2025 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握并能灵活运用加减消元法计算． （1）根据题意，由定义可得，求出a，b的值即可； （2）根据题意，将代入得到，从而可得二元一次方程为，再根据共轭二元一次方程的定义即可求解； （3）根据题意，使用加减消元法计算即可得解； （4）根据题意，方程组是共轭方程组，从而，解方程组即可得到，进而可得，然后代入计算即可解答． 【详解】（1）解：由定义可得， ， 故答案为：；1． （2）解：将代入， 得， 解得， 二元一次方程为， 这个方程的共轭二元一次方程是． 故答案为：． （3）解：， 得，， 得，， 解得， 将代入得，， 方程组得解为， 故答案为：． （4）解：由定义可得， ， 方程组是共轭方程组， 得，， ，， ， ， 方程组的解是， ， ． 3．规定：形如关于x、y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组 叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于x、y的方程组 为共轭方程组，则 ， ； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组 时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以 ③×4得： ①④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组 的解． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据共轭二元一次方程的定义即可求解； （2）根据共轭二元一次方程组的定义得到，然后解方程，即可求解； （3）根据拓展的解法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，方程的共轭二元一次方程是． （2）解：根据题意，可得， 解得． （3）解：， ，得，所以， ，得， ，得， 将代入③，得， 原方程组的解为． 4．数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则所求方程组可化为，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 故方程组的解为； （3）解：设，，则可化简得， 关于，的二元一次方程组的解为， 的解，即有， 解得：． 故方程组的解为：． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $