精品解析：重庆市巴川中学校2025-2026学年 七年级下学期数学期中试卷

新巴中28届七下半期 （全卷共四个大题总分150分考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将数学课本放在如图所示的位置，则下列各点一定没有被书本遮住的点是（ ） A. B. C. D. 3. 王安石的古诗“飞来山上千寻塔，闻说鸡鸣见日升．不畏浮云遮望眼，自缘身在最高层”中的“塔”如图所示，关于“塔”的图片，可以由选项（ ）中的图片通过平移得到． A. B. C. D. 4. 已知是方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则整数值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 连接伊斯兰两大圣地的高速铁路——麦麦高铁，不仅为沙特数百万国民的出行提供便利，更是以中国铁建为代表的“中国队”在海外参与高速铁路建设的又一重要见证．在修建铁路时为了保证两条直线铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了（铁轨和枕木都看作直线）．如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，真命题是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C. 如果，那么 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 8. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余7尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？ ”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为( ) A. B. C. D. 9. 如图，动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，按这样的运动规律，则第次运动到点（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线，、分别为直线、上的点，为直线上方一点．若的角平分线与的角平分线交于点，的角平分线与的角平分线交于点，交于点，，则下列结论： ①；②；③；④．正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 9的算术平方根是___________． 12. 已知点轴，且，则点的坐标为___________． 13. 比较大小：2 ____（用“＞”或“＜”号填空）． 14. 有理数在数轴上的位置如图所示：化简___________． 15. 如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线，物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大，则增加___________． 16. 已知关于的方程组的解满足，则的值为_____． 17. 如图所示，已知直线，直线分别交、于点、，直线经过点，使得平分，若，则___________；点在上，点在上，的角平分线交于点，且满足，，则___________． 18. 对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为________． 三、解答题（本大题2个小题，每小题4分，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算、解方程： （1）； （2）． 四、解答题（本大题7个小题，每题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 20. 解方程组： （1） （2） 21. 如图，，点在上，若是的角平分线，且，试说明，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 证明：（已知）， ①_____________（②____________________________）， 是的角平分线（已知）， ③_____________（④____________________________）， ⑤_______（⑥____________________________）， （已知）， ⑦________⑧_______（⑨____________________________）， ⑩_______________（两直线平行，内错角相等）， ． 22. 如图中任一点经过平移后对应点为．将作同样的平移得到，已知，，， （1）在图中画出； （2）直接写出，，的坐标分别为_____________，_____________，_____________； （3）求平移过程中线段扫过的面积． 23. 如图，在三角形中，平分交于点，点在的延长线上，点在线段上，与相交于点，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）点在的延长线上，连接，若，，求． 24. 某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多． （1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？ （2）共享单车安装公司原有熟练工a人，现招聘n名新工人（a＞n），由于时间紧急，工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，若要求必须在30天内交付运营公司5700辆合格品投入市场，求a、n的所有可能结果． 25. 对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． （1）下列方程组是“美好”方程组的是____________（只填写序号）． ①；②；③；④． （2）若关于的方程组是“美好”方程组，求的值； （3）若对于任意的有理数，关于的方程组都是“美好”方程组，求的值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，在轴上，点是第四象限内一点，交轴于点，且满足，的面积是16，是轴负半轴上的一个动点． （1）如图，求点和点的坐标； （2）如图，已知坐标轴上有两个动点、，点从点出发以每秒2个单位长度的速度匀速向左运动，同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度匀速向下运动，设运动的时间为秒，则当时，求点的坐标； （3）如图，在轴负半轴上运动时，连接，点为延长线上一点，平分，且于点，轴于点，平分，交轴于点，则在运动过程中，下列两个结论： ①的值不变；②的值不变， 其中有且只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并直接写出其值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新巴中28届七下半期 （全卷共四个大题总分150分考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将数学课本放在如图所示的位置，则下列各点一定没有被书本遮住的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图知，书本遮住了坐标系中的第一、二、三象限的部分，只有第四象限内的点一定不被书本遮住，由此即可求解． 【详解】解：由图知，第四象限内的点一定不被书本遮盖， ∵在第四象限， ∴此点一定不被书本遮住，故选项B符合题意； 而在第三象限，在第一象限，在第二象限，都有可能被书本遮住． 3. 王安石的古诗“飞来山上千寻塔，闻说鸡鸣见日升．不畏浮云遮望眼，自缘身在最高层”中的“塔”如图所示，关于“塔”的图片，可以由选项（ ）中的图片通过平移得到． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据平移的定义可知关于“塔”的图片由选项A中的图片通过平移得到． 4. 已知是方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，直接把已知解代入原方程计算即可． 【详解】解：将​代入方程，得：   解得：． 5. 已知，则整数值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ ∴ ∴ ，且为整数 ． 6. 连接伊斯兰两大圣地的高速铁路——麦麦高铁，不仅为沙特数百万国民的出行提供便利，更是以中国铁建为代表的“中国队”在海外参与高速铁路建设的又一重要见证．在修建铁路时为了保证两条直线铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了（铁轨和枕木都看作直线）．如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理判断即可． 【详解】解：如图， ， ， 当时，，则两条铁轨平行． 故选：D． 7. 下列命题中，真命题是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C. 如果，那么 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项，相等的角不一定是对顶角，例如平行线的同位角相等，但不是对顶角，因此A是假命题，不符合题意； B选项，由垂线段的基本性质可知，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此B是真命题，符合题意； C选项，若，则或，例如，满足但，因此C是假命题，不符合题意； D选项，只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，命题缺少“同一平面内”的限定，因此D是假命题，不符合题意． 8. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余7尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？ ”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余7尺”可知：绳子-木条=7，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：木条-绳子=1，据此列出方程组即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，由题意可得， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组． 9. 如图，动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，按这样的运动规律，则第次运动到点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察可知点的横坐标即为运动的次数，纵坐标每次一轮，分别为，，，，据此规律求解即可，解题关键是发现点的横坐标、纵坐标的规律． 【详解】解：第一次运动后的坐标为：， 第二次运动后的坐标为：， 第三次运动后的坐标为：， 第四次运动后的坐标为：， 第五次运动后的坐标为：， ， ∴可以得出规律：点的横坐标即为运动的次数，纵坐标每次一轮，分别为，，，， ∵， ∴点的横坐标是运动次数即，纵坐标与第二次运动到达的点的纵坐标相同即， ∴第次运动后的坐标为：． 10. 如图，直线，、分别为直线、上的点，为直线上方一点．若的角平分线与的角平分线交于点，的角平分线与的角平分线交于点，交于点，，则下列结论： ①；②；③；④．正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形外角定理逐一进行判断即可． 【详解】解：，平分， 平分， ， ，①正确； ， 是的角平分线， ， ；②正确； 是的角平分线，平分， ， ， ， ， ，③正确； ，故④错误； 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 9的算术平方根是___________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：9的算术平方根是3． 12. 已知点轴，且，则点的坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据轴，可得横坐标相等，再结合求纵坐标即可. 【详解】解：∵轴，且， ∴或， ∴或． 13. 比较大小：2 ____（用“＞”或“＜”号填空）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据4＞3，得出它们的算术平方根的大小即可． 【详解】解：∵4＞3， ， ∴2＞． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查的是实数的大小比较及估算无理数的大小，能估算出４的算术平方根大于３的算术平方根是解答此题的关键． 14. 有理数在数轴上的位置如图所示：化简___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据有理数在数轴上的位置得到，进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ． 15. 如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线，物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大，则增加___________． 【答案】 【解析】 【分析】起吊物体前，设，求出，增大，再求出此时，即可得到答案． 【详解】解：起吊物体前，设， ，支撑臂为的平分线， ， ， 物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，， ， 增大， ， ， 故增加． 16. 已知关于的方程组的解满足，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先将两式相加求出，再整体代入得出答案． 【详解】解：， ，得． ∵， ∴， 解得． 17. 如图所示，已知直线，直线分别交、于点、，直线经过点，使得平分，若，则___________；点在上，点在上，的角平分线交于点，且满足，，则___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由角平分线和对顶角相等即可得到； 设，由角平分线的定义，可得，由平行线的性质，结合已知可得，可得，，作，由平行线的性质，可得，，结合已知列方程求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴ ∴； 设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 如图，作， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 18. 对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为________． 【答案】 ①. 6200 ②. 9313 【解析】 【分析】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到，进而，若M最大，只需千位数字a取最大，即，再根据能被10整除求得，进而可求解． 【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200； 根据题意，，，，，则， ∴， ∴， 若M最大，只需千位数字a取最大，即， ∴， ∵能被10整除， ∴， ∴满足条件的M的最大值为9313， 故答案为：6200，9313． 【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键． 三、解答题（本大题2个小题，每小题4分，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算、解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解得或． 四、解答题（本大题7个小题，每题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 20. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 把②代入①得：，解得：， 把代入②得：， ； 【小问2详解】 解：原方程可以转化为， 得：，解得：， 把代入④得， ． 21. 如图，，点在上，若是的角平分线，且，试说明，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 证明：（已知）， ①_____________（②____________________________）， 是的角平分线（已知）， ③_____________（④____________________________）， ⑤_______（⑥____________________________）， （已知）， ⑦________⑧_______（⑨____________________________）， ⑩_______________（两直线平行，内错角相等）， ． 【答案】 见解析 【解析】 【分析】先利用平行线性质和角平分线定义进行角的等量代换，再通过同旁内角互补判定两直线平行，最后利用平行线性质完成证明． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）， 是的角平分线（已知）， （角平分线的定义）， （等量代换）， （已知） （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ． 22. 如图中任一点经过平移后对应点为．将作同样的平移得到，已知，，， （1）在图中画出； （2）直接写出，，的坐标分别为_____________，_____________，_____________； （3）求平移过程中线段扫过的面积． 【答案】（1）见解析 （2），， （3）15 【解析】 【分析】（1）先得到平移方式，再进行画图； （2）由（1）中的图形求解即可； （3）连接，，根据线段扫过的面积求解． 【小问1详解】 解：∵点经过平移后对应点为， ∴向右平移4个单位，向下平移3个单位可以得到，如图，即为所求； 【小问2详解】 解：由（1）得，，，； 【小问3详解】 解：如图，连接，， ∴线段扫过的面积． 23. 如图，在三角形中，平分交于点，点在的延长线上，点在线段上，与相交于点，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）点在的延长线上，连接，若，，求． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，等量代换，根据平行线的判定即可证明； （2）根据平分，设，根据，得，根据，则，根据平行线的性质得到，然后利用求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多． （1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？ （2）共享单车安装公司原有熟练工a人，现招聘n名新工人（a＞n），由于时间紧急，工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，若要求必须在30天内交付运营公司5700辆合格品投入市场，求a、n的所有可能结果． 【答案】（1）每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车；（2），， 【解析】 【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据“1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多”列方程组求解即可； （2）根据“在30天内交付运营公司5700辆合格共享单车”得出含有n和a的方程，整理得出n和a的关系，由a＞n解得a的范围，再根据n、a均为正整数可得答案． 【详解】解：（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车， 根据题意，得： 解得， 答：每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车； （2）根据题意，得：30×（8n+12a）×（1-5%）=5700， 整理，得：， ∵a＞n， ∴， 解得a＞10， ∵n、a均为正整数， ∴，， 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系． 25. 对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． （1）下列方程组是“美好”方程组的是____________（只填写序号）． ①；②；③；④． （2）若关于的方程组是“美好”方程组，求的值； （3）若对于任意的有理数，关于的方程组都是“美好”方程组，求的值． 【答案】（1）② （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“美好”方程组的定义，逐项判断即可求解； （2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； （3）先联立得，解得或，再代入，求出a，b的值，即可求解． 【小问1详解】 解：①解得，， ∴，故不是“美好”方程组； ②解得，， ∴，故是“美好”方程组； ③解得，， ∴，故不是“美好”方程组； ④解得，， ∴，故不是“美好”方程组； ∴是“美好”方程组的是②； 【小问2详解】 解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵关于x，y的方程组是“美好”方程组， ∴， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：∵关于x，y的方程组都是“美好”方程组， ∴， 联立得：， 解得：或， 把代入得：， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，， 解得：，， ∴； 把代入得：， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，， 解得：，， ∴； 综上所述，的值为或． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，在轴上，点是第四象限内一点，交轴于点，且满足，的面积是16，是轴负半轴上的一个动点． （1）如图，求点和点的坐标； （2）如图，已知坐标轴上有两个动点、，点从点出发以每秒2个单位长度的速度匀速向左运动，同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度匀速向下运动，设运动的时间为秒，则当时，求点的坐标； （3）如图，在轴负半轴上运动时，连接，点为延长线上一点，平分，且于点，轴于点，平分，交轴于点，则在运动过程中，下列两个结论： ①的值不变；②的值不变， 其中有且只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并直接写出其值． 【答案】（1）， （2）点F的坐标为或 （3）①的值不变为 【解析】 【分析】（1）利用平方，绝对值和算术平方根的非负性求出，，，得到，，，然后利用的面积是16求出，进而求解即可； （2）根据题意得，，然后分两种情况讨论，分别利用列方程求解即可； （3）过点M作，过点C作，由角平分线设，，然后结合平行线的性质表示出，，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴，， ∴，， ∴，，； ∴ ∵点B和点C的纵坐标相同 ∴轴 ∵的面积是16 ∴，即 ∴ ∴； 【小问2详解】 解：根据题意得，， 当点F在点O右边时， ∵ ∴ ∴ 解得 ∴ ∴； 当点F在点O左边时， ∵ ∴ ∴ 解得 ∴ ∴； 综上所述，点F的坐标为或； 【小问3详解】 解：①的值不变为，理由如下： 如图，过点M作，过点C作， ∵平分，平分， ∴设，， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∵轴于点， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵轴于点， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $